数学建模第二章微积分方法建模--212传染病模型

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（3）的解为
i (t )
[
(
(1 i0
t 1 )1
,
)e( )t
]1 ,
i0
（4）
di
di
可以由（3）计算出使 dt 达最大的高潮期 tm 。（ dt 的
di
最大值 ( dt )m
在
i
2
时达到）。
课件
9
记
a
，可知
i ()
1
1 a
,
0 ,
a 1 a 1
课件
10
i(t)
i0
1 1 a
i0
0
t
(a 1)
i(t) a 1
a 1
0
t
(a 1)
课件
11
模型解释
可知 a（ a 刻画出该地区医疗条件和卫生水平）为
一个阈值，当 a 1 时，i(t) 0；当a 1时，i(t) 增减
性取决于i0
的大小，但其极限1
1 a
，且
a
愈大，它也愈
大。
课件
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模型（三）（SIR 模型） 模型假设 1、人群分为健康者，病人和移出者（病愈免疫者）， 三类人在时刻t 在总人数 N 中占比例分别为 s(t)，i(t) ， r(t)，即s(t) i(t) r(t) 1； 2、病人日接触率为 ，日治愈率，传染期间接触数 。
是由于没有考虑病人可以治愈，只有健康者变成病
人，病人不会再变成健康者的缘故。
课件
7
模型（二）（SIS 模型）
在模型（一）中补充假设
3、病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ，称为
日治愈率。
模型修正为（ t 时刻每天有 Ni 病人转变成健康者）
di
dt
i(1 i)
i
i(0) i0
（3）
课件
s(t)
s 。
课件
18
模型解释
1、1
是一个阈值，当 s0
1
时传染病会蔓延，s0
1
时
就不会蔓延；
2、 表明 愈小，愈大， 也愈小，从而愈有利。
注：重要参数 可由（8）中令i0 0（通常开始时i0很
小）得到估计值
出估计）
ln s0 ln s
s0 s
课件
（其中s0, s 可由实验得
19
模型应用
1、无论s0,i0如何，i 0，即病人终将消失。
2、最终未被感染的健康者比例 s 是方程
s0
i0
s
1
ln
s s0
0
在(0, 1 )内的单根。
（8）
课件
17
3、若 s0
1
，则当 s
1
时，i(t ) 达到最大值
im
s0
i0
1
(1
ln
s0 )
i(t)先增后减至 0。
4、若 s0
1
，则i(t)
0,
1、被传染比例的估计
x s0 s
由 i0 0, s0 1, 经（8），
x
1
ln(1
x s0
)
0
x
2s0
(s0
1
)
当该地区的卫生和医疗水平不变时， 就不变，这个
比例也不变。
课件
20
2、群体免疫和预防
由于当 s0
1
时不会蔓延，故降低
s0也是种手段。
由 i0
0 ， s0
1 r0
，于是 s0
1
可表示为 r0
（1）的解为
i(t)
1
1 ( 1 1)et
i0
（2）
课件
5
i(t)
1
1 2
i0
0
tm
t
di dt
di ( dt )m
0
1 2
1
i
课件
6
模型解释
1、当 i
1 2
时，
di dt
达最大值，这个时刻为
tm
1 ln( 1
i0
1)
即高潮到来时刻， 越大，则tm 越小。
2、当t 时，i 1，这即所有的人都被感染，主要
课件
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模型建立
i(t)随 t 变化规律仍同模型（二），对r(t)应有
N dr Ni ，且 ds di dr 0
dt
dt dt dtFra Baidu bibliotek
于是得到模型
di
dt
si
i
ds
dt
si
i(0) i0 , s(0) s0
课件
（5）
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从（5）中消去dt ，并注意到 的意义，可得
di ds
1
s
1
i |ss0 i0
求出（6）的解为
（6）
i
(s0
i0 )
s
1
ln
s s0
（7）
从（5）中无法得到 s(t) 和 i(t) 的解析解，转到 s i 相平
面上讨论解的性质。
课件
15
D (s,i) | s 0,i 0, s i 1
i 1
O
1/σ
0
σ
s 1
课件
16
可根据（5），（7）及上图分析 s(t),i(t),r(t) 的变化情况：
1 1
，即通
过群体免疫使初始时刻的移出者比例r0
1
1
，就可制
止传染病蔓延，但实际上难度很大，因为 越大，r0就
要越大（如 5，则r0 0.8，即有 80%以上人接受免
疫），而且这些人在人群中均匀分布。
课件
21
谢谢