第四章 衍射2
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0.0175
1.12 /R
0
夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集 中了衍射光能量的83.8%，通常称为爱里斑。它 的中心是点光源的几何光学像。半角宽 0决定于 第一极小的衍射角
0
0.61 R
1.22 D
.
式中D=2R，为圆孔的直径。爱里斑的半径为
0 f 2
f 2 为透镜L2的焦距.
sin
)
2
是衍射场中心强度。
三．单缝衍射因子的特点
I I0 sin
2
称为单缝衍射因子，也称强度因 子，它表示单缝衍射强度分分布 规律。
1、有一个主极强和一些次极强，次极强之间夹 着极小值点。 2、主极强—零级衍射斑 （1）零级斑的位置就是几何像点的位置 （2）光程差为零的会聚点才是衍射的主极强点
M eff
e
D d
.
最小分辨角度 min 经过 M 倍放大恰好等于人 eff
眼的分辨角。
例题：已知望远物镜的直径D=5cm，白光的平 均波长为 5500 A 0 ，求望远镜的最小分辨角 m和刚刚能够 被人眼分辨两个物点所需的视角 放大率Meff?
解：
m 1.22
（3）缝宽一定时，波长越长，衍射效应越显著。波 1 I 长越短，衍射效应越小。由基尔霍夫公式 所以短波长的光 △小，峰值大，因此又可以说几何 光学就是波动短波（ 0）时的极限。
2
蓝光
I
红光
（4）入射光为白光时，则中央亮斑为白色，其它 各级为彩色。
例1：波长为600nm的一束平行光垂直照射在宽为 20m的单缝上，透镜L2的焦距为20cm，求中央亮 纹的半角宽度和屏上的线宽度？
3、次极强的位置和强度
dI d
令：
2
0
得：
d d
(
sin
2
)0
0
cos sin
d I d
2
0 对应次极强
次极强处在超越方程 tg 根的位置处 即： 1.43 ,2.46 ,3.47 ,
对应： sin 1.43
sin
sin
相对强度－称为单缝衍射因子
2、用复数积分法计算光强分布
傍轴条件下：
i ~ U ( P0 ) r
x
cos 0 cos 1
~ ikr U 0 e dxdy
L2
x a O r
s
a
Q
r
ro
P P0
r r r0 x sin
2
a sin ,
为圆孔中心和边缘次级子波源在P点的光振动的 相位差.
由夫琅和费衍射积分公式求得P点的衍射 光强.
IP 2 J1 ( ) I0 .
2
式中I0为屏幕中心的光强，J1是一级贝塞耳函数， 它是一特殊函数，可以展开为级数
J1 ( )
2
0
0
0
瑞利判据: 两个物点反应在像面上有两个艾里斑， 两物点的夹角或两艾里斑中心的夹角为，每个艾 里斑自身的半角宽度为0， 瑞利判据是：当> 0时，可分辨； 当 <0时，不可分辨；当=0时，给出可分辨 的最小角度----- m
sin ~ 即：U ( P) ac
ka sin 2
a sin
若 0 0
sin / 1
~ ~ U ( P) U (0) aC
sin ~ ~ U ( P) U (0)
其中：I 0
~ ~ U (0)U (0)
IP I0 (
物镜不能分开的两物点,目镜照样不能分开
眼睛的分辨本领为
e
1.22 d
,
由于 D d , 所以 < . e 望远镜的分辨本领要比人眼大。望远镜不但 有放大作用(视场角被放大)，而且提高了分辨 本领。人眼不能分辨的两物点，望远镜或许能 分开。D越大，分辨本领提高的倍数越大。两 分辨本领的比称为有效放大率。
2
3
2 4
2
5 2
2 4 6
.
以 sin 为横坐标，以 IP/I0 为纵坐标，可 以将式用曲线表示.
I I0
1.0
0 0.61 1.12
R
sin
R
夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线
中央主极大 第一极小 0.61 / R 0 第一次极大 第二极小
sin
I I0
0
1
0.81 / R
4
rad 1'
正常人的明视距离为25cm，在明视距离处，人可 分辨：
y e l e 25cm 3.3 10 rad 0.08mm
4
在人眼10m处的分辨本领为：
ye l e 10m 3.3 10 rad 3.3mm
人眼睛分辨本领对一些仪器的设计有指导作用。
D
1.22
0.55 10
4
4
1.3 10
U 2 ( P) A0 ( P)e
i ( / m )
i ( 2 / m )
……源自文库….
U m ( P) A0 ( P)e
i ( )
2、画出 m 的矢量图 3、求出合矢量 2 a sin ＝2 ____
A AB 2 R sin
R AB 2
是把物镜所成的像再放大（而不是物上的细节） 。
只要求其放大后能对眼睛成约1'的视角就行了。物 镜不能分辨的两物点，目镜照样不能分辨。物镜 能分辨的两物点，目镜一定能分辨。不能用提高 放大倍数的方法提高分辨本领。
物 镜
场 阑
目 镜 出 瞳
B A B
入 孔 瞳 阑
A
A B
B A
B A
*望远镜的分辨本领和物镜口径
眼睛
fe
物镜
fo
目镜
M fo fe
望远镜的角放大倍数为：
望远镜的角分辨本领决定于物镜的口径Do，因为 望远镜的孔径光阑是物镜—凡是被物镜接受的正 入射宽光束总能全部通过目镜而进入人眼睛，故 此望远镜的最小分辨角为：
Do 望远镜的分辨本领由物镜决定。目镜的作用
min 1.22
k 1,2,3,
注意：此时
k 0
相当于将单缝分成偶数个半波带，两两抵消。
5、次极强亮斑的角宽度和零级斑的半角宽 （1）定义：相邻暗斑的角距离称作次极强亮斑的 角宽度 傍轴条 （2）角宽度的值: 件下 k a sin a k
k 1
（3）零级斑的半角宽
~ U0
与x，y无关
a
f
~ ikr U ( P ) C 2a exp dx C 2a exp( ikx sin ) dx
2 2
C
exp( ikx sin ) ikx sin
x
a 2 2C a 2 sin( ka sin ) k sin
x
____
C
R
A
B
A
____
其中 AB 为傍轴条件下，＝0时，屏上中心点P0的 振幅A0
故：
A AB AB
sin
D
A0
0 时，
sin
1
A0 AB
sin
A A0
I I 0 (
I I0
sin
2
)
2
其中：
2
a
a
a
零级斑在 / a 之间，
则其半角宽为：
a
半线宽为： x f f
a
零级斑的角宽度比次极强亮斑的角宽度大一倍。 （4）半角宽的物理意义 （1）
a
是衍射效应强弱的标志
（2）波长一定时，缝宽越小， 越大，衍射效 应越强，称为衍射反比率。
0 a 反之： 时， 此时光束沿直线传播。
a
'
解：
6000 10 20 10
10
6
0.03rad
2l 2 f 2 2 20 0.03 1.2cm
例2：＝480nm，a=0.4mm，f ’=60cm计算当缝两 边到P点的相位差为/2时，P点离焦点的距离。 解：
y
2
2
1、人眼睛的分辨本领
f ~22mm
决定眼睛分辨本领的是瞳孔的直径De, De白昼小， 黑夜大，正常范围在2~8mm,分析白昼时，人眼 的分辨本领e.
~ 150nm , De ~ 2mm ，眼睛晶体的折射率：
n 1.3
e 1.22
De
1.22
550nm 2mm
3.4 10
a
,2.46
a
,3.47
a
,
次极强的强度： 4.7% I 0 ，7% I 0 ， 8% I 0， 1. 0. 次极强弱得多，绝大部分能量集中在零级斑。
若考试倾斜因子的影响，则次极大光强进一步 发降低，主极大占总能量的93％。
4、衍射暗斑的位置
0 , sin 0时，有： I 0 a 暗斑对应的位置： sin k 即： a sin k
1.22
D
3.4 10
4
rad 1'
取f 20mm，则艾里斑的直径为：
d 2 f 14m
任何透镜、反射镜都有其特定的通光孔 径, 即使不加光阑，入射光波也会受到限 制。因此，任何光学仪器，即使像差得到 了很好的校正或消除，点物也不会成点像， 而是形成衍射光斑，这直接影响了成像质 量。若物面上的两物点的衍射斑重叠的厉 害，就不能分辨出是两物点，这就有了光 学仪器的分辨本领。
§4-3 夫琅和费单 缝和矩孔衍射
一、实验装置和实验现象
光 源 衍 射 屏
衍 射 图 样
二．单缝衍射光强分布
L a sin
2
a sin
1、用矢量图解法计算光强分布 （1）分割成 m个窄波带 再求出每一个窄带的复振幅
U 0 ( P) A0 ( P)e
i
U1 ( P) A0 ( P)e
二、 光学仪器的分辨本领
分辨本领是一个复杂的问题，它涉及到几何 光学系统的种种相差和缺欠，涉及到被分辨物点 的亮度和其他一些性质。我们现在考虑理想的分 辨本领，即两个亮度相同、波长相等的独立光源 经过光学系统所能达到的最佳分辨本领，也就是 光学仪器的分辨本领的衍射极限。
几何光学 : 物点 像点
物(物点集合) 像(像点集合) 波动光学 : 物点 像斑 物(物点集合) 像(像斑集合)
1.22 D
f 2.
艾里斑
例题1： 若氦氖激光（ 6328 A）出射窗口的直径为 1mm，求激光束衍射的发散角 ？ 解： 1.22 7.7 10 4 rad 2.7' D 在10km处光斑直径可达7.7m
例题2： 估算人眼瞳孔的艾里斑的大小？ 解：人的瞳孔直径在2mm～8mm之间调节，取 波长为0.55m，D=2mm，则
a sin
2
atg
2
a
y f'
f '
2a
f '
4a
当
2
y
f '
2a 2
0.18mm
§4-4 光学仪器的像分辨本领
一．夫琅禾费圆孔衍射 将夫琅和费单缝衍射装置中的单缝换成圆孔，就可 以在屏幕上观察到夫琅和费圆孔衍射的图样. 它的中央是个明亮的圆斑，外面分布着几圈很淡的 亮环。因大多数光学仪器通光孔到呈圆形，因此研 究夫琅和费圆孔衍射有很重要的意义。 设圆孔的半径为a,屏幕上P点对应的衍射角为,令
4 1 s
d 1.3 10 mm
2
6
2
则感光细胞的面密度为：n
2
7 10 个 / mm
5
2
视网膜的面积：S 200mm ，所以人眼视网膜上感光细胞总数为： N n S ~ 1亿个
补充说明：
D
夫琅禾费圆孔衍射是一个在一切使用透镜的 光学系统中普遍存在的现象，因为任何一个单透 镜成像，都可以看成两个透镜加上一个光阑的组 合。因此几何像点实际上是有一定半径的艾里斑， 这种情况就产生了一个问题，即两个像斑可能发 生重叠，重叠到一定程度，就无法分辨。这就是 仪器的分辨本领问题。
4
*人眼睛的感光细胞密度
~ 550nm，在黑夜 De ~ 8mm，晶体折射率n 1.3 e 1.22
De 1.22 550nm 8mm 0.8 10 rad
4
人眼睛焦距，f 22mm, 所以： d 1 1.33 f e 1.3m，s
1.12 /R
0
夫琅和费圆孔衍射图样中央是一很亮的圆斑,集 中了衍射光能量的83.8%，通常称为爱里斑。它 的中心是点光源的几何光学像。半角宽 0决定于 第一极小的衍射角
0
0.61 R
1.22 D
.
式中D=2R，为圆孔的直径。爱里斑的半径为
0 f 2
f 2 为透镜L2的焦距.
sin
)
2
是衍射场中心强度。
三．单缝衍射因子的特点
I I0 sin
2
称为单缝衍射因子，也称强度因 子，它表示单缝衍射强度分分布 规律。
1、有一个主极强和一些次极强，次极强之间夹 着极小值点。 2、主极强—零级衍射斑 （1）零级斑的位置就是几何像点的位置 （2）光程差为零的会聚点才是衍射的主极强点
M eff
e
D d
.
最小分辨角度 min 经过 M 倍放大恰好等于人 eff
眼的分辨角。
例题：已知望远物镜的直径D=5cm，白光的平 均波长为 5500 A 0 ，求望远镜的最小分辨角 m和刚刚能够 被人眼分辨两个物点所需的视角 放大率Meff?
解：
m 1.22
（3）缝宽一定时，波长越长，衍射效应越显著。波 1 I 长越短，衍射效应越小。由基尔霍夫公式 所以短波长的光 △小，峰值大，因此又可以说几何 光学就是波动短波（ 0）时的极限。
2
蓝光
I
红光
（4）入射光为白光时，则中央亮斑为白色，其它 各级为彩色。
例1：波长为600nm的一束平行光垂直照射在宽为 20m的单缝上，透镜L2的焦距为20cm，求中央亮 纹的半角宽度和屏上的线宽度？
3、次极强的位置和强度
dI d
令：
2
0
得：
d d
(
sin
2
)0
0
cos sin
d I d
2
0 对应次极强
次极强处在超越方程 tg 根的位置处 即： 1.43 ,2.46 ,3.47 ,
对应： sin 1.43
sin
sin
相对强度－称为单缝衍射因子
2、用复数积分法计算光强分布
傍轴条件下：
i ~ U ( P0 ) r
x
cos 0 cos 1
~ ikr U 0 e dxdy
L2
x a O r
s
a
Q
r
ro
P P0
r r r0 x sin
2
a sin ,
为圆孔中心和边缘次级子波源在P点的光振动的 相位差.
由夫琅和费衍射积分公式求得P点的衍射 光强.
IP 2 J1 ( ) I0 .
2
式中I0为屏幕中心的光强，J1是一级贝塞耳函数， 它是一特殊函数，可以展开为级数
J1 ( )
2
0
0
0
瑞利判据: 两个物点反应在像面上有两个艾里斑， 两物点的夹角或两艾里斑中心的夹角为，每个艾 里斑自身的半角宽度为0， 瑞利判据是：当> 0时，可分辨； 当 <0时，不可分辨；当=0时，给出可分辨 的最小角度----- m
sin ~ 即：U ( P) ac
ka sin 2
a sin
若 0 0
sin / 1
~ ~ U ( P) U (0) aC
sin ~ ~ U ( P) U (0)
其中：I 0
~ ~ U (0)U (0)
IP I0 (
物镜不能分开的两物点,目镜照样不能分开
眼睛的分辨本领为
e
1.22 d
,
由于 D d , 所以 < . e 望远镜的分辨本领要比人眼大。望远镜不但 有放大作用(视场角被放大)，而且提高了分辨 本领。人眼不能分辨的两物点，望远镜或许能 分开。D越大，分辨本领提高的倍数越大。两 分辨本领的比称为有效放大率。
2
3
2 4
2
5 2
2 4 6
.
以 sin 为横坐标，以 IP/I0 为纵坐标，可 以将式用曲线表示.
I I0
1.0
0 0.61 1.12
R
sin
R
夫琅和费圆孔衍射光强分布曲线
中央主极大 第一极小 0.61 / R 0 第一次极大 第二极小
sin
I I0
0
1
0.81 / R
4
rad 1'
正常人的明视距离为25cm，在明视距离处，人可 分辨：
y e l e 25cm 3.3 10 rad 0.08mm
4
在人眼10m处的分辨本领为：
ye l e 10m 3.3 10 rad 3.3mm
人眼睛分辨本领对一些仪器的设计有指导作用。
D
1.22
0.55 10
4
4
1.3 10
U 2 ( P) A0 ( P)e
i ( / m )
i ( 2 / m )
……源自文库….
U m ( P) A0 ( P)e
i ( )
2、画出 m 的矢量图 3、求出合矢量 2 a sin ＝2 ____
A AB 2 R sin
R AB 2
是把物镜所成的像再放大（而不是物上的细节） 。
只要求其放大后能对眼睛成约1'的视角就行了。物 镜不能分辨的两物点，目镜照样不能分辨。物镜 能分辨的两物点，目镜一定能分辨。不能用提高 放大倍数的方法提高分辨本领。
物 镜
场 阑
目 镜 出 瞳
B A B
入 孔 瞳 阑
A
A B
B A
B A
*望远镜的分辨本领和物镜口径
眼睛
fe
物镜
fo
目镜
M fo fe
望远镜的角放大倍数为：
望远镜的角分辨本领决定于物镜的口径Do，因为 望远镜的孔径光阑是物镜—凡是被物镜接受的正 入射宽光束总能全部通过目镜而进入人眼睛，故 此望远镜的最小分辨角为：
Do 望远镜的分辨本领由物镜决定。目镜的作用
min 1.22
k 1,2,3,
注意：此时
k 0
相当于将单缝分成偶数个半波带，两两抵消。
5、次极强亮斑的角宽度和零级斑的半角宽 （1）定义：相邻暗斑的角距离称作次极强亮斑的 角宽度 傍轴条 （2）角宽度的值: 件下 k a sin a k
k 1
（3）零级斑的半角宽
~ U0
与x，y无关
a
f
~ ikr U ( P ) C 2a exp dx C 2a exp( ikx sin ) dx
2 2
C
exp( ikx sin ) ikx sin
x
a 2 2C a 2 sin( ka sin ) k sin
x
____
C
R
A
B
A
____
其中 AB 为傍轴条件下，＝0时，屏上中心点P0的 振幅A0
故：
A AB AB
sin
D
A0
0 时，
sin
1
A0 AB
sin
A A0
I I 0 (
I I0
sin
2
)
2
其中：
2
a
a
a
零级斑在 / a 之间，
则其半角宽为：
a
半线宽为： x f f
a
零级斑的角宽度比次极强亮斑的角宽度大一倍。 （4）半角宽的物理意义 （1）
a
是衍射效应强弱的标志
（2）波长一定时，缝宽越小， 越大，衍射效 应越强，称为衍射反比率。
0 a 反之： 时， 此时光束沿直线传播。
a
'
解：
6000 10 20 10
10
6
0.03rad
2l 2 f 2 2 20 0.03 1.2cm
例2：＝480nm，a=0.4mm，f ’=60cm计算当缝两 边到P点的相位差为/2时，P点离焦点的距离。 解：
y
2
2
1、人眼睛的分辨本领
f ~22mm
决定眼睛分辨本领的是瞳孔的直径De, De白昼小， 黑夜大，正常范围在2~8mm,分析白昼时，人眼 的分辨本领e.
~ 150nm , De ~ 2mm ，眼睛晶体的折射率：
n 1.3
e 1.22
De
1.22
550nm 2mm
3.4 10
a
,2.46
a
,3.47
a
,
次极强的强度： 4.7% I 0 ，7% I 0 ， 8% I 0， 1. 0. 次极强弱得多，绝大部分能量集中在零级斑。
若考试倾斜因子的影响，则次极大光强进一步 发降低，主极大占总能量的93％。
4、衍射暗斑的位置
0 , sin 0时，有： I 0 a 暗斑对应的位置： sin k 即： a sin k
1.22
D
3.4 10
4
rad 1'
取f 20mm，则艾里斑的直径为：
d 2 f 14m
任何透镜、反射镜都有其特定的通光孔 径, 即使不加光阑，入射光波也会受到限 制。因此，任何光学仪器，即使像差得到 了很好的校正或消除，点物也不会成点像， 而是形成衍射光斑，这直接影响了成像质 量。若物面上的两物点的衍射斑重叠的厉 害，就不能分辨出是两物点，这就有了光 学仪器的分辨本领。
§4-3 夫琅和费单 缝和矩孔衍射
一、实验装置和实验现象
光 源 衍 射 屏
衍 射 图 样
二．单缝衍射光强分布
L a sin
2
a sin
1、用矢量图解法计算光强分布 （1）分割成 m个窄波带 再求出每一个窄带的复振幅
U 0 ( P) A0 ( P)e
i
U1 ( P) A0 ( P)e
二、 光学仪器的分辨本领
分辨本领是一个复杂的问题，它涉及到几何 光学系统的种种相差和缺欠，涉及到被分辨物点 的亮度和其他一些性质。我们现在考虑理想的分 辨本领，即两个亮度相同、波长相等的独立光源 经过光学系统所能达到的最佳分辨本领，也就是 光学仪器的分辨本领的衍射极限。
几何光学 : 物点 像点
物(物点集合) 像(像点集合) 波动光学 : 物点 像斑 物(物点集合) 像(像斑集合)
1.22 D
f 2.
艾里斑
例题1： 若氦氖激光（ 6328 A）出射窗口的直径为 1mm，求激光束衍射的发散角 ？ 解： 1.22 7.7 10 4 rad 2.7' D 在10km处光斑直径可达7.7m
例题2： 估算人眼瞳孔的艾里斑的大小？ 解：人的瞳孔直径在2mm～8mm之间调节，取 波长为0.55m，D=2mm，则
a sin
2
atg
2
a
y f'
f '
2a
f '
4a
当
2
y
f '
2a 2
0.18mm
§4-4 光学仪器的像分辨本领
一．夫琅禾费圆孔衍射 将夫琅和费单缝衍射装置中的单缝换成圆孔，就可 以在屏幕上观察到夫琅和费圆孔衍射的图样. 它的中央是个明亮的圆斑，外面分布着几圈很淡的 亮环。因大多数光学仪器通光孔到呈圆形，因此研 究夫琅和费圆孔衍射有很重要的意义。 设圆孔的半径为a,屏幕上P点对应的衍射角为,令
4 1 s
d 1.3 10 mm
2
6
2
则感光细胞的面密度为：n
2
7 10 个 / mm
5
2
视网膜的面积：S 200mm ，所以人眼视网膜上感光细胞总数为： N n S ~ 1亿个
补充说明：
D
夫琅禾费圆孔衍射是一个在一切使用透镜的 光学系统中普遍存在的现象，因为任何一个单透 镜成像，都可以看成两个透镜加上一个光阑的组 合。因此几何像点实际上是有一定半径的艾里斑， 这种情况就产生了一个问题，即两个像斑可能发 生重叠，重叠到一定程度，就无法分辨。这就是 仪器的分辨本领问题。
4
*人眼睛的感光细胞密度
~ 550nm，在黑夜 De ~ 8mm，晶体折射率n 1.3 e 1.22
De 1.22 550nm 8mm 0.8 10 rad
4
人眼睛焦距，f 22mm, 所以： d 1 1.33 f e 1.3m，s