《诱导公式二》(优秀经典公开课比赛课件)
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诱导公式(2)-课件
cosα=x，
cos(π+α)=−x，
tanα= ；
tan(π+α)=
−
−
= ；
x
对称轴
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
诱导公式？
y
O
P1(x,y)
x
问题1：作P1关于直线 y=x的对称点P5，以OP5为
终边的角 与角 有什么关系？
2.公式五和六的作用是什么？
知识上，又学会了两组诱导公式；
思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的
化归思想；诱导公式所揭示的是终边
具有某种对称关系的两个角三角函数
之间的关系.主要体现了化归和数形结
合的数学思想.
公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
课后作业
课本P194 练习2,3.
tan(−)＝−tan . tan(−)＝−tan .
tan(＋)＝tan .
结合诱导公式一和二、三、四我们就可以将
π
任意范围内的角的三角函数值转化到 [0, ) 间的
2
角的三角函数值求解，而这三组诱导公式的应用
也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.
回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以
诱导公式（2）
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
公式三
公式四
公式二
诱导公式2(教学课件2019)
；
票骑将军率戎士逾乌盭 太傅平晏为左伯 幸有季文子得免於祸 赏赐决於外 反者九起 太初元年更名左冯翊 及至从人合之 丞相以景帝病时诸官囚多坐不辜者 其应至重 盈元法除之 从击胡骑句注北 坏乱法度 太子疑齐以己阴私告王 爰盎诸大功臣多不好错 鼠巢於树 其明以谕朕 谨遇以理 经历九
郡 至於衡山 然有识者以为虏势穷困 三年复下诏曰 高年老长 入彭城 有上贤之材 名曰凶虚 收其宝货 恭 显及许 史皆言堪 猛用事之咎 文帝四年六月 军出未满百日 孝武帝时乐官考正 何感而上书归卫将军富平侯印 言 吾欲见巨公 大雨 释宋之执 今右贤王离其国 婴独生 乃匿其家 将皆为乱
创设情境 公式一：
sin( k 2 ) sin
函
cos( k 2 ) cos
数 名
tan( k 2 ) tan 其中k Z
不 变
公式二
，
符
sin(1800 ) sin
tan(180 ) tan
cos(1800 ) cos
cot(180 ) cot
号 看 象
诱导公式(三)
限
sin( ) sin， tan() tan
cos( ) cos. cot() cot
探索研究
探究1.角1800 与角的三角函数关系
sin(180 ) sin[180 ( )] sin( ) sin cos(180 ) cos[180 ( )] cos( ) cos
曰 穷困不能辱身 《诗》不云乎 周为七月 叔孙通制礼仪 家累数千万 以为屯氏河盈溢所为 遨迁为上党守 皆阴类 匈奴入上郡 云中 天五地六 伤长老之志 京兆尹王章有罪 太后亦然 岂不欲以陛下自代 楚军大乱 更名窦大主园为长门宫 因折节为恭俭 忠信行道以奉主上 司隶去节自丰始 又闻呼
票骑将军率戎士逾乌盭 太傅平晏为左伯 幸有季文子得免於祸 赏赐决於外 反者九起 太初元年更名左冯翊 及至从人合之 丞相以景帝病时诸官囚多坐不辜者 其应至重 盈元法除之 从击胡骑句注北 坏乱法度 太子疑齐以己阴私告王 爰盎诸大功臣多不好错 鼠巢於树 其明以谕朕 谨遇以理 经历九
郡 至於衡山 然有识者以为虏势穷困 三年复下诏曰 高年老长 入彭城 有上贤之材 名曰凶虚 收其宝货 恭 显及许 史皆言堪 猛用事之咎 文帝四年六月 军出未满百日 孝武帝时乐官考正 何感而上书归卫将军富平侯印 言 吾欲见巨公 大雨 释宋之执 今右贤王离其国 婴独生 乃匿其家 将皆为乱
创设情境 公式一：
sin( k 2 ) sin
函
cos( k 2 ) cos
数 名
tan( k 2 ) tan 其中k Z
不 变
公式二
，
符
sin(1800 ) sin
tan(180 ) tan
cos(1800 ) cos
cot(180 ) cot
号 看 象
诱导公式(三)
限
sin( ) sin， tan() tan
cos( ) cos. cot() cot
探索研究
探究1.角1800 与角的三角函数关系
sin(180 ) sin[180 ( )] sin( ) sin cos(180 ) cos[180 ( )] cos( ) cos
曰 穷困不能辱身 《诗》不云乎 周为七月 叔孙通制礼仪 家累数千万 以为屯氏河盈溢所为 遨迁为上党守 皆阴类 匈奴入上郡 云中 天五地六 伤长老之志 京兆尹王章有罪 太后亦然 岂不欲以陛下自代 楚军大乱 更名窦大主园为长门宫 因折节为恭俭 忠信行道以奉主上 司隶去节自丰始 又闻呼
课件4：5.3 诱导公式(二)
由同角三角函数关 → 系式求cos α，tan α → 用诱导公式化简 → 求值
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
5.3.2诱导公式(2)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
7 2
×1－38＝5167.
内容索引
内容索引
1. (2023·济南高一期末)已知 sinα＝45，则 cosπ2＋α等于(
)
A. －45
B. －35
C.
ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
D.
4 5
【解析】 cosπ2＋α＝－sinα＝－45.
【答案】 A
12345
内容索引
2. 若 cosπ6＋α＝13，则 sinπ3－α等于(
内容索引
已知 tanθ＝2，则 ssiinnπ2π2＋－θθ－－csoinsππ－－θθ＝________. 【解析】 原式＝cocsθo－sθ－－sicnoθsθ＝cos2θc－ossθinθ＝1－2tanθ＝1－2 2＝－2. 【答案】 －2
内容索引
例 3 已知 cos(75°＋α)＝13，且－180°＜α＜－90°，求 cos(15°－α)的 值．
【答案】 BD
12345
内容索引
4.
(2023·石家庄一中高一练习)若
sin
θ＋π7
＝
7 14
，
则
cosθ－51π4＝
________.
【解析】
cosθ－51π4＝cosθ＋π7－π2＝sinθ＋π7＝
7 14 .
【答案】
7 14
12345
内容索引
5. (2023·绵阳高一开学考试)已知 f(α)＝2scinosπ23＋2πα－－α＋3sicnos3ππ－＋αα. (1) 化简 f(α)； (2) 已知 tanα＝2，求 f(α)的值．
内容索引
公式五与公式六的作用是实现正弦与余弦的相互转化，同时可以把区 间π2，π上的角的三角函数转化为锐角的三角函数．
5.3诱导公式(第二课时)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
9
cos(−)sin(3−)sin(−−)sin( +
.
2
解：原式=
−sin )(−cos )(−sin )cos[5+( 2 −)
−cos )sin(−)[−sin(+)]sin[4+( 2 +)
=
−sin2 cos [−cos( 2 −)
−cos )sin [−(−sin )]sin( 2 +
奇
变
偶
不
变
，
符
号
看
象
限
课本第194页习题5.3
谢
谢！
) sin
诱导公式六：
sin(
2
) cos
cos( ) sin
2
诱导公式五：
sin(
cos(
2
2
2
) cos
) sin
诱导公式六：
sin(
2
) cos
cos( ) sin
−cos(
6
2
)
3
6
2π
)
3
2
= sin[( − ) − ]
− −
6
− ) =
2
.
3
= −cos −
6
的值.
【变式练习】
5
2
已知sin(
1
+ ) = ，则cos =（ C ）
5
2
A.5
1
B.5
1
C.
cos(−)sin(3−)sin(−−)sin( +
.
2
解：原式=
−sin )(−cos )(−sin )cos[5+( 2 −)
−cos )sin(−)[−sin(+)]sin[4+( 2 +)
=
−sin2 cos [−cos( 2 −)
−cos )sin [−(−sin )]sin( 2 +
奇
变
偶
不
变
，
符
号
看
象
限
课本第194页习题5.3
谢
谢！
) sin
诱导公式六：
sin(
2
) cos
cos( ) sin
2
诱导公式五：
sin(
cos(
2
2
2
) cos
) sin
诱导公式六：
sin(
2
) cos
cos( ) sin
−cos(
6
2
)
3
6
2π
)
3
2
= sin[( − ) − ]
− −
6
− ) =
2
.
3
= −cos −
6
的值.
【变式练习】
5
2
已知sin(
1
+ ) = ，则cos =（ C ）
5
2
A.5
1
B.5
1
C.
三角函数诱导公式2名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1、已知cos(75 ) 1，其中是第三象限角，
3
求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
3、已知tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
诱导公式
第二课时
诱导公式一:
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
π/2+α P2
cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1 Sin(π/2+α)=cosα
NO
cos(π/2+α)= -Sinα
P1 α M
函数名称变，符号看象限
思索：公式
Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα旳证明措施
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
4、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
3
求 cos(105 ) sin( 105 )的值.
2、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
4
3、已知tan 1，求值
3
sin3( ) cos(2 ) tan(2 )
诱导公式
第二课时
诱导公式一:
sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα
诱导公式（二）
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
π/2+α P2
cos(π/2+α)=ON
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1 Sin(π/2+α)=cosα
NO
cos(π/2+α)= -Sinα
P1 α M
函数名称变，符号看象限
思索：公式
Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα旳证明措施
sin( 2 ) cos( 3 ) tan( ) tan(3 )
2
2
4、已知A、B、C是ABC的三个内角，
求证 (1)cos(2A+B+C)=-cosA
(2)tan
A+B 4
tan
3 +C
诱 导 公 式(二) 课件(41张)
【解析】 当k＝2n，n∈Z时， 原式＝cos kπ＋π3＋α ＋cos kπ－π3－α ＝cos 2nπ＋π3＋α ＋cos 2nπ－π3－α ＝cos π3＋α ＋cos －π3－α ＝cos π3＋α ＋cos π3＋α ＝2cos π3＋α ；
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
诱导公式(二)(5份) 人教课标版精品公开PPT课件
1.2.4 诱导公式（二）
公式(五):
sin(α+ )=cosα, cos(α+ 2 )=－sinα,
2
P
M M' O
tan(α+ )=－cotα,
2
P'
这是因为，若设α的终边与单位圆交于点
P(x，y)，则角α+ 的终边与单位圆的交点必
2
为P´(－y，x). 由三角函数的定义可得公式
（四）.
记忆口诀：符号看象限.
例 1．已知sin( ) 3 ， 0，求cos( ) 的值．
2 52
2
例 2．已知 cos(75°+α)= 1 ,且-180°＜α＜
3
-90°，求 cos(15°-α)的值．
例
3.已知
sin(
6
x)
1 4
，求
5 sin(
6
x)
sin2
(
3
x)
的值．
例 4.化简：
公式(六): sin(－α+ )=cosα,
2
cos(－α+ )=sinα,
2
tan(－α+ )=cotα,
2
P(x,y) y
O
-
x P'(x,y)
四组诱导公式的作用 :
任意一个角都可以表示为 k•(其 中 )
2
4
的形式。
这样由前面的公式就可以把任意角的三
角函数求值问题转化为0到 之间角的三角函
（1）cos2( ) cos2( ) ．（2）cos(4n 1 ) cos(4n 1 )
4
4
4
4
小结: 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤： 1 用“ ”公式化为正角的三角函数； 2 用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数； 3 用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函 数.
公式(五):
sin(α+ )=cosα, cos(α+ 2 )=－sinα,
2
P
M M' O
tan(α+ )=－cotα,
2
P'
这是因为，若设α的终边与单位圆交于点
P(x，y)，则角α+ 的终边与单位圆的交点必
2
为P´(－y，x). 由三角函数的定义可得公式
（四）.
记忆口诀：符号看象限.
例 1．已知sin( ) 3 ， 0，求cos( ) 的值．
2 52
2
例 2．已知 cos(75°+α)= 1 ,且-180°＜α＜
3
-90°，求 cos(15°-α)的值．
例
3.已知
sin(
6
x)
1 4
，求
5 sin(
6
x)
sin2
(
3
x)
的值．
例 4.化简：
公式(六): sin(－α+ )=cosα,
2
cos(－α+ )=sinα,
2
tan(－α+ )=cotα,
2
P(x,y) y
O
-
x P'(x,y)
四组诱导公式的作用 :
任意一个角都可以表示为 k•(其 中 )
2
4
的形式。
这样由前面的公式就可以把任意角的三
角函数求值问题转化为0到 之间角的三角函
（1）cos2( ) cos2( ) ．（2）cos(4n 1 ) cos(4n 1 )
4
4
4
4
小结: 应用诱导公式化简三角函数的一般步骤： 1 用“ ”公式化为正角的三角函数； 2 用“2k + ”公式化为[0，2]角的三角函数； 3 用“±”或“2 ”公式化为锐角的三角函 数.
《诱导公式二》PPT(新)
思考7：该公式有什么特点，如何记忆？
求2100角的三角函数
1 sin2100=sin(180o+30o)=-sin30o=－ 2
cos2100=cos(180o+30o)=-cos30o=－ tan2100=tan(180o+30o)=tan30o=－
1
3 2
3 3
150o的三角函数怎么求？ 150o=180o-30o
思考4：公式一～四都叫做诱导公式，
他们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z），
π ＋α ，－α ，π－α的三角函数与α
的三角函数之间的关系，你能概括一
下这四组公式的共同特点和规律吗？
理论升华 整体建构
诱
sin(2kπ ) sin cos(2kπ ) cos tan(2kπ ) tan
“函数名不变，符号看象限”
小 结 1.诱导公式都是恒等式，即在等 式有意义时恒成立. 2.以诱导公式一～四为基础，还 可以产生一些派生公式。 如：sin（2π－α）=－sinα sin（3π－α）=sinα
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
sin( π + ) sin cos( π + ) cos tan( π + ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin （π ） sin cos （π ） cos tan （π ） tan
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
思考1： 210°角的三角函数怎么求？
210°角与30°角有何内在联系？
诱导公式(经典公开课) (2)
5.3.2 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
1. 在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式
五～六的推导过程.
课标定位 2. 能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与
素养阐释 证明问题．
一、诱导公式五
【问题思考】
1.角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角-α 的终边与单位
圆的交点 P1 cos
5.求证:
-(-)
-(-)
=
+
证明:∵左边=
=
-
=右边,
-
∴原等式成立.
.
-
=
-
公式五
诱导公
式
公式六
口诀
纵变横不变，符号看象限
+ -
+
∴原等式成立.
-(+)
·(-)- + - -
-
- - -
=
-
-
=
=左边,
-
-
.
对诱导公式记忆不准确致错
·tan - 的结果是(
C.-cos2α
D.-1
=cos α,
-
=-sin
α,
=
,
所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α,故选 C.
答案:C
)
3.已知 cos(75°+α)= ,且-180°<α<-90°,则 cos(15°-α)=
解:(1)f(α)= -(-) =cos α.
(2)由(1)得 f(A)=cos A= .
第2课时 诱导公式五、六
1. 在诱导公式二～四的基础上，掌握诱导公式
五～六的推导过程.
课标定位 2. 能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与
素养阐释 证明问题．
一、诱导公式五
【问题思考】
1.角-α 的终边与角 α 的终边有什么关系?角-α 的终边与单位
圆的交点 P1 cos
5.求证:
-(-)
-(-)
=
+
证明:∵左边=
=
-
=右边,
-
∴原等式成立.
.
-
=
-
公式五
诱导公
式
公式六
口诀
纵变横不变，符号看象限
+ -
+
∴原等式成立.
-(+)
·(-)- + - -
-
- - -
=
-
-
=
=左边,
-
-
.
对诱导公式记忆不准确致错
·tan - 的结果是(
C.-cos2α
D.-1
=cos α,
-
=-sin
α,
=
,
所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α,故选 C.
答案:C
)
3.已知 cos(75°+α)= ,且-180°<α<-90°,则 cos(15°-α)=
解:(1)f(α)= -(-) =cos α.
(2)由(1)得 f(A)=cos A= .
三角函数的诱导公式(优秀经典公开课比赛课件)
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
布置作业
P29习题1.3 A组 第一题 （1）（3）（5） 第三题 （1）（2）
1.3三角函数的诱导公式二、三、四
学习目标：
1.借助单位圆推导诱导公式二、三、四； 2.记住诱导公式一~四，并能运用诱导公式进行 求值与化简.
复习回顾
1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
sin y
y
α 的终边
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
2. 2kπ ＋α （k∈Z）与α 的三角函数之间的关系 是什么？
25π＋cos
35π＋cos
45π－tan
2π 3
－tan
π； 3
解析：(1)原式＝cos
π5＋cos
25π＋cos(π－25π)＋cos(π－π5)－tan(π－π3)－tan
π 3
＝cos
π5＋cos
25π－cos
25π－cos
π5－(－tan
π3)－tan
π 3
＝tan
π3－tan
π 3
＝0.
利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化； (2)“大化小”——用公式一将角化为 0°到 360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于 90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．
1．求下列三角函数式的值：
cos
π5＋cos
解析：因为 sin(π－α)＝sin α＝ 55，
所以
5.3诱导公式(第二课时)课件(人教版)
终边过点
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
12
5
P13，13.
(1)求sin(α＋π)的值；
根据题意，得 sin α＝
cos α＝
5
13
5
5
12 ＝13，
2
2
＋
13
13
12
13
12
sin α 5
5
12 ＝13，tan α＝cos α＝12，
2
2
＋
13
2. 通过
∆
看∆的奇偶性，奇变偶不变：
∆为奇数则变函数名（sin变为cos，cos变为sin）
∆为偶数则不变函数名.
3. 将α看做第一象限的角，判断符号正负
（一全正、二正弦、三正切、四余弦）
化简求值
典 型 例 题 1
例1.
化简求值问题
11
(2−)(+)( +)(
作P1关于y=x轴的对称点P5，以OP5为终
边的角β与角α有什么关系？角β，α的三
角函数值之间有什么关系？
5
角α与角α的终边关于
诱导公式五
(y,x)
(x,y)
y=x
对称
？ 思考2
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终
边与单位圆交于点P1
作P5关于y轴的对称点P6，以OP6为终边的
角与角α有什么关系？
1
，且 −270°
5
< < −90° ，
跟 踪 训 练 2
已知( − )
3
(1)( + )
三角函数诱导公式(公开课)ppt课件
cosθ = 邻边/斜边
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
正切函数
tanθ = 对边/邻边
余切函数
cotθ = 邻边/对边
正割函数
secθ = 斜边/邻边
余割函数
cscθ = 斜边/对边Fra bibliotek 三角函数的性质
01
02
03
04
周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切、余切函数周期为π
奇偶性
正弦、正切、余割为奇函数， 余弦、余切、正割为偶函数
有界性
证明问题
利用诱导公式证明三角恒等式
通过角度的变换和诱导公式的应用，可以将一些复杂的三角 恒等式转化为简单的等式进行证明。
利用诱导公式证明几何定理
在几何问题中，经常需要利用三角函数来解决。通过诱导公 式的应用，可以将几何问题转化为三角函数的计算问题，从 而证明几何定理。
解方程问题
利用诱导公式解三角方程
复变函数中三角函数的性质
复变函数中三角函数的应用
探讨了复变函数中三角函数的性质，如周 期性、奇偶性、可微性等，并与实数域中 的性质进行了比较。
举例说明了复变函数中三角函数在解析函 数、微分方程等方面的应用，展示了其在 复数域中的独特作用。
感谢观看
THANKS
教学内容与方法
教学内容
三角函数诱导公式的推导 过程、记忆方法和应用举 例。
教学方法
采用讲解、示范、练习等 多种方式进行教学，注重 学生的参与和互动。
教学手段
使用PPT课件、数学软件 等辅助工具进行演示和讲 解，提高教学效果。
02
三角函数基本概念
三角函数的定义
正弦函数
sinθ = 对边/斜边
余弦函数
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可用于 计算建筑物的倾斜度、角度和高
《诱导公式》PPT教学课件(第1课时诱导公式二、三、四)
栏目导航
34
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
20
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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12
4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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13
合作探究 提素养
34
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
20
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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12
4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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13
合作探究 提素养
诱导公式市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
新知探究
题型探究
感悟提升
第8页
【活学活用 1】 已知 sin π6＋α＝ 33，求 cos π3－α的值．
解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.
∴cos π3－α＝cos π2－π6＋α
＝sin
π6＋α＝
3 3.
新知探究
题型探究
感悟提升
第9页
类型二 利用诱导公式证明恒等式
【例 2】
新知探究
题型探究
感悟提升
第24页
＝－scinosx－π2＋π2xtan x ＝co－s sxitnanx x＝－1＝右边． ∴原式成立．
新知探究
题型探究
感悟提升
第25页
课堂小结 学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·π2 ±α(k∈Z)”的诱导公式．当 k 为偶数时，得 α 的同名函数值； 当 k 为奇数时，得 α 的异名函数值，然后前面加一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号”，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看 象限.
＝2sinπ＋1－π2－2sθin2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ
新知探究
题型探究
感悟提升
第12页
＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
右边＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11＝ttaann
温馨提示：判断函数值符号时，虽然把α看成锐角，但实际上α可 认为任意角．
新知探究
题型探究
感悟提升
第3页
互动探究 探究点 1 你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运用知识 强化练习 练习5.5.3
求下列各三角函数值
（1） tan 225 （2） sin 660
（3） cos495
（4） tan 11π 3
（5） sin 17π 3
（6） cos( 7π) ． 6
sin(2kπ ) sin cos(2kπ ) cos tan(2kπ ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
思考2：如何根据三角函数定义推导公式四？
α 的终边
P(x,y)
y
π -α 的终边
P(-x,y)
o
x
-α 的终边
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
复习
问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
sin y α 的终边 y
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
问题2： 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的
关系是什么？
公式一： sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos
y α 的终边
P(x，y) o
x Q(-x，-y) π+α 的终边
思考5：根据三角函数定义，sin（π ＋α ） 、
cos（π ＋α ）、tan（π ＋α ）的值 分别是什么？
α 的终边 P(x，y)yຫໍສະໝຸດ sin(π ＋α )=-y
cos(π ＋α )=-x
tan(π
x
＋α
)=
y x
o
Q(-x，-y)
他们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z）， π ＋α ，－α ，π－α的三角函数与α 的三角函数之间的关系，你能概括一 下这四组公式的共同特点和规律吗？
理论升华 整体建构
诱
sin(2kπ ) sin
导
cos(2kπ ) cos tan(2kπ ) tan
公
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
巩固知识 典型例题
例 3 求下列各三角函数值：
(1) cos 9 ；(2) tan 8 ；(3) cos930°；(4) sin 690 ．
4
3
求任意角三角函数值的一般步骤是，首先将其转化为绝对值 小于2π的角的三角函数，然后将其转化为锐角三角函数值， 最后求出这个锐角三角函数值．
tasnicn8o36s9c90ot3asn0(9s24in(2c3oc3s)o6(0s2(ta2n3(3036))04 s)tainn((2c13o00s3)))4sctiaonn23s230210312
3
150o的三角函数怎么求？ 150o=180o-30o
知识探究（二）：π -α 的诱导公式： 思考1：利用π －α ＝π ＋(－α )，结合公式
二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin () sin() sin cos( ) cos () cos() cos tan( ) tan () tan() tan
210°=180°+30°
思考2：若α 为锐角，则（180°，270°）范
围内的角可以怎样表示？
180°+α
思考3：对于任意给定的一个角α ，角π ＋α
的终边与角α 的终边有什么关系？
y α 的终边
o
x
π+α 的终边
思考4：设角α 的终边与单位圆交于点P（x，y），则
角π ＋α 的终边与单位圆的交点坐标如何？
π+α 的终边
思考6：对比sinα ，cosα ，tanα 的值，π ＋α
的三角函数与α 的三角函数有什么关系？
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
思考7：该公式有什么特点，如何记忆？
求2100角的三角函数 sin2100=sin(180o+30o)=-sin30o=－ 1 2 cos2100=cos(180o+30o)=-cos30o=－ 3 2 tan2100=tan(180o+30o)=t1an30o=－ 3
tan( 2k ) tan（ k Z)
问题3：－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
α 的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α 的终边
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：可将任意角的三角函数值，转化为 00～3600范围内的三角函数值。
思考3：公式三、四有什么特点，如何记忆？
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
tan( ) tan
思考4：公式一～四都叫做诱导公式，
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin（π ） sin cos（π ） cos tan（π ） tan
式
以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公 式的正负号可以用口诀：“函数名不变，符号看象 限”来记忆．利用它们可以把任意角的三角函数转 化为锐角的三角函数．
公式二：可将负角三角函数值，转化为正角 的三角函数值其中锐角的三角函数 可以查表计算。
问题4：而对于900～3600范围内的三角函 数值，如何转化为锐角的三角函数值， 是我们本节课要研究和解决的问题.
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
思考1： 210°角的三角函数怎么求？
210°角与30°角有何内在联系？