立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总

一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂

作用： ① 用来验证直线在平面内；

② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）

符号语言：P l P l αβαβ∈⇒=∈且

作用：① 用来证明两个平面是相交关系；

② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号语言：,,,,A B C A B C ⇒不共线确定一个平面

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

符号语言：A a A a a αα∉⇒∈⊂有且只有一个平面，使，

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：a b P a b ααα⋂=⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：//a b a b ααα⇒⊂⊂有且只有一个平面，使，

公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭

图形语言：

作用：用来证明线线平行。

二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ⎫⇒⎬⎭ 图形语言：

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）

符号语言：

////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭ 图形语言：

线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）

符号语言：////a b a a b βαβα⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭

图形语言：

面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）

符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ⊂⊂=⎫⎪⇒⎬⎪⎭

图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）

符号语言：,,//oo oo ααββ⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言：

面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）

符号语言：////a a b b αγβγαβ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭

图形语言：

面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）

符号语言：////a a βααβ⎫⇒⎬⊂⎭

图形语言：

面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8）

符号语言：//a a ββαα⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言：

面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9）

符号语言：//////αβαγγβ⎫⇒⎬⎭

图形语言：

平行垂直关系图系

三、垂直关系

三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（10）

符号语言：

PA a PO O a PA A a O ααα⊥⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭⊥且 图形语言：

三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）

符号语言：PA a PO O a AO P a O ααα

⊥⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭⊥且 图形语言：

线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（12） 符号语言：

(,),m n m n l m l B n l ααα⎫⎪⇒⎬⎪⊂⊂=⎭⊥⊥⊥ 图形语言：

线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（13）

符号语言：//b a b a αα⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言：

线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（14）

符号语言：//a b b a αα⎫⇒⎬⎭⊥⊥ 图形语言：

线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（15）

符号语言：a a b b αα⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥ 图形语言：

面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（16）

符号语言：A AB B βααβ⎫⇒⎬⊂⎭⊥⊥ 图形语言：

面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（17）

符号语言：AB CD AB AB CD αββααβ⊥⎫⎪=⇒⎬⎪⊥⊂⎭⊥且

图形语言：

最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有12cos cos cos θθθ=⋅（其中12,,θθθ如图中所示） 图形语言：