变量分离方程

1 x
dx
ln sin u ln x c~ (c~为任意常数)
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
ln sin u ln x c~ (c~ 为任意常数)
sin u ec~ x
sin u ec~ x
令 c ec~ 得:
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
本节小结/Conclusion/
变量分离方程 ••
特点 解法
变量分离方程 与变量变换
• 举例
可化为变量分离的类型可齐化次为方齐程次方程的类型
注意/Note/：通解的形式及其中任意常数的意义。

c
1 sin x c y
（3）
y


sin
1 x

c（c为任意常数）为方程的通解。
注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在
通解中，因而方程还有解 y = 0
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
所以，原方程的解为

y


2u
u2)
两边积分，得: ln X 2 ln u2 2u 1 c~
因此
X 2 (u 2 2u 1) ec~
记 ec~ c1 并代回原变量，得: X 2 (u2 2u 1) c1
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
• 形式：dy g( y ) g (u)为 u 的连续函数 dx x
• 特点：一般方程的右端函数 f (x,y) 是x，y 的零次齐次式。
即
f (x, y) g( y )
x
f (kx, kg) g( ky) k 0g( y ) f (x, y) k 0
kx
x
或 f (x,y) 可表示成以 y 为整体变量的函数。 x
（c 为任意正常数）
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
例2
求解方程 dy y 2 cosx
dx
并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。
解 y0时 (1) 分离变量
(2) 两边积分
dy cos xdx y2

dy y2

cos xdx
……….(2.3) 变量可分离方程
（4）求解方程(2.3),若其解为: u (x, c) 或 (u, x, c) 0
(5) 原方程的通解为: y x(x, c)或( y , x, c) 0
x
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform

•特点
变量分离方程 与变量变换
变量分离方程

•解法

•举例

可化为变量分离的类型
齐次方程 可化为齐次方程的类型
•本节要求/Requirements/
1 熟练掌握变量分离方程，齐次方程的求解方法。
2 熟练掌握运用变量变换将方程化为熟知类型求解 的思想方法，求更广泛类型方程的解。
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
例1 求解方程 dy x
dx y
解
(y) 1 0
y
1 分离变量 ydy xdx
2 两边积分 3 求通解
ydy xdx
y2
x2 c

2
22
x 2 y 2 c 或者 y c x2
例3 求解方程 dy y tan y
dx x
x
解
令 u y , 或 y ux
x
dy x du u x du u u tan u
dx dx
dx
du tan u ………………………………..(2.4) dx x
du dx tan u x

d sin u sin u
中的 f ( x, y )可表示成
f (x, y) f (x) φ( y)
例
dy x
dx y
R kR
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
解法步骤 /Solving Steps/
如果 ( y) 0 (1) 分离变量 dy f (x)dx
解
解方程组
x y 1 0 x y 3 0
得 x = 1, y = 2
令
x X 1

y

Y

2
dY X Y ……….(2.18) dX X Y
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
dY X Y ……………………….(2.18) dX X Y
1 dy f (x) dy f (x)( y)
( y) dx
dx
所以，（2.2）为方程(2.1)的通解。
如果存在 yi ，使得 ( yi ) 0, i 1,2, , k
直接验证得: y yi 为方程(2.1)的常数解。
分离变量方程（2.1）的解为
G( y) F(x) C y yi , i 1,2, , k
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
• 类似的方法，可求解更广泛的方程 P.26
dy f ( a1x b1 y c1 )
dx
a2 x b2 y c2
例4 求解方程 dy x y 1 dx x y 3
…..(2.17)
( y)
(2) 两边积分

dy
( y)


f
(x)dx
用G(y)，F(x)分别表示 1 及f (x) ( y)
的某一个原函数
(3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C …………(2.2)
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
因为将 y 视为 x 的函数，对G(y)=F(x)+C 两端关于x求导，
并代回原变量，得:
Y 2 2 XY X 2 c1
( y 2)2 2(x 1)( y 2) (x 1)2 c1
此外，容易验证: u 2 2u 1 0
即
Y 2 2XY X 2 0
也是方程(2.18)的解。
因此原方程(2.17)的通解为:
y 2 2xy x2 6 y 2x c 其中 c 为任意常数。
Sinu = cx （c 为非零任意数）
du tan u dx x
另当 tanu = 0 时，u = 0 即 u = 0 也是方程(2.4)的解
故 （2.4）的通解为 sinu= cx（c 为任意常数）
代回原来的变量，原方程的通解为: sin y cx x
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
(2)可化为齐次方程的类型 /Classifications of Homogenous/
•
dy
形式：

a1 x b1 y c1
……………(2.5)
dx a2 x b2 y c2
ai , bi , ci , i 1,2 均为常数，且c1, c2 不同时为零.
a1 1.若 a2
b1 0 b2
sin
1 x

c
y 0
求特解
将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1
则满足所给条件的特解为: y 1 sin x 1
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
2 可化为变量分离方程的类型
/Classifications of Variable Separated Equation/
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
•课堂练习/Exercise/
1 dy p(x) y dx
dy
1
3
dx (x y)2
2 dy e xy dx
dy 2x3 3xy2 x 4
dx 3x2 y 2y3 y
•思考以下方程的求解方法 1 dy f (ax by c) dx
dY dy a1 ( X ) b1 (Y ) c1 dX dx a2 ( X ) b2 (Y ) c2
a1X b1Y (a1 b1 c1) a2 X b2Y (a2 b2 c2 )
dY a1X b1Y g( Y )

b1y c1 0 ……………..(2.6) b2 y c2 0
有唯一的解:(, )
令
X x Y y
或
x

y
X Y
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
则方程 (2.5) 化为：
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
1 变量分离方程/Variables Separated ODE/
dy f (x)( y)
dx
其中 f (x),( y) 分别是 x 与 y 的已知连续函数。
(2.1)
特点
一般的一阶方程 dy dx
f (x, y)
dy dx

k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2

f (a2 x b2 y)
令 u a2 x b2 y
du dx

a2

b2
dy dx
du dx

a2
b2
f
(u)
（变量分离方程，即可求解）
2.若 a1 a2 0 b1 b2
则
a1x a2 x
再令 u Y 即 Y uX X
dY X du u dX dX
X du u 1 u
dX
1 u
X du 1 u u 1 u u(1 u)
dX 1 u
1 u
即(2.18)可化为:
dX X

1 1 2u
u
u2
du


2(1
1 2u
u2)
d (1
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
§2.1 变量分离方程与变量变换
Separable First-Order ODE & Transform
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
•内容提要/Main Contents/
dX a2 X b2Y
X
为齐次方程, 即可求解。
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
• 特别地，当 a1 a2 0 时，方程(2.5)的求解方法 b1 b2
(1)
解代数方程组
a1x b1 y c1 0 a2 x b2 y c2 0
§2.1 Separable First-Ordeห้องสมุดไป่ตู้ ODE & Transform
解法
(1) 作变量变换 y u 即 y=ux x
（2）对两边关于 x 求导
dy x du u dx dx
（3）将上式代入原方程，得 整理 du 1 (g(u) u) dx x
x du u g(u) dx
…………….(2.6)
其解为: x , y
(2) 作变换 x X , y Y
将方程(2.5)化为齐次方程
dY a1X b1Y dX a2 X b2Y
(3) 再作变换U Y 将其化为变量分离方程 X
(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/ (2) 可化为齐次方程的方程类型
/Classifications of Homogenous/
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
(1) 齐次方程/Homogeneous Equation/
即 a1 b1 a2 b2
设 a1 b1 k a2 b2
a1 ka2 , b1 kb2
则原方程可化为:
dy dx

k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2

f (a2 x b2 y)
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform