指数函数、对数函数、幂函数

速解法：分别作出 y＝log3x，y＝log2x，y＝log5x 的图象，在图象 中作出 a、b、c 的值，观察其大小，可得 c＞a＞b.
答案：D
方略点评： 基本法是利用了每个对数值的范围的估算., 速解法是利 用不同底的对数函数图象的相对位置关系，只要能作出其图象， 便可容易得出大小关系.
(2)已知 x＝ln π，y＝log52，z＝e A．x＜y＜z C．z＜y＜x B．z＜x＜y D．y＜z＜x
1．(2016· 高考全国丙卷)已知 A．b＜a＜c C．b＜c＜a
则( B．a＜b＜c D．c＜a＜b
)
解析：利用幂函数的性质比较大小．
∵y＝ 在第一象限内为增函数，又 5＞4＞3，∴c＞a＞b.
答案：A
2．设 a＝ A．a＞b＞c C．b＞c＞a
，b＝
2，c＝
3，则(
)
B．a＞c＞b D．c＞a＞b
，则(
)
解析：基本法：由已知得 x＝ln π＞1，y＝log52∈(0,1)， z＝e ∈(0,1)，又 2＜e＜3，∴ 2＜ e＜ 3， 1 1 1 1 1 ∴ ＞ ＞2，得 z＝e ＞2，而 y＝log52＜log5 5＝2，∴y＜z＜x， e 3 故选 D.
答案：D
方略点评：1利用指数函数、对数函数的单调性，利用插值法来 比较大小. 2对于多个数的大小比较，可插入 0，分出正数与负数，正数中 再插入 1，分出0，1间与1，＋∞的数；也可直接利用单调性或 数形结合法比较大小.
指数函数、对数函数、幂函数 图象与性质
[高考预测]——运筹帷幄 1．考查指数幂及对数式的化简与运算． 2．以指数函数、对数函数、幂函数为原型进行复合而成的函数的 图象与性质． 3．指数型、对数型、幂型的方程式不等式的求解问题．
[速解必备]——决胜千里 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 为偶函数⇔b＝0. 2． 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的 关系如图所示，则 0＜c＜d＜1＜a＜b.
1 5．logab＝log a，logab· logbc· logcd＝logad. b 6．y＝ax 定义域 R y＝logax 值域 R 定义域(0，＋∞)
值域(0，＋∞)
b b 7．对于函数，y＝ax＋x，(a>0，b>0)的单调分界点是 ax＝x，即 x ＝± b . a
[速解方略]——不拘一格 类型一 [例 1] 比较函数值的大小 )
1．(2016· 高考全国乙卷 )函数 y＝2x2 －e|x|在[－2,2] 的图象大致为 ( )
解析：利用导数研究函数 y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，再利用奇 偶性判断． ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又 f(2)＝8－e2∈(0,1)，故 排除 A ， B. 设 g(x) ＝ 2x2 － ex ，则 g′(x) ＝ 4x － ex. 又 g′(0)<0 ， g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x| 在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.
解析：基本法：设(x，y)是函数 y＝f(x)图象上任意一点，它关于直 线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)，由 y＝f(x)的图象与 y＝2x a 的图
＋
象关于直线 y＝－x 对称，可知(－y，－x)在 y＝2x a 的图象上，即
＋
－x＝2－y＋a， 解得 y＝－log2(－x)＋a， 所以 f(－2)＋f(－4)＝－log22 ＋a－log24＋a＝1，解得 a＝2，选 C.
解析：基本法：∵b＝－log32∈(－1,0)，c＝－log23＜－1， a＝ ＞0，∴a＞b＞c，选 A.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：A
类型二 [例 2]
指数函数、对数函数图象的变换与应用
＋
(1)设函数 y＝f(x)的图象与 y＝2x a 的图象关于直线 y＝－x )
对称，且 f(－2)＋f(－4)＝1，则 a＝( A．－1 C．2 B．1 D．4
速解法： 设 y1＝f(－2)， 则(－2， y1)关于 y＝－x 的对称点为(－y1,2) 在 y＝2x a 上，
＋
∴2＝2－y1＋a，∴－y1＋a＝1，即 y1＝a－1 同理设 y2＝f(－4)，∴4＝2－y2＋a，即 y2＝a－2. ∴y1＋y2＝1，∴a－1＋a－2＝1，∴a＝2
答案：C
方略点评： 两种方法都采用了关于 y＝－x 对称点的特征.基本法是 具体求出对称函数，速解法是间接求出 f－2及 f－4.
(1)设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( B．b＞c＞a D．c＞a＞b
A．a＞c＞b C．c＞b＞a
解析：基本法：∵ 3＜2＜3,1＜2＜ 5，3＞2，∴log3 3＜log32＜ log33，log51＜log52＜log5 5，log23＞log22， 1 1 ∴2＜a＜1,0＜b＜2，c＞1， ∴c＞a＞b.故选 D.
1 (2)当 0＜x≤ 时，4x＜logax，则 a 的取值范围是( 2
A. 0，
)
2 2
B.
2 ，1 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
解析：基本法：易知 0＜a＜1，则函数 y＝4x 与 y＝logax 的大致图 1 2 象如图，则只需满足 loga ＞2，解得 a＞ ， 2 2 2 ∴ 2 ＜a＜1，故选 B.
速解法：若 ∴0＜a＜1.
1 a＞1，∵x∈0，2，显然
logax＜0，原不等式不成立，
1 1 1 x 若 a＝ ，当 x＝ 时，logax＝1,4 ＝4 ＝2，显然不成立，∴故只能 2 2 2 选 B.
答案：B
方略点评：1.基本法是利用图象的变换关系，速解法是特值检验． 2．作函数图象，要注意各个函数图象的相对位置及变化，要做到 即“形似”又“神似”．
在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小； 即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3． 对数函数图象在同一直角坐标中的相对位置与底数的大小关系 如图所示．
0＜d＜c＜1＜a＜b，在第一象限顺时针方向底数变大． 4．y＝logax，当 x∈(1，＋∞)且 a>1 时，y>0，当 x∈(0,1)且 0<a<1 时，y>0，记忆：“真底同，对数正”．