广东省深圳市乐而思教育2017-2018高三一轮复习--圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线中的定值问题

首先设或求出直线和圆锥曲线方程，联立方程组，大多需要借助韦达定理，选中一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；

圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法

(1)特点：特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．

(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②引进变量法：其解题流程为

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

定理1 在椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a

b x y k MN -=⋅. 定理2 在双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN

=⋅. 定理3 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k M N

=⋅0.

例、已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB = ，其中O 为坐标原点.

（1）求抛物线E 的方程；

（2）已知点C 的坐标为（-3,0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212

112m k k +-为定值.

变式训练

1、如图, 椭圆

,点在椭圆上,设点分别是椭圆的右顶点

和上顶点,过点引椭圆的两条弦、.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与的斜率是互为相反数.

①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值,若不是,说明理由；

②设、的面积分别为和 ,求的取值范围.

()2222:10x y C a

b a

b +=>>12E ⎫⎪⎭11,A B 11,A B C 1A E 1B F C 1A E 1B F EF 1A EF ∆1B EF ∆1S 2S 12S S +

2、已知椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=过点A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

3、已知椭圆C:x2

a +y2

b

=1（a>b>0）的长轴长为4，焦距为22.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x 轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明k′

k

为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.