与圆有关的综合问题含解析

深化提能——与圆有关的综合问题

1．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2

＋y 2

＝1，若A ，B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值是( )

A.

2＋6

2

B. 3 C ．2

D.3＋1

解析：选C 如图所示，连接OA ，OB 和OC .∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，

OC ＝OC ，∴△OAC ≌△OBC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，在△OAC 中，

由正弦定理得OA sin 30°＝OC

sin ∠OAC ，∴OC ＝2sin ∠OAC ≤2，故|OC |

的最大值为2，故选C.

2．已知圆C 1：x 2

＋y 2

＋4ax ＋4a 2

－4＝0和圆C 2：x 2

＋y 2

－2by ＋b 2

－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1

b

2的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．9

解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2

＋y 2

＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2

的标准方程为x 2

＋(y －b )2

＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以－2a －

2

＋－b

2

＝2－1，得4a 2＋b 2

＝1，所以

1

a 2＋1

b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2

)＝5＋b 2

a 2＋4a 2

b

2≥5＋2 b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b

2，且4a 2＋b 2

＝1，即a 2＝16，b 2

＝13时等号成立．所以1a 2＋1b

2的最小值为9.

3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→

，则λ＋μ的最大值为( )

A ．3

B ．2 2 C. 5

D ．2

解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建

立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222

＋1

2

＝25

，

所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2

＝45

.

因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1＋255cos θ，2＋255sin θ.

又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→

＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨

⎪⎧

1＋

255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，

λ＋μ＝2＋255cos θ＋5

5

sin θ＝2＋sin(θ＋

φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π

2

＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.

4．(2019·拉萨联考)已知点P 在圆C ：x 2

＋y 2

－4x －2y ＋4＝0上运动，则点P 到直线l ：

x －2y －5＝0的距离的最小值是( )

A ．4 B. 5 C.5＋1

D.5－1

解析：选D 圆C ：x 2

＋y 2

－4x －2y ＋4＝0化为(x －2)2

＋(y －1)2

＝1，圆心C (2,1)，半径为1，圆心到直线l 的距离为|2－2－5|12＋22

＝5，则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D.

5．(2019·赣州模拟)已知动点A (x A ，y A )在直线l ：y ＝6－x 上，动点B 在圆C ：x 2

＋y 2

－2x －2y －2＝0上，若∠CAB ＝30°，则x A 的最大值为( )

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时，∠ACB 最大，此时|CA |＝4.点A 的坐标满足(x －1)2

＋(y －1)2

＝16，与y ＝6－x 联立，解得x ＝5或x ＝1，∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C.

6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2

＋y 2

＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝

21＋m

2

的最大值为2，

所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.

7．(2019·安徽皖西联考)已知P 是椭圆x 216＋y 2

7

＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x －3)2

＋

y 2＝14和(x ＋3)2＋y 2＝14

上的点，则|P Q|＋|PR |的最小值是________．