单辉祖材料力学-2(第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能)

e_— 弹性应变 p — 残余应变（塑性）
冷作硬化对材料力学性能的影响
比例极限p 强度极限b 不变 残余变形p 例题
例：对低碳钢试样进行拉伸试验，测得其弹 性 模 量 E 200GPa , 屈 服 极 限 σ s 240MPa , 当试件横截面上的应力时 σ 300 MPa ，测得 3 轴向线应变 ε 3.5 10 ，随后卸载至 σ 0 ，此时，试样的轴向塑性应变（即残余应变 ） P = 。
锰钢没有屈服和局部变形阶 段 强铝、退火球墨铸铁没有明 显屈服阶段
共同点：
5%，属ห้องสมุดไป่ตู้性材料
无屈服阶段的塑性材料，以 p0.2作为其名义屈服极限（屈 服强度）。
p0.2
卸载后产生数值为 0.2%塑性应变（残 余应变）的应力值 称为名义屈服极限 （屈服强度）
例：对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常以卸载后 产生数值为 0.2% 的 所对应的应力作为屈服应 力，称为名义屈服极限，用表示 σ P 0.2 。
⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用 区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的 应力情况复杂，上述公式不再正确。
Ⅱ、圣维南原理
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距 离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
F F
F 2
影响区
F 2
影响区
F
F
F 2
F 2
}
12
3
有 限 F 元 结 果
应力均匀
h
x
(a)
F F
m m
m m
F
(b)
FN
x m m
FN F
F
(c)
FN
(a)
F
m
m
F
(b)
F
FN
m
FN
m m
m
FN F
F
(c)
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位臵，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值， 所绘出的图线可以表明轴力与截面位臵的关系， 称为轴力图。
F F F
F
F
FN
FN3
F


F
x
§2-3 拉压杆的应力与圣维南原理
思考： AB杆、AB 杆材料相同，AB杆截面面积大于 AB 杆， 挂相同重物，哪根杆危险？ 若 WC WC ，哪根杆危险？
A
A
B
B
C
C
Ⅰ、拉（压）杆横截面上的应力 m F F
m
F FN
m m m
FN


F
m
已知静力学条件
FN d A F
F A F
k
A
k
F
k k
p F
F F F cos p A / cos A A
0 cos
0 为拉(压)杆横截面上( 0 )的正应力。
总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：
p

p cos 0 cos 2 0 p sin 0 cos sin sin 2 2
Q235钢的主要强度指 标：
s 240MPa
b 390MPa
Q235钢的弹性指标：
E 200 ~ 210GPa
Q235钢的塑性指标： 20% ~ 30% 通常 5% 的材料称为塑性材料；
60%
5% 的材料称为脆性材料。
低碳钢拉伸破坏断面
三、其他金属材料在拉伸时的力学性能
FN,max FN2 50kN
例：画轴力图。 解：分段计算轴力 由平衡方程：
x AB段 FN1 qx F a BC段 FN2 F CD段 FN3 F
qF a
2F
A
q
x a
B
a
C
a
D
FN1
x FN 2
2F
F
画轴力图 • 轴力图：表示轴力沿杆轴 变化的图。 • 设正法
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
横截面1-1： 注意假设轴力为拉力
FR
1
FN1
FN1 10kN(拉）
A 1
横截面2-2：
FR A
F1 2 FN2
B 2
FN2 50kN(拉）
FR
1
F1=40kN
2 2
F2=55kN F3=25kN
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
横截面3-3：
a a' b' b c c' d' d
F
平面假设
原为平面的横截面在杆变形后仍为平面， 对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形， 因而横截面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长(缩短)变形是均匀的。 亦即横截面上各点处的正应力 都相等。

p
0 cos 2 0 sin 2 2
讨论： （1） 0
90 （2） 45 45
0
max 0 （横截面） 0 （纵截面） max 0 / 2 min 0 / 2
A
无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律
F F FN F
m m
m m
F FN
但荷载不仅在杆 内引起应力，还 要引起杆件的变 形。


F
c
m m
a' b'
a
b
d
c' d'
F
可以从观察杆件 的表面变形出发， 来分析内力的分 布规律。
现象
等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍 为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 F
0 0
（横截面） （纵截面）
90
§2-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性能 ——材料受力时在强度和变形方面所表 现出来的性能。
力学性能 取决于
内部结构
由试验方式获得 外部环境
本节讨论的是常温、静载、轴向拉伸（或压缩） 变形条件下的力学性能。
一 、材料的拉伸和压缩试验 拉伸试样
Ⅳ——缩颈（局部变形） 阶段
伸长量
为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为 材料的应力——应变曲线图。
图中：
FN A
A — 原始横截面面积
— 名义应力
l l
l — 原始标距
— 名义应变
拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点： Ⅰ、线性（弹性）阶段OB 此阶段试件变形完全是弹性 的，且与成线性关系
此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
FN3
3 3
FN3 5kN(压）
同理
F3
D E
4
4
F4
FN4 20kN(拉）
FN4
F4 E
FR
1
F1=40kN
2 2
F2=55kN F3=25kN
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
50 20
10 5
FN图(kN)
由轴力图可看出
E
E — 线段OA的斜率
比例极限p — 对应点A
弹性极限e — 对应点B
Ⅱ、屈服阶段
此阶段应变显著增加，但应力基本 不变—屈服现象。 产生的变形主要是塑性 的。
抛光的试件表面上可见 大约与轴线成45 的滑移 线。
屈服极限 s — 对应点 D（屈服低限）
Ⅲ、硬化（强化）阶段
此阶段材料抵抗变形的能 力有所增强。 此阶段如要增加应 变，必须增大应力
典型的脆性材料
铸铁试件在轴向拉伸时的破坏断面：
四、金属材料在压缩时的力学性能
压缩试样
l 1~ 3 圆截面短柱体 d l 1~ 3 正方形截面短柱体 b
低碳钢压缩时 — 的曲线
特点：
压缩
拉伸
1、低碳钢拉、压时的s以 及弹性模量E基本相同。
最大工作应力为
C 150kN 240
370
max 2 1.1MPa
Ⅲ、拉（压）杆斜截面上的应力
F
k k
F
F
k
F
k
由静力平衡得斜截面上的 内力： F F

F
k k
p F
p ?
F
F
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压） 变形后仍相互平行。 推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长 变形相同。 即斜截面上各点处总应力相等。
第二章 轴向拉压应力 与材料的力学性质
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
F
F
F
F
受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与 其轴线重合的外力F作用。
变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。 此类受轴向外力作用或合力作用线沿杆轴线的等 截面直杆称为拉杆或压杆。
§2-2 轴力与轴力图
求内力的一般方法——截面法 步骤： （1）截开； （2）代替； （3）平衡。
材料的强化 （应变硬化） 强度极限b —对应 点G (拉伸强度)， 最大应力
强化阶段的卸载及再加载规律
若在强化阶段卸载， 则卸载过程 关 系为直线。
e p
立即再加载时， 关系起初基本上沿 卸载直线上升直至 当初卸载的荷载， 然后沿卸载前的曲 线断裂—冷作硬化 现象。
F
a a' b' b
c c' d' d
F
F F FN 即
m
m
m
F FN

m
m m

F
FN d A A
A
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
FN A
适用条件： ⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横 截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面 假设不成立的某些特定截面, 原则上不宜用上式 计算横截面上的正应力。
Ⅳ、缩颈（局部变形）阶段 试件上出现急剧局部横截面 收缩—缩颈，直至试件断裂。
塑性（延性） — 材料能经受较大塑 性变形而不破坏的 能力 。 材料的塑性用延伸 率断面收缩率度量
延伸率:
l1 l 100% l
断面收缩率：
（平均塑性延伸率）
A A1 100% A
A1 — 断口处最 小横截面面积。
灰口铸铁轴向拉伸试验

b

断口与轴线垂直
灰口铸铁在拉伸时的 — 曲线 特点：
1、 — 曲线从很低应力水 平开始就是曲线；采用割线 弹性模量 2、没有屈服、强化、局部 变形阶段，只有唯一拉伸强 度指标b 3、延伸率非常小，断裂时 的应变仅为0.4%~ 0.5% ，拉 伸强度b基本上就是试件拉 断时横截面上的真实应力。
FN1 50kN
FN1 1 A1
150kN
C
370
240
5010 N (240mm) (240mm) 0.87MPa（压）
3
F
A F B 4000 F 3000 50kN
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN2 150kN
FN2 2 A2 150 103 N (370mm)(370mm) （压应力） 1.1MP a
(a)
F
m
m
F
(b)
F
FN
m
FN
x m m
m
(c)
F
(a)
F F
FN
m
m
m
F
(b)
FN
x m m
FN F
F
m
(c)
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与 杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
圆截面试样：
l 10d
或
或
l 5d
l 5.65 A
矩形截面试样： l 11.3 A
试验设备： 1、万能试验机： 用来强迫试样变形 并测定试样的抗力
2、变形仪：用来 将试样的微小变形 放大到试验所需精 度范围内
二、低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图
荷载
四个阶段： Ⅰ—线性（弹性）阶段 Ⅱ—屈服阶段 Ⅲ—硬化（强化）阶段
方位角α符号规定：x轴逆时针转向截面外法 线,α为正； 切应力τ的符号规定:将截面外法线沿顺时针转 90°,与该方向同向的切应力为正。

p
0 cos 2 0 sin 2 2
通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况， 成为该点处的应力状态。
对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上 一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为 单向应力状态。
12
3
x=h/4
x=h/2
x=h
圣维南原理： 力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布， 影响区的轴向范围约离杆端1～2个杆的横向尺寸。
例 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的 最大工作应力。已知 F =50 kN。
F 50kN 3000
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
A
F B 4000 F
n
F
A (f)
n B
例 试作图示杆的轴力图。
40kN 55kN 25kN 20kN 400
A
600
B
300
C
500
D
E
1800
解： 求支反力
FR
1
FR 10kN
2 2
F1=40kN
F2=55kN F3=25kN
3 4 4
F4= 20kN
A 1
B
C
3 D
E
FR
1
F1=40kN
2 2
F2=55kN F3=25kN
FN图
F
FN图
注意：
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体 前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或 用静力等效的相当力系替代。
(a)
F F
F F
(b)
n
m
F
A C
n n B
F
m m
C
n
B (a)
m
A
(d)
m m m m
FN=F
(b)
F
A
FN=0
(e)
A
FN=F
n n
F
B (c) A
FN=F