平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面的位置关系
平面和平面的位置关系一、知识梳理1.两个平面的位置关系（1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．（2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//．图1 图22.两个平面平行的判定工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。
该检测原理就是：（1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα⊂⊂= ，且//,//,a b ββ则//αβ。
（线线平行，则线面平行）。
（2）垂直直于同一直线的两平面平行。
（3）平行于同一平面的两平面平行。
3.两个平面平行的性质（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。
（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。
（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。
（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。
（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。
4.两个平行平面的距离（1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。
公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。
注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。
（2）两个平行平面的距离我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
空间几何中的平面与平面的位置关系
空间几何中的平面与平面的位置关系在空间几何中，平面与平面的位置关系是一项重要的研究内容。
平面是一个无限大的二维空间，由无数个点组成，而两个平面之间的位置关系可以分为三种基本情况：平行、相交、重合。
本文将对这三种平面与平面的位置关系逐一进行说明。
一、平行的平面两个平行的平面是指在空间中永远不会相交的两个平面。
平行的平面具有以下特点：1. 平行平面之间的任意两个点之间的距离相等。
2. 平行的平面在空间中永远不会相交，它们之间始终保持一定的距离。
3. 平行平面之间的夹角为零度。
以图示的方式，可以更直观地理解平行平面的位置关系：（插入示意图）二、相交的平面两个相交的平面是指在空间中有一条直线可以同时属于这两个平面。
相交的平面具有以下特点：1. 相交平面之间的夹角不为零度，可以是锐角、直角或钝角。
2. 相交的平面在相交的直线上具有共同的点。
3. 相交的平面之间没有交点。
相交平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）三、重合的平面两个重合的平面是指在空间中完全重合的两个平面，它们的所有点都是重合的。
重合的平面具有以下特点：1. 重合平面之间的夹角为零度。
2. 重合的平面在空间中完全重合，它们的每个点都是重合的。
3. 重合的平面在位置上无区别，可以互换位置。
重合平面的位置关系可以通过以下图示来说明：（插入示意图）综上所述，空间几何中的平面与平面的位置关系主要可以分为平行、相交和重合三种情况。
通过对这三种关系的理解，我们可以更好地理解和应用空间几何的知识，为实际问题的求解提供帮助。
2020届一轮复习人教A版 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 课件(51张)
(4)在图中画出三个两两相交的平面.
【审题路线图】平面与平面的位置的判断和画法⇒两 个平面的两种位置关系和画空间几何体直观图的规则.
【解析】1.选C.当a∥α时,过a作平面β,使得β∥α, 由平面与平面平行的性质得: 这样的平面β有且只有1个. a与α相交时,设平面为β,a与α交点为P, 根据题意P∈β,P∈α,则α∩β=l且P∈l, 这与α∥β矛盾,所以这样的β不存在.
④成形:画出图③中表示两个平面的平行四边形的第四 边(被遮住的线,可用虚线,也可以不画),如图④.
【自我检测】 1.已知直线a∥平面α ,直线b⊂α ,则a与b的位置关系 是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面 【解析】选D.根据直线与平面平行的定义可知,a与b的 位置关系是平行或异面.
【解析】①错.a与b也可能异面. ②错.a与b也可能平行. ③对.因为α∥β,所以α与β无公共点. 又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点. 所以a∥b或a与b异面. ④错.a与β也可能平行. 答案:③
【核心素养培优区】
【易错案例】判断平面与平面的位置关系
【典例】若平面α 外不共线的三点到平面α 的距离相
等,则该三点确定的平面β 与α 的关系是 ( B )
A.相交
B.平行
C.相交或平行 D.以上都不是
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ误案例】选B.如图,平面α外有不共线的三点到平 面α的距离相等,该三点确定的平面β与α的关系是平 行的.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视了平面α 外不共线的三点, 还有可能在平面α 的两侧,实际上本题应分平面α 外有 不共线的三点在平面α 的两侧和同侧两种情况讨论.
综上所述,过平面α外一条直线a与α平行的平面的个 数为至多1个.
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。
平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第七章§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 1与直线AA 1所成角的余弦值是()A.12B.13C.63D.33答案D解析连接BD (图略)，由于AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为直线BD 1与直线AA 1所成的角，不妨设正方体的棱长为a ，则BD ＝2a ，BD 1＝D 1D 2＋BD 2＝3a ，所以cos ∠DD 1B ＝DD 1D 1B ＝13＝33.3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；如图1，A ，B ，C ，D 共面，A ，B ，C ，E 共面，但A ，B ，C ，D ，E 不共面，故B 错误；如图2，a ，b 共面，a ，c 共面，但b ，c 异面，故C 错误；如图3，a ，b ，c ，d 四条线段首尾相接，但a ，b ，c ，d 不共面，故D 错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则：(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案(1)AC ＝BD(2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析(1)由题意知，EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF 与ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为AF ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G ，H 分别为AF ，FD 的中点，所以GH ∥AD 且GH ＝12AD ，又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，故GH ∥BC 且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 是AF 的中点知BE ∥GF 且BE ＝GF ，所以四边形EFGB 是平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH .故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A ．M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ⇒M ∈lB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A ，因为M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，由基本事实3可知M ∈l ，故A 正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A ．直线AM 与CC 1是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线答案CD解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以直线AM 与CC 1是异面直线，故A 错误；取DD 1的中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行，故B 错误；因为点B 1与直线BN 都在平面BCC 1B 1内，点M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故C 正确；同理D 正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66答案D解析如图，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接AF ，易知F 为 AD 的中点，设四边形ABCD 的边长为2，则EF ＝2，AF ＝2，所以AE ＝22＋(2)2＝ 6.连接ED ，则ED ＝ 6.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为66.(2)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为()A ．48πB ．12πC ．36πD ．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA ＝x ，x >0，连接AB 1，B 1C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是∠ACB 1或其补角．则cos ∠ACB 1＝105＝8＋x 2＋4－x 2－42×22×x 2＋22，解得x ＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为12×12＋22＋22＝32，所以该四棱锥外接球的表面积为4π＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，高为6，则直线AE 1和EF 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析如图所示，EF ∥E 1F 1，则∠AE 1F 1即为所求．∵AF ＝EF ＝1，EE 1＝6，且∠AFE ＝2π3，∴AE ＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF ·cos2π3＝3，∴AE 1＝AE 2＋EE 21＝3，AF 1＝AF 2＋FF 21＝7，∴cos ∠AE 1F 1＝AE 21＋E 1F 21－AF 212AE 1·E 1F 1＝9＋1－72×3×1＝12，∴∠AE 1F 1＝π3，即直线AE 1和EF 所成角的大小为π3.(2)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF 1E ，则m ，n 所成的角为∠EAF 1.∵△AF 1E 为正三角形，∴sin ∠EAF 1＝sin 60°＝32.课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且B ∉l ，又AC ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A ．直线CMB ．直线BMC ．直线ABD ．直线BC答案B解析已知过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则AC ⊂γ.又AC ∩l ＝M ，则M ∈γ，又平面α∩平面β＝l ，则l ⊂α，l ⊂β，又因为AC ∩l ＝M ，所以M ∈β，因为B ∈β，B ∈γ，所以β∩γ＝BM .4.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为()A.153B.155C.64D.104答案D 解析如图，取AC 的中点D ，连接DC 1，BD ，易知AM ∥DC 1，所以异面直线AM 与BC 1所成角就是直线DC 1与直线BC 1所成的角，即∠BC 1D ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC 1＝5，BD ＝3，BC 1＝22，则在△BDC 1中，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝(5)2＋(22)2－(3)22×5×22＝104，即异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值为104.5．四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中()A ．逐步变大B ．逐步变小C ．先变小后变大D ．先变大后变小答案D 解析由题可知初始时刻ED 与BF 所成的角为0，如图1，故B ，C 错误；图1在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，EF ⊥DF ，EF ⊥FC ，DF ∩FC ＝F ，DF ，FC ⊂平面DFC ，所以EF ⊥平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC ⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP ⊥BF ，而DP ⊥平面EFCB ，DP ⊥BF ，又DP ∩PE ＝P ，DP ，PE ⊂平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成的角为π2，然后α开始变小，故直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A 错误，D 正确．6．在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2，E ，F ，G 分别为AB ，PC ，AD 的中点，直线BF 与EG 所成角的余弦值为63，则三棱锥P －EFG 的体积为()A.5212 B.24 C.23 D.26答案B解析连接BD ，DF ，AC ，CG ，CE ，如图，设BF ＝DF ＝x ，由BD ∥EG ，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，在△FBD 中，易知BD ＝22，cos ∠FBD ＝x 2＋8－x 242x＝63，解得x ＝ 3.设PB ＝PC ＝y ，在△PFB ＋3－23·y 2cos ∠PFB ＝y 2，①因为∠PFB ＋∠BFC ＝180°，故cos ∠BFC ＝cos(180°－∠PFB )＝－cos ∠PFB ，则在△BCF ＋3－23·y 2cos ∠BFC ＝4，即＋3＋23·y 2cos ∠PFB ＝4，②①＋②得y 22＋6＝y 2＋4，因为y >0，解得y ＝2.因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P －EFG ＝V 三棱锥C －EFG ＝V 三棱锥F －ECG ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，PA ＝PC ，所以△PAC 为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为2×222＝2，故点F 到平面CEG 的距离为22，S △ECG ＝S ▱ABCD －S △AEG －S △CDG －S △CEB ＝2×2－12×1×1－12×2×1－12×1×2＝4－12－1－1＝3 2，故所求三棱锥的体积为13×32×22＝24.二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝AC＝BD＝5，则() A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为23C．三棱锥A－BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为35答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE ＝BN ＝1，BF ＝2，所以AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝AC ＝BD ＝5，连接MF ，则AM ∥BF ，AM ＝BF ，所以四边形AMFB 为平行四边形，所以AB ∥MF ，又四边形MCFD 为正方形，所以MF ⊥CD ，所以AB ⊥CD ，故A 正确；长方体的体积V 1＝1×1×2＝2，三棱锥E －ABC 的体积V 2＝V 三棱锥A －BEC ＝13×12×1×2×1＝13，同理，三棱锥N －ABD ，三棱锥F －BCD ，三棱锥M －ACD 的体积也为13，所以三棱锥A －BCD 的体积V ＝2－4×13＝23，故B 正确；长方体的外接球的直径为12＋12＋22＝6，所以长方体的外接球的半径为62，长方体的外接球也是三棱锥A －BCD 的外接球，所以三棱锥A －BCD 外接球的半径为62，故C 错误；连接MN ，交AD 于点O ，因为MN ∥BC ，所以∠AOM (或其补角)为异面直线AD 与BC 所成的角，由已知OA ＝12AD ＝52，OM ＝12MN ＝52，AM ＝2，所以cos ∠AOM ＝54＋54－42×52×52＝－35，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为35，故D 正确．9．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为________．答案P ∈l 解析∵m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，∴P ∈α且P ∈β，又α∩β＝l ，∴点P 在直线l 上，即P ∈l .10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB ，GH )，(AB ，CD )，(GH ，EF )．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB 和CD 是异面直线，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别为线段AD ，BC上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝7，则AB 与CD 所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD 中，过E 作EG ∥AB ，交DB 于点G ，连接GF ，如图，∵AE ED ＝12，∴BG GD ＝12，又BF FC ＝12，∴BG GD ＝BF FC，∴∠EGF (或其补角)即为AB 与CD 所成的角，在△EGF 中，EG ＝23AB ＝2，GF ＝13CD ＝1，EF ＝7，∴cos ∠EGF ＝22＋12－(7)22×2×1＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴AB 与CD 所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为棱CC 1，BB 1，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M ，N ，若线段MN 与线段AE ，BD 1都不相交，则称点M 与点N 可视，下列与点D 不可视的为________．(填序号)①B 1；②F ；③H ；④G .答案①②③解析如图所示，连接B 1D 1，BD ，DB 1，EF ，DE ，DH ，DF ，DG ，因为E ，F 分别为棱CC 1，BB 1的中点，所以EF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；因为B 1D 1∥DB ，所以四边形B 1D 1DB 是梯形，所以B 1D 与BD 1相交，故①不可视；因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，即G ∉EF ，则D ，E ，G ，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，若DG 与BD 1相交，则D ，B ，G ，D 1四点共面，显然D ，B ，B 1，D 1四点共面，G ∉平面DBB 1D 1，所以D ，B ，G ，D 1四点不共面，即假设不成立，所以DG 与BD 1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD 是空间四边形，如图所示(M ，N ，E ，F 分别是AB ，AD ，BC ，CD 上的点)．(1)若直线MN 与直线EF 相交于点O ，证明：B ，D ，O 三点共线；(2)若E ，N 为BC ，AD 的中点，AB ＝6，DC ＝4，NE ＝2，求异面直线AB 与DC 所成角的余弦值．(1)证明因为M ∈AB ，N ∈AD ，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以MN ⊂平面ABD ，因为E ∈CB ，F ∈CD ，CB ⊂平面CBD ，CD ⊂平面CBD ，所以EF ⊂平面CBD ，由于直线MN 与直线EF 相交于点O ，即O ∈MN ，O ∈平面ABD ，O ∈EF ，O ∈平面CBD ，又平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，则O ∈BD ，所以B ，D ，O 三点共线．(2)解连接BD ，作BD 的中点G ，并连接GN ，GE ，如图所示，在△ABD 中，点N ，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB ＝6，所以GN ∥AB ，且GN ＝12AB ＝3，在△CBD 中，点E ，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC ＝4，所以GE ∥CD ，且GE ＝12DC ＝2，则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，又NE ＝2，由余弦定理得cos ∠EGN ＝GE 2＋GN 2－NE 22GE ·GN ＝22＋32－222×2×3＝34>0，故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为34.14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，点E 是PB 的中点．(1)线段PA 上是否存在一点G ，使得点D ，C ，E ，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC ＝2，求三棱锥P －ACE 的体积．解(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．如图，连接GE ，GD ，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE ∥AB .又AB ∥DC ，所以GE ∥DC ，所以G ，E ，C ，D 四点共面．(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥B －ACE ＝12V 三棱锥P －ACB .又S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，V 三棱锥P －ACB ＝13PC ·S △ABC ＝23，所以V 三棱锥P －ACE ＝13.15.(多选)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是()A ．DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥C －AD 1P 的体积为定值C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．异面直线DP 与AD 1所成角的范围是π4，π2答案ABC 解析对于A ，连接DB ，C 1D ，AB 1，D 1B 1，因为BC 1∥AD 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，因为DB ∥D 1B 1，DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，所以DB ∥平面AB 1D 1，又DB ∩BC 1＝B ，DB ，BC 1⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，又DP ⊂平面BDC 1，所以DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，由点P 在线段BC 1上运动知平面AD 1P 即平面AD 1C 1B ，故点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C －AD 1P 的体积不变，故B 正确；对于C ，因为四边形DCC 1D 1为正方形，则CD 1⊥C 1D ，而AD ⊥平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以CD 1⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，则CD 1⊥平面AB 1C 1D ，而DB 1⊂平面AB 1C 1D ，因此DB 1⊥CD 1，同理DB 1⊥CA ，又CD 1∩CA ＝C ，CD 1，CA ⊂平面ACD 1，所以DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故C 正确；对于D ，由AD 1∥BC 1，异面直线DP 与AD 1所成角即为DP 与BC 1所成角，又△DBC 1为等边三角形，当P 与线段BC 1的两端点重合时，DP 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，DP 与AD 1所成角取最大值π2，故DP 与AD 1所成角的范围为π3，π2，故D 错误．16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为43π的球O 上，则该正方体的棱长为________，若动点P 在四边形A 1B 1C 1D 1内运动，且满足直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则OP 的最小值为________．答案262解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，球O 的半径为R ，则由正方体体对角线L ＝3a ＝2R 得R ＝3a 2，所以V 球O ＝43πR 3＝43π3a 23＝43π，故a ＝2，因为CC 1∥AA 1，所以AA 1与AP 所成角的正弦值也是13，即sin ∠A 1AP ＝13，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥A 1P ，故sin ∠A 1AP ＝A 1P AP ＝A 1P A 1P 2＋AA 21，即A 1P A 1P 2＋4＝13，解得A 1P ＝22，所以点P 的轨迹是以A 1为圆心，22为半径的圆与四边形A 1B 1C 1D 1内的一段弧，如图所示，设正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，连接O 1P ，OO 1，因为O 1A 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝2，所以(O 1P )min ＝O 1A 1－A 1P ＝22，所以(OP )min ＝OO 21＋(O 1P )2min ＝1＋12＝62，即(OP )min ＝62.。
平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系在几何学中，平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
当两个平面存在相交、平行或者垂直的关系时，我们可以通过几何分析来确定它们之间的具体位置关系。
本文将介绍平面与平面的三种基本位置关系，并通过几个实际例子来加深理解。
相交是最常见的平面与平面的位置关系。
当两个平面有一个或多个交点时，称它们相交。
相交的平面可以形成各种形状，比如交叉、叠加、垂直等等。
例如，一张桌子的表面和一个墙壁可以被视为两个相交的平面。
它们在桌角位置相交，形成一个垂直的关系。
在几何分析中，我们可以通过找到两个平面的交线来确定它们的相交关系。
平行是平面与平面的另一种常见位置关系。
当两个平面上的任意两条直线都平行时，称这两个平面平行。
平行的平面在空间中没有交点，永远保持相同的距离。
例如，两张平行的地板可以被认为是两个平行的平面。
它们永远不会相交，无论它们在空间中的位置如何变化。
在几何分析中，我们可以通过比较两个平面上的法向量来确定它们的平行关系。
垂直是平面与平面的第三种基本位置关系。
当两个平面的法向量互相垂直时，称这两个平面垂直。
垂直的平面形成一个直角关系，它们在空间中相交成一条直线。
例如，一张水平的地板和一面垂直的墙壁可以被视为两个垂直的平面。
它们在地板边缘相交，形成一个垂直的直角关系。
在几何分析中，我们可以通过比较两个平面的法向量的点积是否为零来确定它们的垂直关系。
除了相交、平行和垂直之外，平面与平面还可以存在其他一些特殊的位置关系。
例如，两个平面可能互相包含，其中一个平面完全位于另一个平面之内。
或者两个平面可能共面，即它们在空间中重合成一个平面。
这些特殊的位置关系都可以通过几何分析来确定。
在实际应用中，平面与平面的位置关系在建筑设计、机械工程、计算机图形学等领域中发挥着重要作用。
例如，在建筑设计中，两个相交的平面可以构成一个角度，决定着各种结构的稳定性和外观效果。
在机械工程中，平行的平面常用于配合零件的设计和加工。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有___________种： ①直线在平面内——有___________个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③___________——没有公共点. 学*科网 直线与平面相交或平行的情况统称为___________. 2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．直线和平面位置关系的分类 （1）按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 （2）按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内 （3）按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行二、平面与平面之间的位置关系 1．两个平面之间的位置关系两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有___________条公共直线. 2．两个平面之间的位置关系的图形表示和符号表示3．两个平行平面的画法画两个平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,且把这两个平行四边形上下放置.K 知识参考答案：一、1．三 无数 直线与平面平行 直线在平面外 二、 1．一K—重点了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系K—难点会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系K—易错对概念理解不透彻致误1．直线与平面的位置关系空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．【例1】若直线a α,则下列结论中成立的个数是①α内的所有直线与a异面；②α内的直线与a都相交；③α内存在唯一的直线与a平行；④α内不存在与a 平行的直线A．0 B．1C．2 D．3【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.2．平面与平面的位置关系判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．【例2】已知α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】不能保证α，β无公共点．如图：故A、B选项错误.当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图：故C选项错误.平面α内所有直线都与平面β平行，说明α，β一定无公共点，则α∥β.故D选项正确.【名师点睛】两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.【例3】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不确定【答案】C【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊂平面ABCD,C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1⊂平面CDD1C1,AB∥C1D1,但平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD与平面CDD1C1相交.3．对直线与平面相交的概念理解不透彻致误【例4】已知：直线a∥b，a∩平面α=P，求证：直线b与平面α相交.【错解】如图，因为a∥b，所以a，b确定一个平面，设该平面为β.因为a∩平面α=P，所以P∈a，P∈α,所以P∈β,即点P为平面α与β的一个公共点，由此可知α与β相交于过点P的一条直线，记为c，即α∩β=c.在平面β内，a∥b，a∩c=P.由平面几何知识可得b与c也相交，设b∩c=Q,则Q∈b，Q∈c.因为c⊂α，所以Q∈α,所以直线b与平面α相交.【错因分析】错解中对直线与平面相交的概念理解不透彻，误认为直线和平面相交就是直线和平面有一个公共点.【名师点睛】直线与平面相交，要求直线与平面有且只有一个公共点，即直线与平面有一个公共点且直线不在平面内，也就是直线既不与平面平行，又不在平面内.1．已知直线与直线垂直，，则与的位置关系是A．//B．C．相交D．以上都有可能2．如果空间的三个平面两两相交，那么A．不可能只有两条交线B．必相交于一点C．必相交于一条直线D．必相交于三条平行线3．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么 A ．α∥β B ．α与β相交 C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线均与a 异面B ．α内不存在与a 平行的直线C ．α内直线均与a 相交D ．直线a 与平面α有公共点 5．以下命题（其中a b ，表示直线，α表示平面）： ①若∥a b ，b α⊂，则∥a α； ②若∥a α，b α⊂，则∥a b ； ③若∥a b ，∥b α，则∥a α. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．36．若M ∈平面α，M ∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是 ． 7．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，试判断： （1）AM 所在的直线与平面ABCD 的位置关系； （2）CN 所在的直线与平面ABCD 的位置关系； （3）AM 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系； （4）CN 所在的直线与平面CDD 1C 1的位置关系.8．三个平面,,αβγ，如果,,∥a b αβγαγβ==,且直线,∥c c b β⊂.（1）判断c 与α的位置关系,并说明理由; （2）判断c 与a 的位置关系,并说明理由.9．若a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是 A ．∥b α B ．相交C ．b α⊂D ．b α⊂、相交或平行 10．已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线lA ．平行B ．垂直C ．相交D ．以上都有可能11．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号）12．如图所示，1111ABCD A B C D -是正方体，在图①中E ，F 分别是11D C ，1B B 的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．1 2 3 4 5 9 10 DADDADB3．【答案】D【解析】如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条a 1，a 2，…，a n ，…，它们是一组平行线．这时a 1，a 2，…，a n ，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l.另外也有可能αβ∥.故选D.4．【答案】D【解析】直线a 不平行于平面α，则a 在α内或a 与α相交，故A 错； 当a α⊂时，在平面α内存在与a 平行的直线，故B 错；α内的直线可能与a 平行或异面，故C 错；显然D 正确. 5．【答案】A【解析】若∥a b ，b α⊂，则∥a α或a α⊂，故①不正确； 若∥a α，b α⊂，则∥a b 或,a b 异面，故②不正确； 若∥a b ，∥b α，则∥a α或a α⊂，故③不正确．故选A ． 6．【答案】相交【解析】由公理3知，α与β相交．7．【解析】（1）AM 所在的直线与平面ABCD 相交．（2）CN所在的直线与平面ABCD相交．（3）AM所在的直线与平面CDD1C1平行．（4）CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．【答案】D【解析】三种情况如图（1）,（2）,（3）.10．【答案】B【解析】若直线l与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l平行，故A错误；若直线l∥平面α，则在平面α内不存在直线与l相交，故C错误；对于直线l与平面α相交，直线l与平面α平行，直线l在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，故选B.11．【答案】①【解析】如图，三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.证明：在图①中，因为直线EN ∥BF ，所以、、、B N E F 四点共面，又2EN BF ，因此EF 与BN 相交，设交点为M .因为M ∈EF ，且M ∈NB ，而EF ⊂平面AEF ，NB ⊂平面ABCD ，所以M 是平面ABCD 与平面AEF 的公共点．又因为点A 是平面AEF 和平面ABCD 的公共点，故AM 为两平面的交线． 在图②中，C 1M 在平面11CDD C 内，因此与DC 的延长线相交，设交点为M ，则点M 为平面11A C B 与平面ABCD 的公共点，又点B 也是这两个平面的公共点，因此直线BM 是两平面的交线．学！科网。
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
空间平面与平面的位置关系
空间平面与平面的位置关系在几何学中，空间平面与平面的位置关系是一个重要的研究课题。
正确认识空间平面与平面的位置关系，对于解决各类几何问题具有重要的指导意义。
本文将从不同的角度出发，探讨空间平面与平面的位置关系以及相应的几何定理和性质。
一、平行关系在空间几何中，两个平面若不相交，且它们的法向量平行，则称这两个平面是平行的。
平行的平面具有以下性质：1. 平行平面上的任意一点到另一平面的距离是相等的；2. 平行面之间的夹角是等于它们的法向量夹角的。
二、垂直关系在空间几何中，两个平面若它们的法向量相互垂直，则称这两个平面是垂直的。
垂直的平面具有以下性质：1. 垂直平面上的任意一条直线与另一平面的交线是垂直的；2. 垂直平面之间的夹角是直角。
三、相交关系在空间几何中，两个平面若有一条公共直线，则称这两个平面是相交的。
平面相交时，可以分为以下情况：1. 平面相交于一条直线，称为交线；2. 平面相交于一点，称为交点；3. 平面相交于无穷多点，称为部分重合。
四、位置关系除了平行、垂直、相交的关系外，空间平面与平面还可能存在其他的位置关系：1. 相互包含：一个平面完全位于另一个平面的内部，或者一个平面完全包含另一个平面的内部；2. 平行于同一直线：两个平面分别通过同一条直线，且这两个平面之间没有交点。
总结：空间平面与平面之间的位置关系是通过平行、垂直、相交等关系来刻画的。
这些关系以及相应的性质和定理，在解决几何问题时具有重要的应用价值。
通过以上对空间平面与平面的位置关系的讨论，我们可以看到几何学在研究和描述空间中各个图形的位置关系时，为我们提供了一种客观、明确的数学语言。
通过几何学的工具和方法，人们可以更好地理解和应用空间几何学，在解决实际问题中发挥着重要的作用。
本文提供了对空间平面与平面的位置关系的初步了解，但是由于篇幅和深度的限制，并未对每个关系进行详尽的论述和证明。
读者可以基于本文的探讨，进一步深入学习和理解空间几何学的相关知识，探索更多有关空间图形位置关系的问题。
人教版高中数学必修二 空间中直线与平面、平面与平面间位置关系 附答案解析
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系（课时过关·能力提升）基础巩固1.下图中表示两个相交平面正确的是()2.棱柱的任意两个侧面的位置关系是()A.相交B.平行C.平行或异面D.平行或相交3.已知M,N是点,l是直线,α是平面,M∈l,N∈l,N∉α,M∈α,则有()A.l∥αB.l⊂αC.l与α相交D.以上都有可能4.若直线a∥平面α,则下列说法比较准确的是()A.直线a与平面α内的一条直线不相交B.直线a与平面α内的两条相交直线不相交C.直线a与平面α内的无数条直线不相交D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交5.如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面()A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.一定重合6.已知平面α,β平行,a⊂α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.47.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一个平面的位置关系是.8.若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.9.指出如图所示的图形的画法是否正确,若不正确,请你画出正确的图形.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.能力提升1.如图,三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在的直线与平面BCC'B'的位置关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内2.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a与b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能★3.若直线l与平面α不平行,则下列结论正确的是()A.α内的所有直线都与直线l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内的直线与l都相交D.直线l与平面α有公共点4.过平面α外一点M,作直线l∥α,则这样的直线l有条.5.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是.6.已知直线a⊂平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a与β的位置关系是.7.下列命题正确的有.(只填序号)①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑤若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.★8.一刀切豆腐将豆腐切成2块,两刀切豆腐最多可将豆腐切成4块,问三刀切豆腐最多可将豆腐切成几块,怎么切?试作出图形.参考答案一、基础巩固,也可能没有公共点,则它们平行或相交.α内的一条直线b与直线a相交,设交点为P,则P∈b,而b⊂α,所以P∈α.又P∈a,则a∩α=P,这与a∥平面α矛盾,即假设不成立.故直线a与平面α内的所有直线不相交.ABCD-A1B1C1D1中举例说明.如图,在平面A1B1C1D1内与A1B1平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面A1B1C1D1∥平面ABCD;在平面ABB1A1内,与AB平行的无数条直线平行于平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,所以两个平面平行或相交.中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行,有一些是异面;②正确;③中直线a 与β内的无数条直线垂直;④根据定义a与β无公共点,正确.①②③的画法均不正确.正确的画法如图所示.AM所在的直线与平面ABCD相交;CN所在的直线与平面ABCD相交;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.二、能力提升,所以三条侧棱AA',BB',CC'的延长线交于一点,记为P,则直线AA'与平面BCC'B'相交于点P,且直线AA'在平面BCC'B'外.故选A.,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥平面AC,11平面AC,则有A1B1∩A1D1=A1;又D1C1∥平面AC,则有A1B1∥D1C1;取BB1和CC1的中点M,N,则MN∥B1C1,则MN∥平面AC,此时A1B1与MN异面,故选D.l与平面α不平行,则直线l与平面α相交或在平面α内.当直线l与平面α相交时,α内的直线与直线l相交或异面,所以选项A和C均不正确;当直线l在平面α内时,α内存在与l 平行的直线,所以选项B不正确.,可作该平面的无数条平行线,且这无数条直线都在过该点且与该平面平行的平面内..如图①②所示,分别为两个平面平行、相交的情形.a∥b,所以a与b无公共点.又因为a⊂α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点.故a与β平行.显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以③是错误的;④中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以④是正确的;⑤中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以⑤是错误的.,前两刀竖切,刀口为十字形,且切口竖直,第三刀横切,将每小块一分为二,共得8块,即三刀最多将豆腐切成8块..。
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
两个平面平行或相交的画法及表示 // =m m
2013-1-30
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
4
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
2013-1-30 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
B'
C
B
2
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
两个平面的位置关系 两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线． 分类的依据是什么？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
探究1 已知平面 、 ，直线a、b，且//，a， b，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
a
答：平行或异面
2013-1-30
b
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
5
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
探究2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有 多少条？画出图形表示你的结论.
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
平面与平面之间的位置关系
思考 （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左 右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
（2）如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个 面，两两之间的位置关系有几种？ D' C' A' D A
b β
γ
β
l
α 相交于一条交线
2.2.4平面与平面的位置关系
回想：直线和平面的平行问题是怎么处理的？ 回想：直线和平面的平行问题是怎么处理的？
线面平行” 直线和平面平行的判定是通过 “线面平行” 和 平行”的相互转化，实现了空间问题平面化. “线线平行”的相互转化，实现了空间问题平面化
实例：水平仪检查桌面是否水平？ 实例：水平仪检查桌面是否水平？
C A
E B1
D B
试一 试 P
E
.
C
A B
如图， 如图，有一块三棱锥形的木 料P－ABC，在一边 上有 － ，在一边PA上有 一个点E， 一个点 ，且AE＝2PE，现 ＝ ， 在木匠师傅想沿E点把木料 在木匠师傅想沿 点把木料 锯下，截得一个三棱台， 锯下，截得一个三棱台，问 如何下锯？为什么？ 如何下锯？为什么？
两平面相交 有一条公共直线 至少有一个公共点） （至少有一个公共点） 记 ： I β＝ 为 α a
记 ： 为 α
α
两平面没有公共点
β
β
α
D1
C1 B1
看看 说说
A1 D
C
A
B
你能在如图所示的长方体中分别找出 空间两个平面可能的位置关系吗？ 空间两个平面可能的位置关系吗？
想一 想
如何判别两个平面是否平行？ 如何判别两个平面是否平行？
2.2.4平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
回忆
？ 1)空间两条直线的位置关系有哪几种? 1)空间两条直线的位置关系有哪几种 空间两条直线的位置关系有哪几种?
平行直线 相交直线 异面直线
它们是按什么标准分类？ 它们是按什么标准分类？
2)直线与平面的位置关系有 哪几种 直线与平面的位置关系有 哪几种?
线在面内 线面平行 线面相交
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平面与平面之间得位置关系[学习目标]１、了解直线与平面之间得三种位置关系,会用图形语言与符号语言表示、2。
了解平面与平面之间得两种位置关系,会用符号语言与图形语言表示。
知识点一直线与平面得位置关系1。
直线与平面得位置关系(1)按公共点个数分类错误!(2)按直线就是否在平面内分类错误!思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”就是相同得意义吗？答不就是、前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行、知识点二两个平面得位置关系答这两条直线没有公共点,故它们得位置关系就是平行或异面.题型一直线与平面得位置关系例1 下列命题中,正确命题得个数就是( )①如果ａ,b就是两条直线,a∥ｂ,那么a平行于经过b得任何一个平面;②如果直线a与平面α满足a∥α,那么a与平面α内得任何一条直线平行;③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥ｂ;④如果平面α得同侧有两点A,B到平面α得距离相等,那么ＡB∥α。
A、0 B.2Ｃ、1 D.3答案C解析如图,在长方体ABCD—A′B′Ｃ′D′中,AA′∥BＢ′,ＡA′却在过BＢ′得平面ＡＢ′内,故命题①不正确;AA′∥平面B′C,BＣ⊂平面B′C,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面B′Ｃ,Ａ′D′∥平面Ｂ′C,但ＡＡ′与Ａ′D′相交,所以③不正确;④显然正确.故答案为C、跟踪训练1 以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b⊂α,则ａ∥α;②若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥ｂ;③若ａ∥b,b∥α,则ａ∥α;④若ａ∥α,ｂ⊂α,则ａ∥b、其中正确命题得个数就是()A。
０B、1C、２D。
3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′Ｃ′D′中,AＢ∥CD,AB⊂平面ABCD,但ＣD⊂平面ABＣＤ,故①错误;A′Ｂ′∥平面ＡBCD,B′C′∥平面ＡBＣD,但A′Ｂ′与B′C′相交,故②错误;AＢ∥A′B′,A′B′∥平面ＡＢＣD,但ＡB⊂平面ＡBCD,故③错误;A′B′∥平面ABCD,BC⊂平面ABＣD,但A′B′与BC异面,故④错误、题型二平面与平面得位置关系例２以下四个命题中,正确得命题有( )①在平面α内有两条直线与平面β平行,那么这两个平面平行;②在平面α内有无数条直线与平面β平行,那么这两个平面平行;③平面α内△AＢC得三个顶点在平面β得同一侧面且到平面β得距离相等且不为0,那么这两个平面平行;④平面α内两条相交直线与平面β内两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行.A.③④B。
②③④C。
②④ D.①④答案 A解析当两个平面相交时,一个平面内有无数条直线平行于它们得交线,即平行另一个平面,所以①②错误.跟踪训练2两平面α,β平行,a⊂α,下列四个命题:①a与β内得所有直线平行;②a与β内无数条直线平行;③直线a与β内任何一条直线都不垂直;④ａ与β没有公共点.其中正确得个数就是( )A。
１B。
２Ｃ、3 Ｄ、4答案B解析①错误,ａ不就是与β内得所有直线平行,而就是与β内得无数条直线平行,有一些就是异面;②正确;③错误,直线a与β内无数条直线垂直;④根据定义,a与β没有公共点,正确。
分类讨论思想例3 在正方体ABＣD－A１B１C1D１中,点Q就是棱ＤＤ１上得动点,判断过Ａ,Ｑ,Ｂ１三点得截面图形得形状。
分析决定过Ａ,Q,B１三点得截面图形得形状得因素就是动点Q,所以要对点Ｑ得位置进行分类讨论、解由于点Ｑ就是线段DＤ１上得动点,故①当点Q与点D1重合时,截面图形为等边三角形ＡB1D1,如图:②当点Q与点Ｄ重合时,截面图形为矩形AB1C1D,如图:③当点Q不与点D,D1重合时,截面图形为等腰梯形AQRB1,如图:1。
如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内得()A、一条直线不相交B。
两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线不相交2、下列命题中,正确得命题就是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥αB、若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行C。
若a⊂α,则a与α有无数个公共点D、若a⊄α,则a与α没有公共点3.下列命题中,正确得有( )①平行于同一直线得两条直线平行;②平行于同一个平面得两条直线平行;③平行于同一条直线得两个平面平行;④平行于同一个平面得两个平面平行。
A、1个B。
2个 C.3个D。
４个4.与两个相交平面得交线平行得直线与这两个平面得位置关系就是()A、都平行B。
都相交C.在两个平面内D。
至少与其中一个平面平行5、下列命题:①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;②若ｌ,m就是异面直线,ｌ∥α,m∥β,则α∥β、其中错误命题得序号为_＿_＿＿＿__。
一、选择题1、若a,b就是异面直线,且a∥平面α,则b与α得位置关系就是( )A、ｂ∥αﻩＢ.相交C、b⊂α D.b⊂α、相交或平行2。
与同一平面平行得两条直线()A。
平行ﻩB。
相交C.异面Ｄ。
平行、相交或异面３。
若直线a不平行于平面α,则下列结论成立得就是( )A.α内得所有直线均与a异面B。
α内不存在与ａ平行得直线C。
α内得直线均与a相交 D.直线ａ与平面α有公共点4.以下四个命题:①三个平面最多可以把空间分成八部分;②若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a与ｂ相交”与“α与β相交”等价;③若α∩β＝l,直线ａ⊂平面α,直线ｂ⊂平面β,且a∩b=P,则P∈ｌ;④若n条直线中任意两条共面,则它们共面、其中正确得就是()A、①② B.②③C。
③④D。
①③５、过平面外一条直线作平面得平行平面()A。
必定可以并且只可以作一个B。
至少可以作一个C、至多可以作一个D、一定不能作６。
下列命题正确得就是( )①两个平面平行,这两个平面内得直线都平行;②两个平面平行,其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面;③两个平面平行,其中一个平面内一条直线与另一个平面内得无数条直线平行;④两个平面平行,各任取两平面得一条直线,它们不相交、A.①Ｂ、②③④Ｃ.①②③Ｄ、①④7、在长方体AＢCＤA1B１Ｃ１D1得六个表面与六个对角面(面ＡA1C1C、面AＢＣ1D1、面ＡDC１Ｂ1、面BB１Ｄ１D、面Ａ1ＢＣＤ１及面Ａ1B1ＣD)所在得平面中,与棱AA1平行得平面共有( )A.2个B。
3个Ｃ。
4个D。
５个二、填空题8。
如果空间得三个平面两两相交,则下列判断正确得就是___＿_＿＿_(填序号)。
①不可能只有两条交线; ②必相交于一点;③必相交于一条直线; ④必相交于三条平行线.９、下列命题正确得就是＿__＿____。
①如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内得无数条直线垂直;②若直线ａ与平面α与平面β都平行,那么α∥β;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∩β＝b,a⊂α,则a与β一定相交、10.给出下列几个说法:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行。
其中正确有＿_＿＿＿__＿个。
三、解答题１1.如图,平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ＝a,β∩γ=b,判断a与b、ａ与β得关系并证明您得结论、1２。
如图,已知平面α∩β＝l,点A∈α,点Ｂ∈α,点C∈β,且A∉ｌ,B∉ｌ,直线AB与l不平行,那么平面ＡＢC与平面β得交线与l有什么关系？证明您得结论.当堂检测答案1。
答案Ｄ解析直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内得直线当然均无公共点、2、答案 C解析对于A,直线a与平面α有可能相交,所以A错;对于B,平面α内得直线与直线ａ可能平行,也可能异面,所以B错;对于D,因为直线a与平面α可能相交,此时有一个公共点,所以Ｄ错。
3.答案B解析②中,也有可能就是相交或异面,故②错误;③中,存在平行于两个相交平面得交线,且不在两个平面内得直线,故③错误。
4.答案 D解析这条直线与两个平面得交线平行,有两种情形,其一就是分别与这两个平面平行,其二就是在一个平面内且平行于另一个平面,符合至少与一个平面平行。
5、答案①②解析对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ＡＢCD—A1B1Ｃ1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1Ｃ1异面,而平面DCC1Ｄ1与平面AＡ1Ｄ１D相交,故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图所示,选D、2。
答案D解析与同一平面平行得两条直线得位置关系有三种情况:平行、相交或异面。
3、答案D解析若直线a不平行平面α,则a∩α＝A或ａ⊂α,故Ｄ项正确、4、答案 D解析对于①,正确;对于②,逆推“α与β相交”推不出“a与b相交",也可能a∥b;对于③,正确;对于④,反例:正方体得侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故④错。
所以正确得就是①③、５.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交与直线与平面平行。
当直线与平面相交时,不能作出符合题意得平面;当直线与平面平行时,可作出惟一得一个符合题意得平面、６。
答案B解析①不正确,因为这两条直线可能就是异面;②③④都正确,可根据线面平行得定义或面面平行得定义或观察几何体模型进行判断。
７.答案 B解析如图所示,结合图形可知AＡ1∥平面BB１C１Ｃ,AA１∥平面ＤD1Ｃ1C,ＡA1∥平面BＢ1ＤＤ.1二、填空题8。
答案①解析空间得三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线,这三条交线可能交于一点.9、答案①③解析对于①,如图,∴命题①正确;对于②,α、β也可能相交,②不正确;对于③,若a与ｂ相交,则α与β相交与条件矛盾,③正确;对于④,当ａ与b重合时,ａ在β内;当a∥b时,a∥β;当a与b相交时,ａ与β相交,④不正确.1０。
答案 1解析①当点在已知直线上时,不存在过该点得直线与已知直线平行,故①错误;②由于垂直包括相交垂直与异面垂直,因而过一点与已知直线垂直得直线有无数条,故②错误;③过棱柱得上底面内得一点任意作一条直线都与棱柱得下底面平行,所以过平面外一点与已知平面平行得直线有无数条,故③错误;④过平面外一点与已知平面平行得平面有且只有一个,故④正确、三、解答题11.解ａ∥b,ａ∥β、证明如下:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ＝b知ｂ⊂β且b⊂γ,∵α∥β,a⊂α,b⊂β,∴a、b无公共点。
又∵a⊂γ且b⊂γ,∴ａ∥b。
∵α∥β,∴α与β无公共点、又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β。
12。
解平面ABC与β得交线与l相交、证明如下:∵ＡB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,∴AB与l一定相交。
设AB∩l＝P,则P∈AB,P∈l、又∵AB⊂平面ABC,ｌ⊂β,∴P∈平面ABC,P∈β。