2020-2020学年南通市如皋市高一上期末数学试卷(含答案解析)

2020-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．2020-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=x2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（x+）=2sin（2x++φ），∴g（x）=2sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（x）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）若a=，则y=2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（x﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（x+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）max==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为t=sinx+cosx=，x∈[0，]，所以t∈[1，]，sinxcosx=．…（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．【解答】（1）证明：设x1，x2是区间（0，）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（﹣）=，因为0＜x1＜x2＜，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，故2x1x2﹣1＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，（ⅰ）当x≥0时，4x+2•4x=3，即4x=1，所以x=0；（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+2•4x=3，即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，解得：4x=1或4x=，所以x=﹣或0；综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣；②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a x，其中a＞1，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2a x，其中a＞1，令t=a x，则t∈[，1），g（x）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。