结构非线性分析的有限单元法
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
第9章 非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
非线性有限单元法在结构分析中的应用
Байду номын сангаас
第２ ７卷第 ｌ 期
２０ ０６年 ２月
华
北
水
利
水
电
学
院
学
报
Ｖ０ ．７ Ｎｏ． Ｉ２ １
Ｊｕ ａ ｆＮ ｒ ｈｎ ｎｔｕｅｏ ａ ｒＣ ｎｅｖｎ ｙａ ｄＨｙ ｒｅｅ ｔｃＰ ｗ ｒ ｏ ｒ ｌｏ ｏｔ Ｃ ｉａＩｓｔｔ ｆＷ ｔ ｏ ｓｒａ ｃ ｎ ｄ ｌｃｒ ｏ ｅ ｎ ｈ ｉ ｅ ｏ ｉ
变． 其特 征是 在材 料 变形 过程 中 ， 力 和应 变不 再具 应 有 一一 对应 关系 ， 应变 的 大小 与加 载历 史有 关 ， 与时 间无关 ， 载过程 中 ， 力 与应 变之 间按 材料 固有 的 卸 应 弹性 规 律 变 化 ， 全 卸 载 后 有 不 可 恢 复 的 残 余 完
Ｆｂ２０ ｅ ．０ ６
文章 编号 ： ０ —５３ （０６ ０ —０ １ ０ １ ２ ６４ ２０ ） １ ０２— ３ ０
非线性有 限单元法在 结构分析 中的应 用
杨 剑 ，周 家新２ 寇 国伟２ ，
（． Ｉ 河海大 学土木工程 学院 ， 江苏 南京 ２０９ ； ． 一师。 １０ ８ ２ 农 新疆 阿克 苏 ８３０ ） ４００
１ 材 料 非 线 性 问题
材料 非 线性 问题 的主要 特征是 材 料 的应 力 一应 变关 系 表现 为非 线 性 性 质 ， 由于 本 构 方程 的非 线 即 性 引起 整个 问题解 的非 线性 ．
１ １ 材料 非线性 本 构关 系 ．
弹 性应 变增 量 与应力 增 量成正 比 。 服从 虎 克定律 ３ 材 料产 生 的塑 性 应 变 ， ． 大小 取 决 于加 载历 史 和 约定 条件 ， 假定 塑 性 变形符 合正 交 流动 法则 ， 塑 即 性 变形 方 向与屈 服 面正 交 ， 性应 变增 量 为 塑
非线性有限元分析
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
非线性结构有限元分析
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
悬索结构的非线性有限元分析
第9章-非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
桥梁结构的非线性分析方法
桥梁结构的非线性分析方法在现代工程领域中，桥梁作为重要的交通基础设施，其结构的安全性和可靠性至关重要。
为了准确评估桥梁在各种复杂荷载作用下的性能，非线性分析方法逐渐成为桥梁结构分析的重要手段。
桥梁结构的非线性行为主要源于材料的非线性、几何非线性以及边界条件的非线性等方面。
材料非线性通常包括混凝土的开裂、钢筋的屈服等；几何非线性则可能由于大变形、大位移或初始应力的影响；边界条件的非线性例如支座的滑移、基础的沉降等。
在进行桥梁结构的非线性分析时，有限元方法是一种广泛应用的技术。
通过将桥梁结构离散为有限个单元，并对每个单元建立相应的力学方程，然后组合成整体的方程组进行求解。
有限元软件如 ANSYS、ABAQUS 等为桥梁结构的非线性分析提供了强大的工具。
在材料非线性分析中，混凝土和钢筋的本构关系模型是关键。
对于混凝土，常见的本构模型有弥散裂缝模型、损伤塑性模型等。
这些模型能够模拟混凝土在受拉和受压时的开裂、破碎等行为。
钢筋的本构模型通常采用理想弹塑性模型或考虑强化阶段的模型。
几何非线性分析需要考虑结构的大变形和大位移。
在有限元分析中，可以通过更新拉格朗日法或完全拉格朗日法来处理几何非线性问题。
例如，在斜拉桥的分析中，由于索的大变形和结构的整体位移，几何非线性的影响不可忽略。
边界条件的非线性分析在桥梁结构中也十分重要。
例如，橡胶支座的非线性特性需要通过实验获取其力学参数，并在分析中进行准确模拟。
基础与土体的相互作用也可能表现出非线性，需要采用合适的模型来描述。
除了有限元方法，还有一些其他的非线性分析方法也在桥梁工程中得到应用。
例如，能量法通过计算结构在变形过程中的能量变化来评估其稳定性；增量法将荷载逐步施加，通过分析每个荷载步的结构响应来追踪非线性行为。
在实际工程中，桥梁结构的非线性分析通常是一个复杂且耗时的过程。
需要对结构的力学特性有深入的理解，合理选择分析方法和模型，准确输入材料参数和边界条件。
同时，还需要对分析结果进行仔细的评估和验证。
建筑结构的非线性分析
建筑结构的非线性分析建筑结构的非线性分析是对建筑结构进行分析时所面临的一种难题。
一方面，建筑结构本身复杂多变，在外力作用下会呈现出非线性响应；另一方面，建筑结构的分析不仅需要考虑结构的受力状态，还要考虑材料、几何、荷载等因素的影响。
因此，建筑结构的非线性分析是一项非常重要的任务，它可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并为结构的优化设计提供有力的支持。
建筑结构的非线性响应建筑结构的非线性响应是由于材料的非线性特性、几何的非线性特性、以及受力状态的非线性特性等因素导致的。
这些因素可以是单独的，也可以是相互作用的。
其中，材料的非线性特性是指材料的力学特性呈现出非线性的形态，例如材料在不同的荷载下呈现出不同的弹性模量和极限应变等；几何的非线性特性是指结构的形态或尺寸呈现出非线性的形态，例如结构由于荷载作用变形，导致结构的尺寸出现变化；而受力状态的非线性特性是指在不同荷载作用下，结构的刚度、强度等性质呈现出非线性的形态。
建筑结构的非线性分析方法建筑结构的非线性分析方法包括有限元法、分步分析法、极限荷载法等。
其中，有限元法是应用最为广泛的分析方法之一，它利用有限元离散化的方法来近似连续介质结构的行为和响应，可以进行非线性材料、几何和受力状态的分析，并能够准确地描述结构的弯曲、剪切、扭转、局部破坏及塑性行为等现象。
与有限元法不同的是，分步分析法是一种迭代计算方法，其基本思想是将整个分析过程分成若干个阶段，逐步引入不同的非线性因素，从而分析出每个阶段的响应结果。
而极限荷载法则是一种经验法，它忽略计算领域中不便考虑的因素，例如非线性响应的微小变化、材料的粘性和不均匀性等，而仅仅关注于结构在极限荷载下的反应，从而得出结构的破坏载荷。
建筑结构的非线性分析应用建筑结构的非线性分析应用非常广泛，可以用于结构的优化设计、结构的健康监测和结构的可靠性评估等方面。
首先，在结构的优化设计方面，非线性分析可以帮助工程师更准确地预测结构的响应，并根据所得到的结果对结构进行优化设计，从而提高结构的性能。
结构非线性分析的有限单元法分解课件
通过本课件的学习，学习者可以深入理解结构非线性行为的本质，掌握先进的数值分析方法，提高在复杂工程结 构分析方面的专业素养和实践能力。同时，本课件也有助于推动结构非线性分析领域的科技进步和人才培养。
CHAPTER
非线性行为分类
材料非线性
边界条件非线性
ABCD
几何非线性
接触非线性
非线性分析的复杂性
建立模型
确定分析对象和边界条件 建立数学模型 定义材料属性
网格划分
选择合适的网格划分方法 进行网格划分 检查网格质量
施加载荷和约束
确定外部作用力
施加约束条件
求解非线性方程组
选择合适的求解器 求解非线性方程组 结果后处理
CHAPTER
工程实例一：大跨度桥梁的非线性分析
总结词
详细描述
工程实例二：高层建筑的抗震性能分析
CHAPTER
几何非线性分析
几何非线性分析是指考虑结构的大变 形和应力应变关系非线性的情况。在 有限单元法中，需要采用适当的形函 数来描述结构的几何形状变化。
VS
常用的形函数包括多项式、样条函数、 有限元形函数等，可以根据具体问题 选择合适的形函数。
材料非线性分析
常用的本构模型包括弹性模型、弹塑 性模型、塑性模型等，可以根据具体 材料的性质选择合适的本构模型。
• 结构非线性分析的基本概念 • 有限单元法的基本原理 • 结构非线性分析的有限单元法分解方法 • 有限单元法的实现过程 • 结构非线性分析的有限单元法应用案例 • 结论与展望
CHAPTER
背景介 绍
结构非线性分析的重要性 有限单元法的应用
目的和意 义
目的
本课件旨在系统介绍结构非线性分析的有限单元法分解，使学习者掌握非线性问题的有限元建模、求解和分析方 法，提高解决实际工程问题的能力。
结构非线性分析的有限单元法分解共43页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
结构非线性分析的有限单元 法分解
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
有限单元法作业非线性分析+程序
几何非线性大作业荷载增量法和弧长法程序设计系（所）：建筑工程系学号：********名：***培养层次：专业硕士指导老师：***2015年6月19日一、几何非线性大作业（ Newton-Raphson法）用荷载增量法（Newton-Raphson法）编写几何非线性程序：（1）用平面梁单元，可分析平面杆系（2）算例：悬臂端作用弯矩。
悬臂梁最终变形形成周长为悬臂梁长度的圆。
1.1 Newton-Raphson算法基本思想图1.1 Newton-Raphson算法基本思想1.2 悬臂梁参数基本参数：L=2m, D=0.03m, A=7.069E-4m2, I=3.976E-08m4 ,E=2.0E11N/m2图1.2 悬臂梁单元信息将悬臂梁分成10个单元，如图1.2所示2.1 MATLAB输入信息材料信息单元信息约束信息（0为约束，1为放松）荷载信息（FX,FY,M）节点信息2.2 求解过程梁弯成圆形：理论弯矩M=EIY"=24981.944N.m ,直径为0.642m 运用ABAQUS和MATLAB进行求解对比：图1.3 加载图图1.4 ABAQUS变形图图1.5 MATLAB变形曲线ABAQUS和MATLAB变形对比，最终在理论荷载作用下都弯成了一个圆，其直径为0.64716m，与理论值相对比值为：（0.64716-0.642）/0.642=0.00804.非常接近。
2.3 加载点荷载位移曲线图1.5 加载点Y方向的荷载位移曲线加载点的最大竖向位移分别为1.4525m和1.45246m，相对比值（1.4525-1.45246）/1.45246=2.75395E-05。
完全相同，说明MATLAB的计算结果很好。
二、几何非线性大作业（弧长法）用弧长法编写几何非线性程序，分析荷载位移全过程曲线：1) 用平面梁单元，可分析平面杆系结构2) 算例(1)受集中荷载的拱：考察拱的矢跨比、荷载位置对荷载位移曲线的影响。
工程结构分析专业毕业设计论文：基于有限元法的复杂结构非线性分析模型建立
工程结构分析专业毕业设计论文：基于有限元法的复杂结构非线性分析模型建立结构非线性分析模型建立摘要：随着工程结构的复杂性和不确定性增加，有限元法在结构分析中变得越来越重要。
本文旨在建立基于有限元法的复杂结构非线性分析模型，以提高对复杂结构的行为和响应的准确理解。
本文的研究内容主要包括研究背景、意义、目的、方法、步骤、未来发展方向、结果和结论等。
1. 研究背景和意义有限元法是一种广泛应用于工程结构分析的数值计算方法，它可以将一个连续的求解域离散成有限个小的子域，即“有限元”，从而将连续的偏微分方程转化为离散的线性方程组进行求解。
在处理复杂的结构形式、非线性的材料行为以及复杂边界条件等方面，有限元法具有显著的优势。
然而，有限元法的应用面临一些挑战，特别是在处理复杂结构时。
首先，有限元模型的建立过程较为繁琐，需要对结构的几何形状、材料属性、边界条件等进行精细的建模。
其次，由于模型的复杂性和非线性，往往需要采用更高级的有限元方法和计算工具进行求解，增加了计算成本和难度。
因此，本文的研究旨在建立基于有限元法的复杂结构非线性分析模型，为准确评估复杂结构的行为和响应提供有效的方法和工具。
2. 研究目的本文的研究目的主要包括以下几点：（1）探讨基于有限元法的复杂结构非线性分析模型建立的方法和流程；（2）分析有限元模型在复杂结构分析中的优势和存在的问题；（3）验证有限元模型的准确性和可靠性；（4）提出未来在工程结构分析中应用有限元法的发展方向。
3. 研究方法本文的研究方法主要包括理论分析、实验研究和数值模拟等。
首先，基于有限元法的基本原理，建立复杂结构非线性分析模型；然后，利用实验和数值模拟方法对模型进行验证和修正；最后，对模型进行实际应用和测试。
4. 研究步骤本文的研究步骤如下：（1）了解和掌握有限元法的基本原理和方法；（2）分析复杂结构的特点和非线性行为，确定模型的关键要素；（3）基于有限元法建立复杂结构非线性分析模型；（4）设计实验方案，采集结构的响应数据；（5）利用数值模拟方法对模型进行求解和验证；（6）将模型应用于实际工程结构，进行评估和测试；（7）总结研究成果，撰写毕业设计论文。
非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
5-非线性有限元【ANSYS非线性分析】
§5-1 钢筋混凝土结构非线性分析的基本步骤
一、非线性分析步骤：与结构有限元分析方法类似，分为三步：（1）结构离散化；（2）单元分析；（3）结构总体分析
1)结构离散化：（1）划分网格：选择合适的单元划分网格；（2）引入位移边界条件；（3）荷载移置：将作用在结构上的荷载按静力等效原则移置到单元节点上。
分离式可用于钢筋混凝土构件的破坏机理分析：研究钢筋与混凝土之间的相互作用、粘结滑移，裂缝的扩展过程及钢筋的作用，裂缝出现后结构内力充分布等情况。缺点：划分单元数量大。
图4-10 分离式单元
5.2.2整体式
整体式假定钢筋与混凝土之间粘结很好，无相对滑移，将钢筋、混凝土折算成一种材料，或综合计算钢筋混凝土结构的本构关系，再计算单元刚度。
（3）计算单元应变增量 ；计算单元应力增量 ；
（4）计算总内力 ；
（5）计算不平衡力 ；
（6）迭代计算直到满足收敛条件。
二、非线性问题分类：材料非线性、几何非线性、边界非线性
1）材料非线性：塑性、非线性弹性、粘弹性、粘塑性、断裂、损伤、徐变
2）几何非线性：（1）大应变； （2）大位移
3）边界非线性：接触非线性、单元非线性
单元割线刚度可表达为，
(5-17a)
或 (5-17b)
2．单元切线刚度
式（5-2）的增量形式， （5-18）
式（5-12b）的增量形式， (5-19)
对单元平衡方程式（5-14）取增量式，并代入式（5-18）、（5-19）得，
(5-20)
或
(5-21)
梁柱单元切线刚度矩阵，
钢筋两端点a,b的力与单元结点力的关系，
钢筋单元结点力与结点位移关系：
专题3--非线性问题的有限单元法
专题3 非线性问题的有限单元法第七章几何非线性问题一、非线性问题前面各章所讨论的都是属于弹性力学中的线性问题，它最后导出了如下一个关于各节点平衡的线性代数方程组：[]{}{}Rδ (7-1)K=其中[]K是一个和{}δ无关的常系数矩阵，仅和结构的离散情况，结构变形前的几何及物理特性有关。
当然，严格地说。
固体力学中的所有现象均是非线性。
然而，对于解决许多工程问题，近似地用线性理论来处理可以使计算简单切实可行，并能符合工程上的精度要求。
但是许多问题，用线性理论却是完全不适合的，它必须用非线性理论来解决。
1.分类非线性问题主要可以分成二大类。
第一类为几何非线性，第二类为材料非线性。
几何非线性问题指的是大位移问题。
对于几何非线性问题，由于问题本身的特征及解的精度，平衡方程必须相对于预先未知的变形后的几何位置写出。
严格地说，所有问题都要用已变形位置写出它的平衡方程，但是若问题的基本特征不因变形而改变，精度也满足要求，它就可以用变形前的几何位置来描述。
这正是我们以前处理问题的方法。
然而，对于有些问题就不能这样处理；例如图7-1a所示结构中B点的平衡方程就要由变形后的几何位置写出，如图7-16所示。
又例如压杆失稳后的变形研究，平板大挠度问题均属于几何非线性问题。
图7-1 非线性桁架的问题在极大多数的大位移问题中，结构内部的应变是微小的，事实上，只有在材料出现塑性变形时，以及在工程上很少应用的类似于橡皮的材料中才会遇到大的应变。
本章所讨论的几何非线性问题将限于大位移小应变问题，这时材料的应力应变关系是线性，这将使问题得到一些简化。
至于材料非线性问题，则是指材料的本构关系，即应力应变关系的非线性问题，当结构采用非金属材料，或采用金属材料但发生塑性变形时，属于这类问题。
这类问题一般仅限于讨论小变形材料非线问题。
这将于下章讨论。
对于更加复杂的几何非线性及材料非线性复合问题，如金属的塑性加工等，也将于下一章作简单讨论。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
结构非线性分析的有限单元法分解
上式的泰勒展开式为
, ,
令 得 则有
K T K T ,
P
KT P 0
8
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
1
则方程组的迭代公式为 n KT n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
9
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
⑧ 作卸载计算，求出残余应力和残余应变。 ⑨ 输出计算结果。
21
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.4 几何非线性
5.4.1 几何非线性特征
几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小应 变问题和大位移、大应变问题。 返 回 章 节 目 录
(a) 大位移、小应变问题
(b) 大位移、大应变问题
22
20
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
⑤ 重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等 效应变增量，依次修改相应的m值。重复以上④~⑤步骤 计算过程，一般修改m值2~3次即可 ⑥ 计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增 量迭加到增量作用前的水平上。 ⑦ 重复④~⑥步骤计算过程，直至完成所 有的增量步。
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
7
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
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第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
⑤ 重新计算位移增量，进而计算单元应变增量和等 效应变增量，依次修改相应的m值。重复以上④~⑤步骤 计算过程，一般修改m值2~3次即可 ⑥ 计算位移和应力增量，并将位移、应变、应力增 量迭加到增量作用前的水平上。 ⑦ 重复④~⑥步骤计算过程，直至完成所 有的增量步。
e v 1 2 E
粘 弹 性 元 件
式中
——粘性系数，
v ——蠕变应变。
粘弹性元件并联——开尔文 (Voigt— Kelvin)模型，一般描 述材料的蠕变特性。其特点
1 2 e v E
1
一般情况下，
故可得其解为
n1 n n1
图10-3 N—R迭代法的几何意义
图10-4 修正牛顿法迭代几何意义
7
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.3 载荷增量法
, K T P 0
对于应力已超过屈服应力的单元，单元刚度矩阵
返 回 章 节 目 录
k P 按弹塑性 刚度矩阵计算。
k P V B T DP B dV
一般过渡单元刚度矩阵为
kt V BT Dt B dV
18
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
式23
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.4.2 几何非线性有限元分析
由虚功原理
K P
10
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(a) 非线性弹性问题
(b) 弹塑性问题
(c) 理想塑性问题
(d) 强化塑性问题
图10-6 材料非线性问题
11
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
（3）蠕变与应力松弛问题 在一定温度范围内，材料在固定温度和不变载荷作 用下，其变形随时间缓慢而增加的现象称之为蠕变。
，
为载荷因子，用来描述载荷变化的参数， 对应于
对应于 ，则 , 0
上式的泰勒展开式为
, ,
非线性方程组 0 在 n 附近的近似
n
F 0
线性方程组为
F n 0
n 1 F n n
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.1 非线性问题分类及求解 5.2 非线性问题求解方法 5.3 材料非线性 5.4 几何非线性 5.5 边界非线性 5.6 非线性弹性稳定性问题 5.7非线性分析特点 5.8 ANSYS非线性结构计算示例 5.9ANSYS稳定性计算示例
1
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-8 几何非线性问题
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
几何非线性问题比线性问题复杂得多，非线性问题与 线性问题主要不同之处如下。 a．对于大位移、小应变问题，虽然应力应变关系是 线性关系，但计算应变位移关系时,位移的高阶导数项的 影响不能够忽略，因而应变与位移呈现非线性关系。 b．对于有限变形问题，即大位移、大应变的情况， 应力——应变关系也是非线性的。 c．几何非线性问题的平衡方程组，建立在结构变形 后的位形状态上，而这个位形状态在求解过程中总是变 动的。 d．随着有限位形的变化，材料的本构方程亦发生变 化。采用不同的参考位形将得出不同的本构方程式。
5.1.2 非线性问题求解
非线性问题用有限单元法求解的步骤和线性问题 基本相同，不过求解时需要多次反复迭代，基本三大 步骤如下： (1) 单元分析 非线性问题与线性问题的单元刚度矩阵不同，仅为材 料非线性时， 使用材料的非线性物理（本构）关系。 仅 为几何非线性时， 在计算应变位移转换矩阵[B]时， 应该 考虑位移的高阶微分的影响。 同时， 具有材料和几何非 线性的问题，受到两种非线性特性的藕合作用。
5.1 非线性问题分类及求解
5.1.1 非线性问题分类
当材料是线弹性体，结构受到载荷作用时，其产生 的位移和变形是微小的，不足以影响载荷的作用方向 和受力特点。静力平衡方程表示为：
K P
其基本方程的特点如下：
a．材料的应力与应变，即本构方程为线性关系。 b．结构应变与位移微小、即几何方程保持线性关系。 c．结构的平衡方程属于线性关系，且平衡方程建立于结 构变形前，即结构原始状态的基础之上。 d． 结构的边界（约束）条件为线性关系。
9
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-5 载荷增量法的几何意义
5.3 材料非线性
5.3.1 材料非线性特征
材料非线性问题可划分为以下三种类型。 （1）非线性弹性问题 （2）弹塑性问题 有限单元法求解方程的形式相同，即表现为
D D
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K BT D BdV
不同时满足上述条件的工程问题称为非线性问题。
2
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
习惯上将不满足条件a的称为材料非线性；不能够满 足条件b、c的称为几何非线性；不满足条件d的称为边界 非线性 。对于兼有材料非线性和几何非线性的问题称为 混合非线性问题 。 对于上述非线性问题总可归结为两大 类，即材料非线性和几何非线性。
将平衡方程写成如下迭代格式
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KT n n1 P 0
具体迭代过程简述如下 取初始值 0
5
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
则得到
KT 0 KT 0
1 K T 0 1 P
3
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
(2) 整体刚度矩阵集成
整体刚度矩阵集成、平衡方程的建立以及约束处理， 与线性问题求解相似 。 (3) 非线性平衡方程求解 对于几何非线性问题，平衡方程必须建立在变形后 的位置，严格来讲是建立在结构的几何位置及变形状态 上，简称为位形状态。因而，非线性问题的平衡方程表 为 KT P
— —当 s时的瞬时应变
粘 塑 性 元 件
17
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.3.3 弹塑性问题有限元分析
(1) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可分成三种情况来考虑，即弹性阶段、 过渡阶段和弹塑性阶段。
对于应力处于弹性阶段的单元，单元刚度矩阵 k e 按弹性问题处理
k e V B T DB dV
粘性 元件
高温环境下 的金属材料、 地壳岩石等。
t ——时间
理想塑性 塑性 元件 强化塑性 式中
s
s
s s H
( 0)
( 0) (＞0)
——屈服应力，
H——塑性强化模量。
岩石在承受 的荷载超过 一定值时， 如较高的围 岩压力时表 现出理想塑 性特性。
14
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
弹塑性变形时总应变包括 两部分。
弹塑 性 元件
e p
式中 e ——弹性应变，
p ——塑性应变。 加载时使用增量理论。
应力足够大 时的金属、 岩石、土壤。
15
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
粘弹性元件串联——麦克斯韦 尔(Maxwll)模型，一般描述材 料的松弛特性。其特点
令 得 则有
KT KT ,
P
KT P 0
8
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
或为 K T 1 P 假设将载荷因子 分为m个增量，并设
0 0 1 2 m 1
KT P
按照增量法求解时，步骤如下。 ① 首先求出全部载荷向量 P 作用之下的弹性解 e
量
② 计算由于弹性解 e 产生的相应等效应力 e ，计算各单元由此产生的应变增 ③ 施加载荷增量 P
e
④ 根据每个单元的变形状态（弹性、塑性或弹塑过 渡区），计算其单元刚度矩阵，集成形成总体刚度矩阵。
⑧ 作卸载计算，求出残余应力和残余应变。 ⑨ 输出计算结果。
21
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.4 几何非线性
5.4.1 几何非线性特征
几何非线性问题又可分为两大类，即大位移、小应 变问题和大位移、大应变问题。
返 回 章 节 目 录
(a) 大位移、小应变问题
(b) 大位移、大应变问题
22
得到改进解
重复上述过程，总结得出近似递推公式
K T n K T n
n1 K T 1 P n
以一维非线性问题为例， 直接迭代法的几何意义见图 10-2。
图10-2 直接迭代法的几何意义
6
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
5.2.2 牛顿—拉裴逊（Newton—Raphson）法
n1 n
有 相应载荷为
n 1
m
n
1
Pn n P Pn Pn1 Pn n P
1
则方程组的迭代公式为 n K T n Pn
n1 n n
当满足收敛准则时，迭代终止。
求解时，一般是将非线性问题转化成一系列线性化逼 近的方法求之。即
K T P 0
求解的方法按照载荷的处理方式可分为全量法和增 量法两大类。
4
第五章 结构非线性分析的有限单元法简介
图10-1 位形描述示意图
5.2 非线性问题求解方法
5.2.1 直接迭代法
应力仅为应变的 函数，加卸载规 律相同。 在应力充分小的 { } D } { 情况下几乎包括 对于线弹性材料 所有材料例如， [D]]是常数，非 金属、岩石、玻 线弹性材料[D] 璃、木材。 是位移向量 的 函数。