共线向量的坐标表示
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(3)a ( 3, 3),Βιβλιοθήκη Baidub ( 5, 5)
不平行
平行 平行 平行
(4)a (0,0), b (3, 5)
08:53
例1 已知a (4, 2), b (6, y), 且a/ / b, 求y的值。
解: a / / b, 4 y 2 6 0 y 3
08:53
08:53
(B)
B、2,2
C、3,2
D、2,4
3 . 4. 已知a (4, 2), b (6, y ), 且a / / b, 则 y ___
5. 已知a (1, 2), b ( x,1), 若a 2b与2a b平行,
0.5 则x的值为 ______ .
6. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为
巩固练习：
1.若a (2,3), b (4, 1 y ),且a / / b, 则y A、6 B、5 C、7 D、 8
(C )
2.若A( x, 1), B (1,3), C (2,5)三点共线, 则x的值为( B ) A、-3 B、-1 C、1 D、 3 3.若 AB i 2 j与DC (3 x)i (4 y )（其中、 j i j的 方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为 A、1,2
有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
08:53
2、共线向量基本定理
b 与向量 a(a 0) 共线 当且仅当有唯一一个实数 使得
向量
b a
0 0
08:53
a
b
b b
思考：如何用坐标来表示两个
向量的共线关系呢？
a b b
08:53
平面向量共线的坐标表示 讲授新课：
设a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 其中b 0
运用 例1 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k 为何值时,向量ka－b与a＋3b平行？并确定 此时它们是同向还是反向．
解
ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2,－1), a＋3b＝(1，0)＋3(2，1)＝(7，3)． 由向量平行的条件可得 3· (k－2)－(－1)· 7＝ 0， 所以 k＝－1/3． 此时， ka－b＝ (－7/3,－1)＝－1/3(7,3) ＝－1/3 (a＋3b) ． 08:53 因此，它们是反向的．
变式1.若向量a =(1, x)与b ( x, 4)共线且 方向相同，求x
解： a =(1, x)与b ( x, 4)共线 (1) 4 x ( x) 0 x 2
又a与b同向 x 2
08:53
例2 :已知A(1, 1), B(1,3), C (2,5)，判断 A、B、C三点的位置关系.
CD (2 1, 7 5) (1, 2) 2 2 4 1 0 AB / / CD
AC (2, 6), AB (2, 4)而2 4 2 6 0 AC与 AB不平行即A、B、C三点不共线 直线AB与CD不重合 AB / / CD
08:53
08:53
1 2 1 此时当时k a b ( -3,- +2)=- (a 3b ) 3 3 3 1 当k 时，k a b 与a 3b 平行，并且反向. 3
法二、由法一知： k a b (k 3, 2k 2), a 3b (10, 4) 当k a b与a 3b平行时,存在唯一实数使 k a b = （a 3b） 由(k 3,2k 2)=(10,-4)得 k 3 10 1 k 3 2k 2 4 1 当k 时,k a b与a 3b平行 3 1 此时:k a b (a 3b) 3 1 =- <0 k a b与a 3b反向 08:53 3
a ( x1, y1 )
08:53
（2）已知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
y
解： AB OB OA
A( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 )
O x
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
1 变式3:已知点A (1,1),B(-1,5),及 AC = AB, 2 1 AD=2 AB,AE =- AB, 求点C、D、E的坐标. 2
解： AB (2, 4) AC (1, 2), AD (4,8), AE (1, 2) OC OA AC (1,1) (1, 2) (0,3) OD OA AD (1,1) (4,8) (3,9) OE OA AE (1,1) (1, 2) (2, 1) 点 C 、 D 、 E 的坐标分别是 (0,3) ， ( 3,9) ， (2, 1). 08:53
5 . A(5, 7), B(3, x), C (2,3), D(4, x), 则x ____
7. 已知A、B、C、D四点坐标分别是(1, 0)、 (4,3)、 (2, 4)、 (0, 2).试证明四边形ABCD是梯形. 值时,k a b与a 3b平行?平行时它们是同向 还是反向？
08:53
1、平面向量共线的坐标表示？ 2、如何用向量判断三点共线？ 3、如何用向量的坐标运算求线段的定比分 点坐标公式？
08:53
08:53
解: AB (2, 4), AC (3, 6) 又2 6 3 4 0 AB / / AC. A、B、C三点共线.
A
C B
08:53
变式2：已知A(1, 1), B(1,3), C (1,5) D(2, 7),向量 AB与CD平行吗？直线AB与CD平行吗？ 解： AB (1 (1),3 (1)) (2, 4),
a b( x1, y1 ) ( x2 , y2 )
x1 x2 y1 y2
a //b
08:53
x1 y1 x2 y2
x1 y2 x2 y1
• 例：判断下列两向量是否平行。
(1)a (3, 5), b (5,3)
(2)a (2,3), b (4, 6)
平面向量共线的坐标表示
08:53
复习回顾:
1、平面向量的坐标运算方式
(1)、已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则: a b, a b, a的坐标.
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
8.已知平面内向量a (1, 2), b=(-3,2),当k为何
8.已知平面内向量a (1, 2), b=(-3,2),当k为何值时, ka b与a 3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：法一、k a b k (1, 2) (3, 2) (k 3, 2k 2) a 3b =(1, 2)-3 (-3,2)=(10,-4) k a b 与a 3b 平行 （k 3) (4) 10 (2k 2) 0 1 k =3
不平行
平行 平行 平行
(4)a (0,0), b (3, 5)
08:53
例1 已知a (4, 2), b (6, y), 且a/ / b, 求y的值。
解: a / / b, 4 y 2 6 0 y 3
08:53
08:53
(B)
B、2,2
C、3,2
D、2,4
3 . 4. 已知a (4, 2), b (6, y ), 且a / / b, 则 y ___
5. 已知a (1, 2), b ( x,1), 若a 2b与2a b平行,
0.5 则x的值为 ______ .
6. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为
巩固练习：
1.若a (2,3), b (4, 1 y ),且a / / b, 则y A、6 B、5 C、7 D、 8
(C )
2.若A( x, 1), B (1,3), C (2,5)三点共线, 则x的值为( B ) A、-3 B、-1 C、1 D、 3 3.若 AB i 2 j与DC (3 x)i (4 y )（其中、 j i j的 方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为 A、1,2
有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
08:53
2、共线向量基本定理
b 与向量 a(a 0) 共线 当且仅当有唯一一个实数 使得
向量
b a
0 0
08:53
a
b
b b
思考：如何用坐标来表示两个
向量的共线关系呢？
a b b
08:53
平面向量共线的坐标表示 讲授新课：
设a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 其中b 0
运用 例1 已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，当实数k 为何值时,向量ka－b与a＋3b平行？并确定 此时它们是同向还是反向．
解
ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2,－1), a＋3b＝(1，0)＋3(2，1)＝(7，3)． 由向量平行的条件可得 3· (k－2)－(－1)· 7＝ 0， 所以 k＝－1/3． 此时， ka－b＝ (－7/3,－1)＝－1/3(7,3) ＝－1/3 (a＋3b) ． 08:53 因此，它们是反向的．
变式1.若向量a =(1, x)与b ( x, 4)共线且 方向相同，求x
解： a =(1, x)与b ( x, 4)共线 (1) 4 x ( x) 0 x 2
又a与b同向 x 2
08:53
例2 :已知A(1, 1), B(1,3), C (2,5)，判断 A、B、C三点的位置关系.
CD (2 1, 7 5) (1, 2) 2 2 4 1 0 AB / / CD
AC (2, 6), AB (2, 4)而2 4 2 6 0 AC与 AB不平行即A、B、C三点不共线 直线AB与CD不重合 AB / / CD
08:53
08:53
1 2 1 此时当时k a b ( -3,- +2)=- (a 3b ) 3 3 3 1 当k 时，k a b 与a 3b 平行，并且反向. 3
法二、由法一知： k a b (k 3, 2k 2), a 3b (10, 4) 当k a b与a 3b平行时,存在唯一实数使 k a b = （a 3b） 由(k 3,2k 2)=(10,-4)得 k 3 10 1 k 3 2k 2 4 1 当k 时,k a b与a 3b平行 3 1 此时:k a b (a 3b) 3 1 =- <0 k a b与a 3b反向 08:53 3
a ( x1, y1 )
08:53
（2）已知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标.
y
解： AB OB OA
A( x1 , y1 ) B ( x2 , y 2 )
O x
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
( x2 x1 , y2 y1 )
1 变式3:已知点A (1,1),B(-1,5),及 AC = AB, 2 1 AD=2 AB,AE =- AB, 求点C、D、E的坐标. 2
解： AB (2, 4) AC (1, 2), AD (4,8), AE (1, 2) OC OA AC (1,1) (1, 2) (0,3) OD OA AD (1,1) (4,8) (3,9) OE OA AE (1,1) (1, 2) (2, 1) 点 C 、 D 、 E 的坐标分别是 (0,3) ， ( 3,9) ， (2, 1). 08:53
5 . A(5, 7), B(3, x), C (2,3), D(4, x), 则x ____
7. 已知A、B、C、D四点坐标分别是(1, 0)、 (4,3)、 (2, 4)、 (0, 2).试证明四边形ABCD是梯形. 值时,k a b与a 3b平行?平行时它们是同向 还是反向？
08:53
1、平面向量共线的坐标表示？ 2、如何用向量判断三点共线？ 3、如何用向量的坐标运算求线段的定比分 点坐标公式？
08:53
08:53
解: AB (2, 4), AC (3, 6) 又2 6 3 4 0 AB / / AC. A、B、C三点共线.
A
C B
08:53
变式2：已知A(1, 1), B(1,3), C (1,5) D(2, 7),向量 AB与CD平行吗？直线AB与CD平行吗？ 解： AB (1 (1),3 (1)) (2, 4),
a b( x1, y1 ) ( x2 , y2 )
x1 x2 y1 y2
a //b
08:53
x1 y1 x2 y2
x1 y2 x2 y1
• 例：判断下列两向量是否平行。
(1)a (3, 5), b (5,3)
(2)a (2,3), b (4, 6)
平面向量共线的坐标表示
08:53
复习回顾:
1、平面向量的坐标运算方式
(1)、已知 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则: a b, a b, a的坐标.
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
8.已知平面内向量a (1, 2), b=(-3,2),当k为何
8.已知平面内向量a (1, 2), b=(-3,2),当k为何值时, ka b与a 3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解：法一、k a b k (1, 2) (3, 2) (k 3, 2k 2) a 3b =(1, 2)-3 (-3,2)=(10,-4) k a b 与a 3b 平行 （k 3) (4) 10 (2k 2) 0 1 k =3