数学竞赛模拟试题五

高中数学竞赛模拟试题五

一试

一、填空题

1．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=n n x x -+31

3，则∑=2005

1n n x = 2、一个七位数a ，其各位数字相加得到b ，已知a b -仍为一个七

位数，且a b -各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如

果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率

为 。

3．z 1、z 2分别在实轴和虚轴上运动，保持|z 1-z 2|=2恒定，而

z 3=z 1(1+i)-z 2i ，则|z 3|的最大值为_________.

4.在椭圆19

2522=+y x 中，F 是左焦点，点C 是左准

线上一点，过C 点的直线l 交椭圆于A 、

B 两点，

连结FA 、FB 、FC ，且︒=∠50FAB ，

︒=∠20FBA ，则=∠FCA __________________。

5．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自

然三数之积的最大正整数n 为__________.

6．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足

f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a

的所有整数a=__________.

7.设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，

最少者得到1支，最多者得到12支，则有 种不同的分法。

8、已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的菱形，侧棱长

为x ，60BAD ∠= ，1145A AB A AD ∠=∠= ，

当x =___________时，1AC ⊥平面1A BD ．

二、解答题

9、 已知ABC ∆中，AC=2AB.过点C 、A 分别作ABC ∆外接圆的切线，切点分别为C 和A ，若两条切线相交于点P 。直线BP 交圆于点

D. 求证：直线BP 平分 BAC

。

10．已知a, b, c ∈R +，且满足

c b a kabc ++≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k

的最小值。

11．已知a>0，函数f(x)=ax-bx 2,

（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明：a ≤2b ；

（2）当b>1时，证明：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a ≤2b

12、已知数列{}n a 满足1a a =，1(46)41021n n n a n a n ++++=

+． （Ⅰ）判断数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭

是否是等比数列，若是等比数列，请给出证明，若不是，请说明理由；

（Ⅱ）当1a =时，求数列{}n a 的前n 项和为n S ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明当3n ≥时，

34111110n S S S ++⋅⋅⋅+<． 二试

一、（50分）已知Q 为以AB 为直径的圆上的一点，Q ≠ A , B ，Q 在AB 上的投影为H ，以Q 为圆心，QH 为半径的圆与以AB 为直径的圆交于点C 、D ．证明CD 平分线段QH ．

二、（50分）设n c bx ax x x f n ,)(2+++=为自然数，

已知9)2(,6)1(,0)1(-=-==-f f f ，119)6(,4)3(=-=f f ，求)(x f ．

三、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？

四、（50分）设|X |为子集S X ⊂中元素的个数；又为X S -，是X 的补集；i C 是i a +对k 个参赛选手有相同的判决，证明.21b b a k -≥