第三章 二自由度系统

两个振型向量正交类似两个坐标向量正交； 振型向量可以作为坐标基使用
由初始条件求振幅和初相位 老坐标初始条件
变换成新 坐标初始 条件
对应项代入公式 得振幅和初相位 方程的解
研究两阶振型之间的能量关系
两阶固有振 动能量和
振型之间相互独 立没有能量交换

如同相互垂直 的方向向量
可以作为线性空间 的一组基使用
解可表为振型 的线性组合
我们知道，三维空间中运动的质点沿相互垂直的三个方向的运动是相 互独立的，三个方向的能量彼此之间不相互交换，质点的总能量为三 个方向能量之和。如果将振型视为向量空间的一个方向向量，上面的 分析表明，振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动 和能量可以按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统 的各阶固有振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的， 彼此没有能量交换。 研究耦合摆解的振动特征
第一种取法
质量矩阵和刚度矩阵 都不是对角矩阵； 效果不理想。
第二种取法 线性变换
变换矩阵 动能无须变 换坐标
势能变换坐标
刚度矩阵为非对角矩阵 有条件成为对角矩阵 质量矩阵 对角矩阵 第二种取 法效果比 较理想
第三种取法
质量矩阵为非对角矩阵 有条件成为对角矩阵
刚度矩阵无须变换坐标，是对角矩阵 第三种取法效果也比较理想
耦合摆的振动规律
拍振现象
图 3—7
第三章知识点
核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。 矩阵形式运动微分方程；能量表达式求偏导得三矩阵对应元
素；耦合与非对角矩阵；解耦与对角矩阵；选择合适的坐标 系能使方程解耦；固有振动的规律；固有频率与振型一一对 应；振型图；广义特征值问题；频率方程；振型矩阵即是能 使方程解耦的线性变换矩阵；不同固有频率对应的振型权正 交；耦合摆与拍振规律。
第三章 二自由度系统
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车工程学院
§3.1 引言
多自由度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐
标才能描述其运动的振动系统； 各自由度之间相互联系“牵一发而动全身”——耦 合；求解多自由度系统的核心就是解耦； 第三章和第四章统属多自由度系统，为分散难度， 分工协作。第三章主要任务是通过实例引出概念， 展示物理直观；第四章主要任务是对多自由度系统 振动理论做数学上的完整描述，以示一般性。
几种常见的二自由度系统模型图
图 3—1
§3.2 运动微分方程
从具体例子开始， 研究运动方程及其特点
耦合元件
坐标微分方程
整理方程
向量矩阵表示 耦合元件参数
矩阵微分方程
用线性代数的方法简 化表达和运算
三矩阵对称性
与单自由度系统类似： 三元件参数决定性质
系统能量的 矩阵表达
图 3—2
与单自由度系统类似： 由能量方程求导列运动微分方程
基本算法： 1. 解频率方程得两个固有频率； 2. 分别回代两个固有频率至广义特征值问题； 3. 分别解相应的广义特征值问题得两个振型； 4. 由两个阵型构成振型矩阵即是能使方程解耦的变换矩阵； 5. 用振型矩阵进行线性变换使方程解耦，变成一组单自由度方程组； 6. 用单自由度系统的方法分别求解解耦方程组得到一组新坐标系下的 解； 7. 通过线性变换把新坐标系下的解变回得到老坐标系下的解（由振型 坐标线性表出）。
比较三种坐标取法： 后两种比较恰当 第一种不够理想
解耦就是切断联系 井水不犯河水
归纳梳理不同坐标下三矩阵的变换算法
寻找线性变换
变换矩阵
矩阵左乘右乘 成为对角矩阵
方程解耦的路线
要想解多自由度系 统微分方程
必须首先使 方程解耦
寻找线性 变换矩阵
三矩阵成为 对角矩阵
§3.4 无阻尼自由振动
类似单自由度 得到固有特性
通过变换矩阵得到 老坐标解的形式 由初始条件求振 幅和相位
两个坐标系下 初始条件变换
比较对应元素得 到振幅和初相位
由能量方程求导 得质量刚度矩阵
弹性势能加重力势能
能量方程两阶偏导得 质量刚度矩阵
解频率方程得两个固有频率
两个固有频率回 代得固有振型
两个固有振型构 成振型矩阵
验证两个振 型正交性
第三章习题
3.1
3.2 3.3
3.6
3.7
谢谢大家！
无阻尼自由振动解的特征
二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动


是简谐振动。 振动的特点是，系统的两个自由度以相同的频率振动，同 时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或，它 们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常 数。我们称这种振动为系统的固有振动。 固有振动时的频率称为系统的固有频率，坐标之比称为固 有振型，简称振型，振型与固有频率是一一对应的。 二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是两个 固有振动的线性组合。 直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系的图形， 称为振型图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注意求导自变量
三矩阵正定性
耦合元件的耦合特征： 不是对角矩阵！
解耦的特征： 变成对角矩阵！
解耦的方法： 途径： 选取恰当的坐标！ 通过坐标变换！
§3.3 不同坐标系下的运动微分方程
对三种广义坐标 取法进行比较
以具体例子 探寻怎样才 能解耦？
通过对能量方程求导列运动微分方程 质心上下移动 横梁转动 前后弹簧势能之和
上例振型图如图3—5所示:
图3—5
1、振型图的物理意义：横坐标表示系统各点的静平衡 位置，纵坐标表示各点的振幅比； 2、第二振型在弹簧k1上有一个始终保持不动的点，称 为节点）
利用固有振动特征直接求固有频率和振型
图3—4(a)
固有振动特征
广义特征值问题
频率方程
解频率方程
得两个固有频率
将一阶固有频率代回 方程得到一阶振型
将二阶固有频率代回 方程得到二阶振型
求解自由振动归结为求解固有频率和振型
求解自由振动固有频率和振型方法的一般性表述
固有振动特征
新坐标运动方程
新坐标解的形式
广义特征值问题
频率方程
得两个固有频率
分别将各阶固有频率 代回方程得到个子对 应的振型
固有频率和振型 是系统固有特性 由振型构成振型矩阵 就是要寻找的变换矩阵
老坐标下耦合
上节提出寻找变 换矩阵； 本节解决如何找 到变换矩阵。
变换到新坐标下解耦
解耦方程彼此独立 简化为新坐标下两 个单自由度系统 特殊的初始条件
新坐标下方程解
特殊的初始条件下能找到变换矩阵
特殊的初始条件
再变换成老坐标下方程 解 方程解的特征
特殊初始条件举例； 探寻解的特征。
由特殊初始条件扩 展到任意初始条件