浅谈数学中类比的作用

浅谈数学中类比的作用

类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致，类

比的对象则其相应的部分在某些关系上相似。类比在中学数

学教学中的作用大致体现在以下三个方面：

一、对同类问题进行归纳

同类问题，以一个对象为中心，把有类比关系的对象放在

一起进行归纳、对比。

教学中进行类比归纳，可以达到巩固知识，增强记忆，提

高学生思维准确的目的。Array例1、以下三个问题：

1.已知⊙A及

定点B（不在

⊙A上），在

⊙A上求点

2.已知直线l

及直线l外

两定点A、

B，在l上求点

3.已知抛物线

C及定点B

（B不在C

上），设C 的焦点是A ，在C 上求点

使它分别满足⑴到两点距离之和最小；⑵到A 、B 两点的长度之差最大。

这三个问题（假设所求的点都存在）不但每个问题在⑴与⑵的求解上存在类似，而且这三个问题的求解也有类似之处。分析如下：

以上的方法还可以推广到椭圆和双曲线中。 二、解题方法的移植

教学中运用方法移植，可拓宽学生思维空间，培养学生分析问题解决问题的能力。它是数学思维的一种基本方法。 例2、实数a 、b 、c 满足lgac ×lgbc=-1，求b

a 的范围。 本题的常规解法是化成以b

a 未知数的问题来解决, 本

题似乎行不通, 我们注意到结果与c 无关，而“△”法可消去一个未知数，我们来尝试“△”法。

解：显然a 、b 、c 同号且均不为零，lgaclgbc=-1可简化成 (lg|c|)2+(lg|a|+lg|b|)lg|c|+lg|a|lg|b|+1=0 由题意, lg|c|存在, 所以△≥0 即(lg|a|-lg|b|)2≥4 ∴lg 2b

a

≥或

lg 2b

a

-≤

∴b

a ≥100或0

a ≤

100

1

本题通过方法移植而得到解决。

例3、一盛水的圆锥(图甲), 水深是圆锥高的2

1。把它倒转

（图乙），则水深是圆锥高的多少？

由课本知识知道，平行与圆锥底面的截面面积与圆锥

底面积的比是截得圆锥高与原来圆锥高的比的平方，可推测截得圆锥与原来圆锥的体积比是对应高的比的立方，由圆锥体积公式可证出推测正确。 解：设水的体积为V 0，圆锥体积V ，倒转后水深h 0，圆锥高为h ，由题意：

3

021V V V ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

- ∴300)h

h (87V V == ∴2

7h h

3

0= 三、寻找解题方向

教学中这方面的类比训练，可帮助学生快捷的找到解决问题的方法。

例4、求边长为a 的正四面体内部一点到各面的距离和。 我们知道正三角形内一点到三角形三边距离和等于正三角形的高。本题所求的距离和是否为正四面体的高呢？如果确定了这个方向，在借助正三角形内一点到各边距离和方法的启示，很容易求出这个距离和为正四面体的高

a 3

6

。 例5、正数a 、b ，恒有

)b a (k ab

b a 223

3+>+，求k 的范围。

本题通过化归，实际上就是

ab

)b a (b a 2

2

33++的最小值问题。

由对称性，根据经验，当a=b 时，ab

)b a (b a 2

2

33++值最小，

也就是说

ab

)b a (b

a 22

3

3

++最小值为1。

确定了这个方向，就是要证ab )

b a (b a 2233+≥+（当a=b

时取“=”号）。而这个式子容易证明，这样

ab

)b a (b a 2233++

≥1恒成立。所以，k<1。

平时教学中注意对学生进行类比训练，可以培养学生思维的敏锐性和创造性，提高学生发现问题和解决问题的能力。