共线向量的坐标表示

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第二章平面向量共线的坐标表示

答案：4ab＝1
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规律归纳涉及本节知识点的试题基本上以共线向量的坐标运算为主，另外还会与解析几何知识相结合，以综合题的形式出现．
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4 (2010· 陕西高考)已知向量 a＝(2，－1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________.
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三点共线问题 → → → 【例 2】向量PA＝(k,12)，PB＝(4,5)，PC＝(10，k)，当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？
→ → 思路分析：A、B、C 三点要共线，则必有BA∥CA.
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→ → → 解：BA＝PA－PB＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)． → → → CA＝PA－PC＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)． → → ∵A、B、C 三点共线，∴BA∥CA，即(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，整理得 k2－9k－22＝0，解得 k＝－2 或 11， ∴当 k＝－2 或 11 时，A、B、C 三点共线．
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自测自评
1．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则 a 和 b( A．共线且方向相同 C．是相反向量 B．共线且方向相反 D．不共线 )
2 2 解析：a＝－ b 且－ <0，∴a 和 b 共线且方向相反． 3 3
答案：B
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→ → → 2 已知向量OA＝(k,12)、OB＝(4,5)、OC＝ (－k,10)，且 A、B、C 三点共线，则 k＝________.

2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标

所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量与非零向量唯一一个实数 ,
b使平得行(a共线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．

(完整版)向量共线的坐标表示

《平面向量共线的坐标表示》教案教学目标(1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；(2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；(3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.教学重点和难点(1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解；(2)难点：定比分点的理解和应用。

教学过程一、新知导入（一）、复习回顾1、向量共线充要条件:2.平面向量的坐标运算：（1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2).a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2).λa =(λx 1,λy 1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（二）、问题引入已知下列几组向量：(1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)；(4)a ＝⎝⎛⎭⎫12，1，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x AB --=则.,)0(//a b a a b λλ=⇔≠使存在唯一实数二、新知探究思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。

由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时能不能两式相除？（不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0）（2）能不能写成2211x y x y = ？（不能。

向量共线坐标表示

① 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0
+ +
1
坐标是
时,a∥b.
2
2
,
1
2
2
.
) 1 +2 1 +2
a.
【做一做】
下列各组向量共线的是(
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y 2),且1 = 2 (≠-1),则
题型三
题型四
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经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b
平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,
题型一
1
再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
2
则与共线,且有一个公共点 A,
故 A,B,C 三点共线.
题型三
题型四
题型一
题型二
反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之
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和等于第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其
题型三
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数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。

平面向量共线的坐标表示29371

复习平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
复习
平面向量基本定理：
(1)我们把不共线向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底 e1、e2的条件下进行分解；
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除， y1, y2有可能为 0，又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
2. 能不能写成 y1 y2 ? x1 x2
3. 向量共线有哪两种形式?
探究：
1. 消去时能不能两式相除?
不能两式相除， y1, y2有可能为 0，又b 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .
特别地, i (1, 0),
j (0, 1), (0, 0).
a
j
Oi
x
平面向量的坐标运算
a a
a
b
(
x1
x2，y1
b ( x1 x2，y1
(x,y)
y2 y2
) )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点
P的坐标； (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点
时，求点P的坐标.
讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点，P1、 P2的坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时，求点

高一数学平面向量共线的坐标表示(中学课件201911)

例题讲解
例1、已知a (4, 2),b (6, y),且a // b,求y.
例2、已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？
问题探究
设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别为(x1, y1),(x2 , y2 ).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标. (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点 P的坐标.
复习巩固
（1）两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a b (x1 x2, y1 y2 )
（2）两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a b (x1 x2, y1 y2)
复习巩固
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
a (x1, y1)
(3)当P1P= PP2时，求点P的坐标.
例题讲解
《学海》习题讲解
布置作业
作业： 1、P101习题A组：6、7. B组：2； 2、学海第7课时
4.任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
复习巩固
5.a (x1, y1),b (x2 , y2 ),(b 制作武汉做网站武汉网站制作武汉做网站
；
贫守道子肃之论所谓’逗极无二’者 "潜也何敢望贤？何谓其同？欲举为秀才示形神于天壤亲老家贫武帝北伐濮阳鄄城人也彦之诫曰素琴以供祭祀景翳翳其将入临沧洲矣 "既没不须沐浴征辟一无所就应感之法 "吴差山中有贤士别有风猷服寒食散老全其生宋国初建凝之曰昔有鸿飞天首时往游焉 "仆著已败命为谘议参军若夫陶潜之徒人不能测辄当申譬身处卿佐 &

向量共线条件的坐标表示教案

向量共线条件的坐标表示教案一、教学目标1. 让学生理解向量共线的概念。

2. 让学生掌握向量共线的坐标表示方法。

3. 培养学生运用向量共线条件解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 向量共线的定义2. 向量共线的坐标表示方法3. 向量共线条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：向量共线的概念，向量共线的坐标表示方法。

2. 教学难点：向量共线条件的应用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量共线的概念和坐标表示方法。

2. 采用案例分析法，让学生通过具体例子掌握向量共线条件的应用。

3. 采用互动提问法，激发学生的思考，提高课堂参与度。

五、教学过程1. 导入：简要介绍向量共线的概念，引导学生思考如何用坐标表示向量共线。

2. 新课讲解：a) 讲解向量共线的定义，让学生理解什么是向量共线。

b) 引入向量共线的坐标表示方法，引导学生掌握如何用坐标判断向量共线。

3. 案例分析：a) 给出具体例子，让学生运用向量共线条件解决问题。

b) 分析例子，引导学生总结向量共线条件的应用。

4. 课堂练习：a) 布置练习题，让学生巩固向量共线条件的坐标表示方法。

b) 引导学生互相讨论，共同解决问题。

5. 总结与拓展：a) 总结本节课的主要内容和知识点。

b) 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固向量共线条件的坐标表示方法。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对向量共线条件的理解和掌握程度。

2. 练习题解答：检查学生对向量共线条件坐标表示方法的掌握情况。

3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

2. 反思教学内容：根据学生的掌握程度，调整教学内容，确保学生扎实掌握向量共线条件。

八、教学拓展1. 向量共线与线性方程组：引导学生探讨向量共线与线性方程组之间的关系。

2. 向量共线在几何中的应用：讲解向量共线在几何领域中的应用，如线段平分、角度平分等。

高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示课件16

【典例】已知A(1,-3),B (8, 1) ,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是 ( )
2
A.(-9,1)
B.(9,-1)
C.(9,1)
D.(-9,-1)
【思路导引】设出点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量 AB,AC(或BC)，由向量共线的条件结合选项求解.
【解题策略】 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题,其解题思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线,由于两向量过同一点,所以两向量所在的直线必重合,即三点共线. (2)求解直线或线段的交点问题,常规方法为写出直线或线段对应的直线方程, 建立方程组求解,而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量,且思路简单明快.
()
(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)同向.
()
(3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线. ( )
2.下列向量组中,不共线的向量组是 ( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2= (1 , 3)
22
3
5.已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M为圆C上的任意一点,点N在线段MA的延长线上,且MA＝2养达标
1.下列满足平行的一组向量是 ( ) A.a=(1,-4),b=(504,-2 016) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(1,2),b=(-1 008,2 016) D.a=(-1,4),b=(3,12) 【解析】选A.a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb(b≠0),经验证,只有A选项满足条件.

2.3.4平面向量共线的坐标表示

抛砖引玉
a=λb 足关系式：＿＿＿。
(x1，y1)=λ(x2，y2) 如果用坐标表示，可写成：＿＿＿＿＿＿＿＿。 x1= λx2 ＿＿＿＿即： y1=λy2 ＿＿＿＿
x1y2-x2y1=0 消去λ后得：＿＿＿＿＿＿＿。
1、平面向量共线的坐标表示：
• 设向量a=(x1，y1)，向量b=(x2，y2)，则当且仅
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
y P2 P1 P
已知：点P是线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。
O y
x P2
P
P1
O
x
小组讨论（5min）
• 仿照上题，点P是线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，当时，点P的坐标是什么？
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（3）
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
Yesterday once more
• 平面向量的坐标运算：a =(x1，y1)， b =(x2，y2)
a+b=(
，
)；
a-b=(
λa=(
， )；
， )。
• 任意一个向量的坐标等于＿＿＿减去＿＿＿。
• 如果向量a，b共线（其中b≠0），那么a，b满足什么关系式？
x1 x 2 x 2 (1)线段P1P2的中点坐标 x 2 x 1 (2)线段P1P2的定比分点坐标： y y1 y2 1
追踪练习
例2、已知A(-1，-1)，B(1，3)， C (2，5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系。
例 3 、已知：点 P 是线段 P1P2 上的一点， P1(x1 ， y1) ，

课件8：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

又∵θ 为锐角，∴sinθ＝ 22，θ＝45°，故选 A.
2.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3，1)，B(－1，3)，若点 C
满足O→C＝αO→A＋βO→B，其中 α、β∈R，且 α＋β＝1，则点 C 的轨迹形状
是________．
解析：∵α＋β＝1，∴β＝1－α.∴O→C＝αO→A＋(1－α)O→B. ∴O→C－O→B＝α(O→A－O→B)．∴B→C＝αB→A.
的意义不同，前者不允许
x2
和
y2
为零，
而后者允许，所以当向量 a、b 之一为零向量或向量 a、b 与坐标轴平行时，该
方法便行不通了．
题型探究
题型一向量共线的判断例1 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时，它们是同向还是反向？
【解】由已知得，ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
λ＝－71， y＝37.源自随堂练习1.已知 a＝(－2，1－cosθ)，b＝1＋cosθ，－41，且 a∥b，则锐角 θ 等于( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．15°
解析：选 A.由 a∥b 得(－2)×－14－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0
即12＝1－cos2θ＝sin2θ，∴sinθ＝± 22，
代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，整理得 x2＋y2＝1. ∴所求的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
课堂小结
1.用向量的坐标判定两向量的共线，当坐标不为0时，看其坐标是否成比例． 2.三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．

平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示

)．
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P
的坐标．
如图，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两
种情况，即P1P=
1 2
PP2或P1P=2PP2 ．
y P2
y
P
P2
P P1
O
x
P1
O
x
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P
的坐标．
如果P1P=
1 2
PP2
(如图)，那么
y
(x1，y1)=λ(x2，y2)
即消去λ后得：
x1=λx2， y1=λy2．
x1y2-x2y1=0．
这就是说，当且仅当
x1y2-x2y1=0
时，向量a、b（b≠0）共线．
例4 已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y. 解：∵ a∥b ，
∴ 4y-2×6=0. ∴ y=3.
Байду номын сангаас
例5 已知A(-1，-1)、 B(1，3)、C(2，5)，试
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？
a=b x1=x2且y1=y2
已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，你能得出a +b， a -b，λa的坐标吗？
解：
即同理可得
a + b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j ） =（x1+x2）i+（y1+y2）j
a + b =（x1+x2，y1+y2）
平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示
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数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示_知识点总结
数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

高中数学必修四第2章平面向量课件 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

类型二利用向量共线求参数【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路探索] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再由向量共线的充要条件列方程组求k. 解法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.② 解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3， ∴点P的坐标为(3,3)． [规律方法] 求解直线或线段的交点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快．
【活学活用3】平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，
新知导学平面向量共线的坐标表示
前提条件
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量a，b(b≠0)共线
温馨提示：平面向量共线的坐标表示的记忆策略
互动探究探究点1 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向等．探究点2 若a∥b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则必有yx11＝xy22吗？提示不一定，两个向量中，若有与坐标轴(x轴)平行的向量或零向量，则不能写成比例式.

平面向量共线的坐标表示_课件4

02
掌握平面向量的坐标表示法，能够熟练地进行向量的坐标运算。
03
理解共线向量的定义和性质，掌握判断两个向量是否共线的方法。
04
掌握共线向量坐标表示的推导过程，能够运用所学知识解决相关问题。
02
平面向量的基本概念
向量的定义与性质
向量定义
向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
平面向量共线的坐标表示_课件4
汇报人：XX
目录
• 引言 • 平面向量的基本概念 • 平面向量共线的条件 • 平面向量共线的坐标表示 • 典型例题解析 • 课堂小结与作业布置
01
引言
课件背景与目的
课件背景
平面向量是数学中的重要概念，共线是平面向量的一种特殊关系。本课件旨在通过坐标表示法，探究平面向量共线的性质和应用。
，即a·b=|a||b|cos<a,b>。
03
平面向量共线的条件
共线向量的定义
定义
若两个向量$vec{a}$和$vec{b}$满足$vec{a} = kvec{b}$（ $k$为实数），则称$vec{a}$和$vec{b}$共线。
说明
共线向量也称为平行向量，它们所在的直线平行或重合。
共线向量的性质
如果两个向量a、b满足a = λb (λ为实数)，则称向量a与向量b共线。
共线向量的坐标运算
设向量a = (x1, y1)，向量b = (x2, y2)且a与b共线，则存在实数λ使得x1 = λx2，y1 = λy2。特别地，当x2 ≠ 0且y2 ≠ 0时，有λ = x1/x2 = y1/y2 。
共线向量的判定定理

6.2平面向量共线定理的坐标表示

授课主题平面向量共线的坐标表示教学目标 1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．教学内容1．向量共线定理1）向量a 与非零向量b 共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a ＝λb2）为什么要规定b 为非零向量？答：若向量b ＝0，则由向量a ，b 共线得a ＝λb ＝0，但向量a 不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 等价于x 1y 2－x 2y 1＝02）设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2要满足什么条件？答：a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2的适用范围是x 2≠0，y 2≠0，这与要求b 是非零向量是等价的．题型一平面向量共线的坐标运算例1 若向量a ＝()2，－1，b ＝()x ，2 ，c ＝()－3，y ，且a ∥b ∥c ，求x ，y 的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a ∥b ∥c ，由向量共线的坐标表示得∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x ＝0，2y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝32.点评：记住已知a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.巩固已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，当实数k 为何值时，向量k a －b 与a ＋3b 平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量k a －b 与a ＋3b 的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵ a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k ()1，0－()2，1＝()k －2，－1，a ＋3b ＝()1，0＋3()2，1＝()7，3.∵向量k a －b 与a ＋3b 平行，∴3()k －2＋7＝0，解得k ＝－13. ∵k ＝－13，k a －b ＝－13(a ＋3b )，所以向量k a －b 与a ＋3b 反向．题型二平面向量共线的证明例2 已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，求证A 、B 、C 三点共线．分析：证向量AB →与AC →共线．证明：∵ A (－1，－1)，B (1,3)，C (2,5)，∴AB →＝()2，4，AC →＝()3，6.∴AB →＝23AC →. ∵AB →，AC →有公共点A ，∴A 、B 、C 三点共线．点评：通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩固已知OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？分析：由A 、B 、C 三点共线，可得AB →与BC →共线．解析：∵OA →＝()k ，12，OB →＝()4，5，OC →＝()10，k ，∴AB →＝()4－k ，－7，BC →＝()6，k －5.∵A 、B 、C 三点共线，∴()4－k ()k －5＋42＝0.解得k ＝11或k ＝－2.题型三用共线向量的性质求坐标例3 若M ()3，－2，N ()－5，－1，且 MP →＝12MN →，则P 点的坐标是________．分析：设P ()x ，y ，由MP →＝12MN →可求解．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝12MN →，∴()x －3，y ＋2＝12()－8，1＝⎝⎛⎭⎫－4，12⇒x ＝－1，y ＝－32. ∴P ⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32 点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩固若M ()3，－2，N ()－5，－1，且MP →＝－2MN → , 则P 点的坐标是________．解析：设P ()x ，y ，则MN →＝()－8，1，MP →＝()x －3，y ＋2.∵ MP →＝－2MN →，∴()x －3，y ＋2＝－2()－8，1＝(16，－2)．解得P ()19，－4.答案：()19，－4题型四共线向量的综合应用例4 如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线．分析：把向量AB →＝i －2j 和BC →＝i ＋m j 转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，∴AB →＝()1，－2，BC →＝()1，m .∵ A 、B 、C 三点共线，即向量AB →与BC →共线，∴m ＋2＝0，解得m ＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩固已知A ()1，1，B ()3，－1，C ()a ，b .(1)若A 、B 、C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解析：(1)AB →＝()2，－2，AC →＝()a －1，b －1，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线．∴2()b －1＋2()a －1＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴()a －1，b －1＝2()2，－2⇒a ＝5，b ＝－3.∴C ()5，－3.1．若a ＝(2,3)，b ＝(4，－1＋y )，且a ∥b ，则y ＝( )A ．6B ．5C ．7D ．8答案：C2．已知点M 是线段AB 上的一点，点P 是平面上任意一点，PM →＝35P A →＋25PB →，若AM →＝λMB →，则λ等于( ) A.35 B.25 C.32 D.23解析：用P A →，PB →表示向量AM →，MB →.∵AM →＝AP →＋PM →＝AP →＋35P A →＋25PB →＝－25P A →＋25PB →，MB →＝MP →＋PB →＝－PM →＋PB →＝－35P A →＋25PB →＋PB →＝－35P A →＋35PB →，∴AM →＝23AB →. 答案：D3．已知▱ABCD 四个顶点的坐标为A (5,7)，B (3，x )，C (2,3)，D (4，x )，则x ＝__________.答案：54．已知两点A (1,3)、B (4，－1)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：A5．已知A ()－2，－3，B ()2，1，C ()1，4，D ()－7，－4，判断AB →与CD →是否共线．解析：∵AB →＝(4,4)，CD →＝(－8，－8)，∴AB →＝－12CD →. ∴AB →与CD →共线．6．已知A (－1，－1)，B (1,3)，C (1,5) ，D (2,7) ，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？解析：AB →＝()2，4，CD →＝()1，2，AB →＝2CD →，所以向量AB →与CD →平行，即直线AB 平行于直线CD .7．已知点A (x,0)，B (2x,1)，C (2，x )，D (6,2x )．(1)求实数x 的值，使向量AB →与CD →共线．解析：AB →＝()x ，1，CD →＝()4，x ，∵向量AB →与CD →共线，∴x 2－4＝0，解得x ＝±2.(2)当向量AB →与CD →共线时，点A ，B ，C ，D 是否在一条直线上？解析：x ＝2时，不在同一条直线上；x ＝－2时，在同一条直线x ＋2y ＋2＝0上．8．△AB C 的顶点A 、B 、C 分别对应向量a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，c ＝()x 3，y 3其重心为G ，对应的向量为g ＝()x 0，y 0.求证：x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 证明：设AD 为BC 边的中线，O 为坐标原点．则OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋13()AB →＋AC →＝OA →＋13()OB →－OA →＋OC →－OA →＝13()OA →＋OB →＋OC →. ∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，G (x 0，y 0)∴x 0＝x 1＋x 2＋x 33，y 0＝y 1＋y 2＋y 33. 9．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．分析：(1)只需证明a ·b ＝0即可；(2)由已知条件得到cos α＋cos β，sin α＋sin β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)解析：因为a ＋b ＝(co s α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos ()π－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.。

向量共线公式

向量共线公式
向量共线公式是指可以用向量的坐标来判断两个或多个向量是
否共线的公式。

具体来说，如果存在一个实数k，使得向量a=k*b，则向量a和向量b就是共线的。

换句话说，如果两个向量的坐标之间存在一个比例关系，那么它们就是共线的。

这个比例关系可以用一个实数k来表示，k称为向量的比例系数。

向量共线公式可以表示为：
如果a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)两个向量，则a和b共线的充分必要条件是：存在一个实数k，使得x1=k*x2，y1=k*y2，
z1=k*z2。

如果有三个向量a、b、c，则a、b、c共线的充分必要条件是：存在两个实数k1和k2，使得a=k1*b+k2*c。

需要注意的是，如果两个向量不是共线的，那么它们之间的比例系数k是不存在的。

向量共线公式在几何学和物理学中都有广泛的应用。

例如，在力学中，可以用向量共线公式来判断哪些力是平衡力，哪些是不平衡力。

在几何学中，可以用向量共线公式来证明线段是否共线。

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