初中数学三角形证明题经典题型训练汇总

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初中全等三角形经典题型50题(含答案)

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB;
所以:AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC
19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB
又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
初中全等三角形证明经典50题（含答案）
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE
即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6
又AD是整数,则AD=5
2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C

八年级数学全等三角形证明拔高集训(经典)

八年级数学全等三角形证明拔高集训(经典)1.如图所示，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BDE＝90，且AB＝CB，BD＝ED，连接AD并交BE于F，且AF＝DF，AD＝AB。

证明BE＝2CD。

2.在Rt△ABC中，∠BAC＝90，且AB＝AC。

点D和E 分别位于AC和CA的延长线上，且CD＝AE。

连接BD，过点A作AM⊥BD于M交BC于N，连接EN并延长交BD于F。

证明DF＝EF。

3.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90，点D在BC上，且AC＝DC。

连接AD，过点C作CE⊥___于E，点F在CE 的延长线上，连接DF。

若∠F＝45，证明AE＝EF。

4.如图所示，△ABC和△DAF都是等腰直角三角形，其中∠BAC＝∠DAF＝90，且AB＝AC，AD＝AF。

DF的延长线交BC于E，且∠AFC＝90.证明BE＝CE。

5.在Rt△ABC中，∠BAC＝90，且AB＝AC。

点E为AC 上一点，连接BE，过点A作AE⊥BE于H交BC于D。

点F也为AC上一点，且AE＝CF。

连接DF交BE于G，连接AG。

若AG平分∠CAD，证明AH＝AC。

6.如图所示，∠ACB＝∠CDE＝90，且AC＝BC，AB＝2CD＝2ED。

连接BD交CE于G，且GD＝GB。

F是AB的中点。

证明___。

7.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝BC。

AD、BE分别垂直于过点C的直线于D、E，延长BE至F。

连接CF，以CF为腰作等腰直角三角形GCF，使∠GCF＝90°，连接AG 交过点C的直线于H。

证明BF＝2CH。

8.在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在BC上，且AB＝BE＝CD。

点F是AE的中点，连接CF并延长交AB于G。

若AD＝BD，证明BG＝BD。

9.在Rt△ABC中，∠ABC＝90，且AB＝CB。

点E、O分别为BC、AC的中点，连接AE。

过点B作BG⊥AE于G交AC于M，过点A作AH⊥GO交其延长线于H。

全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 AD延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数，则AD=512.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证： CD - AB2为BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 。

所以三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）。

所以BF=EF, / CBF= / DEF 。

连接 BE 。

在三角形 BEF 中,BF=EF 。

所以 / EBF= / BEF 。

/ ABE= / AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形 ABF 和 / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF 。

所以/ C= / D , F 是 CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF 。

因又因为 / ABC= / AED 。

所以三角形 AEF 中， AB=AE,BF=EF, 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 / BAF= / EAF （ / 仁/ 2）。

A3因为 EB = EF ,CE = CE ，所以△ CEBCEF 所以/ B = / CFE 因为/ B +/ D = 180° / CFE + / CFA = 180° 所以/ D = / CFA 因为 AC 平分/ BAD 所以/ DAC = / FAC 又因为 AC = AC 所以△ ADC 也厶AFC ( SAS ) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形 ABCD 中，AB // DC ，BE 、CE 分别平分/ ABC 、/ BCD ，且点 E 在AD 上。

初二数学第一章全等三角形证明经典例题(含答案)

初二数学全等三角形证明经典例题1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD第1题图第2题图第3题图2、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC第4题图第5题图第6题图4、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD7、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C第7题图第8题图第9题图8、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

9、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C第10题图第11题图第12题图10、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BEF A E D C B PD A CB C D B AD B C B A C D F 2 1E ABC D E F 21 AD B CA B C D A12、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC第13题图第14题图第15题图第16题图13、如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．14、．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA15、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．16．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：17．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．第17题图第18题图第19题图第20题图18、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。

步骤二：连接线段 AX。

步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。

又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。

因此，∠AXB = ∠EXF。

步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。

因此，∠ABX = ∠EFX。

步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。

因此，AB = EF。

综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。

步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。

步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。

综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。

步骤二：连接线段 BC 和 EF。

八年级上册数学全等三角形证明题

八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。

（一）题目1。

1. 题目。

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。

求证：AF = EF。

2. 解析。

证明：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。

因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。

在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。

根据SAS（边角边）全等判定定理，可得△BDG≌△CDA。

所以BG = AC，∠G = ∠CAD。

又因为BE = AC，所以BG = BE。

所以∠G = ∠BEG。

因为∠BEG = ∠AEF（对顶角相等），所以∠AEF = ∠CAD。

所以AF = EF。

（二）题目2。

1. 题目。

如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BE = CF，∠B = ∠DEF。

求证：AC = DF。

2. 解析。

因为BE = CF，所以BE + EC = CF+EC，即BC = EF。

在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠DEF，BC = EF。

根据SAS全等判定定理，可得△ABC≌△DEF。

所以AC = DF。

（三）题目3。

1. 题目。

已知：如图，AB = CD，AE = DF，CE = FB。

求证：AF = DE。

2. 解析。

因为CE = FB，所以CE + EF = FB + EF，即CF = BE。

在△AEB和△DFC中，AB = CD，AE = DF，BE = CF。

根据SSS（边边边）全等判定定理，可得△AEB≌△DFC。

所以∠B = ∠C。

在△ABF和△DCE中，AB = CD，∠B = ∠C，BF = CE。

根据SAS全等判定定理，可得△ABF≌△DCE。

所以AF = DE。

（四）题目4。

1. 题目。

如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE = BD，BD的延长线与AE交于点F。

初一数学(下册) 有关三角形的证明必做经典题专项拓展训练

初一数学（下册）三角形的全等专项拓展训练1.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE。

试说明：∆ACD≌∆CBE。

2.如图，已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在同一条直线上，AD=FB。

试说明：∠A=∠F。

3.如图，已知AB=DC，AC=DB，试说明：∠A=∠D。

4.如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=CB，判断∠A与∠C的关系，并说明理由。

5.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，则∠BAE=∠CAD，为什么？6.已知：如图1，AB=DE，BC=EF，AF=DC。

试说明：AB//DE。

把图1变换成图2、图3后，上述说明的过程是否有变化？有什么变化？7.如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E。

试说明：BC=DC。

8.如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F。

试说明：AB=FC。

9.如图，在AEC和DFB中，E=F，点A，B，C，D在同一条直线上，有如下三个关系式：①AE//DF；②AB=CD；③CE=BF。

（1）请以其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的说法。

（用序号写出，书写形式：如果⊗⊗，那么⊗）（2）选择（1）中的一个说法，并说明该说法正确的理由。

10.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别为AE=1，CF=2，求EF的长度。

11.如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，CE与AB相交于点F。

（1）试说明：∆CEB≌ΔADC;（2）若AD=9，DE=6，求BE的长。

12.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC的边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O。

（1）求证：∆AEC≌∆BED（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数。

13.如图，在∆ABC和∆ABD中，AC与BD相交于E点，AD=BC，∠DAB=∠CBA。

八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O 。

求证：(1） △ABC ≌△AED ；（2) OB ＝OE 。

2、已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB ＝DC,BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证:OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF=CFFDCBA2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF,求证:AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F,交BC 于点G,交AB 的延长线于点E ，且AE=AC 。

求证：BG=FG题型3：直角三角形全等(余角性质)1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．求证：BD ＝CG ．2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点,分别过A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为E 、F 求证:EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中，︒=∠90ACB ,BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .（1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证: ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；（2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.5、如图:BE ⊥AC,CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB.求证:(1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

八年级三角形的证明题

八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。

求证：AD⊥BC。

- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。

- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。

- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。

- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。

- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。

2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。

- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。

- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。

- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。

- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。

3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。

求∠A的度数。

- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。

- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。

- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。

- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。

- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。

- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。

八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)

∴BC=ED．
全等三角形的判定与性质．
01
如图，在△ABC中， ∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且 DM=AC，过点M作 ME∥BC交AB于点E．求证： △ABC≌△MED。
02
证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME∥BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中， ∠B=∠MED ∠C=∠EDM DM=AC ，
∠D=∠B ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即
AE=CF．
全等三角形的判定与性质．
11.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证： Rt△ABE≌Rt△CBF；
证明：∵∠ABC=90°，
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
全等三角形的判定．
如图，在△ABC中， AB=AC，AD平分 ∠BAC．求证： ∠DBC=∠DCB．
解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴在△ACD和△ABD中 AB=AC ∠BAD=∠CAD
AD=AD ， ∴△ACD≌△ABD， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB．
：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC．
全等三角形的判定．
9.如图，已知点E，C在线段
BF上， BE=CF， AB∥DE， ∠ACB=∠F．
求证： △ABC≌△DEF
．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
全等三角形的判定与性质．

初二数学-全等三角形证明经典50题

初二数学几何证明1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD2.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90。

，求证：CD -AB2A3.已知：BC=DE，/ B= / E,Z C= / D, F 是CD 中点，求证:4.已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ，求证：/ B=2 / C7.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 ADD5. AE=AD+BE，求证: O6.8.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD 1 AB29.已知：BC=DE，/ B= / E,/ C= / D, F 是CD 中点，求证:12.已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB , / B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BECD=DE , EF//AB，求证:EF=AC10.已知：/ 1 = / 2,c12.如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD 上。

求证：BC=AB+DC。

D14.已知：AB=CD，/ A= / D，求证：/ B= / CB15. P 是/ BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB17.已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC18. （ 5 分）如图，在△ ABC 中，BD=DC ，/ 仁/2，求证：AD 丄 BC .19. （ 5分）如图，0M 平分/ POQ , MA 丄OP,MB 丄OQ , A 、B 为垂足，AB 交0M 于点N . 求证：/ OAB= /OBA16.已知/ ABC=3 / C ,Z 1 = / 2, BE 丄 AE ，求证:AC-AB=2BE20. （ 5分）如图，已知 AD // BC ,/ PAB 的平分线与/ CBA 的平分线相交于 E , CE 的连线交 AP 于D .求证：AD+BC=AB .（6分）如图，△ ABC 中，AD 是/ CAB 的平分线，且 AB=AC+CD ，求证：/ C=2/ B22. （6分）如图①，E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE 丄AC 于E , BF 丄AC 于F , 若AB=CD , AF=CE , BD 交 AC 于点 M .（1）求证：MB = MD , ME=MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由.23. （ 7分）已知：如图， DC // AB ，且DC =AE , E 为AB 的中点,（1）求证：△ AEDEBC.21.（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC夕卜，请再写出两个与△ AED的面积相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）：24. （7分）如图，△ ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F .求证：BD=2CE.25、（10分）如图: DF=CE AD=BC/ D=Z G 求证：△26、（10分）如图：AE、BC交于点M F点在AM上,求证：AM>^ ABC的中线。

(word完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总,文档

2021 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷一．选择题〔共20 小题〕1．〔 2021?涉县模拟〕如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE ，假设 CE=5， AC=12 ，那么 BE 的长是〔〕A 13B 10C 12D5．．．．2．〔 2021?淄博模拟〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角均分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A 5个B 4个C 3个D 2个．．．．3．〔 2021 秋 ?西城区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AD 是它的角均分线， AB=8cm ，AC=6cm ，那么 S△ABD： S△ACD =〔〕A 4：3B 3：4C 16： 9D 9：16．．．．4．〔 2021?丹东〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=40°，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE ，那么∠ CBE 的度数为〔〕A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．5．〔 2021?南充〕如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ， AB=BD ，那么∠B 的度数为〔〕A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．6．〔 2021?山西模拟〕如图，点O 在直线 AB 上，射线OC 均分∠ AOD ，假设∠AOC=35 °，那么∠BOD 等于〔〕A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．7．〔2021?雁塔区校级模拟〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直均分线交BC 边于 D ，假设 AB=10 ，AC=5 ，那么图中等于60°的角的个数是〔〕A 2B 3C 4D5．．．．8．〔 2021 秋 ?腾冲县校级期末〕如图，BD 是△ABC 的中线， AB=5 ， BC=3 ，△ABD和△ BCD 的周长的差是〔〕A 2B 3C 6D 不能够确定．．．．9．〔 2021 春 ?栖霞市期末〕在 Rt△ ABC 中，以以下图，∠C=90 °，∠ CAB=60 °，AD 均分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，那么 BC 等于〔〕D．．．．10．〔 2021 秋 ?博野县期末〕△ABC中，点O是△ ABC内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40 °，那么∠ BOC= 〔〕A 110°B 120°C 130°D 140°．．．．11．〔 2021 秋 ?潮阳区期末〕如图，点 P 在∠AOB 的均分线 OC 上，PF⊥ OA ，PE⊥ OB ，假设 PE=6，那么 PF 的长为〔〕A 2B 4C 6D8．．．．12．〔 2021 秋 ?马尾区校级期末〕如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直均分线，交 BC 于点D，交 AB 于点 E， AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm，那么△ ABC 的周长是〔〕A 13cmB 14cmC 15cmD 16cm．．．．13．〔 2021 秋 ?西城区期末〕如图，∠ BAC=130°，假设MP和QN分别垂直均分AB 和 AC ，那么∠ PAQ 等于〔〕A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．14．〔 2021 秋 ?东莞市校级期中〕如图，要用“HL〞判断Rt△ ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A．AC=A ′C′，BC=B ′C′B．∠ A=∠ A′，AB=A′B′C．AC=A ′C′，AB=A ′B′D．∠ B=∠ B′，BC=B′C′15．〔 2021 秋 ?淄川区校级期中〕如图， MN 是线段 AB 的垂直均分线， C 在 MN 外，且与 A点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，那么〔〕A BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥PC+AP．．．．16．〔 2021 秋 ?万州区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 上一点， BF=CD ，CE=BD ，那么∠ EDF 等于〔〕A90°﹣∠A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠A．．．．17．〔 2021 秋 ?泰山区校级期中〕如图，在△ ABC中，AB=AC，AD均分∠ BAC，那么以下结论不用然成立的是〔〕A ．△ ABD≌ △ACD B．AD 是△ ABC 的高线C．AD 是△ ABC 的角均分线D．△ ABC是等边三角形18．〔 2021 秋 ?晋江市校级月考〕如图，点P 是△ ABC 内的一点，假设PB=PC，那么〔〕A．点P在∠ ABC的均分线上B．点P在∠ ACB的均分线上C．点P在边AB的垂直均分线上D．点P在边BC的垂直均分线上19．〔 2021?河西区二模〕如图，在∠ ECF 的两边上有点B，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ ADF=75 °，那么∠ ECF 的度数为〔〕A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．20．〔2021 秋 ?盱眙县校级期中〕如图， P 为∠ AOB 的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N，连接 MN 交 OP 于点 D．那么① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND ．其中正确的有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个．．．．二．解答题〔共10 小题〕21．〔 2021 秋 ?黄浦区期末〕如图， ON 是∠AOB 的均分线， OM 、 OC 是∠ AOB 外的射线．（1〕若是∠ AOC= α，∠ BOC= β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC ．（2〕若是∠ BOC=90 °，OM 均分∠ AOC ，那么∠ MON 的度数是多少？22．〔 2021 秋 ?阿坝州期末〕如图，： E 是∠ AOB 的均分线上一点， EC⊥ OB ，ED ⊥OA ，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1〕求证： OE 是 CD 的垂直均分线．（2〕假设∠AOB=60 °，请你研究 OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．〔 2021 秋 ?花垣县期末〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，DE ⊥AB 〔E 在 AB 之间〕，DF ⊥BC ， BD=5 ， DE=3 ， CF=4，试求△ DFC 的周长．24．〔 2021 秋 ?大石桥市期末〕如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=CD ，AD=BD ，求∠BAC 的度数．25．〔 2021 秋 ?安溪县期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=α．（1〕直接写出∠ ABC 的大小〔用含α的式子表示〕；（2〕以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两点，并连接 BD、DE ．假设=30 °，求∠BDE 的度数．26．〔 2021 秋?静宁县校级期中〕如图，在△ ABC中，AD均分∠ BAC，点D是BC的中点，DE ⊥AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F．求证：〔 1〕∠ B= ∠ C．〔2〕△ ABC 是等腰三角形．27．〔 2021 秋 ?天津期末〕如图， AB=AC ，∠ C=67°，AB 的垂直均分线 EF 交 AC 于点 D，求∠ DBC 的度数．28．〔 2021 秋 ?高坪区校级期中〕如图，△ ABC 中， AB=AD=AE ， DE=EC ，∠ DAB=30 °，求∠ C 的度数．29．〔 2021 春 ?扶沟县校级期中〕阅读理解：“在一个三角形中，若是角相等，那么它们所对的边也相等．〞简称“等角同等边〞，如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的均分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交 AB 、 AC 于点 D 、E，请你用“等角同等边〞的知识说明DE=BD+CE ．30．〔 2021?龙岩质检〕如图， AD 是△ ABC 的均分线， DE ，DF 分别垂直 AB 、AC 于 E、F，连接 EF，求证：△AEF 是等腰三角形．2021 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参照答案与试题解析一．选择题〔共20 小题〕1．〔 2021?涉县模拟〕如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE ，假设 CE=5， AC=12 ，那么 BE 的长是〔〕A13 B 10 C 12 D 5．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分先依照勾股定理求出AE=13 ，再由 DE 是线段 AB 的垂直均分线，得出 BE=AE=13 ．析：解解：∵ ∠ C=90 °，答：∴AE=，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴BE=AE=13 ；应选： A．点此题观察了勾股定理和线段垂直均分线的性质；利用勾股定理求出AE 是解题的关评：键．2．〔 2021?淄博模拟〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠ A=36 °，BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角均分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A 5个B 4个C 3个D 2个．．．．考等腰三角形的判断；三角形内角和定理．点：专证明题．题：分依照条件和等腰三角形的判判定理，对图中的三角形进行解析，即可得出答案．析：解解：共有 5 个．答：〔 1〕∵ AB=AC∴ △ABC 是等腰三角形；〔 2〕∵ BD 、 CE 分别是∠ ABC 、∠ BCD 的角均分线∴ ∠EBC= ∠ ABC ，∠ ECB= ∠BCD ，∵ △ABC 是等腰三角形，∴ ∠EBC= ∠ ECB，∴ △BCE 是等腰三角形；〔 3〕∵∠ A=36 °， AB=AC ，∴ ∠ABC= ∠ACB= 〔 180°﹣36°〕=72 °，又 BD 是∠ ABC 的角均分线，∴ ∠ABD= ∠ ABC=36 °=∠ A，∴ △ABD 是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD 是等腰三角形．应选： A．点此题主要观察学生同等腰三角形判断和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档评：题．3．〔 2021 秋 ?西城区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AD 是它的角均分线， AB=8cm ，AC=6cm ，那么 S△ABD： S△ACD =〔〕A 4：3B 3：4C 16： 9D 9：16．．．．考角均分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：分第一过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF⊥ AC ，由 AD是它的角均分线，依照角均分线的性析：质，即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为12，可求得 DE 与 DF 的长，又由AC=6 ，那么可求得△ ACD 的面积．解解：过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF⊥ AC ，垂足分别为 E、 F〔1 分〕答：∵ AD 是∠ BAC 的均分线， DE⊥ AB ， DF ⊥AC ，∴ DE=DF ，〔3 分〕∴ S△ABD=?DE ?AB=12 ，∴ DE=DF=3 〔 5 分〕∴ S△ADC= ?DF ?AC=×3×6=9〔6分〕∴ S△ABD： S△ACD =12 ：9=4 ： 3．应选 A．点此题观察了角均分线的性质．此题难度不大，解题的要点是熟记角均分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．〔 2021?丹东〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=40°，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE ，那么∠ CBE 的度数为〔〕A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．考点：线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．解析：由等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40 °，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段AB 的垂直均分线交AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AE=BE ，既而求得∠ ABE 的度数，那么可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40 °，∴∠ ABC= ∠ C==70°，∵线段 AB 的垂直均分线交AB 于 D ，交 AC 于 E，∴A E=BE ，∴∠ ABE= ∠A=40 °，∴∠ CBE= ∠ABC ﹣∠ABE=30 °．应选： D．议论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．〔 2021?南充〕如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ， AB=BD ，那么∠B 的度数为〔〕A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2 ∠ CAD=2 ∠ B=2 ∠ C 的关系，利用三角形的内角和是 180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC ，答：∴∠B=∠ C，∵AB=BD ，∴ ∠BAD= ∠BDA ，∵CD=AD ，∴ ∠C=∠ CAD ，∵ ∠BAD+ ∠CAD+ ∠ B+ ∠ C=180°，∴5∠B=180 °，∴∠B=36 °应选： B．点此题主要观察等腰三角形的性质，解题的要点是运用等腰三角形的性质得出评：∠ BAD=2 ∠ CAD=2 ∠ B=2 ∠ C 关系．6．〔 2021?山西模拟〕如图，点O 在直线 AB 上，射线OC 均分∠ AOD ，假设∠AOC=35 °，那么∠BOD 等于〔〕A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．考角均分线的定义．点：分第一依照角均分线定义可得∠ AOD=2∠AOC=70°，再依照邻补角的性质可得析：∠ BOD 的度数．解解：∵射线 OC 均分∠DOA ．答：∴ ∠AOD=2 ∠ AOC ，∵ ∠COA=35 °，∴ ∠DOA=70 °，∴ ∠BOD=180 °﹣70°=110°，应选： B．点此题主要观察了角均分线定义，要点是掌握角均分线把角分成相等的两局部．评：7．〔 2021?雁塔区校级模拟〕如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，BA的垂直均分线交BC 边于 D ，假设 AB=10 ，AC=5 ，那么图中等于60°的角的个数是〔〕A 2B 3C 4D5．．．．考点：线段垂直均分线的性质．解析：依照条件易得∠ B=30°，∠ BAC=60°．依照线段垂直均分线的性质进一步求解．解答：解：∵ ∠ ACB=90°，AB=10，AC=5，∴ ∠ B=30 °．∴ ∠ BAC=90 °﹣ 30°=60 °∵ DE 垂直均分BC，∴ ∠ BAC= ∠ ADE= ∠ BDE= ∠ CDA=90 °﹣ 30°=60 °．∴ ∠ BDE 对顶角 =60°，∴图中等于60°的角的个数是4．应选 C．议论：此题主要观察线段的垂直均分线的性质等几何知识．线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个搜寻，做到不重不漏．8．〔 2021 秋 ?腾冲县校级期末〕如图，BD 是△ABC 的中线， AB=5 ， BC=3 ，△ABD和△ BCD 的周长的差是〔〕A 2B 3C 6D 不能够确定．．．．考点：三角形的角均分线、中线和高．专题：计算题．解析：依照三角形的中线得出AD=CD ，依照三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ ABC的中线，∴AD=CD ，∴△ ABD 和△BCD 的周长的差是：〔 AB+BD+AD 〕﹣〔 BC+BD+CD 〕 =AB ﹣BC=5 ﹣ 3=2．应选 A．议论：此题主要观察对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的要点．9．〔 2021 春 ?栖霞市期末〕在 Rt△ ABC 中，以以下图，∠C=90 °，∠ CAB=60 °，AD 均分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，那么 BC 等于〔〕．．．．考点：角均分线的性质．解析：由∠ C=90°，∠ CAB=60 °，可得∠ B 的度数，故 BD=2DE=7.6 ，又 AD 均分∠CAB ，故 DC=DE=3.8 ，由 BC=BD+DC求解．解答：解：∵ ∠ C=90 °，∠ CAB=60 °，∴ ∠ B=30 °，在 Rt△ BDE 中， BD=2DE=7.6 ，又∵AD 均分∠CAB ，∴ DC=DE=3.8 ，∴ BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4 ．应选 C．议论：此题主要观察均分线的性质，由能够注意到D到AB的距离 DE即为CD长，是解题的要点．10．〔 2021 秋 ?博野县期末〕△ ABC 中，点 O 是△ ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40 °，那么∠ BOC= 〔〕A110° B 120°C130° D 140°．．．．考角均分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．点：专计算题．题：分由， O 到三角形三边距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求析：出∠BOC 的度数．解解：由， O 到三角形三边距离相等，所以O 是内心，答：即三条角均分线交点， AO ， BO ， CO 都是角均分线，所以有∠ CBO= ∠ ABO=∠ ABC ，∠ BCO= ∠ ACO=∠ACB ，∠ABC+ ∠ ACB=180 ﹣40=140∠OBC+ ∠ OCB=70∠BOC=180 ﹣70=110°应选 A．点此题主要观察学生对角均分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．〔 2021 秋 ?潮阳区期末〕如图，点P在∠ AOB的均分线OC 上，PF⊥ OA ，PE⊥ OB ，假设 PE=6，那么 PF 的长为〔〕A 2B 4C 6D8．．．．考点：角均分线的性质；全等三角形的判断与性质．专题：计算题．解析：利用角均分线性质得出∠ POF=∠ POE，尔后利用 AAS 定理求证△ POE≌ △POF，即可求出 PF 的长．解答：解：∵ OC均分∠ AOB，∴ ∠ POF=∠ POE，∵PF⊥OA ， PE⊥ OB，∴∠ PFO=∠ PEO，PO 为公共边，∴ △ POE≌△ POF，∴PF=PE=6 ．应选 C．议论：此题观察学生对角均分线性质和全等三角形的判断与性质的理解和掌握，解答此题的要点是求证△POE≌ △ POF．12．〔 2021 秋 ?马尾区校级期末〕如图，△ ABC中，DE是AB的垂直均分线，交BC于点D，交 AB 于点 E， AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm，那么△ ABC 的周长是〔〕A13cm B 14cm C 15cm D 16cm．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分要求△ ABC 的周长，先有AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，依照线段垂直平析：分线的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+AD等于△ ACD 的周长，答案可得．解解：∵ DE 是 AB 的垂直均分线，答：∴ AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴ △ABC 的周长是 12+2=14cm ．应选 B点此题主要观察线段的垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把与未知联系起来是正确解答此题的关键．13．〔 2021 秋 ?西城区期末〕如图，∠ BAC=130°，假设MP和QN分别垂直均分AB 和 AC ，那么∠ PAQ 等于〔〕A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分依照线段垂直均分线性质得出BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B= ∠BAP ，∠ C=∠ QAC ，析：求出∠B+ ∠C，即可求出∠ BAP+ ∠ QAC ，即可求出答案．解解：∵MP 和 QN 分别垂直均分AB 和 AC ，答：∴ BP=AP ， CQ=AQ ，∴ ∠B= ∠ PAB，∠C=∠ QAC ，∵ ∠BAC=130 °，∴ ∠B+ ∠ C=180°﹣∠BAC=50 °，∴ ∠BAP+ ∠ CAQ=50 °，∴ ∠PAQ= ∠ BAC ﹣〔∠ PAB+∠ QAC 〕 =130°﹣50°=80°，应选： C．点此题观察了等腰三角形的性质，线段垂直均分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直均分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边同等角．14．〔 2021 秋 ?东莞市校级期中〕如图，要用“HL〞判断Rt△ ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A AC=A ′C′，B∠A=∠A′，．BC=B ′C′．AB=A ′B′C AC=A ′C′，D∠ B=∠ B′，．AB=A ′B′．BC=B ′C′考直角三角形全等的判断．点：分依照直角三角形全等的判断方法〔HL 〕即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′B′C′中，答：若是 AC=A ′C′， AB=A ′B′，那么 BC 必然等于 B ′C′，Rt △ABC 和 Rt△A ′B′C′必然全等，应选 C．点此题主要观察学生对直角三角形全等的判断的理解和掌握，难度不大，是一道基评：础题．15．〔 2021 秋 ?淄川区校级期中〕如图， MN 是线段 AB 的垂直均分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，那么〔〕A BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥PC+AP．．．．考点：线段垂直均分线的性质．解析：从条件进行思虑，依照垂直均分线的性质可得 PA=PB，结合图形知 BC=PB+PC ，经过等量代换获取答案．解答：解：∵点 P 在线段 AB 的垂直均分线上，∴PA=PB ．∵BC=PC+BP ，∴BC=PC+AP ．应选 C．议论：此题观察了垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答此题的要点．16．〔 2021 秋 ?万州区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 上一点， BF=CD ，CE=BD ，那么∠ EDF 等于〔〕A90°﹣∠A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠A．．．．考点：等腰三角形的性质．解析：由 AB=AC ，利用等边同等角获取一对角相等，再由 BF=CD ，BD=CE ，利用 SAS 获取三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等获取一对角相等，即可表示出∠ EDF ．解答：解：∵ AB=AC ，∴∠B=∠C°，在△BDF 和△CED 中，，∴ △ BDF ≌△ CED 〔SAS〕，∴ ∠ BFD= ∠CDE ，∴ ∠ FDB+ ∠EDC= ∠ FDB+ ∠ BFD=180 °﹣∠ B=180 °﹣=90°+ ∠A ，那么∠ EDF=180 °﹣〔∠ FDB+ ∠ EDC 〕=90 °﹣∠ A．应选 B．议论：此题观察了全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解此题的要点．17．〔 2021 秋 ?泰山区校级期中〕如图，在△ ABC中，AB=AC，AD均分∠ BAC，那么以下结论不用然成立的是〔〕A△ABD ≌△ B AD 是△ ABC． ACD．的高线C AD 是△ ABC D △ABC 是等．的角均分线．边三角形考点：等腰三角形的性质．解析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A 、在△ABD 和△ ACD 中，，所以△ABD ≌△ ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 均分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确；C、由条件可知 AD 为△ ABC 的角均分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=BC ，所以△ABC 不用然是等边三角形，所以 D 不正确；应选 D．议论：此题主要观察等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一〞的性质是解题的关键．18．〔 2021 秋 ?晋江市校级月考〕如图，点P 是△ ABC 内的一点，假设PB=PC，那么〔〕A点 P 在．∠ABC的平分线上C点 P在边 AB ．的垂直均分线上B点 P 在．∠ACB的平分线上D点P在边 BC ．的垂直均分线上解析：依照到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上由PC=PB 即可得出P 在线段 BC 的垂直均分线上．解答：解：∵ PB=PC，∴ P 在线段 BC 的垂直均分线上，应选 D．议论：此题观察了角均分线的性质和线段垂直均分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上，角均分线上的点到角的两边的距离相等．19．〔 2021?河西区二模〕如图，在∠ ECF 的两边上有点B，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ ADF=75 °，那么∠ ECF 的度数为〔〕A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．考等腰三角形的性质．点：分依照等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，渐渐推出∠ECF的度数．析：解解：∵ BC=BD=DA ，答：∴ ∠C=∠BDC ，∠ABD= ∠BAD ，∵ ∠ ABD= ∠ C+∠ BDC ，∠ ADF=75 °，∴3∠ ECF=75 °，∴∠ECF=25 °．应选： C．点观察了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．〔 2021 秋 ?盱眙县校级期中〕如图， P 为∠AOB 的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N，连接 MN 交 OP 于点 D．那么① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND ．其中正确的有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个考角均分线的性质．点：分由很易获取△ OPM≌ △ OPN，进而得角相等，边相等，进而得△ OMP≌ △ ONP，析：△ PMD ≌ △PND ，可得 MD=ND ，∠ODN= ∠ ODM=9O °，答案可得．解解： P 为∠AOB 的均分线OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN⊥OB 于 N答：连接 MN 交OP于点 D，∴ ∠ MOP= ∠NOP ，∠OMP= ∠ ONP ，OP=OP，∴ △OPM ≌△ OPN，∴MP=NP ，OM=ON ，又 OD=OD∴△OMD ≌ △ OND ，∴MD=ND ，∠ ODN= ∠ ODM=9O °，∴OP⊥ MN∴① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND 都正确．应选 D．点此题主要观察了角均分线的性质，即角均分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△OMD ≌ △OND 是解决此题的要点，证明两线垂直时常常经过证两角相等且互补来解决．二．解答题〔共10 小题〕21．〔 2021 秋 ?黄浦区期末〕如图，ON 是∠ AOB 的均分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．（1〕若是∠ AOC= α，∠ BOC= β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC ．（2〕若是∠ BOC=90 °，OM 均分∠ AOC ，那么∠ MON 的度数是多少？考点：角均分线的定义．解析：〔 1〕先求出∠ AOB= α﹣β，再利用角均分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；〔 2〕先利用角均分线求出∠ AOM=∠ AOC，∠ AON=∠ AOB，即可得出∠MON= ∠ BOC．解答：解：〔 1〕∵ ∠ AOC= α，∠BOC= β，∴ ∠ AOB= α﹣β，∵ON 是∠ AOB 的均分线，∴ ∠ AON= 〔α﹣β〕，∠ NOC= α﹣〔α﹣β〕=〔α+β〕；（2〕∵OM 均分∠AOC，ON 均分∠ AOB ，∴ ∠ AOM=∠AOC，∠ AON=∠ AOB，∴ ∠ MON= ∠ AOM ﹣∠AON=〔∠AOC﹣∠ AOB〕=∠ BOC=×90°=45°．议论：此题观察了角均分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的要点．22．〔 2021 秋 ?阿坝州期末〕如图，： E 是∠ AOB 的均分线上一点， EC⊥ OB ，ED ⊥OA ，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1〕求证： OE 是 CD 的垂直均分线．（2〕假设∠AOB=60 °，请你研究 OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直均分线的性质．专题：研究型．解析：〔 1〕先依照 E 是∠ AOB 的均分线上一点，EC⊥ OB， ED⊥OA 得出△ODE≌ △ OCE，可得出 OD=OC ，DE=CE ，OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE 是 CD 的垂直均分线；（2〕先依照 E 是∠ AOB 的均分线，∠AOB=60 °可得出∠ AOE= ∠ BOE=30 °，由直角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答：解：〔 1〕∵ E 是∠ AOB 的均分线上一点，EC⊥ OB ， ED⊥OA ，∴DE=CE ， OE=OE ，∴Rt△ ODE≌ Rt△ OCE，∴OD=OC ，∴△ DOC 是等腰三角形，∵ OE 是∠AOB 的均分线，∴OE 是 CD 的垂直均分线；〔 2〕∵OE 是∠ AOB 的均分线，∠AOB=60 °，∴ ∠ AOE= ∠ BOE=30 °，∵EC⊥ OB ，ED⊥ OA ，∴OE=2DE ，∠ ODF= ∠ OED=60 °，∴∠ EDF=30 °，∴DE=2EF ，∴OE=4EF ．议论：此题观察的是角均分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判断与性质，熟知以上知识是解答此题的要点．23．〔 2021 秋 ?花垣县期末〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，DE ⊥AB 〔E 在 AB 之间〕，DF ⊥BC ， BD=5 ， DE=3 ， CF=4，试求△ DFC 的周长．考点：角均分线的性质．解析：依照角均分线的性质可证∠ ABD=∠ CBD，即可求得∠ CBD=∠ C，即BD=CD，再依照角均分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF ，即可解题．解答：解：∵ ∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，∴ ∠CBD= ∠C，∴ BD=CD ，∵ BD 均分∠ABC ，∴ DE=DF ，∴ △DFC 的周长 =DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．议论：此题观察了角均分线上点到角两边距离相等的性质，观察了角均分线均分角的性质，观察了三角形周长的计算，此题中求证DE=DF 是解题的要点．24．〔 2021 秋 ?大石桥市期末〕如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=CD ，AD=BD ，求∠BAC 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：由AD=BD得∠ BAD=∠ DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠ DBA，∠DBA= ∠ C，进而可推出∠ BAC=3 ∠ DBA ，依照三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，进而不难求得∠ BAC 的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD= ∠ DBA=x °，∵AB=AC=CD∴ ∠ CAD= ∠ CDA= ∠ BAD+ ∠DBA=2x °，∠DBA= ∠C=x °，∴ ∠ BAC=3 ∠ DBA=3x °，∵ ∠ ABC+ ∠ BAC+ ∠ C=180°∴5x=180 °，∴∠ DBA=36 °∴∠ BAC=3 ∠ DBA=108 °．议论：此题主要观察学生同等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答此题的要点．25．〔 2021 秋 ?安溪县期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=α．（1〕直接写出∠ ABC 的大小〔用含α的式子表示〕；（2〕以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两点，并连接 BD、DE ．假设=30 °，求∠BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：〔1〕依照三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；〔 2〕依照等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠ BDC，再求出∠ CBD，尔后依照∠ ABD= ∠ ABC ﹣∠ CBD ，求得∠ABD ，再依照三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：〔 1〕∠ ABC 的大小为×〔 180°﹣α〕 =90°﹣α；〔 2〕∵ AB=AC ，∴ ∠ABC= ∠ C=90 °﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得： BC=BD=BE ，由 BC=BD 得∠ BDC= ∠ C=75°，∴∠CBD=180 °﹣ 75°﹣75°=30°，∴ ∠ABD= ∠ABC ﹣∠CBD=75 °﹣30°=45°，由 BD=BE 得．故∠BDE 的度数是°．议论：此题观察了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的要点．26．〔 2021 秋?静宁县校级期中〕如图，在△ ABC中，AD均分∠ BAC，点D是BC的中点，DE ⊥AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F．求证：〔 1〕∠ B= ∠ C．〔2〕△ ABC 是等腰三角形．考等腰三角形的判断．点：分由条件可得出 DE=DF ，可证明△ BDE ≌△ CDF ，可得出∠ B=∠ C，再由等腰三角析：形的判断可得出结论．解证明：〔 1〕∵AD 均分∠BAC ，DE ⊥ AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F，答：∴ DE=DF ，在 Rt△BDE 和 Rt△ CDF 中，，∴ Rt△BDE ≌ Rt△ CDF 〔HF〕，∴ ∠B=∠C；〔 2〕由〔 1〕可得∠ B=∠ C，∴ △ABC 为等腰三角形．点此题主要观察等腰三角形的判断及全等三角形的判断和性质，利用角均分线的性质评：得出 DE=DF 是解题的要点．27．〔 2021 秋 ?天津期末〕如图， AB=AC ，∠ C=67°，AB 的垂直均分线 EF 交 AC 于点 D，求∠ DBC 的度数．考点：线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．解析：求出∠ ABC ，依照三角形内角和定理求出∠A，依照线段垂直均分线得出AD=BD ，求出∠ ABD ，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC ，∠ C=67 °，∴ ∠ ABC= ∠ C=67 °，∴ ∠ A=180 °﹣ 67°﹣ 67°=46°，∵ EF 是 AB 的垂直均分线，∴ AD=BD ，∴ ∠ A= ∠ ABD=46 °，∴ ∠ DBC=67 °﹣ 46°=21 °．议论：此题观察了线段垂直均分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判断等知识点，要点是求出∠ ABC和∠ ABD的度数，题目比较好．28．〔 2021 秋 ?高坪区校级期中〕如图，△ ABC 中， AB=AD=AE ，DE=EC ，∠ DAB=30 °，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：第一依照 AB=AD=AE ，DE=EC ，获取∠ B= ∠ADB ，∠ ADE= ∠ AED ，∠C=∠EDC ，进而获取∠ ADE= ∠ AED= ∠ C+∠ EDC=2 ∠ C，依照∠ DAB=30 °，求得∠B= ∠ ADB=75 °，利用∠ ADC= ∠ ADE+ ∠ EDC=3 ∠ C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE ，DE=EC ，∴ ∠B= ∠ADB ，∠ADE= ∠AED ，∠ C=∠EDC ，∴ ∠ADE= ∠AED= ∠ C+∠ EDC=2 ∠ C，∵ ∠DAB=30 °，∴ ∠B= ∠ADB=75 °，∴ ∠ADC= ∠ADE+ ∠EDC=3 ∠C=105 °，∴ ∠C=35 °．议论：此题观察了等腰三角形的性质，解题的要点是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．〔 2021 春 ?扶沟县校级期中〕阅读理解：“在一个三角形中，若是角相等，那么它们所对的边也相等．〞简称“等角同等边〞，如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的均分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交 AB 、 AC 于点 D 、E，请你用“等角同等边〞的知识说明DE=BD+CE ．考等腰三角形的性质．点：专证明题．题：分由 DE ∥BC， BF 均分∠ABC ，CF 均分∠ ACB 可知， DB=DF ，CE=EF ．即可得出析：结论．解证明：∵ BF 均分∠ABC 〔〕， CF 均分∠ACB 〔〕，答：∴ ∠ABF= ∠ CBF，∠ ACF= ∠FCB ；又∵DE 平行 BC 〔〕∴ ∠DFB= ∠ FBC 〔两直线平行，内错角相等〕，∠ EFC=∠ FCB〔两直线平行，内错角相等〕，∴ ∠DBF= ∠ DFB ，∠ EFC= ∠ECF〔等量代换〕∴DF=DB ， EF=EC 〔等角同等边〕∴DE=BD+CE ．点此题观察学生同等腰三角形的判断与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．〔 2021?龙岩质检〕如图， AD 是△ ABC 的均分线， DE ，DF 分别垂直 AB 、AC 于 E、F，连接 EF，求证：△AEF 是等腰三角形．考等腰三角形的判断；全等三角形的判断与性质．点：专证明题．题：分依照角均分线的性质知∠BAD=∠ CAD；尔后依照条件“DE，DF分别垂直AB 、析：AC 于 E、 F〞获取∠ DEA= ∠ DFA=90 °；再加上公共边AD=AD ，进而证明，△ ADE ≌ △ ADF ；最后依照全等三角形的对应边相等证明△ AEF的两边相等，所以△AEF 是等腰三角形．解证明：∵ AD 是△ABC 的均分线，答：∴ ∠BAD= ∠CAD ，〔3 分〕又∵DE ，DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E， F∴ ∠DEA= ∠ DFA=90 °〔 6 分〕又∵AD=AD ，∴ △ ADE ≌△ ADF ．〔 8 分〕∴ AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形〔10 分〕点此题综合观察了等腰三角形的判断、全等三角形的判断与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判判定理ASA 判断△ ADE ≌ △ ADF ．。

(完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总

2015年 05月 03日初中数学三角形证明组卷．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（）2 ．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）4．（ 2014?丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（）C 12D53．（ 2014 秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中， AD 是它的角平分线， A B=8cm ，AC=6cm ，C 16 ： 9D 9： 163：4WORD格式可编辑A 70°B 80°C 40°D 30°度数为（）6．（2014? 山西模拟）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD ，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 BC 边于8．（2014 秋? 腾冲县校级期末）如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）5．（ 2014? 南充）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点，CD=AD ， AB=BD ，则∠ B 的C 40D 45A 145°B 110C 70°D 35°60°的角的个数是（C4D5等于（）D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于9．（2014春? 栖霞市期末）在 Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，则 BC 等于（10 ．（ 2014秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°B3 C6D 不能确定B 7.6cm 11.4cmD 11.2cm11 ．（2013秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，A 3.8cm若 PE=6，则 PF 的长为（12 ．（ 2013秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（）16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ，C 15cmD 16cm13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 等于（）14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用条件是（），若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ80°D 105°HL ”判定 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的B ．∠A=∠A ′， AB=A ′B ′ D ．∠B=∠B ′， BC=B ′C ′15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， M N 是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（）A BC > PC+APB BC <PC+APC BC=PC+APD BC ≥ PC+APCE=BD，那么∠ EDF等于（）不一定成立的是（）B ． 90°﹣ ∠AC ． 180°﹣∠AD45°∠A17．（ 2014 秋 ? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论A ． △ABD ≌△ ACDC ． AD 是△ ABC 的角平分线B ． AD 是△ ABC 的高线D ．△ABC 是等边三角18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（A ．点 P 在∠ABC 的平分线上 C ．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 B ．点 P 在∠ ACB 的平分线上 D ．点 P 在边 BC 的垂直平分线上19．（ 2013? 河西区二模）如图，在∠ECF 的两边上有点 B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°， C 25° D 30°A 90°﹣∠A20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ， PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②MO=N ，O ③OP ⊥MN ，④MD=N ．D 其中正确的有（）．解答题（共 10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知 ON 是∠AOB 的平分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．1）如果∠ AOC α= ，∠ BOC β= ，请用含有 α，的式子表示∠ NOC ．那么∠ MON 的度数是多少？A 1 个2）如果∠ BOC=9°0 ， OM 平分∠ AOC ，22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、 D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点 F ．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C ， BD 平分∠ ABC ，DE ⊥AB（ E 在 AB 之间），DF ⊥BC ，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC 的周长．24 ．（ 2014 秋? 大石桥市期末）如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=C ，DAD=BD ，求∠BAC 的度数．EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α 的式子表示）；分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28 ．（2013秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E30．（2011? 龙岩质检）如图，AD是△ ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△ AEF 是等腰三角形．2015年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（）考线段垂直平分线的性质．点：分先根据勾股定理求出 AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13．析：解解：∵∠ C=90°，答：∴A E=，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE=1；3 故选： A ．点本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出 AE 是解题的关评：键．2．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．C 12D5点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，析：解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角平分线∴∠ EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°，AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB= （180°﹣36°）=72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD是等腰三角形．故选：A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，评：题．3．（2014秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中，AD是它的角平分线，考角平分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：C 16 ：9 D 9：16即可得出答案．属于中档AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）3：4分首先过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质，析：即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则可求得△ ACD 的面积．解解：过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ⋯（ 1 分）答： ∵AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=D ，F ⋯（ 3 分） ∴S △ABD= ? DE? AB=12， ∴DE=DF=⋯3 （ 5 分）∴S △ADC= ? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S △ABD ： S △ACD =12： 9=4： 3．点此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014? 丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，可得 AE=BE ，继而求得∠ ABE 的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，A 70°B 80°C 40D 30°故选 A ．∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=∠2 B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=A，D∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出评：∠BAD=2∠CAD=∠2 B=2∠C 关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD 等于（）A 145°B 110C 70°D 35°考角平分线的定义．点：分首先根据角平分线定义可得∠ AOD=∠2 AOC=7°0 ，再根据邻补角的性质可得∠ BOD 析：的度数．解解：∵射线 OC 平分∠ DOA ．答： ∴∠ AOD=∠2 AOC ，∵∠ COA=3°5 ， ∴∠ DOA=7°0 ，∴∠ BOD=18°0 ﹣70°=110°，故选： B ．点此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．评：7．（ 2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（）考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠ B=30°， ∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ ACB=90°， AB=10， AC=5，∴∠ B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE 垂直平分 BC ，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=9°0 ﹣30°=60°． ∴∠BDE 对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是 4．故选 C ．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末）如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）BC 边于C4 D5考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ABC的中线，∴AD=C，D∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+A）D ﹣（BC+BD+C）D=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春? 栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点 D 到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（考点：角平分线的性质．分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B 的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.，8 ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.．4 故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB 的距离DE即为CD长，是解题的关键．B3 C6 D 不能确定B 7.6cm 11.4cm D 11.2cmA 3.8cm10．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．计算题．由已知， O 到三角形三边距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．解解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以 O 是内心，答：即三条角平分线交点，AO ， BO ，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO ∠= ABO= ∠ABC ，∠ BCO ∠= ACO= ∠ACB ， ∠ABC+∠ACB=18﹣0 40=140 ∠OBC ∠+ OCB=70 ∠BOC=18﹣0 70=110° 故选 A ．点此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠ POF=∠POE ，然后利用 AAS 定理求证△ POE ≌△ POF ，即可求出 PF 的长．考点专题分）4解答：解：∵ OC 平分∠ AOB ，∴∠ POF=∠POE ， ∵PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PFO=∠PEO ， PO 为公共边，∴△ POE ≌△ POF ， ∴PF=PE=6．故选 C ．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ POE ≌△ POF ．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（）考线段垂直平分线的性质．点：分要求△ ABC 的周长，先有 AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，根据线段垂直平分线析：的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+A 等D 于△ ACD 的周长，答案可得．解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答： ∴AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ ABC 的周长是 12+2=14cm ．故选 B点此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 ，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠PAQ 等于（）考点：线段垂直平分线的性质．点：分析：根据线段垂直平分线性质得出 BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B=∠BAP ，∠C=∠QAC ，求出 ∠B+∠C ，即可求出∠ BAP+∠QAC ，即可求出答案．C 15cmD 16cmC 80°D 105°A 13cmB 14cm A 50° B 75解解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，答： ∴BP=AP ， CQ=AQ ，∴∠B=∠PAB ，∠C=∠QAC ，∵∠ BAC=13°0 ， ∴∠B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=5°0 ， ∴∠PAQ=∠BAC ﹣（∠ PAB+∠QAC ）=130°﹣50°=80°，故选： C ．点本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“ HL ”判定AB=A ′B ′ ． BC=B ′C ′考直角三角形全等的判定．点：分根据直角三角形全等的判定方法（ HL ）即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′中，答：如果 AC=A ′C ′， AB=A ′B ′，那么 BC 一定等于 B ′C ′，Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′一定全等，故选 C ．点此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基评：础题．15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图，在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（考点：线段垂直平分线的性Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的MN 是线段 AB 的垂直平分线，）C 在 MN 外，且与 A 点C BC=PC+APD BC ≥ PC+APC AC=A ′ C ′，D ∠ B=∠B ′，B BC < PC+AP分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB ，结合图形知 BC=PB+P ，C通过等量代换得到答案．解答：解：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB ．∵BC=PC+B ，P ∴BC=PC+A ．P 故选 C ．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ， CE=BD ，那么∠ EDF 等于（）考点：等腰三角形的性质．分析：由 AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 BF=CD ， BD=CE ，利用 SAS 得到三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出解答：解：∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C °，在△BDF 和△CED 中，，∴△ BDF ≌△CED （ SAS ）， ∴∠ BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣ 则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC ）=90°﹣ ∠A ．故选 B ．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．90° ﹣ ∠A∠A ，=90°BC 180°﹣∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论B AD 是△ ABC 的．高线D △ ABC 是等边．三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A 、在△ ABD 和△ ACD 中，，所以△ ABD ≌△ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确； C 、由条件可知 AD 为△ ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=B ，C 所以△ ABC 不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D ．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由线段 BC 的垂直平分线上． PC=PB 即可得出 P 在解答：解：∵ PB=PC ，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，．DC AD 是△ ABC的．角平分线A 点 P 在∠ ABC ．的平分线上C 点 P 在边AB ．的垂直平分 B 点 P 在∠ ACB ．的平分线上D 点 P 在边BC ．的垂直平不一定成立的是（故选 D ．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013? 河西区二模）如图，在∠ECF 的两边上有点考等腰三角形的性质．点：分根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ ECF 的度数．析：解解：∵ BC=BD=D ，A 答： ∴∠ C=∠BDC ，∠ ABD=∠BAD ， ∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选： C ．点考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②M O=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=N ．D其中正确考角平分线的性质．点：B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°，C 25°D 30°的有（）A 1 个分由已知很易得到△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△ OM≌P △ ONP，析：△PMD≌△PND，可得MD=N，D ∠ ODN∠= ODM=9°O，答案可得．解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA 于M，PN⊥OB 于N答：连接MN交OP于点D，∴∠ MOP∠= NOP，∠OMP∠= ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=N，POM=O，N 又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=N，D∠ ODN∠= ODM=9°O，∴OP⊥MN∴① PM=P，N ②MO=N，O③OP⊥MN，④MD=ND 都正确．故选D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OM≌D △OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，请用含有α，β 的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=9°0 ，OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出解答：解：（1）∵∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠AON= （α﹣β），∠NOCα= ﹣（α﹣β）= （α +β）；（2）∵OM平分∠ AOC，ON平分∠ AOB，∴∠AOM= ∠AOC ，∠AON= ∠AOB ， ∴∠MON ∠= AOM ﹣∠AON= (∠AOC ﹣∠AOB )点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点F ．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE ≌△OCE ，可得出 OD=OC ， DE=CE ， OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出 OE 是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 可得出∠ AOE=∠BOE=3°0 ，由直角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答：解：（ 1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴DE=C ，EOE=O ，E∴Rt △ODE ≌Rt △OCE ， ∴OD=O ，C∴△DOC 是等腰三角形， ∵OE 是∠AOB 的平分线， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； ( 2)∵ OE 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 ， ∴∠ AOE=∠BOE=3°0 ， ∵EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴OE=2D ，E ∠ ODF=∠OED=6°0 ， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4E ．F= ∠BOC= × 90° =45°EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB （ E 在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=C，D∵BD平分∠ ABC，∴DE=D，F∴△ DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=．12点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋? 大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=C，DAD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=∠2 DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=10°8 ．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC 的大小（用含α 的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ BCD=∠BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣ ×30°=75°，由题意得：BC=BD=B，E由BC=BD得∠ BDC=∠C=75°，∴∠CBD=18°0 ﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=7°5 ﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是67.5 °．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．考等腰三角形的判定．点：分由条件可得出DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（1）∵AD平分∠ BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，答：∴DE=D，F在Rt △BDE和Rt △CDF中，，，∴Rt △BDE≌Rt △CDF（HF），∴∠ B=∠C；（2）由（1）可得∠ B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出DE=DF是解题的关键．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠ A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF 是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=6°7 ﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC 和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=A，E DE=EC，得到∠ B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，根据∠ DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，求得∠C 即可．解答：解：∵ AB=AD=A，E DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E考等腰三角形的性质．点：专证明题．题：分由 DE ∥BC ， BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB 可知， DB=DF ， CE=EF ．便可得出结论．析：解证明：∵ BF 平分∠ ABC （已知）， CF 平分∠ ACB （已知），答： ∴∠ ABF=∠CBF ，∠ ACF=∠FCB ；又∵ DE 平行 BC （已知）∴∠ DFB=∠FBC （两直线平行，内错角相等），∠ EFC=∠FCB （两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠E CF （等量代换）∴DF=DB ， EF=EC （等角对等边）∴DE=BD+C ．E点此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ，连考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠ BAD=∠CAD ；然后根据已知条件“ DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ”得到∠ DEA=∠DFA=90°；再加上公共边 AD=AD ，从而证明，△ADE ≌△ ADF ；最后根据全等三角形的对应边相等证明△ AEF 的两边相等，所解答：证明：∵ AD 是△ ABC 的平分线，∴∠ BAD=∠CAD ，（ 3 分）又∵DE ， DF 分别垂直 AB 、AC 于 E ，F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD ，∴△ ADE ≌△ ADF ．（8分） ∴AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形（ 10分）30．（ 2011? 龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线，点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理ASA判定△ ADE≌△ADF．。

直角三角形证明题精选(初中数学)

直角三角形证明题精选(初中数学)1. 垂直角等于90度的证明问题：请证明直角三角形中的垂直角等于90度。

请证明直角三角形中的垂直角等于90度。

证明：对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角。

我们需要证明∠ABC和∠ACB均等于90度。

对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角。

我们需要证明∠ABC和∠ACB均等于90度。

根据直角三角形定义，直角三角形的对角线相互垂直。

因此，线段AB与线段AC垂直。

另一方面，我们可以使用反证法来证明∠ABC等于90度。

如果∠ABC不等于90度，假设∠ABC为a度，那么∠ACB就等于90 - a度。

由于三角形内角和等于180度，我们可以得出：a + (90 -a) + 90 = 180，化简后得到180 = 180，这是不成立的。

因此，我们得出结论，直角三角形中的垂直角等于90度。

2. 直角三角形中勾股定理的证明问题：请证明直角三角形中的勾股定理成立。

请证明直角三角形中的勾股定理成立。

证明：对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角，BC为直角边，AB为另一直角边，AC为斜边。

我们需要证明AB^2 +BC^2 = AC^2。

对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角，BC 为直角边，AB为另一直角边，AC为斜边。

我们需要证明AB^2 + BC^2 = AC^2。

根据勾股定理的定义，三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

首先，我们可以利用直角三角形定义证明∠ABC和∠ACB均等于90度，即两个直角边垂直。

接下来，我们可以使用三角形的相似性来证明勾股定理。

考虑到三角形ABC和三角形ADB，它们有共边AB和∠B相等（都为直角）。

根据三角形的相似性，我们可以得出：AC/AD = BC/BD。

假设AD等于1，那么BD等于1/BC。

我们可以用平方来表示长度，得到：AC^2 = (1/BC)^2。

进一步，我们可以将BC替换成AB，得到：AC^2 = (1/AB)^2。

最后，我们可以应用勾股定理的定义，将AC^2表示成AB和BC的平方和：AC^2 = AB^2 + BC^2。

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—简单几何证明题（含答案解析）类型一三角形全等1.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．2.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD//AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．【答案】证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC =∠B =90°，∵CD//AB ，∴∠A =∠DCE ，在△CED 和△ABC 中，∠DCE =∠A CE =AB ∠DEC =∠B ，∴△CED≌△ABC(ASA)．3.(2022·江苏省南通市)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．(1)求证：∠A =∠C ；(2)求证：AB//CD ．【答案】证明：(1)在△AOB 和△COD 中，OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD ,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A =∠C ；(2)由(1)得∠A =∠C ，∴AB//CD ．4.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE 2=AQ ⋅AB ．求证：(1)∠CAE =∠BAF ；(2)CF ⋅FQ =AF ⋅BQ ．【答案】证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AE AQ=AC AF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CF BQ=AF FQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．5.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∠BCA=∠DEC∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．6.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．【答案】证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．7.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．【答案】证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．8.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．【答案】.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠BCD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．9.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠CBD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．10.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD//BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．【答案】证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD//BE，∴∠A =∠EBC ，∵BD//CE ，∴∠C =∠DBA ，在△ABD 与△BCE 中，∠A =∠EBC AB =BC ∠DBA =∠C ，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．11.（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DFBC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．12.（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】根据全等三角形的性质，通过证明ABO DCO △≌△，得OB OC =，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．【详解】∵A D AOB DOC AB DC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴ABO DCO △≌△（AAS ），∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．13.（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ，求证：BD=CE【答案】证明见详解．【分析】根据“ASA”证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.【详解】证明：在△ABE 和△ACD 中，∵A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△ABE ≌△ACD (ASA)，∴AE=AD ，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．14.（2021·云南中考真题）如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AC BD AC ==与BD 相交于点E ．求证：DAC CBD ∠=∠．【答案】见解析【分析】直接利用SSS 证明△ACD ≌△BDC ，即可证明．【详解】解：在△ACD 和△BDC 中，AD BC AC BD CD DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BDC （SSS ），∴∠DAC=∠CBD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法．15.（2020•菏泽）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点E 在AC 的延长线上，ED ⊥AB 于点D ，若BC ＝ED ，求证：CE ＝DB．【分析】由“AAS ”可证△ABC ≌△AED ，可得AE ＝AB ，AC ＝AD ，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，BC ＝DE ，∴△ABC ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∴CE ＝BD ．16.（2020•南充）如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC ＝DE ．求证：AB ＝CD ．【分析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠CEDBC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．17.（2020•硚口区模拟）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【分析】要证BD＝CE只要证明AD＝AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD＝AE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．18.（2020•铜仁市）如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【解答】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠E BC =EF ∠ACB =∠DFE ，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．19.（2020•无锡）如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，BE ＝CF ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）AF ∥DE ．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B ＝∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB ＝∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE ＝∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C ，∵BE ＝CF ，∴BE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，即BF ＝CE ，在△ABF 和△DCE 中，∵AB =CD ∠B =∠C BF =CE ，∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB ＝∠DEC ，∴∠AFE ＝∠DEF ，∴AF ∥DE ．20.（2020•台州）如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE ，由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB ，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．21.如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD=12×（180°﹣40°）＝70°．类型二特殊四边形判定及性质22.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．23.(2022·青海省西宁市)如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD ，在△ABE 和△ADF 中，∠AEB =∠AFD ∠B =∠D AB =AD ，∴△ABE≌△ADF(AAS)；(2)解：设菱形的边长为x ，∵AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE≌△ADF ，∴BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得，AE 2+BE 2=AB 2，即42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．24.(2022·江苏省无锡市)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC 上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．【答案】解：(1)∵CE=AE，∴∠ECA=∠EAC，根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，∵四边形ABCD是矩形，∴DA//CB，∴∠ECA=∠CAD，∴∠EAC=∠CAD，∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAD=90°，∴∠EAF=90°，设CE=AE=x，则BE=4−x，在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2，即：(22)2+(4−x)2= x2，解得：x=3，在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，设CG=x，则GB=3−x，∵FC=4，FE=17，∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，即：16−x2=17−(3−x)2，解得：x=43，∴FG=FC2−CG2∴sin∠CEF=FG EF=25.(2022·湖北省荆门市)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB 沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，∠ CFE=∠AFD∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DF AD=64−x216x．26.(2022·四川省遂宁市)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF．(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵DF//AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF//AC，∴四边形AODF为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四边形AODF为矩形．27.(2022·湖北省)如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE=DF(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，且AD=BC，∴AF//EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如图所示：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°−∠2，∠4=90°−∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=12BC=5．28.(2022·云南省)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE 与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°．(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．【答案】.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA//CD，∴∠BAE=∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE=DE，在△BEA和△FED中，∠BAE=∠FDEAE=DE∠BEA=∠FED，∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF=EB，又∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF=90°．∴四边形ABDF是矩形；(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD=90°，AB=DF=3，AF=BD，∴AF=AD2−DF2=52−32=4，∴S矩形ABDF=DF⋅AF=3×4=12，BD=AF=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×4×3=6，∴四边形ABCF的面积S=S矩形ABDF+S△BCD=12+6=18，答：四边形ABCF的面积S为18．29.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．【答案】(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AB=DEBC=EFAC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．30.(2022·湖南省郴州市)如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BF，FD，DE，EB.求证：四边形DEBF是菱形．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB，AC平分∠DAB，AC平分∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=12∠DAB，∠DCA=∠ACB=12∠DCB，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠ACB，∵AE=CF，∴△DAE≌△BAE≌△BCF≌△DCF(SAS)，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形．31.(2022·山东省聊城市)如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C 作CF//AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：AD=CF；(2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形，证明你的结论．【答案】(1)证明：∵CF//AB，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF；(2)解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由(1)知，AD=CF，∵AD//CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCF是菱形．32.(2022·北京市)如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【答案】证明：(1)在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，∵AE=CF．∴OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴DA=DC，∵OA=OC，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．33.(2022·湖南省张家界市)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．(1)求证：△ODE≌△FCE；(2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．【答案】.(1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE=DE，又∵CF//BD∴∠ODE=∠FCE，在△ODE和△FCE中，∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，∴△ODE≌△FCE(ASA)；(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE=FE，又∵CE=DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC=90°，∴四边形ODFC为矩形．34.(2022·四川省内江市)如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴180°−∠AEB=180°−∠CFD，即∠AEF=∠CFE，∴AE//CF，∵AE=CF，AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形．35.(2022·湖南省长沙市)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD 的周长．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD；(2)解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OD=2EF=3，由(1)可知，四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=AO2+OD2=22+32=13，∴菱形ABCD的周长=4AD=41336.（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD=．连接CE、CF．的延长线上，且BE DF求证：CE CF=．【答案】见解析【分析】根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=CD ，∠ADC=∠ABC ，∴∠CDF=∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE DF CBE CDF BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△DFC （SAS ），∴CE=CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．37.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABC 中，BAC ∠的角平分线交BC 于点D ，//,//DE AB DF AC．（1）试判断四边形AFDE 的形状，并说明理由；（2）若90BAC ∠=︒，且AD =，求四边形AFDE 的面积．【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4【分析】（1）根据DE ∥AB ，DF ∥AC 判定四边形AFDE 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD ，可得AE=DE ，即可证明；（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．【详解】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EDA=∠EAD，∴AE=DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC=90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD=，=2，∴∴四边形AFDE的面积为2×2=4．【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．38.（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；，求证：四边形ACED是矩形．（2）如果AB AE【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC．∵点C是BE的中点，∴BC=CE，∴AD=CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AE，∴DC=AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．39.（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）EF ⊥BD 或EB ＝ED ，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF V V ≌，则可得到AE ＝CF ；（2）连接BF ，DE ，由AOE COF V V ≌，得到OE=OF ，又AO=CO ，所以四边形AECF 是平行四边形，则根据EF ⊥BD 可得四边形BFDE 是菱形．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC ，BE ∥DF∴∠E ＝∠F在△AOE 和△COF 中E F AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOE COF V V ≌()AAS ∴AE ＝CF（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下：如图：连结BF ，DE∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD∵AOE COFV V ≌∴OE OF=∴四边形BFDE 是平行四边形∵EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 是菱形【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．40（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；【解答】证明：∵O是CD的中点，∴OD＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∠D=∠OCEOD=OC∠AOD=∠EOC，∴△AOD≌△EOC（ASA），∴AD＝CE．41.（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=32，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．42.（2020•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC ⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．43.（2020•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，∠DAE =∠BCF ∠AED =∠CFB AD =CB ，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE ＝BF ，又∵DE ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BE ＝DE ，∴四边形EBFD 为菱形．类型三与相似有关的证明44.（2021·广东中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点．连接BE ，将ABE △沿BE 折叠得到,FBE BF 交AC 于点G ，求CG 的长．【答案】CG =【分析】根据题意，延长BF 交CD 于H 连EH ，通过证明()Rt EDH Rt EFH HL ≌、DHE AEB ∽得到34CH =，再由HGC BGA ∽得到()34CG AC CG =-，进而即可求得CG 的长．【详解】解：延长BF 交CD 于H 连EH ，∵FBE 由ABE △沿BE 折叠得到，∴EA EF =，90EFB EAB ∠=∠=︒，∵E 为AD 中点，正方形ABCD 边长为1，∴12EA ED ==，∴12ED EF ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D EFB EFH ∠=∠=∠=︒，在Rt EDH △和Rt EFH 中，ED EF EH EH=⎧⎨=⎩，∴()Rt EDH Rt EFH HL ≌，又∵AEB FEB ∠=∠，∴90DEH AEB ∠+∠=︒，∵90ABE AEB ∠+∠=︒，∴ABE DEH ∠=∠，∴DHE AEB ∽，∴12DH AE DE AB ==，∴14DH =，∴13144CH CD DH =-=-=，∵CH AB ∥，∴HGC BGA ∽，∴34CG CH AG AB ==，∴()3344CG AG AC CG ==-，∵1AB =，1CB =，90CBA ∠=︒，∴AC =，∴)34CG CG =，∴CG =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质，熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键．45.（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若23AGOG=，4AE=，求BC的长．【答案】（1）平行四边形，见解析；（2）16【分析】（1）利用平行四边形的判定定理，两组对边分别平行是平行四边形即可证明；（2）根据23AGOG=，找到边与边的等量关系，再利用三角形相似，建立等式进行求解即可．【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形∴ABC ADC∠=∠∵ABE CDF∠=∠∴EBF EDF∠=∠∵四边形ABCD为平行四边形∴//AD BC∴EDF DFC EBF∠=∠=∠∴//BE DF∵//AD BC∴四边形BEDF 为平行四边形（2）设2AG a =，∵23AG OG =∴3OG a =，5AO a=∵四边形ABCD 为平行四边形∴5AO CO a ==，10AC a =，8CG a=∵//AD BC,,AGE CGB AEG CBG EAG BCG ∠=∠∠=∠∠=∠，∴AGE CGB∆∆∽∴14AE AG BC GC ==∵4AE =∴16BC =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理，解题的关键是：熟练掌握相关定理，能进行相关的证明．46.（2021·北京中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明．【答案】（1）BAE CAD ∠=∠，BM BE MD =+，理由见详解；（2）DN EN =，理由见详解．【分析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC EAD α∠=∠=，AE AD =，然后可证ABE ACD △≌△，进而问题可求解；（2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，由（1）可得ABE ACD ∠=∠，BE CD =，易证BH BE CD ==，进而可得HM DM =，然后可得DMN DHE ∽，最后根据相似三角形的性质可求证．【详解】（1）证明：∵BAC EAD α∠=∠=，∴BAE BAD BAD CAD α∠+∠=∠+∠=，∴BAE CAD ∠=∠，由旋转的性质可得AE AD =，∵AB AC =，∴()ABE ACD SAS ≌，∴BE CD =，∵点M 为BC 的中点，∴BM CM =，∵CM MD CD MD BE =+=+，∴BM BE MD =+；（2）证明：DN EN =，理由如下：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为点Q ，交AB 于点H ，如图所示：∴90EQB HQB ∠=∠=︒，由（1）可得ABE ACD △≌△，∴ABE ACD ∠=∠，BE CD =，∵AB AC =，∴ABC C ABE ∠=∠=∠，∵BQ BQ =，∴()BQE BQH ASA ≌，∴BH BE CD ==，∵MB MC =，∴HM DM =，∵MN AB ⊥，∴//MN EH ，∴DMN DHE ∽，∴12DM DN DH DE ==，∴DN EN =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键．47.（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）设EC＝x，证明△ABF∽△FCE，可得AB CF=BF EC，由此即可解决问题．（3）首先证明tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，解直角三角形求出a，b之间的关系即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）设EC＝x，由翻折可知，AD＝AF＝4，∴BF=AF2−AB2=16−12=2，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，∴2322，∴x=∴EC=（3）∵△ABF∽△FCE，∴AF EF=AB CF，∴tanα+tanβ=BF AB+EF AF=BF AB+CF AB=BF+CF AB=BC AB，设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴BF=b2−a2，CF=x2−(a−x)2=2ax−a2，∵AD2+DE2＝AE2，∴b2+x2＝（2a﹣x）2，∴a2﹣ax=14b2，∵△ABF∽△FCE，∴AB CF=BF EC，−(a−x)=b2−a2a−x，∴a2﹣ax=b2−a2•2ax−a2，∴14b2=b2−a2•整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，∴（4a2﹣3b2）2＝0，∴b a=233，∴tanα+tanβ=BC AB=48.（2020•怀化）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD ＝CA，且∠D＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，。

人教版苏科版初中数学—三角形的证明(经典例题)

班级小组姓名成绩满分（120）一、等腰三角形（一）全等三角形的性质及判定（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，∠B=∠CC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC例1.变式1.如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF例1.变式2.已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E的度数是（）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°例1.变式3.如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.求证：BC∥EF.（二）等腰三角形的性质和判定（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A.16B.18C.20D.16或20例2.变式1.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=.例2.变式2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④例2.变式3.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC，求证：DB=DE.（三）等边三角形的性质和判定（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是()A.△ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFCC.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA例3.变式1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④例3.变式2.如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行(A，C端点除外)，设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）A.d>hB.d<hC.d=hD.无法确定例3.变式3.如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.（四）有一个锐角等于30°的直角三角形的性质定理（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）A.2厘米B.4厘米C.6厘米D.8厘米例4.变式1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，则BC=.例4.变式2.如下图,△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D.求证：BC=3AD.例4.变式3.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点.(1)判断△ABC的形状;(2)求A，C两点之间的距离.（五）反证法（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.用反证法证明命题“如果AB⊥CD,AB⊥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是()A.假设CD∥EFB.假设AB∥EFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行例5.变式1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°例5.变式2.用反证法证明命题“一个三角形中,如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等”时，只需假设“”.例5.变式3.用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角.二、直角三角形（一）直角三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α度数是（）A.45°B.60°C.75°D.90°例6.变式1.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC 于点F.若AE=4，FC=3，求EF 长.例6.变式2.若△ABC 的三边长分别为,,a b c ，且满足()()2220a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形例6.变式3.如右图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？（二）互逆命题与互逆定理（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.以下命题的逆命题为真命题的是()A.同旁内角互补,两直线平行B.对顶角相等C.直角三角形没有钝角D.若a b =，则22a b =例7.变式1.下列定理中,没有逆定理的是()A.内错角相等,两直线平行B.直角三角形的两锐角互余C.相反数的绝对值相等D.同位角相等,两直线平行例7.变式2.“等腰直角三角形三个内角之比为1：1：2”,它的逆命题是.例7.变式3.已知命题：等腰三角形底边上的中线与高重合.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断(1)中的命题是否为真命题,写出你的理由.（三）“HL”定理的应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB、AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A.HL B.AAS C.SSS D.ASA例8.变式1.如图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.例8.变式2.如下图，M为△ABC的边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F.(1)当AB=AC时，求证：ME=MF;(2)若ME=MF，试判断AB与AC的大小关系，并证明你的结论.例8.变式3.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.三、线段的垂直平分线（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（）A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点例9.变式1.如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC.求证：AC垂直平分BD.例9.变式2.下列命题中正确的命题有()①线段垂直平分线上任一点到线段两端点的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线.A.1个B.2个C.3个D.4个例9.变式3.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作AC的平行线交AB于E，过E作AD的垂线交BC的延长线于点F.求证：∠B=∠CAF.四、角平分线（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，点P 在∠AOB 的平分线上，PE⊥OA 于E，PF⊥OB 于F，若PE=7，则PF=.例10.变式1.下列说法中错误的是()A.到已知角两边距离相等的点在同一条直线上B.一条直线上有一点到已知角两边距离相等,这条直线平分已知角C.到角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分这个角D.角内有两点各自到角的两边的距离相等,则过这两点的直线平分这个角例10.变式2.如图，以∠AOB 的顶点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点C，交OB 于点D.再分别以点C,D 为圆心,大于12CD 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 内部交于点E，过点E 作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是()A.射线OE 是∠AOB 的平分线B.△COD 是等腰三角形C.C,D 两点关于OE 所在直线对称D.O,E 两点关于CD 所在直线对称例10.变式3.如图，在∠AOB 的两边OA，OB 上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM 相交于点C.求证：点C 在∠AOB 的平分线上.。

初中数学九年级中考复习三角形部分证明练习题精选

1．已知：如图点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD=BE.求证：∠D=∠E.2．已知：E 、F 是AB 上的两点，AE=BF ，又AC ∥DB ，且AC=DB.求证：CF=DE 。

3 如图，已知△ABC 和△DEC 都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B 、C 、E 在同一直线上，连结BD 和AE.求证：BD=AE.4．如图，D 、E 、F 、B 在一条直线上，AB=CD ，∠B=∠D ，BF=DE 。

求证：⑴AE=CF ；⑵AE ∥CF ；⑶∠AFE=∠CEF 。

AC B ED A BC DE F A B C D E FA B CDE5．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线。

求证：AC=2AE 。

6．已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC ，则AB=DE.请说明理由。

7．如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。

请你说明∠DEC=90°的理由。

AB E DC8．如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且AD=CE ，BE 和CD 相交于点P 。

（1）说明△AD ≌△CEB（2）求：∠BPC 的度数.1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD证明: 延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52．如图，在△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 的中点，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD=AE ．求证：MD=ME ．证明：（法一） ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ．∵M 为BC 的中点， ∴BM=CM ．∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE ．在△DBM 和△ECM 中，∴BD=CE ，∠B=∠C ，BM=CM ．ADBC∴△DBM ≌△ECM ． ∴MD=ME ．（法二）连接AM ，（1分）∵AB=AC ，M 为BC 的中点， ∴AM 平分∠BAC ， ∴∠BAM=∠CAM ．在△ADM 和△AEM 中，∵AD=AE ，∠DAM=∠EAM ，AM=AM ， ∴△ADM ≌△AEM ． ∴MD=ME ．4．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
汇报人：XX
目录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知），所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已