关于弹簧质量系统的讨论

不计m 的重力，旋转载荷为()022sin θω+=t r m F ，方便起见，可令初相位为零，得到：t r m F ωsin 22=，取静平衡位置为位移零点，建立关于M 的运动方程：

t F t r m kx x c x

M ωωsin sin 022==++ 解得：()()()()

1212

2

2

1sin exp 21sin φωζζωωωζωωφω+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=

t t X t k

F t x n n n

所以：

()()

()

()()

1

22

212

2

2

201sin exp 121sin φωζζωωζωωζωωφωω+----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=t t X t k

F

t x

n n n n

可以看出，加速度中包含两种频率成分：激励的频率和系统的固有频率（实际上

是由冲击载荷得到的频率，在无阻尼的时候等于固有频率，在有阻尼的时候略小于固有频率）

当时间稍长，自由振动即可认为大幅衰减，可以不考虑，只剩下激励频率。 不论哪种变换，对于激励频率ω所对应的幅值，都应该有：

2

2

2

2

021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∝n n

k

F X

ωωζωωω

有损伤时，即认为是n ω发生变化，由泰勒展开取一阶近似可得：

n n n

k F X ωωωζωωω∆'⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∝∆2

2

2

2

021

k

B (x )

k V

m

m

即：

设固有频率为20Hz ，即Hz 20=n f ，12667.1252≈==n n f πω 对于单自由度的弹簧质量系统，不妨令1kg =m ，可以得到：

N/m 158762

==n m k ω

设阻尼比0.1=ζ，则2522==n c m c ω，2.25==c c c ζ，注意，阻尼不发生变化是指c 不发生变化，而不是阻尼比不发生变化

下面讨论能使固有频率降低的两种情况：降低刚度或者增加质量 （1） 降低刚度

保持质量和阻尼比不变，刚度减少5%，即N/m 1508295.0==k k d 此时，8.122==

m

k d

dk ω （2） 增加质量

保持刚度和阻尼比不变，质量增加5%，即kg 05.1=d m 此时，123==

d

dm m k

ω 对于加速度频响：

2222

01⎪

⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=k c k m k F X

ωωω 画出频响函数：

对于多自由度系统，例如，一个三自由度的弹簧质量系统，考察刚度减少对其各点原点频响函数的影响。

2

不妨假设

kg 1321===m m m

刚度为N/m 10000,N/m 12000,N/m 11000321===k k k

比例阻尼系数分别为α=0.5，β=0.002（注意：如果阻尼过大的话会导致看不见共振频率所形成的波峰）

系统的微分方程可以直接写出：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--+--++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛00032133

3322221

32132132

1x x x k k k k k k k k k x x x C x x x m m m

求固有频率，即解矩阵K M 1

-的特征值，可以得到：

191,7.127,1.47321===ωωω 即Hz 4.30,Hz 3.20,Hz 5.7321===f f f 对应振型为：

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=27.072.064.0,61.039.069.0,74.058.033.0321φφφ

各阶模态质量，模态刚度，模态阻尼分别为

kg 1321===r r r m m m

N/m 36502N/m ,16317N/m ,2204321===r r r k k k kg/s 5.73kg/s,5.33kg/s,9.4321===c c c

所以，由r

r r r c j m k Y ωω+-=

2

1

可得原点频响函数：

ωωωωωωωωωj j j H 5.733650241.05.331631748.09.4220411.02

2

222211+-++-++-= ωωωωωωωωωj j j H 5.733650252.05.331631715.09.4220434.02

2

222222

+-++-++-=

ωωωj j j H 5.733650207.05.331631737.09.4220455.022

222233

+-+

+-++-= 下面对三种情况的损伤进行讨论： （1）1k 减少5%，即N/m 104501=k 则固有频率变为：

4.190,7.126,4.46321===ωωω 即Hz 3.30,Hz 2.20,Hz 4.7321===f f f 对应振型为：