阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
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R40
L
A
R100
C
B
R57.14285714
120
R60
图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
A
C
B
R57.14285714
D
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图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比
圆圆阿氏圆方程，见图 9。
Y
kL
P(x,y)
图 8 题目 1 题解
TA
RA
O OA
RB TB C OB OQ
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k2
1
x2
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
x
2
1 k2 1
2ak 2
2ak 2
2 4 k2 1
a2k 2
R
2 A
k
2
R
R15
RR7250.65712128
60
图 11 运用方法四三公切线法绘制阿氏圆
R75.65712128
45 30
R15
R20
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图 12 运用方法五定比切线点一对圆法绘制阿氏圆
45 30 R75.65712128
R15
R20
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图 13 运用方法六定比切线点两对圆法绘制阿氏圆
5
40 R75.65712128
xQ
ak 2 k2 1
a
源自文库
a k2 1
点点阿氏圆圆心公式
得到阿氏圆半径：
题目 1 图见图 3。
R
ak k2 1
绘制阿氏圆类图形、求解阿氏圆类问题，首先要绘制出阿氏圆。
绘制阿氏圆的方法一，内外分点法，内外定比分点直径圆法。几何原理，阿氏圆是内外
两个分点连线为直径的圆。见图 4。
5a
A
C
B
R57.14285714
阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
一点到多点到两弧圆的定比例距离定比例分段定比例长度切线
南江石 2018 年 04 月 16 日 2018 年 5 月 8 日
阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 ——点到两定点距离定比。见图 1。
B
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ak 2 k2 1
1 k2 1
a2k 4
a2k 4
k 2RA2
k 4RB2
a2k 2
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2 A
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a
k
a 2
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1 k2 1
1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
xC ak2
1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2 k2 1
绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。见图 6。
在绘制阿氏圆的基础上解题，题目 1 题解见图 8。 阿波罗尼斯圆定理扩展 1：已知平面上一动点 P 到两定圆 OA（半径 RA）、OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、TB）的长度之比为不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）则点 P 的运动轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图 7。
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图 10 题目 2 点到两圆切线定比
4
绘制阿氏圆的方法五， 定比切线点一对圆法，公切 线定比分点定比切线点三点 圆法。几何原理，到两定圆 切线长度为定比的点在阿氏 圆上，三点定圆。见图 12。
绘制阿氏圆的方法六， 定比切线点两对圆法，定比 切线点三点圆法。几何原理， 到两定圆切线长度为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。 见图 13。
xD ak2
1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2 k2 1
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
xQ
ak 2 k2 1
a
a k2 1
圆圆阿氏圆圆心公式
得到阿氏圆半径：
R
1 k2 1
1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2
题目 2，点到两圆切线定比，见图 10。
3a
2a
绘制阿氏圆的方法四，三公切线法，三 公切线定比分点法。几何原理，到两定圆切 线长度为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。 见图 11。
阿氏圆是以定比 m：n（m/n=k）内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。 点点阿氏圆方程，见图 2。
Y P(x,y)
R
L
kL
X
OA a C B Q
D
Xo
图 1 阿氏圆——点到两定点距离定比 根据已知条件列方程：
x 2 y 2 k 2 L2 ， x a2 y2 L2
图 2 点点阿氏圆方程
X RD
a Xo
图 9 圆圆阿氏圆方程
3
根据已知条件列方程：
x2 y2 R A2 k 2L2
， x a2 y2 RB2 L2
x2 2ax a2 y2 RB2 L2
k 2 x2 2ak 2 x a2k 2 k 2 y2 k 2RB2 k 2L2
k2 1
x2 y2
D
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图 3 题目 1 点到两点距离定比
图 4 运用方法一内外分点法绘制阿氏圆
绘制阿氏圆的方法二，内分点一对圆法，内分点定比点三点圆法。几何原理，到两定点 距离为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图 5。
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A
C
B
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图 5 运用方法二内分点一对圆法绘制阿氏圆
， x2 2ax a2 y2 L2
k 2 x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2L2
k 2 1 x2 y2 2ak 2x a2k 2 0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定点距离定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k 2 1 x2 2ak 2x a2k 2 0
x
2
1 k2 1
2ak 2
2ak 2 2 4 k 2 1 a2k 2
x
ak 2 k2 1
1 k2 1
a2k4 a2k4 a2k2
x
a
k
a 2
1
ak k2 1
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
xC
ak 2 ak k2 1
，
xD
ak 2 k2
ak 1
1
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
在绘制阿氏圆的基础上 绘制出题目 2，见图 14
3a
2a
R20
R15
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扩展 1 扩展：动 点 Pp 到两定点 A、B 的距离之比为定值
kp，动点 Pt 到两定圆 OA（同 A 点）、OB （同 B 点）切线的长 度之比 kt，两比值相 等（kp=kt≠1）时， 两点 Pp、Pt 运动轨迹 的阿氏圆是两个同
心圆。见图 15。
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图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
A
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图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比
圆圆阿氏圆方程，见图 9。
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图 8 题目 1 题解
TA
RA
O OA
RB TB C OB OQ
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k2
1
x2
2ak 2x
R
2 A
k
2
a2
RB2
0
x
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1 k2 1
2ak 2
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2 4 k2 1
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2 A
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图 11 运用方法四三公切线法绘制阿氏圆
R75.65712128
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图 12 运用方法五定比切线点一对圆法绘制阿氏圆
45 30 R75.65712128
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图 13 运用方法六定比切线点两对圆法绘制阿氏圆
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40 R75.65712128
xQ
ak 2 k2 1
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源自文库
a k2 1
点点阿氏圆圆心公式
得到阿氏圆半径：
题目 1 图见图 3。
R
ak k2 1
绘制阿氏圆类图形、求解阿氏圆类问题，首先要绘制出阿氏圆。
绘制阿氏圆的方法一，内外分点法，内外定比分点直径圆法。几何原理，阿氏圆是内外
两个分点连线为直径的圆。见图 4。
5a
A
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R57.14285714
阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
一点到多点到两弧圆的定比例距离定比例分段定比例长度切线
南江石 2018 年 04 月 16 日 2018 年 5 月 8 日
阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。 ——点到两定点距离定比。见图 1。
B
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1 k2 1
a2k 4
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k 2RA2
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1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
xC ak2
1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2 k2 1
绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。见图 6。
在绘制阿氏圆的基础上解题，题目 1 题解见图 8。 阿波罗尼斯圆定理扩展 1：已知平面上一动点 P 到两定圆 OA（半径 RA）、OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、TB）的长度之比为不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）则点 P 的运动轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图 7。
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图 10 题目 2 点到两圆切线定比
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绘制阿氏圆的方法五， 定比切线点一对圆法，公切 线定比分点定比切线点三点 圆法。几何原理，到两定圆 切线长度为定比的点在阿氏 圆上，三点定圆。见图 12。
绘制阿氏圆的方法六， 定比切线点两对圆法，定比 切线点三点圆法。几何原理， 到两定圆切线长度为定比的 点在阿氏圆上，三点定圆。 见图 13。
xD ak2
1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2 k2 1
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
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圆圆阿氏圆圆心公式
得到阿氏圆半径：
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1 k 2 RA2 k 2RB2 a2k 2
题目 2，点到两圆切线定比，见图 10。
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绘制阿氏圆的方法四，三公切线法，三 公切线定比分点法。几何原理，到两定圆切 线长度为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。 见图 11。
阿氏圆是以定比 m：n（m/n=k）内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。 点点阿氏圆方程，见图 2。
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图 1 阿氏圆——点到两定点距离定比 根据已知条件列方程：
x 2 y 2 k 2 L2 ， x a2 y2 L2
图 2 点点阿氏圆方程
X RD
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图 9 圆圆阿氏圆方程
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根据已知条件列方程：
x2 y2 R A2 k 2L2
， x a2 y2 RB2 L2
x2 2ax a2 y2 RB2 L2
k 2 x2 2ak 2 x a2k 2 k 2 y2 k 2RB2 k 2L2
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图 3 题目 1 点到两点距离定比
图 4 运用方法一内外分点法绘制阿氏圆
绘制阿氏圆的方法二，内分点一对圆法，内分点定比点三点圆法。几何原理，到两定点 距离为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图 5。
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图 5 运用方法二内分点一对圆法绘制阿氏圆
， x2 2ax a2 y2 L2
k 2 x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2L2
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此公式为圆方程式，证明了动点到两定点距离定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k 2 1 x2 2ak 2x a2k 2 0
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得到 C 点 D 点的 x 坐标：
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得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
在绘制阿氏圆的基础上 绘制出题目 2，见图 14
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扩展 1 扩展：动 点 Pp 到两定点 A、B 的距离之比为定值
kp，动点 Pt 到两定圆 OA（同 A 点）、OB （同 B 点）切线的长 度之比 kt，两比值相 等（kp=kt≠1）时， 两点 Pp、Pt 运动轨迹 的阿氏圆是两个同
心圆。见图 15。