一道中考数学试题的妙解
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虑到． 练 习 ：学 有 所 得 ： 大家 在学 完 勾 股 定 理 的证 明后 发
中 ， ｚ一０得 一 ３ 令 ＝ ０得 ｚ 一 ４ 所 以 Ａ（ ， 令 ； 一 ． 一４ Ｏ ， Ｏ ３ 同 理 求 得 Ｃ １Ｏ ． ） Ｂ（ ， ） （ ，）
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分 析 ：这 种 类 型 的 题 目常 常 利 用 解 直 角 三 角 形 的 知 识 去探 究 ， 三 角 函 数 表 达 式 来 表 示 ． 是 题 目设 置 用 但
要 求 不 能 用 三 角 函 数 表 达 式 表 示 ， 加 解 决 实 际 问 题 增 的难 度 ． 们 可 以 换 一 种 思 路 ： 涉 及 到 有 关 线 段 的 问 我 在
２ １ 年第 １ ０１ 期
数 学 教 育研 究
・ ３ ６ ・
一
道中 考 数 学试 题 的 妙解
翟 爱 国 （ 省姜堰市第四中学 ２５０） 江苏 ２５０
题 目（０ ９芜 湖 市 ） ２０ ：小 赵 对 芜 湖 科 技 馆 富 有 创 意 的科 学方 舟形 象 设 计 很 有 兴 趣 ， 回 家 后 将 一 正 五 边 他 形 纸 片 沿 其 对 称 轴 对 折 ． 转 放 置 ， 成 科 学 方 舟 模 旋 做
现 运 用 “ 一 图 形 的 面 积 不 同表 示 方 式 相 同 ” 以证 明 同 可
一
类 含 有 线 段 的 等 式 ， 种 解 决 问 题 的 方 法 我 们 称 之 这
型 ． 图 所 示 ， 正 五 边 形 的 边 心 距 Ｏ 长 为√ ， Ｃ 为 如 该 Ｂ ２Ａ
１
为 面积 法 学 有所 用： 在 Ａ ＢＣ中 ， ＡＢ—ＡＣ， 其 为 ｈ ，Ｍ 是 底 边 ＢＣ 点 ， 到 腰 ＡＢ、 Ｍ ＡＣ 为 ｈ 、２ １ｈ ．
所以Ａ Ｂ＝ＡＣ， ＡＢ 为等 腰 三 角形 ． 即 Ｃ ．
（ ｉ ）当点 Ｍ 在 Ｂ 边 上 时 ， ＋ｈ 一矗 得 ： Ｃ 由 ｚ ．
（ 转第 １ 下 ６页 ）
・
１ ・ ６
数 学 教 育 研 究
２１ ０ １年 第 １期
用 于 函数 ＿ ｚ 连 续 ， 且 存 在 区 间 ［ ，］满 足 ， ｎ 厂 ） （ 并 ｎ６ ， （ ）・ ＿ ６ ＜ｏ的情 况 （ 称 ［ ，］ 搜 索 区 间 ） 它 通 过 不 断 厂 ） （ 可 ａ ６为 ． 计 算 搜 索 区 间 中 点 的 函 数 值 ， 步 一 步 地 缩 小 搜 索 区 一 间 ， 到 求 出方 程 ＿ ｚ 一０ 足 精 度 要 求 的 近 似 解 ． 直 厂 ） 满 （ 不 难 看 出 ， 分 法 蕴 含 着 极 限思 想 ． 二
例 １ （ ６年 全 国卷 Ⅱ） ｏ 函数 ， ｚ （ ）一 ｌ ｚ一 ｌ
科学方舟船 头 Ａ 到船底 的距离 ， 请你计 算 ＡＣ ＋÷ ＡＢ
一
．
（ 能用三角函数表达式表示 ） 不
Ａ
（）请 你 结 合 图ｊ １ 证 明 ： 】 ｈ ＝ｈ ｈ＋ ２ ． （ ）当 点 Ｍ 在 Ｅ ２ 时 ， 、 。 ｈ之 间 又 有 ｈ ｈ、 结 论 ． 你 画 出 图形 ， 请
出结论不必证明． 学 会 应 用 ：（ ） ３
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结论解答 ， 图 １ 一 如 一 直 角 坐 标 系 中 有 两 条
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丢 ： 计３ 一
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题 我 们 可 以 通 过 面 积 法 来 探 索 尝 试 ． 为 利 用 面 积 的 因 相 等 关 系 构 造 方 程 解 某 些 几 何 图 形 问 题 ， 但 能 够 化 不 难 为 易 ， 繁 为 简 ， 且 明 快 、 观 ， 人 以 耳 目一 新 的 化 而 直 给
感觉． 解 析 ：设 ＤＥ—ＥＦ＝２ ． ’ ， ． ２ 。ｏＥ—ｏＤ， ｏＢ上 ＤＥ
’ ． ．
ｚ 的一 点 Ｍ 到 ￡ 。上
求 点 Ｍ 的坐标．
答 案 ：证 明 ： （ ＡＭ ， 题 意 得 ｈ 一 由 １
Ｍ Ｆ， ｈ— ＢＤ ．
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ＢＤ— ＢＥ一 口
１
’Biblioteka Baidu
．
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・
又 ｓ Ａ 一÷ ・ △Ｂ ｃ
ＡＢ — Ａ Ｃ
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（ ）如 图所 示 ： ２ （ ） 解 ：在 Ｙ ３
启 示 ： 过 上 面 的 例 子 ， 们 可 以 看 出 ， “ 积 通 我 用 面 法 ” 题 的关 键 ， 要 善 于 从 不 同 角 度 发 掘 图 形 （ 三 解 是 如 角形） 间的位置关系 （ 整体 与局部 、 角形 的等底 、 之 如 三 等 高 和 相 似 等 关 系 ） 或 对 同 一 图 形 ， 不 同 的 角 度 选 ， 从 择 相 应 的 面 积 公 式 ．所 以用 “ 积 法 ” 解 几 何题 ， 何 面 来 几 元 素 之 间 关 系 变 成 数 量 之 间 的关 系 ， 需 要 计 算 ， 时 只 有 可 以 不 添 置 补 助 线 ， 使 需 要 添 置 辅 助 线 ， 很 容 易 考 即 也
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Ｓａ． ￣ｃ
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Ｓ＾ Ｍ Ａ Ｃ．
Ｅ Ｆ×ＡＣ ＋÷ ×Ｂ ＥＸＡＢ一— ｝×２ ＸＡＣ ａ ＋÷ ×口 Ｂ ＸＡ
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Ｓｚ， ｓ， ． Ｍｃ— １ × Ａ ｃ
四 形 ＢＦ 面 一 边 ＡＥ的 积 ÷ ＸＸ伽 一 ５专×ｎ ÷×× ２ ５ｓ ×Ｂ＠ ｘＢ Ｏ一 Ｗ ｏ ｆ ＸＢ － ＋Ａ
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１
为 面积 法 学 有所 用： 在 Ａ ＢＣ中 ， ＡＢ—ＡＣ， 其 为 ｈ ，Ｍ 是 底 边 ＢＣ 点 ， 到 腰 ＡＢ、 Ｍ ＡＣ 为 ｈ 、２ １ｈ ．
所以Ａ Ｂ＝ＡＣ， ＡＢ 为等 腰 三 角形 ． 即 Ｃ ．
（ ｉ ）当点 Ｍ 在 Ｂ 边 上 时 ， ＋ｈ 一矗 得 ： Ｃ 由 ｚ ．
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数 学 教 育 研 究
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Ｍ Ｆ， ｈ— ＢＤ ．
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