《完全平方公式》 (第1课时)示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章整式的乘除

1.6完全平方公式（1） 教学设计

一、教学目标

1.掌握完全平方公式，能利用完全平方公式进行运算；

2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景．

二、教学重点及难点

重点：弄清完全平方公式的结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点并会应用；

难点：熟练用完全平方公式进行运算．

三、教学准备

多媒体课件

四、相关资源

相关图片

五、教学过程

【问题情境】

列出下列代数式吗？

（1）两数和的平方； 2a b +（）

（2）两数差的平方； 2a b -（）

你能计算出他们的结果吗？ 提示：

222

2a b a b a b a ab b +=++=++（）（）（）； 2222a b a b a b a ab b -=--=-+（）（）（）． （3）根据乘方的定义，我们知道：2a a a =⋅，那么

2a b +（）应该写成什么样的形式呢？2

a b +（）的运算结果有什么规律？

今天我们来探究这一问题．

设计意图：通过对比复习旧知识，引出新知识点．

【探究新知】

探究一、完全平方公式

活动1.计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）()()()2

+111_________p p p =++=； （2）

2

2______________m +=（）； （3）()()()2111_________p p p -=--=； （4）

2

2_______________m -=（）． 学生讨论，师生共同归纳，得出结果：

（1）()()2211121p p p p p +=++=++（）； （2）()()()2

222244m m m m m +=++=++；

（3）()()()2211121p p p p p -=--=-+；

（4）()()()2222244m m m m m -=--=-+．

分析计算结果，寻找规律：结果中有两个数的平方和，而2p ＝2·p ·1，4m ＝2·m ·2，恰好是两个数乘积的2倍；（1）与（3），（2）与（4）之间只差一个符号． 活动2.计算推广：计算

2_____________a b +=（）；2

_____________a b -=（）． 学生独立完成得到结果：

2222a b a b a b a ab b +=++=++（）（）（）；

2222a b a b a b a ab b -=--=-+（）（）（）． 总结具有上述形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，得到完全平方公式：

2222a b a ab b +=++（）；

2222a b a ab b -=-+（）．

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

活动3.引导学生观察公式的左右边，进一步挖掘公式的结构特征

①公式左边是一个二项式的完全平方．

②公式的右边是一个二次三项式，分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍（首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方）．

（1）222

(6)( )26( )x x +=+⨯+；

（2）222(2)( 2 )( )m n m n +=++．

答案：①x ，6；22m n ⨯．

设计意图：通过计算得出完全平方公式，多层面多方位考察完全平方公式，加深理解

探究二、几何解析

你能根据图（1）和图（2）的面积说明完全平方公式吗？

图1大正方形的边长为(a ＋b )，面积就是2a b +（）

，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为2a ，ab ，ab ，2b ，因此，整个面积为222a ab ab b a +++=+22ab b +，

即说明2222a b a ab b +=++（）．

类似地可由图2说明2222a b a ab b -=-+（）．

设计意图：通过学生动手计算、讨论、交流，推导出完全平方公式，培养学生的代数推理能力，并从几何角度对公式进行解释，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．

【典型例题】

例1．用完全平方公式计算：

(1) (2x −3)2 ； (2) (4x +5y )2 ； (3) (mn −a )2

分析：找准与公式中与a ，b 对应因式，代入公式计算．

解：（1）(2x −3)2= (2x )2-2(2x )(3)+ (-3)2

=4x 2-12x +9

（2）(4x +5y )2 =(4x )2-2(4x )(5y )+ (5y )2

=16x 2-40xy +25y 2

（3）(mn −a )2 =(mn )2-2mna +a 2

=m 2n 2-2mna +a 2 例2．运用完全平方公式计算：

（1）24m n +（）；（2）21

2

y -（）． 解：（1）222224424168m n m m n n m mn n +=+⋅⋅+=++（）（）（）；

（2）22221

11122224

y y y y y -=-⋅⋅+=-+（）（）． 设计意图：通过将算式中的各项与公式里的a ，b 进行对照，进一步体会字母a ，b 的含义，加深对字母含义广泛性的理解．

例3.如果36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2是一个完全平方式，求m 的值．

分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值．

解：∵36x 2＋(m ＋1)xy ＋25y 2＝(6x )2＋(m ＋1)xy ＋(5y )2，∴(m ＋1)xy ＝±2·6x ·5y ，∴m ＋1＝±60，∴m ＝59或－61．

设计意图：认清完全平方式的特点：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式；注意积的2倍的符号，避免漏解．

例4.（1）下列等式能成立的是( )．C

A ．(a -b )2＝a 2-ab +b 2

B ．(a +3b )2＝a 2+9b 2

C ．(a +b )2＝a 2+2ab +b 2

D ．(x +9)(x -9)＝x 2-9

（2）(a +3b )2-(3a +b )2计算的结果是( )．C

A ．8(a -b )2

B ．8(a +b )2

C ．8b 2-8a 2

D ．8a 2-8b 2

（3）在括号内选入适当的代数式使等式152x y ⎛⎫-

⎪⎝⎭·( )＝2212554x xy y -+成立．A A ．152x y - B ．152x y + C ．152x y -+ D ．152

x y -- （4）(5x 2-4y 2)(-5x 2+4y 2)运算的结果是( )．B A ．-25x 4-16y 4

B ．-25x 4+40x 2y 2-16y 2

C ．25x 4-16y 4

D ．25x 4-40x 2y 2+16y 2

设计意图：完全平方公式的灵活运用.

四、课堂练习

1.（1）计算2

2)()(b a b a --+，其结果为（ ）A

A ．ab 4

B ．ab 2

C ． 22a

D ．22b

（2）如果122++ax x 是完全平方公式，则a 的值为（ ）C