基于Cosserat理论的微梁振动特性的尺度效应

式中, , 表示对坐标求偏导, #i j 为偶应力, f i 为体力, pk 为体力偶, ei j k 为置换张量。非对称的应变张量 ∃i j 为
∃i j = ui, j + ei j k k
( 3)
将 ∃i j 分解为对称部分和反对称部分
∃i j = %i j + &i j
( 4)
式中, %i j 为与 !i j 相对应的对称部分, 即通常的应变张
002
机
械
强
度
2007 年
在微电子机械系统中( micro electro mechanical sys tem, MEMS) 中, 大量出现各种微梁结构, 如微加速度计 惯性元件的支撑梁、振动 式微机械陀螺的折 叠梁等。 这些微梁的厚度大多在微 米量级或亚微米 量级。显 然, 沿用经典的弹塑性理论预测其力学性能有一定的 局限性。目前, 国内外对微梁力学性能的尺度效应的 研究已有不少文献报道, 但这些研究主要集中在静态 方面, 对微梁动态方面的尺度效应的研究则还未见报 道。
本文采用偶应力弹性理论对微梁振动特性( 主要 是固有频率) 的尺度效应进行研究。首先对偶应力理 论进行简单介绍, 然后根据哈密顿变分原理推导出基 于偶应力弹性理论的微梁无阻尼自由 振动的微分方 程, 并根据微分方程分析微梁固有频率对微尺度的依 赖关系, 最后给出相关结果。本文结果可为微惯性器 件的设计提供一定的理论依据。
∃i j , ∋i j ) , 且有本构关系
!i j =
wபைடு நூலகம்%i j
!i j =
w &i j
#i j =
w ∋i j
( 8)
当假 定 粒 子 的 转 动 等 同 于 物 质 转 动 时, 即 i = ei j kuk, j 2, 由式( 5) 可知, 相对应变张量 &i j 为零, 此时
的 Cosserat 理论称为约束转动 Cosserat 理论。约束转动 Cosserat 理论是一种线弹性偶应力理论, 应变能密度仅 为应变和曲率的函数[ 5]
位移的微观相对转动, = + , 为粒子的相对转
动矢量。旋转自由度的引进导致应力张量和应变张量
的非对称性。将不对称的 Cauchy 应力 t i j 分解为对称部
分 !i j 和反对称部分 ∀i j
!i j = ( ti j + tj i ) 2
∀i j = ( ti j - tj i ) 2
( 1)
( 6b)
∋i j = i, j
( 6c)
式中 ∋i j 为曲率张量。
边界条件为
T i = ( !i j + ∀i j ) nj
mi = #i j nj
( 7)
式中, T i 和mi 为边界上的面力和面力偶, nj 为单位外
法线。
偶应力理论认为, 弹性体的应变能密度不仅与应 变 %i j 有关, 而且还与 &i j 及 ∋i j 有关, 即 w = w ( %i j ,
Journal of Mechanical Strength
2007, 29( 1) : 001~ 004
基于 Cosserat 理论的微梁振动特性的尺度效应
SIZE EFFECT ON THE DYNAMIC CHARACTERISTIC OF A MICRO BEAM BASED ON COSSERAT THEORY
2 偶应力理论简介
偶应力理论 最初是 1909 年由 Cosserat 兄弟 提出 的, 因此又称 Cosserat 理论[ 13] 。由于当时该理论主要
是用于非理想流体的研究, 且当时 Cosserat 兄弟在该
理论中没有引进本构关系, 所以在以后很长一段时间
里没有引起人们的关注。直到 50 多年以后, 即上世纪 60 年代才引起一 些学者的兴 趣[ 14~ 16] , 他们将 原先的 Cosserat 兄弟的偶应力理论加以拓广和完善, 提出更为
康 新等: 基于 Cosser at 理论的微梁振动特性的尺度效应
003
弹性理论可设细长微梁的位移为
关键词 尺度效应 偶应力理论 Hamilton 原理 固有 频率 中图分类号 O34 TB301 Abstract M any micro experiments have shown that the mechanical properties of materials at micro scale are size dependent. T he vibration characteristic ( mainly the resonant frequency) of a micro beam has been analyzed theoretically using couple stress theory ( Coss erat theory) . Based on the couple stress elasticity theory the freely vibration equation of a micro beam in the absence of damping is de rived using the Hamilton principle. The dependence of the resonant frequency of a micro beam on its size is analyzed, and the results show that the resonant frequency will increase markedly when the thickness of the beam decreases to a value which is comparable to the material length scale parameter . Key words Size effect; Couple stress theory; Hamilton principle; Resonant frequency Corresponding author : KANG Xin, E mail : ckkang - nj ust@ yahoo. com. cn, Tel : + 86 25 84315590 The project supported by the National Natural Science Foundation of China ( No. 10572026) . Manuscript received 20060421, in revised form 20060728.
一般的偶应力理论。
偶应力理论不再把材料看成理想的连续、均匀变
形体, 而是考虑了材料内部微结构的影响。在偶应力理
论中, 假设每个材料粒子除了有 3个位移自由度 ui 外,
还有 3 个旋转自由度 i ( i = 1, 2, 3) 。通常这 3 个旋转
自由度不同于宏观位移场所产生的物质转动 i ( 即位
移的左旋度的二分之一, i = 1 2ei j kuk, j ) , 而是独立于
果表明, 尺度效应出现在纳米或数百纳米量级。由此可
见, 微纳观材料的尺度效应问题是一个极具挑战性的
研究课题。
3 微梁自由振动的微分方程
对于微梁( 一般是矩形截面的悬臂梁或两端固支 梁) , 其长度通常远大于其宽度和高度, 属细长梁, 因此 可忽略其剪切变形对梁振动特性的影响, 则根据经典
第 29 卷 第 1 期
应变梯度理论是能够解释上述尺度效应的有效方
法之一[ 5~ 10] 。近几年, 应变梯度理论发展很快, 各种各 样的应 变梯度 理论相 继提 出, 具 体可 参见 文献 [ 11, 12] 。偶应力( couple stress, CS) 理论是发展最早的一 种应变梯度理论。该理论在本构关系中通过旋转梯度 引入反映材料微结构对材料性能影响的本征长度参数 ( material length scale parameter, 具有长度量纲) , 认为应 变能密度不仅依赖于应变, 而且还依赖于旋转梯度, 唯 象地反映微材料力学性能 对微尺度的依赖 性。董平 ( Ping Tong) 等[ 1, 5, 7] 曾对基于偶应力的应变梯度弹性理 论进行过详细的理论和实验研究, 并提出新的基于应 变梯度的高阶弹性理论。在高阶弹性理论中, 边界条 件的满足是主要困难。董平在他们的研究中重点讨论 了边界条件的提法及满足问题, 给出了系统的研究结 果。
量; &i j 为与 ∀i j 相对应的反对称部分, 称为相对应变张
量。&i j 由下式决定
&i j = ei j k ( k - k )
( 5)
相应的几何关系为
%i j = ( ui, j + uj , i ) 2
( 6a)
&i j = ei j k k - ( uj, i - ui, j ) 2
1 引言
经典弹塑性理论是建立在材料的连续、均匀假设 之上的, 忽略了材料内部微结构对材料性能的影响, 这 对于非均匀变形场在宏观尺度范围内是足够精确的。 但在微尺度下( 一般指构件特征尺度在微米或亚微米 量级) , 材料内部微结构的非均匀性将使材料的力学性 能出现异常, 表现出明显的尺度效应, 即微材料的力学 性能依赖于微尺度的大小, 这一点已被不少微观实验 所证实[ 1~ 4] 。而经典弹塑性理论的本构关系中不包含 任何与材料微结构有关的本征长度参数, 因此经典弹 塑性理论不能预测微尺度下材料力学 性能的尺度效 应。
尚没有定论。材料的本征长度依赖于材料内部的微结
构, 需设计专门的微观实验来确定。Lam[1] 在他们的实
验中观察到, 环氧聚酯 ( Epoxy polymeric) 微梁的厚度
在微米量级时其弹性出现明显的尺度效应。最近, Guo
等[ 17] 对纳米薄膜及 Chen 等[ 18] 对 ZnO 纳米丝的研究结
摘要 不少微观实验已经证实, 微尺度领域 材料的力学性能存在尺度效应。采用偶应力理论( 又称 Cosserat 理论) 研 究微梁振动特 性( 主要是固有频率) 的尺度效应。文中首 先对偶 应力理 论进行简 介, 然后采用 Hamilton 变分原 理推导 基 于 Cosserat 理论的微 梁无阻尼自由振动的微分方程, 分析微梁固有频率对微 尺度的依赖性。结果表 明, 当 微梁的厚度 减 小到可以和材料的本征长度相比时, 微梁的固有 频率将显著增大。
康 新 1 席占稳2 ( 1. 南京理工大学 力学与工程科学系, 南京 210094)
( 2. 南京理工大学 机械工程系, 南京 210094) KANG Xin1 XI ZhanWen2
( 1. Department of Applied Mechanics , Nanjing University of Science and Technology , Nanjing 210094, China) ( 2. Department of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology , Nanjing 210094, China )
由于偶应力理论考虑材料的非均匀性, 所以单元 体的选取不再是任意小的微元体, 而是具有一定的尺
度, 因此引入了偶应力( 单位面积上的力偶) 及相应的
变形( 曲率) 。平衡方程如下
!j i , j + ∀j i, j + f i = 0
#j k, j + ek ∀ i j i j + p k = 0 ( 2)
q=
#( %i j %i j + l 2 ∋i j ∋i j ) +
1 2
(%2i i
( 9)
式 中, # 和 ( 为 L am
系 数, # =
E 2( 1 +
)) ,
(=
( 1+
E) )) ( 1 -
2)) , E
为材料的弹性模量,
)为泊松比, l
为材料的本征长度, 一般在微米量级或纳米量级, 目前
20060421 收到初稿, 20060728 收到修改稿。国家自然科学基金资助项目( 10572060) 。 康 新, 女, 1966 年 10 月生, 河北省行唐县人, 汉族。南京理工大学力学与工程科学系, 副教授, 博士, 研究方向为 MEMS 力学性能的尺度效应、 MEMS 光学测试技术, 发表论文 20 多篇。