二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
二重积分积分区域关于原点对称的结论
二重积分积分区域关于原点对称的结论1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊二重积分中的一个有趣话题，听上去可能有点严肃，但其实特别简单，就是积分区域关于原点对称的那些事儿。
你说，二重积分到底是什么呢？简单来说，就是在一个区域内对某个函数进行“加法”，像是在数糖果，数得越多越开心！而原点对称的意思呢，就是像一对情侣一样，双方都一样对称，左边和右边就像镜子一样，听起来是不是很有趣？2. 理论背景2.1 二重积分的基本概念说到二重积分，咱们得先搞清楚积分区域的样子。
想象一下，咱们在纸上画一个大大的蛋糕，那就是我们的积分区域。
这个区域可以是任何形状的，比如圆形、矩形，甚至是个复杂的花花草草。
然后，我们在这个区域内的每一个点上，去计算函数值，就像在每一块蛋糕上撒糖霜，越撒越好吃！所以说，二重积分就是在这块区域内对函数进行的全方位“撒糖霜”！2.2 对称性的魅力接下来，让我们聊聊对称性。
原点对称的意思就是如果把区域翻转180度，依然保持不变。
就好比你的影子，如果你站在灯光下转身，影子还是那个影子，完全没变！而在数学中，这样的区域其实特别好处理，因为它们的性质让我们的计算变得轻松许多。
3. 具体例子3.1 圆形区域的美妙来，咱们举个简单的例子，假如我们有一个圆形的区域，中心就在原点。
想象一下这个圆，就像一个完美的披萨！在这个圆里面，每个点都和原点一样远，如果我们在这个圆里做二重积分，哎呀，那简直就像是把披萨分成一片一片的，吃起来特别过瘾！而且，圆的对称性让我们在计算的时候可以省去不少麻烦，哼哼，谁不喜欢简单明了的事儿呢？3.2 矩形区域的乐趣再比如说一个以原点为中心的矩形区域，虽然它的形状不是那么圆润，但同样是对称的。
就像个四四方方的豆腐，不管你怎么切，都是一块块的！在这种情况下，我们可以利用对称性，把积分变得更简单。
这就像是在做数学游戏，玩得不亦乐乎！4. 结论总之，二重积分的积分区域如果关于原点对称，简直就是给我们数学小白们送来了“福音”。
积分的对称性问题
例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、什么是积分区域关于原点对称二重积分？在数学中，积分是一种重要的运算工具，它可以用来计算函数在某个区域上的总量。
积分区域关于原点对称二重积分是一种特殊的积分形式，它要求被积函数关于原点对称。
在这种情况下，我们可以通过一些特殊的技巧来简化积分计算过程。
二、如何计算积分区域关于原点对称二重积分？要计算积分区域关于原点对称二重积分，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定积分区域首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
积分区域通常由一些特定的几何形状所构成，如圆、矩形、三角形等。
在确定积分区域时，我们需要考虑被积函数的定义域和对称性。
2. 利用对称性简化积分由于积分区域关于原点对称，我们可以利用对称性简化积分计算。
具体来说，如果被积函数关于原点对称，则可以将积分区域分为对称的两个部分，并只计算其中一个部分的积分，然后将结果乘以2。
3. 坐标变换在计算积分时，我们通常需要进行坐标变换，以便更方便地表示积分区域和被积函数。
常见的坐标变换方法包括极坐标变换和直角坐标变换。
4. 积分计算最后，我们可以根据坐标变换后的积分区域和被积函数，利用积分的定义进行计算。
根据具体情况，我们可以选择使用定积分、累次积分或其他积分方法。
三、积分区域关于原点对称二重积分的应用积分区域关于原点对称二重积分在数学和物理领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的体积计算积分区域关于原点对称二重积分可以用来计算几何体的体积。
例如，我们可以通过将几何体划分为对称的两个部分，并计算其中一个部分的体积，然后将结果乘以2来得到整个几何体的体积。
2. 质心的计算质心是一个几何体的重心或平均位置。
通过对积分区域关于原点对称二重积分进行计算，我们可以求得几何体的质心坐标。
3. 物理问题的建模积分区域关于原点对称二重积分在物理问题的建模中也有重要的应用。
例如，在电磁场中计算电荷分布的势能、计算质点在力场中的位能等问题中，我们可以利用积分区域关于原点对称二重积分来进行计算。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳
利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳在计算二重积分时，我们可以利用区域的对称性和函数的奇偶性来简化计算过程。
这种方法被称为利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳。
首先，让我们熟悉一些基本概念。
对于一个区域D，我们可以将其对称分解为两个对称的子区域，其中一个是关于x轴对称的，另一个是关于y轴对称的。
这意味着，如果函数f(x,y)在D上可积，那么它在这两个子区域上也可积，并且积分值是相等的。
接下来是函数的奇偶性。
一个函数f(x,y)被称为关于x轴对称，如果对于所有的x和y，f(-x,y)=f(x,y)。
而对于关于y轴对称的函数f(x,y)，有f(x,-y)=f(x,y)。
如果一个函数既关于x轴对称又关于y轴对称，我们称其为关于原点对称。
举个例子来说明这个思路。
考虑二重积分∬_Dx^3+y^3dA，其中D是由直线x=0，y=0和x+y=1所围成的区域。
首先，我们可以观察到D关于y=x对称，因此我们只需要计算D的上半部分的积分。
接下来，我们考虑被积函数x^3+y^3、我们可以观察到该函数关于原点对称，即f(x,y)=f(-x,-y)。
因此，我们只需要计算函数在第一象限的积分，并将结果乘以4即可得到整个区域D的积分值。
对于$x\geq0$和$y\geq0$，我们可以将函数x^3+y^3改写为x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)。
我们继续观察这个新的函数x^2-xy+y^2首先，我们注意到该函数关于y=x对称。
因此，我们只需要计算第一象限中y\geq x的部分的积分，并将结果乘以2、然后，我们再考虑这个新的函数关于原点对称，将计算结果乘以2即可得到整个第一象限的积分值。
在第一象限的新函数x^2-xy+y^2中，我们可以继续观察到函数关于x=y/2对称。
因此，我们只需要计算x\geq y/2的部分的积分，并将结果乘以2继续简化表达式，我们可以将x=y/2代入x^2-xy+y^2中，得到新的积分函数3(x/2)^2、然后，我们可以将x积分限从y/2到1，将y积分限从0到1、最终，我们得到二重积分∬_D x^3+y^3 dA = 4∬_D x^3+y^3 dA = 2∫_0^1 ∫_{y/2}^1 3(x/2)^2 dxdy。
二重积分的对称性
在函数上的对称性
偶函数对称
如果函数满足f(-x) = f(x)，则它关于y轴对称。
奇函数对称
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它关于原点对称。
周期函数对称
如果函数满足f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则它具有周期性对称。
通过对称性简化计算
1
步骤1: 判断对称性
观察被积函数的图像或表达式，判断是否存在对称性。
二重积分的对称性
在数学中，对称性是一个重要的概念。对称性可以帮助我们简化计算，并发 现隐藏在数学问题中的美。
对称性的定义
对称性是指一个对象或系统在某种变换下保持不变的性质。在数学中，我们 经常研究的是几何和函数的对称性。
二重积分的对称性定理
在二重积分中，我们可以利用图像的对称性来简化计算。对称性定理告诉我 们，如果被积函数具有一定的对称性，我们可以利用这种对称性来减少计算 量。
对称性在二重积分中的应用
通过利用图形的对称性，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算。例如，如果图形具有轴对称性或中心 对称性，我们可以将积分范围缩小一半。
在平面图形上的对称性
圆形对称
圆形具有中心对称性，可以简化 计算。
矩形对称
矩形具有轴对称性，可以简化计 算。
六边形对称
六边形具有多条对称轴，可以利 用对称性将复杂图形划分为简单 部分。
2
步骤2: 将积分范围缩小
Байду номын сангаас
利用对称性将积分范围缩小至对称轴附近的部分。
3
步骤3: 简化被积函数
利用对称性简化被积函数，如利用偶函数的对称性将积分双倍。
结论和要点
1 利用对称性可以简化二重积分的计算。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称的二重积分是一种在平面上计算函数在某个区域上的积分值的方法。
在这种情况下，将积分区域分为两个对称部分，并利用对称性简化计算过程。
对于平面上的二重积分而言，我们可以将积分区域分成有限个子区域，然后对每个子区域进行积分后再求和得到最终的积分值。
在一些问题中，积分区域往往具有某种对称性，例如关于原点对称，这种对称性可以大大简化计算过程。
假设我们要计算一个关于原点对称的二重积分，即要计算的函数f(x, y)在关于原点对称的区域D上的积分。
为了利用对称性简化计算，我们可以将区域D分成两个关于x轴对称的子区域D1和D2，其中D1位于x轴的上方，D2位于x轴的下方。
我们可以利用对称性将D1和D2的积分值相加得到整个区域D上的积分值。
即∬Df(x, y)dA = ∬D1f(x, y)dA + ∬D2f(x, y)dA。
然后，我们可以进一步利用区域D1和D2的对称性来简化计算。
由于D1和D2是关于x轴对称的，所以在计算D1的积分时，我们可以先对x轴上方的一半区域D1'进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2的积分时，我们可以先对x轴下方的一半区域D2'进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 2∬D1'f(x, y)dA + 2∬D2'f(x, y)dA =4∬D1'f(x, y)dA。
接下来，我们可以继续利用对称性简化D1'和D2'的计算过程。
由于D1'和D2'是关于y轴对称的，所以在计算D1'的积分时，我们可以先对y轴右侧的一半区域D1''进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2'的积分时，我们可以先对y轴左侧的一半区域D2''进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 4∬D1'f(x, y)dA = 8∬D1''f(x, y)dA。
二重积分对称性
重积分是多元微积分中的一个重点模块，经常会出现在一些较为困难的计算题与证明题中。
此外，在物理学中也经常能见到重积分的身影。
在各大高校的研究生入学试题以及期末测试题中，重积分往往也是不可忽视的一部分。
本文在默认读者有着熟练计算二重积分的基础上，旨在通过几个例题来介绍一类典型的重积分问题：“具有轮换对称性的重积分”。
我们首先先关注区域D的轮换对称性。
这里直接给出它的定义“若区域D关于直线y=x对称，那么对于区域内的任意一点P1(x,y) ,都有P2(y,x)∈D ,我们称这样的区域D具有轮换对称性。
”那么什么是二重积分的轮换对称性呢？这里有一个定理：“若D有轮换对称性，则∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy .”通过这个定理，我们可以解决很多关于二重积分的计算与证明题。
【例.1】求积分I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy的值，其中D:x2+y2≤R2 . 解：注意到区域D具有轮换对称性，故I=∬D(x2a2+y2b2)dxdy=∬D(y2a2+x2b2)dxdy考虑求和，等式变为I=12[∬D(x2a2+y2b2)dxdy+∬D(y2a2+x2b2)dxdy]化简提出公因式，则变成I=12(1a2+1b2)∬D(x2+y2)dxdy此时后面的二重积分已经可以计算出，最终结果为I=πR44(1a2+1b2)【例.2】设f(x)在[0,1]上连续，且∫01f(x)dx=A ,求积分I=∫01dx∫x1f(x)f(y)dy的值.解：遇见二次积分，第一反应先把它转化为二重积分，I=∬Df(x,y)dxdy，其中D为直线x=0 ,直线y=x ,直线y=1围成的区域。
显然，区域D是正方形：0≤x≤1 , 0≤y≤1的对角线上半部分，我们将这个正方形区域补齐,考虑到正方形区域具有轮换对称性，所以有等式I=∫01dx∫1xf(x)f(y)dy所以这个二次积分满足I=12∫01dy∫01f(x)f(y)dx=12∫01f(y)dy∫01f(x)dx=12A2【例.3】求积分I=∬Daf(x)+bf(y)f(x)+f(y)dσ的值，其中区域D为x2+y2≤1,x≥0,y≥0 , f为D上的连续非负函数，a,b为常数.解：首先判断区域D的形状，是一个在第一象限内的四分之一单位圆，显然，这个区域D具有轮换对称性。
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
二重积分的对称性
jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且 由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a
ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与 。 仍 其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设 。 定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域 上连
久*
为 关 』 续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、引言在数学中，积分是一个重要的概念，用于描述曲线、曲面以及空间中的面积、体积等量。
而对称性也是数学中一个重要的概念，可以帮助我们简化问题的求解过程。
本文将介绍关于原点对称的二重积分，并讨论如何利用对称性简化计算过程。
二、二重积分及其性质1. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将D分成无穷多个小区域，每个小区域用Δσi表示。
在每个小区域上取任意一点(ξi,ηi)，构成面积Δσi。
当maxΔσi→0时，如果极限limmaxΔσi→0∑f(ξi,ηi)Δσi存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作∬fD(x,y)dσ2. 二重积分的性质•线性性质：设函数f(x,y)和g(x,y)在闭区域D上可积，c为常数，则有∬(f(x,y)+g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ+∬gD(x,y)dσ∬c D ⋅f(x,y)dσ=c⋅∬fD(x,y)dσ•区域可加性：若将闭区域D分成两个不相交的闭区域D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ•积分保号性：若在闭区域D上有界函数f(x,y)恒有f(x,y)≥0，则有∬fD(x,y)dσ≥0三、关于原点对称的二重积分1. 关于原点对称的定义一个闭区域或曲线称为关于原点对称的，是指当(x,y)在该区域或曲线上时，有(−x,y),(x,−y),(−x,±y)（其中±表示取正或负）也在该区域或曲线上。
2. 关于原点对称的性质•若函数f(x,y)关于原点对称，即f(x,y)=f(−x,−y)，则有∬f D (x,y)dσ=4∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于原点的一个象限。
•若函数f(x,y)关于y轴对称，即f(x,y)=f(−x,y)，则有∬f D (x,y)dσ=2∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于y轴的一侧。
二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧
二重积分■f(x,y)dxdy的对称性计算技巧
二重积分是数学中一个重要的概念，它是指在一个二维平面上，将一个函数分解为两个独立的变量，通过不断积分来计算出函数的定义域。
在计算二重积分时，有一种特殊的技巧，即对称性计算技巧。
对称性计算技巧是指，当二重积分的定义域是对称的，即它的边界是对称的，我们可以利用它的对称性来提高计算效率。
例如，假设f(x,y)dxdy的定义域是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的正方形，此时，我们可以利用它的对称性，将它分解为四个独立的定义域，分别是以原点为中心，垂直于x轴和y轴的两个半正方形，然后将它们的积分值相加，就可以得到f(x,y)dxdy的积分值。
因此，对称性计算技巧是一种有效的技巧，可以帮助我们提高计算效率，节省时间。
然而，我们也必须注意，这种技巧只适用于定义域是对称的情况，如果定义域不是对称的，我们就不能使用这种技巧。
因此，在使用对称性计算技巧时，我们需要仔细分析定义域，以确保它是对称的。
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函
二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
二重积分区域关于原点对称的结论
二重积分区域关于原点对称的结论1. 什么是二重积分？二重积分，听起来是不是有点高大上的样子？其实它就是用来计算某个区域里的面积或体积的工具。
想象一下，你要给一个大蛋糕切块，二重积分就像是帮助你计算每一块的重量。
你先得找到这个蛋糕的形状，然后用积分来“量”出每个部分的大小。
这个过程其实就像是我们生活中常常遇到的量体裁衣，把握好每一寸空间，才能确保整体效果好得不行。
2. 关于对称性2.1 原点对称的概念好吧，咱们接下来聊聊“原点对称”。
简单说，就是如果你把一个图形对折，翻过来，正好能重合，那它就是原点对称的。
就像一面镜子，正对着你，无论你怎么换姿势，镜子里的你总能完美呈现。
对称性在数学里可是个重要的概念，特别是在处理积分的时候，理解这个特性，可以让我们做事情事半功倍。
2.2 为什么重要？那么，为什么对称性对二重积分来说这么重要呢？其实，想象一下你要计算一个对称区域的积分，比如一个正方形或圆形，这样的区域通常会让计算变得简单。
对称性帮我们减少了计算的复杂性，就像在解一道题时发现了捷径，你的心里那个美呀，简直是飞上天了！如果积分区域对称，很多时候可以将某些项抵消掉，最后就省了不少麻烦。
3. 如何应用3.1 实际例子我们来举个例子，假设你有一个以原点为中心的圆形区域，半径为 R。
这个区域的积分，可以表示为∫∫_D f(x, y) dx dy，其中 D 是圆的区域。
由于这个区域关于原点对称，我们就可以利用这个特性来简化我们的计算过程。
就像把一块大拼图拆成几小块，轻松多了！3.2 计算过程中的乐趣当你在计算的时候，可以把函数 f(x, y) 拆分成奇函数和偶函数。
奇函数在原点对称的情况下，积分的结果是零，就像有些东西偏心了一样，不管你怎么加，它总是“跳过”某些值；而偶函数则会在对称性下“倍增”你的结果，正好能让你加倍收获。
这个过程中，有时你可能会觉得自己像个侦探，逐步找出每一个关键线索，最后拼凑出完整的真相，太有成就感了！4. 小结通过这些讨论，我们可以看到，二重积分和对称性之间的关系就像是相辅相成的好搭档。
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情形一：积分区域D 关于坐标轴对称
定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则
1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰ .
2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有
1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰ .
其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()D
I xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区
域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对
称
，
且
3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-
即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D
f xy y dxdy +=⎰⎰.
类似地，有：
定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则
2
2(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).
D D
f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩
⎰⎰⎰⎰
当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,D
I x ydxdy =⎰⎰其中D 为由
22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：
1
1
222
2
20
22215
x D
D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则
（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰
.
（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有
1
(,)4(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰
⎰⎰
其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
9例7 计算二重积分()D
I x y dxdy =+⎰⎰，其中D ：1x y +≤ .
解：如图所示，D 关于x 轴和y 轴均对称，且被积分函数关于x 和y 是偶函数，即有
(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=，由定理2，得
1
()4()D
D I x
y dxdy x y dxdy =
+=+⎰⎰⎰⎰
其中1D 是D 的第一象限部分，由对称性知,1
1
D D x dxdy y dxdy =
⎰⎰⎰⎰
，
故1
4()D I x y dxdy =+⎰⎰1
4()D x x dxdy =+⎰⎰1
8D x dxdy =⎰⎰4
3
=.
情形二、积分区域D 关于原点对称
定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足
1)(,)(,)f x y f x y --=时,有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰
2)(,)(,)f x y f x y --=-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
例8 计算二重积分33()D
x y dxdy +⎰⎰,D 为3y x =与y x =所围区
域.
解:如图所示,区域D 关于原点对称,对于被积函数33(,)f x y x y =+,有
3333(,)()()()(,)
f x y x y x y f x y --=-+-=-+=-,有定理7,得
33()0D
x y dxdy +=⎰⎰. 情形三、积分区域D 关于直线y x =±对称
定理8 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则
1)(,)(,)D
D
f x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰;
1
2
(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
2)当(,)(,)f y x f x y =-时,有(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰.
3)当(,)(,)f y x f x y =时,有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
例9 求22
22()D
x y I dxdy a b =+⎰⎰,D 为222x y R +≤所围.
解:积分区域D 关于直线y x =对称,由定理8,得
2222
2222()()D D
x y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰, 故 2222()D x y I dxdy a b =+⎰⎰2222
22221[()()]2D D
x y y x dxdy dxdy a b a b =+++⎰⎰⎰⎰
2222111()()2D x y dxdy a b =
++⎰⎰222200111()2R d r rdr a b
π
θ=+⎰⎰ 42211
(
)4
R a b
π
=
+. 类似地，可得：
定理9 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且12D D D =+,1,2D D 关于直线y x =对称,则 （1）当(,)(,)f y x f x y --=-,则有
(,)0D
f x y dxdy =⎰⎰；
(2)当(,)(,)f y x f x y --=,则有1
(,)2(,)D
D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰.
例10 计算22()arcsin()D
I x y x y dxdy =++⎰⎰,其中
D 为区域:01x ≤≤,10y -≤≤ .
解:如图所示,积分区域D 关于直线y x =-对称,且满足(,)(,)f y x f x y --=-,
由以上性质,得:
22()arcsin()0D
I x y x y dxdy =++=⎰⎰.
注：在进行二重积分计算时,善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题,可以避免繁琐计算,使二重积分的解答大大简化。