第五章 恒定电流的磁场(1)

§5.5 带电粒子在电磁场中的运动
磁聚焦 在均匀磁场中点 A 发射一 束初速度相差不大的带电粒子, 它们的 与 之间的夹角 不同 , 但都较小,这 v0 B 些粒子沿半径不同的螺旋线运动, 因螺距 近似相等, 相交于屏上同一点, 此现象称 为磁聚焦 .
应用 电子光学 , 电 子显微镜等 .
l
B d l 0 ( I1 I 2 )
L
（ 0 I1 I 2）
I1
I1
L
I2 I 3
问（1） B 是否与回路 L
外电流有关？
I1
（2）若 B d l 0 ,是否回路 L 上各处 L B 0 ？是否回路 L 内无电流穿过？
二 安培环路定理的应用举例
一个有用的命题:
设两电流元关于某平面镜像对称,则它们在该平面 上激发的合磁场必垂直于该平面.
例1 无限长载流圆柱体的 磁场 L 解 （1）对称性分析 （ 2） r R 0 I l B d l 0 I B 2π r π r2 . I 0 r R B d l 0 I 2 l πR dI 0 Ir B 2 2π R
R
当 2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
例5 无限大均匀带电(线密度为i)平面的磁场
d a c
i
b
0i 2
B
o
r
解
b l B d l 2a B dl 2Bab 0iab 0i B 2
两条定理与毕奥萨伐尔定律的关系



两条定理均通过毕奥萨伐尔定律导出。 从高斯定理的证明过程可知它不要求毕奥萨伐 尔定律中的距离平方反比关系，当n≠2时高斯 定理仍然成立。 但安培环路定理则要求n=2，从证明过程可知 ，利用无穷长直导线电流的磁场，可推出当 n≠2时，该环路值与回路半径r0有关，使安培 环路定理不能成立。 实验表明，对随时间变化的磁场，高斯定理仍 然有效，但安培环路定理应予修正。
5.2 毕奥－萨伐尔定律
一 毕奥－萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
dB
0 Idl sin
4π
dB
P*
Idl
dB
r2 0 Idl er dB 4 π r2
r
I

Idl
真空磁导率 7 2 0 4 π10 N A
r
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
B d S 0
S
上式表明：磁场是无源场，即孤立磁荷不 可能存在。
图5.17 电流元磁场的高斯定理的证明
5.4 安培环路定理
一
安培环路定理
B
0 I
2π R
I
o
B
R
0 I l B dl 2π Rdl B dl 0 I
l
dl
l
设闭合回路 l 为圆 形回路（ l 与 I成右螺 旋）
二 毕奥－萨伐尔定律应用举例
例1 载流长直导线的磁场. 0 Idz sin z 解 dB 2 D 2 4π r
dz
I

z
1
r
*
dB
dB 方向均沿
x 轴的负方向
0 Idz sin B dB 2 CD 4π r
x
C
o r0
P
y
0 Idz sin B dB 4 π CD r 2 z
第五章 恒定电流的磁场
图5.4 条形磁铁
图5.5 条形磁铁之间的相互 作用

电流 ⇔ 磁铁 电流 ⇔ 电流 1820 年7月21日奥斯特实验打破了长期以来电学 与磁学彼此独立发展和研究的界限使人们开始 认识到电与磁有着不可分割的联系。 电流对磁铁有的作用，磁铁对电流的作用，电 流和电流之间也有相互作用。 法国物理学家安培首先在实验上发现一个载流 螺线管的行为很像一根磁棒，并且可以用右手 定则来判断载流线圈的极性。
例2 圆形载流导线轴线上的磁场. 解 B Bx dB sin cos R
Idl
R
r 2 2 2 r R x
r
x

*p
dB

dB
dB x
0 Id l
4 π r2
o

x
0 I cos dl
4π r
2
dB x
0 I cos dl
4π r2
cos dl B 2 l 4π r
dB

0 I
Idl
R
0 IR 2 π R B dl 3 0 4πr
0 IR
2 2 2 3
r
x

*p
o

x B
（ 2 x R）2
讨 （1）若线圈有 N 匝 B 3 2 2 （ 2 x R）2 论 0 I x0 B （ 2） 2R
R
N 0 IR
2
r
x
o
I
x R （ 3） 2 IR 0 B B ， 3 *p x 2x 0 IS B 2 π x3
× × × × I × × × × × B
. .
.
×F
I . . F
. .
.
.
.
.
.
.
I
.
.
.
.
× × × × 0 ,M 0 ×
× × ×
.
.B .
F
.
B
F
π , M 0
π , M M max 2
结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭 合平面通电线圈所受的力和力矩为 F 0, M pm B
F3
MHale Waihona Puke Baidu
F1
P
O
I
N
F4

F2
B
en
F3 BIl1 sin (π )
F3 F4
4 F Fi 0
i 1
MN l2 NO l1
M BIS sin
M F1l1 sin BIl2l1 sin
F3
M
F1
(1)
推
I (2)
R B x 0 o
R o×
B0
B0
0 I
2R
广
组
I
0 I
4R
合
(3)
I R
× o
B0
0 I
8R
(4)
d
*A
R1
0 I BA 4πd
B0
(5)
I
0 I
4 R2
R2

0 I
4 R1
* o
0 I
4 π R1
§5.3 稳恒磁场的高斯定理
1、磁场的高斯定理 通过磁场中任何闭合曲面的磁感应通量 总为零，这是磁场必须遵守的基本规律 。
4 π r0 z
2
(cos1 cos 2 )
无限长载流长直导线
1 0 2 π
×
D
B
0 I
2 π r0
I
B
y
半无限长载流长直导线
π 1 2 2 π
x
C
o
1
P
BP
0 I
4πr
无限长载流长直导线的磁场
B
0 I
2πr
I
B
I
X
B
电流与磁感强度成右螺旋关系
磁矩
pm ISen
I
S
磁矩的方向与电流方向成右螺旋关系.
en
m
磁偶极子在空间某点产生的磁感应强 度与磁矩成正比,与该点到磁偶极子 的距离的三次方成反比.
m
en
S
I
磁偶极子
电偶极子
第五章作业： 5.2.1，5.2.3，5.2.9，5.2.14， 5.2.17，5.3.1，5.4.5，5.6.6，5.6.11
m // B, M 0
0 p
稳定平衡 非稳定平衡
pm B , M M max pm B , π / 2
磁矩
pm NISen
en与 I 成右螺旋
5.7 磁偶极子
当载流小线圈的面积S很小，或场点距载流 小线圈很远时，把载流小线圈叫做磁偶极子.
D
2
z r0 cot , r r0 / sin
dz r0d / sin
2
dz
I
B
dB
*
0 I
4 π r0
z
1
r

2
1
sin d
x
C
o r0
P
y
B 的方向沿 x 轴的负方向
0 I (cos1 cos 2 ) 4 π r0
B
0 I
B
I
- - -
+ + + vd +
Fm
+
UH
I
+ + +
- - - v
d
B Fm
UH
P 型半导体
-
N 型半导体
+
（2）测量磁场
霍耳电压
IB U H RH d
5.6 磁场对载流导体的作用
磁场作用于载流线圈的磁力矩
如图 均匀磁场中有 一矩形载流线圈 MNOP
MN l2 NO l1 F1 BIl2 F1 F2
I
l
B
电流在回路之外
d
B1
I
r1
B2 dl B1 dl1 B2 dl2 0 I d dl1 2 2π
0 I 0 I B1 ， B2 2π r1 2π r2
r2
l
B1 dl1 B2 dl2 0 B d l 0
I
R R
r
B
dB
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
r R,
IR
2π R 2 0 I B 2π r
B
0 Ir
0 I
2π R
B
o R
r
例2 无限长载流圆柱面的磁场
L1
r
R
I
L2
0 I 2π R
B
r
o R r
B0
B
解
0 r R, B d l 0 l r R, B d l 0 I
P
O
M ISen B pm B
线圈有N匝时 M NISen B
I
N
F4

F2
B
F2
en
O,P
M,N F1


B
en
en 与 B （ 1）
讨 论
同向 （2）方向相反 （3）方向垂直 不稳定平衡 力矩最大
稳定平衡

图5.16 几种电流的磁感应线
(a) 直线电流的磁感应线
(b) 两根平行直线电流的磁感应线
(c) 圆环电流的磁感应线
(d) 有限长螺线管电流的磁感应线
(e) 电磁铁的磁感应线
磁感应曲线有两个明显的特点
1)
2)
磁感应曲线不是闭合曲线就是从无穷远 处来到无穷远处去的曲线，在有限空间 范围内没有起点和终点。 闭合的磁感应曲线都是围绕电流的闭合 曲线，对于稳恒磁场来说，不会出现不 围绕电流的闭合磁感应曲线。
霍耳效应
B
b
d + + + + +
Fm
IB 霍耳电压 U H RH d
- - - Fe
vd
+q
-
I
UH
qEH qvd B
EH vd B
I qnvd S qnvdbd
IB UH nqd
霍耳 R 1 系数 H nq
U H vd Bb
霍耳效应的应用 （1）判断半导体的类型
图5.6 奥斯特实验
B θ
3. 洛仑兹力
v
v┴=vsinθ
F
4、磁场的几何描述

磁感应线
直观形象描述磁场在空间各处的强弱、方向分 布情况。 定义：曲线上每一点的切线方向是该点磁感应 强度B的方向，曲线数密度与B的大小相等。 通过曲面S的磁感应通量B理解为通过曲面S的 磁感应线数目。

l
0 I
2π r
例3 求载流螺线管内外的磁场
解 （1） 对称性分析：环内 B 线为同心 圆，环外 B 为零.
d
例4 求载流螺绕环内的磁场
R
（2）选回路 l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R
令 L 2 πR
d
B 0 NI L
磁感强度 叠加原理 B dB

Idl
dB
r

0 I dl er 4π r2
dB
P*
I

Idl
r
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1 8
×
2 ×3
7
Idl
R
6
×4
0 Idl er dB 2 4π r
5
1、5点 ：dB 0 0 Idl 3、7点 ：dB 4 π R2 2、 4、 6、 8 点 ： 0 Idl 0 dB sin 45 4 π R2 毕奥－萨伐尔定律
回旋加速器
1932年劳伦斯研制第一台回旋加速器的D型室. 此加速器可将质子和氘核加速到1 MeV的能量， 为此1939年劳伦斯获诺贝尔物理学奖.
LHC 费米实验室 大型强子对撞机
N N
D2
O
B
~
频率与半径无关 qB f 2π m
到半圆盒边缘时
D1
S
回旋加速器原理图
qBR 0 v m 1 2 Ek mv 2 q 2 B 2 R02 Ek 2m
若回路绕向为逆时针 2π I 0 dl B d l d I 0 l o R 2π 0 l 对任意形状的回路 0 I 0 I d B B dl rd d dl 2π r 2π I r l B dl 0 I