方法技巧训练(三) 几何中线段的最值问题(含圆及旋转)

方法技巧训练(三) 几何中线段的最值问题(含圆及旋转)

1．(2019·长春) 如图，在▱ABCD 中，AD ＝7，AB ＝2 3 ，∠B ＝60°.E 是边BC 上任意一点，沿AE 剪开，将△ABE 沿BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形AEFD ，则四边形AEFD 周长的最小值为20．

2．(2019·安徽)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13

S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为(D )

A .29

B .34

C ．5 2

D .41

3．(2019·十堰)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝62，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动

点，则DA ＋DE 的最小值为163

． (在直线l 1，l 2上分别求作点M ，N ，,使△PMN 的周长最小

分别作点P 关于直线l 1，l 2的,对称点P′和P″，连接P′P″，与,直线l 1，l 2的交点即为M ，N.

(在直线l 1，l 2上分别求点M ，N ，,使四边形PQMN 的周长最小．

分别作点Q ，P 关于直线l 1，l 2的,对称点Q′和P′，连接Q′P′，与直,线l 1，l 2的交点即为M ，N.)

4．(2019·滨州)如图，∠AOB ＝60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝ 3.若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是(D ) A .362 B .332

C ．6

D ．3 直线m ∥n ，在m ，n 上分别

求点M ，N ，使MN ⊥m ，且

AM ＋MN ＋BN 的值最小．

将点A 向下平移至点A ′，使AA ′

＝MN ，连接A ′B ，交直线n 于点N ，

过点N 作MN ⊥m 于点M ，点M ，

N 即为所求．

在直线l 上求两点M ，N (M

在左)，使MN ＝a ，并使AM

＋MN ＋NB 的值最小．

将点A 向右平移至点A ′，使AA ′＝a ，作点A ′关于直线l 的对称点A ″，连接A ″B ，交直线l 于点N ，在直线l 上

截取MN ＝a (M 在N 的左边)，则点M ，N 即为所求．

5．(2019·内江)如图，已知直线l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q 到直线l 2的距离为4，PQ ＝430，在直线l 1上有一动点A ，直线l 2上有一动点B ，满足AB ⊥l 2，且P A ＋AB ＋BQ 最小，此时P A ＋BQ ＝16．

(在直线l 上求一点P ，,使|P A －PB |的值最大．) (作直线AB ，与直线l 的,交点即为点P .))

6．(2019·东营)在平面直角坐标系内有两点A ，B ，其坐标为A(－1，－1)，B(2，7)，点M 为x 轴上的一个动点，

若要使MB －MA 的值最大，则点M 的坐标为(－32

，0)__． 错误!7. (2019·泰安)如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3，4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA ，

PB

与x 轴分别交于A ，B 两点．若点A ，点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为(C )

A . 3

B . 4

C . 6

D . 8

图1 图2

将△ABC 绕点C 旋转，得到

△A′B′C ，点E 是BC 中点，

点F 为AB 上动点，△A′B′C

在旋转过程中，点F 对应点为

F′，求线段EF′长度的最大值

与最小值．

如图1，A′B′的运动轨迹是圆环，

外圆半径为BC ，内圆半径为AB

上的高，F′是A′B′上任意一点，

所以EF′的最大值为EF 1，最小

值为EF 2.

8．(2019·贵港)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C ，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠BAC ＝30°，则线段PM 的最大值是(B )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【其他类型】 构建二次函数模型求几何最值

9. (2019·贵阳)如图，在 △ABC 中， BC ＝6, BC 边上的高为 4，在△ABC 的内部作一个矩形EFGH ，使 EF 在 BC

边上，另外两个顶点分别在 AB ，AC 边上，则对角线 EG 13

10．(2019·苏州)如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别为对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB

上移动时，点M，N之间的距离最短为结果保留根号)．