凸函数判定方法的研究要点

凸函数判定方法的研究

鸡冠山九年一贯制学校

张岩

2013年12月15日

目录

摘要 (ii)

关键词 (ii)

Abstract (ii)

Key words (ii)

前言 (iii)

一、凸函数的基本理论 (1)

1、预备知识 (1)

2、凸函数的概念及性质 (2)

二、凸函数的判定方法 (4)

（一）一元函数凸性的判定方法 (4)

1、利用作图判断函数凸性 (4)

2、其它判定方法 (5)

（二）多元函数凸性的判定方法 (8)

1、多元凸函数的有关概念 (8)

2、多元函数凸性的判定方法 (9)

三、凸函数几个其他判定方法 (12)

四、总结 (14)

参考文献 (14)

致谢 (15)

凸函数判定方法的研究

摘要:凸函数是一类非常重要的函数，借助它的凸性可以科学准确地描述函数图像，而且可以用于不等式的证明。同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，研究的内容非常丰富，研究的结果已在许多领域得到广泛的应用，因此凸函数及其性质以及凸性判定的充要条件的研究就显得尤为重要。本文首先给出了凸函数的一些基本概念和结论，然后针对一元和多元函数，对凸函数的判定做了研究和讨论，本文最后也给出几种新的判定凸函数的方法。

关键词：凸函数；梯度；Hesse 矩阵；泰勒定理

Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given.

Key words：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem

前言

提起凸函数,人们都会想起它的许多良好性质和在数学中的重要作用。的确,凸函数是一个十分重要的数学概念,它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。在数学分析和高等数学教材中,函数的凹性和凸性一直都占据着重要的位置,关于这两个性质的考查也常常见诸于练习和考试中.

凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析专攻的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用。凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。运筹学的创始人定义运筹学是：“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中的人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大的效益。随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。但是,凸分析的局限性也是很明显的,实际问题中的大量函数是非凸的,因此,各种广义凸函数的定义相继出现,特别是近年来,“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已成为引人注目的热门课题,它们是凸分析的拓广和发展。

本文主要从凸函数出发给出凸函数的一些简单性质及一些重要的性质，然后给出了凸函数的几个等价定义并加以说明，然后利用函数图象判定函数的凸性，接下来给出了一些一元函数的判定方法并结合实例给出了判定函数凸性的一些等价条件，接着给出多元函数的判定方法及其应用，最后，又介绍了判定函数凸性的几个其他的方法。

一、凸函数的基本理论

（一）预备知识

1.梯度：若n 元函数()f x 对自变量12(,,,)T n x x x x =…的各分量i x 的偏导数

()

i

f x x ∂∂(1,2,)i n =…都存在，则称函数()f x 在x 处一阶可导，并称向量 12()()()()(

,)T

n

f x f x f x f x x x x ∂∂∂∇=∂∂∂,..., 为函数()f x 在x 处的梯度或一阶导数。

2 . Hesse 矩阵：若n 元函数()f x 具有二阶偏导数，即2()

(,1,2,)i j f x i j n x x ∂=∂∂…,都

存在，则称矩阵

22211121222221

22

2222

1

2

()()()()()()()()()()n n n n n n f x f x f x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x f x f x f x x x x x x x ⎛⎫

∂∂∂

⎪∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪

∂∂∂

⎪∇=∂∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪

⎪ ⎪

∂∂∂

⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭

┅┅

┇┇┇┅

为()f x 在x 处的Hesse 矩阵（海色矩阵）。 3. 泰勒展式

（1）一阶泰勒展式：设()f x 在点_

x 处具有一阶连续偏导，则()f x 在点_

x 处的泰勒展开式

____

()()()()()f x f x f x x x x x ο=+∇-+-

其中_

()x x ο-为变量

_

x x -的高阶无穷小量_

()x x →，或者

_

_

()()()()T

f x f x f x x ξ=+∇-，其中_

_

()(01)x x x ξθθ=+-<<。

（2）二阶泰勒展式：设()f x 在点_

x 处二阶连续可微（或具有二阶连续偏导数），