平面向量的概念、运算及坐标表示(讲义及

平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）
➢ 知识点睛
一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有
，又有 的量叫做向量．
−−→
表示：a ， AB
−−→
模：向量 AB 的
叫做向量的模，记作 ．
2. 几个特殊的向量：
零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算
1
（几何意义）
加法 减法 数乘
定
义
求两个向量和的运算
向量a 加上向量b 的
， 即 a +(-b )=a -b
实数与向量的 积是一个向量，
记作λa
法
则
法则
法则
λa = λ a
当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a
的方向
；
当λ=0 时，λa =0
运算律 交换律：
λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=
a +
b =
结合律： a -b =a +(-b )
(a +b )+c =
λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b
三、向量相关定理
1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一
一个实数λ，使．
扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．
−−→−−→
① PA =λPB ；
−−→−−→−−→
②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；
−−→−−→−−→
③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．
2.平面向量基本定理
（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．
四、向量的坐标表示及运算
1.坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．
2.坐标运算
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法
−−→
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB
= ．（2）向量位置关系与坐标
a∥b ⇔ ⇔ ．
➢精讲精练
1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则
−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个
2.根据图示填空：
（1）a+b= ；
（2）c-a= ；
（3）a+b+d= ；
（4）f-a-b= ；
（5）c+d+e= ；
（6）g-c-d= ．
3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）
A.a∥b，且a 与b 方向相同
B.a=b
C．a=-b
D．a，b 无论什么关系均可
−−→−−→−−→
4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）
−−→
−−→
−−→
A．0 B．BE C．AD D．CF
−−→
−−→
−−→
5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则
a +
b +
c =（）
A．0 B．3 C． 2 D．2 2
−−→−−→−−→−−→
6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若
m，n 的长度恰好相等，则有（）
A．A，B，C 三点必在同一直线上
B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角
C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC 必为等腰直角三角形
−−→ −−→ −−→
7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）
A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线
C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线
8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，
−−→
−−→
−−→
若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）
A.
1
2 B.
1
3
C.
1
4
D．1
−−→
9.如图，平面内有三个向量OA
−−→
，OB
−−→
，OC
−−→
，其中OA
−−→
与OB 的
−−→
−−→
−−→−−→
夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，
−−→ OC = 2
−−→
，若OC
−−→
=λOA −−→
+μOB ，则λ+μ的值为．3
λ λ λ +λ 10.
已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1
AB ，
2 BE = 2
BC ．若 −−→
−−→ −−→ λ （ ， 为实数），则
3 的值为 DE = ．
1 AB +λ2
AC 1 2 1 2
−−→ 11.
如图，在△ABC 中，
1 −−→ −−→ −−→ −−→ ， ，若 =a ，
−−→
−−→
BD = DC 2
AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（
）
A ． 1 a + 1 b
B ． - 1 a + 1 b
3 3 2
4 C ． 1 a + 1 b
D ． - 1 a + 1 b
2 4
3 3
−−→
1 −−→ −−→ 1 −−
→ 12.
如图，在△AOB 中， OC = OA ，
OD 4 = OB ，AD 与 BC 2
−−→
相交于点 M ，设 OA −−→
OM =
．
−−→
=a ， OB
=b ，若以 a ，b 为基底，则
13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是
．
14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）
A．3a+b B．3a-b
C．-a+3b D．a+3b
15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，
μ∈R），则λ
=．μ
16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）
A．(-5，-10) B．(-4，-8)
C．(-3，-6) D．(-2，-4)
17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共
线，则m = ．
【参考答案】
➢知识点睛
一、平面向量的基本概念
−−→
1. 大小，方向，长度，AB
二、平面向量的线性运算
加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)
减法：相反向量
数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb
三、向量相关定理
1. b=λa
2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2
四、向量的坐标表示及运算
1. (x，y)
2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)
（1）(x2-x1，y2-y1)
（2）b=λa，x
2 =
y
2 =λ（x ，y ≠ 0 ）
x
1
y
1
➢精讲精练
1. B
2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e
3. A
4. D
5. D
6. C
7. A
8. A
9. 6
10. 1
2
11. B
12. 1 a +3 b
7 7
13. (2，2)
14. B
15. 4
16. B
17. -1
1 1。