广东省实验中学2019-2020学年高三下学期线上考试数学(理)试题

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广东省广州市大学实验中学高三数学理联考试题含解析

广东省广州市大学实验中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B2. 全集且则（）A． B. C. D.参考答案：C略3. 设函数，则使成立的x的取值范围是（）A. (－∞,1)B. (1,+∞)C. D.参考答案：D【分析】先判断函数为偶函数，利用导数判断函数在上为增函数，则原不等式等价于，进而可得结果.【详解】根据题意，函数，则，即函数为偶函数，又，当时，有，即函数在上为增函数，，解得或，即的取值范围为；故选D．【点睛】解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意函数的单调性．若函数为增函数，则；若函数为减函数，则．4. 下列各小题中，是的充要条件的是（1）或；有两个不同的零点。

（2）是偶函数。

（3）。

（4）。

（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：D.解析：（2）由可得，但的定义域不一定关于原点对称；（3）是的既不充分也不必要条件。

5. 设x，y∈R，a>1，b>1，若，，则的最大值为()A．2 B. C．1 D.参考答案：C6. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：7. 已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若﹣2与非零向量m+n共线，则等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．参考答案：C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】先求出﹣2和m+n，再由向量共线的性质求解．【解答】解：∵向量=（2，3），=（﹣1，2），∴﹣2=（2，3）﹣（﹣2，4）=（4，﹣1），m+n=（2m﹣n，3m+2n），∵﹣2与非零向量m+n共线，∴，解得14m=﹣7n， =﹣．故选：C．【点评】本题考查两实数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．8. 设全集U=R+，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|lgx≥0}，则“x∈A”是“x∈?UB”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件参考答案：B略9. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )．(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个参考答案：B10. 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是 ( ) A．3 B．4 C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则的值为。

广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试文科数学试题

○…………外…………○…………内…………绝密★启用前广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试文科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}2{|320},21xA x x xB x Z =-+≤=∈>，则A B =（）A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[1,2]D ．{1,2}2．已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（） A ．1B ．3C ．4D ．54．若1a b >>，01c <<，则（） A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c < 5．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；○………○………②支出最高值与支出最低值的比是6:1; ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份. A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②④6．2sin18m =，若24m n +==（）A ．1B ．2C ．4D ．87．某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（） A ．3(1)5e -B ．4(1)5e - C ．1(1)2e - D ．2(1)3e - 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23 B ．12 C ．16 D ．139．直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A ，B 两点，若线段,AF BF 的长分别为m ，n ，则11m n+等于（） A ．14 B ．12C ．1D ．210．函数图象的大致形状是A ．B ．………○……………○…… C ． D ．11．在△ABC 中，2,6AB C π==，则AC 的最大值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知离心率为e ，焦点为12,F F 的双曲线C 上一点P 满足1221sin sin 0PF F e PF F ∠=⋅∠=/，则双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ．B ．C ．(1,2)D ．(1,1+第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，且1233a a a ++=，4566a a a ++=，则12S =__________.14．己知直线l 与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等，且l平面11BB D D H =，则l 与平面11BB D D 所成角的正切值是___________. 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2s i n s i n (2)A B c o s B C <-+，则对任意的2,,,nnnn n N a b c ≥∈，都必须满足___________.16．若定义在R 上的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，则称()y f x =是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.①()3xf x =是一个“k ～特征函数”；②()3f x x =-不是“k ～特征函数”；③()0f x =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；三、解答题……○…………订……※※装※※订※※线※※内※※答※※……○…………订……○…………订……__班级：___________考号：_○…………订……附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.临界值表：19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为11,AC BC 的中点，1C F AB ⊥，12AB BC AA ===.（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求三棱锥1E ABC -的体积. 20．已知函数31()sin .6f x x ax x =-+(1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 存在极小值点1x 与极大值点2x ，求证：122 2.x a x -<+21．设椭圆2222:1(0)y x M a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且内切于圆2224x y +=. (1)求椭圆M 的方程；(2)已知R 00(,)x y 是椭圆M 上的一动点，从原点O 引圆R :2200()()8x x y y -+-=的两条切线，分别交椭圆M 于P 、Q 两点，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为12,k k ，试探究22OP OQ +是否为定值并证明你所探究出的结论.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x 2tcos αy tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22ρ45sin θ36+=．()1求l 和C 的直角坐标方程；()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．23．设函数()2 1.f x k x x =--(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．参考答案1．D 【解析】【分析】分别解出两个集合，注意集合B 中元素全为整数，然后求出交集. 【详解】解2320x x -+≤，即(1)(2)0x x --≤，所以{12}A x x =≤≤，解0212,x x Z >=∈，所以{0,}B x x x Z =>∈ 所以{1,2}A B =故选：D 【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件. 2．A 【解析】【分析】根据复数运算法则求出z ，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限. 【详解】由题：23(3)(14221(1(11i i i iz i i i i i++--====-++--））），其共轭复数2z i =+，对应点(2,1) 在第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的基本运算，共轭复数，复数所对应的点所在象限，属于简单题目. 3．D 【解析】【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4．C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b ab a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg a bb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 5．A 【解析】【分析】根据统计折线图，逐一检验便可选出正确选项. 【详解】2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率均为-20万元每月，所以①正确；支出最高2月60万元，最低5月10万元，所以比值为6:1，所以②正确；第三季度平均收入为405060503++=万元，所以③正确；2月利润20万元，而3月和10月利润都是30万元，所以④错误. 故选：A 【点睛】此题考查图像识别能力，读取图象提取有效信息，考查综合能力. 6．B 【解析】【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解. 【详解】由题：22cos 271︒==-4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54︒︒︒︒︒︒︒====. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力. 7．A 【解析】【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上的均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -，作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个，设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-，所以3(1)5e S -≈. 故选：A 【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比. 8．D【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处， 123D N ∴=， M为1CC 的中点， 'M ∴也为1D D 中点， 11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面， //'QN AM ， 1'3AQ NM ∴==，故选D. 9．C 【解析】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程1x =，易解出,AF BF 的长度；当直线斜率存在时，设直线方程为：(1)y k x =-，联立方程：{2(1)4y k x y x=-=，整理后利用抛物线焦半径公式表示,AF BF ，结合韦达定理可得.当直线斜率不存在时，直线方程1x =，代入24y x =，解得122,2y y ==-，所以(1,2),(1,2)A B -，2,2AF BF ==，所以111m n+=；当直线斜率存在时，设直线方程为：(1),0y k x k =-≠，联立方程：{2(1)4y k x y x=-=，整理得： 2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理：212122240,,1k x x x x k +>+==，2121212122422211111411()1121x x k m n x x x x x x k +++++=+===++++++++ 故选：C 【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系和焦半径公式基本运算，考查直线与圆锥曲线问题的通式通法，容易出现漏掉直线斜率不存在的情况，虽然不影响结果，但体现思维逻辑的严密性；另外若能熟记一些二级结论的话，此题结果瞬间可得，大大提升解题效率. 10．B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解. 【详解】由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令，则，。

广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试理科数学试题(原卷版)

广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（）A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,22.己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( ) A. 1B. 123.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. b c a <<4.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2x =（） A. 89-B. 79-C. 79D. -15.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条D. 既不充分也不必要条件6.点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（） A. 35B. 52C.32D.237.已知()121sin 221xxf x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（） A. B.C. D.8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A. 24B. 16C. 8D. 129.已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（）.A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)2210.设变量y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.511.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，则AOB ∆的面积的最大值为（） B. 2C.D. 12.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（） A ⎫⎪⎪⎝⎭B. 15⎛ ⎝⎭C. 15⎛ ⎝⎭D. ⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为．（用数字填写答案）15.己知函数sin ()xx af x e-=有极值，则实数a 的取值范围为_____________ 16.点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．.（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-= (Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)若数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．18.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.(1)求证：AD ⊥平面BFED ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．19.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()12,0F -，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N . （1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布())2,N μσ，经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50．用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布()2N μσ，，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元．已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次．若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出反面遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第1(1)9n n 剟格的概率为P 试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值．21.已知函数sin ()()cos sin xf xg x x x x x==⋅-，. （1）判断函数()g x 在区间(0)3π，上零点的个数；（2）函数()f x 在区间(0)+∞，上的极值点从小到大分别为1234nx x x x x ，，，，，证明：（Ⅰ）()()120f x f x +<；（Ⅱ）对一切()()()()*1230n n N f x f x f x f x ∈++++<，成立..（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[)0,2θ∈π. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.23.设()f x x 1x 1=-++ (1)求()f x x 2≤+ 的解集;(2)若不等式()a 12a 1f x a+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围..。

广东省六校2019届高三数学第三次联考试题理(含解析)

广东省六校2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合，然后根据交集定义求结果【详解】解：则故选：C【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题2.若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( )A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：，所以复数z的模为考点：本题考查复数的运算点评：解决本题的关键是会复数的运算，知道复数的模为3.等差数列中，若，则的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】【分析】先由等差数列的性质得，再用性质求解【详解】解：依题意，由，得，即所以故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础4.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.5.在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 112【答案】A【解析】【分析】首先求出在的展开式中的通项，然后根据的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案【详解】解：因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A【点睛】此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ ( )A. 3B. 2C. －2D. －3【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．考点：简单的线性规划．【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为.【详解】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为．所以表面积为．故选：C【点睛】本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,故选A.考点：合情推理.【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用这个公式计算的.在2016年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.10.设F为抛物线的焦点，斜率为的直线过F交抛物线于A、B两点，若，则直线AB的斜率为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可【详解】解：假设A在第一象限，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形为矩形由抛物线定义可知,又∵，∴，即B为的三等分点，设即则，即直线AB的斜率故选：D【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键11.已知是偶函数，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】【分析】利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论【详解】解：∵是偶函数，∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12.已知函数，关于x的方程有四个不等实根，恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数是分段函数，通过求导分析得到函数的单调性，并求出当时有一个最大值，所以，要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解.【详解】解：，当时，恒成立，所以在上为增函数；当时，，由，得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以函数的极大值为，极小值为：，令，由韦达定理得：此时若，则当,此时方程至多有两个实根，若，则当要使方程有四个实数根，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令，因为，①，则，②则只需，即，所以，③由①②解得：，④由③④得到：，，所以∴.故选：A.【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况，此题属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则=______．【答案】-4【解析】【分析】把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果【详解】解：∵，∴，∴则故答案为：-4【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题14.已知向量，且在上的投影为3，则与角为______.【答案】【答案】.【解析】试题解析：在上的投影为3，，，，向量与夹角为考点：平面向量15.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．【答案】【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．16.数列的前n项和为，已知，，若数列为等差数列，则=______．【答案】666【解析】【分析】求得数列的前6项之和，再由，，表示数列的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和【详解】解：设数列为公差d的等差数列，由，，可得两式相减可得，由，解得，则可得故答案为：666【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的三个内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求角.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（2）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．试题解析：（1）由正弦定理得，,即，故，所以.（2）设，则，于是.即.由余弦定理得.所以.考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系18.如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，,，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线l上存在点Q满足题意，|AQ|=1【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出面，从而得到，再由已知条件推导出面，由此证明平面．（Ⅱ）以坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余.【详解】（Ⅰ）证明：∵分别是的中点，又平面，不包含于平面，∴面，又面，面面，∴，又，面面，面面，∴面,∴直线平面．．（Ⅱ）坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，面的法向量为则取，得，,|,依题意，得∴∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，．【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到位教师近年每人手机月平均使用流量(单位:)的数据,其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.(Ⅰ)从该校教师中随机抽取人,求这人中至多有人月使用流量不超过的概率；(Ⅱ)现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:套餐名称月套餐费(单位:元)月套餐流量(单位:)这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值流量,资费元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值流量,资费元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用.学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.【答案】(1)0.784.(2) 学校订购套餐最经济.【解析】【分析】(Ⅰ)先求得该教师手机月使用流量不超过的概率为.利用互斥事件的概率和独立重复试验的概率求这人中至多有人月使用流量不超过的概率. (Ⅱ)先分别求出三种套餐的期望，再比较它们的大小即得解.【详解】(Ⅰ)由直方图可知,从该校中随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过的概率为.设“从该校教师中随机抽取人,至多有人月使用流量不超过”为事件,则.(Ⅱ)依题意,,.当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,,,且,,,所以(元)当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,,且,,所以(元)当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,且,(元)因为,所以学校订购套餐最经济.【点睛】(1)本题主要考查概率的计算，考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率，考查随机变量的期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)…… 为的均值或数学期望．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），()，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-．（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程：，化简整理得标准方程，注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出的面积，由平行条件得斜率关系：由得，即得坐标关系；设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入可得，而三角形面积可表示为，将代入化简得试题解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为5分（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知．因为，所以6分设直线的方程为，代入椭圆方程，得．①，．．7分设的坐标分别为，则8分又，．9分所以，得 10分又，所以，即的面积为定值．．12分考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数（I）求证（II）若取值范围.【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（1）将问题转化为证明与，从而令、，然后利用导数求得的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得≥，从而令，通过多次求导得出其单调性即可求出的取值范围．试题解析：（1）要证时，，只需证明.记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以.要证时，，只需证明，记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以，.综上，，.（2）（解法一）.设，则，记，则，当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数，于是，从而，所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，.记，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为.因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.（解法二）先证当时，.记，则，记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.所以当时，.同理可证，当时，.综上，当时，.因为当时，，所以当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，因为.所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为.（1）求曲线1的普通方程和极坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B 是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且｜AB｜＝4，求的值.【答案】(Ⅰ) x2 + (y -2 )2 =4.( Ⅱ ) α =.【解析】【分析】（1）直接消去参数可得普通方程，由，可得极坐标方程；（2）设，则，列方程求解即可.【详解】由消去参数可得的普通方程为即，所以的极坐标方程为设，则所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标方程的表示，及极坐标的应用求解线段长度，属于基础题.23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)零点分段可得原不等式的解集为.(2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为.试题解析：（1），原不等式为，，或或或或，原不等式的解集为.（2）由题意得，当且仅当，计，且时，取最小值.绝对值不等式的解法点睛：|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2020届广东省实验中学2017级高三下学期3月线上月考数学(理)试卷及解析

2020届广东省实验中学2017级高三下学期3月线上月考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合[]{}{21,1,1,||,A y y x x B x y ==-∈-==则A B =（） A. 0,1B. []1,1-C. 0,1D. ∅【答案】A【解析】求函数[]21,1,1y x x =-∈-的值域化简集合A 的表示,再求出函数y =的定义域化简集合B 的表示,最后根据集合交集的定义结合数轴进行求解即可.【详解】因为[]{}{2|[0,11,1,]|[,,1),2A y y x x B x y ===-∈--===+∞ 所以A B =[]0,1.故选：A2.若复数z 满足()()3451i z i -=-,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为（）A. 1B. 15-C. 15D. 1-【答案】C【解析】由已知等式化简变形得出()5134i z i -=-,利用复数的除法法则将复数化为一般形式,即可得出复数z 的虚部.【详解】根据已知得()()()()()515134771343434555i i i i z i i i i --++====+--+, 因此,复数z 的虚部为15. 故选：C.3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===,则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B【解析】运用中间量0比较,a c ,运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．4.求下列函数的零点,可以采用二分法的是（）A. 4()f x x =B. ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<C. ()cos 1f x x =-D. ()23x f x =- 【答案】B【详解】4()f x x =不是单调函数,0y ≥,不能用二分法求零点； ()tan 2()22f x x x ππ=+-<<是单调函数,y R ∈,能用二分法求零点；()cos 1f x x =-不是单调函数,0y ≤,不能用二分法求零点；()23x f x =-不是单调函数,0y ≥,不能用二分法求零点.故选：B5.已知角α顶点为原点,始边与x 轴非负半轴重合,点()P 在终边上,则()cos 6πα-=（）A. 12B. 12- D. 【答案】B【解析】根据任意角三角函数定义可求得sin ,cos αα,代入两角和差余弦公式可求得结果.。

广东实验中学2019高三下综合测试(一)-数学(理)

广东实验中学2019高三下综合测试（一）-数学（理）数学理本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页、总分值150分、考试时间120分钟、【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、集合A={x ∈R|x<5-2}，B={1，2，3，4)，那么(C R A) B=( ) A 、{1，2，3，4} B 、{2，3，4} C 、{3，4} D 、{4}2、函数①y=sinx+cosx ，②y=22sin xcosx ，那么以下结论正确的选项是( ) A 、两个函数的图象均关于点(-4π，0)成中心对称B 、两个函数的图象均关于直线x=-4π成轴对称C 、两个函数在区间(-4,4ππ)上基本上单调递增函数D 、两个函数的最小正周期相同 3、设f(x)=[][]⎩⎨⎧∈-∈2,121,02x xx x ,那么⎰2)(dxx f 的值为( )A 、43B 、54C 、65D 、674、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，那么该三棱柱的表面积为( )A 、(24+83)cm 2B 、24πcm 2C 、314cm 2D 、318cm 2A 、ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，那么P 〔ξ>2〕=0.2B 、设回归直线方程为y=2-2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位C 、命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2-x+1>0、那么命题“p ∧﹁q ”是假命题D 、直线l 1：ax+3y-1=0,l 2：x+by+1=0，那么l 1⊥l 2的充要条件是ba =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入()A 、i ≤30?；p=p+i-1B 、i ≤29?；p=p+i+1C 、i ≤31?：p=p+iD 、i ≤30?；p=p+i 7、k ∈Z ,=(2,4)≤10,那么△ABC 是直角三角形的概率是()A 、74B 、73C 、72D 、718、设函数f(x)的定义域为R ，假设存在常数M>0使xM x f ≤)(对一切实数x 均成立，那么称函数f(x)为F 函数、现给出以下函数①f(x 〕=x 2，②f(x)=122+-x x x ③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1x 2均有212)()(21x x x f x f -≤-、其中是F 函数的序号为()A.①②③B.②④C.②③D.③④ 【二】填空题：〔本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多项选择的按1题给分，共30分〕〔一〕必做题〔9～13题〕 9、i 是虚数单位，ii -12的共轭．．复数的数是________ 10、假设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+5402y x y x ，那么s=y-x 的最小值为________11、(xx 321⋅-)n展开式的第4项为常数项，那么展开式中各项系数的和为________12、数列{a n }的前n 项和S n =n 2-7n ，且满足16<a k +a k+1<22，那么正整数k=_______ 13、函数f(x)=221x -alnx(a ∈R)，假设函数f(x)在[1,2]为增函数，且f /(x)在[1，2]上存在零点(f /(x)为f(x)的导函数)，那么a 的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，那么MN的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆0交于F ，假设∠CFE=α()2,0(πα∈)，那么∠DEB___________【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

广东省广州市广东实验中学2019-2020学年高三第三次阶段考试文科数学试题(解析版)

广东省实验中学2020届高三年级第三次阶段考试数学（文科）本试卷共4页，考试时间120分钟满分150分一、单项选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请将答案填涂在答题卷上1.已知集合{}2{|320},21xA x x xB x Z =-+≤=∈>，则A B =（）A. (1,2)B. (1,2]C. [1,2]D. {1,2}【答案】D 【解析】【分析】分别解出两个集合，注意集合B 中元素全为整数，然后求出交集.【详解】解2320x x -+≤，即(1)(2)0x x --≤，所以{12}A x x =≤≤，解0212,x x Z >=∈，所以{0,}B x x x Z =>∈所以{1,2}A B =故选：D【点睛】此题考查解一元二次不等式和指数不等式，易错点在于漏掉集合中的限制条件. 2.已知复数(1)3z i i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数．．．．所对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数运算法则求出z ，再求出其共轭复数即可得出对应点所在象限. 【详解】由题：23(3)(14221(1(11i i i iz i i i i i++--====-++--））），其共轭复数2z i =+，对应点(2,1)在第一象限. 故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，共轭复数，复数所对应的点所在象限，属于简单题目. 3.已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（） A. 1 B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.若1a b >>，01c <<，则（） A. c c a b < B. c c ab ba <C. log log b a a c b c <D. log log a b c c <【答案】C 【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误， 3211log log 22>，选项D 错误，因为lg lg log log lg ()lg (),11lg lg lg lg a bb b a b a a b a b ac b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<<lg lg 001lg 0log log lg lg abb a a bc c a c b c b a-∴><<∴<∴<选项C 正确，故选C ．的【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.【此处有视频，请去附件查看】5.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是（）①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元；④利润最高的月份是2月份.A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ①②④【答案】A【解析】【分析】根据统计折线图，逐一检验便可选出正确选项.【详解】由图：2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率均为-20万元每月，所以①正确；支出最高2月60万元，最低5月10万元，所以比值为6:1，所以②正确；第三季度平均收入为405060503++=万元，所以③正确；2月利润20万元，而3月和10月利润都是30万元，所以④错误.故选：A【点睛】此题考查图像识别能力，读取图象提取有效信息，考查综合能力. 6.2sin18m =，若24m n +==（） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解. 【详解】由题：22cos 271︒==-4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54︒︒︒︒︒︒︒====.故选：B【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力. 7.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（）.A. 3(1)5e -B. 4(1)5e -C. 1(1)2e -D. 2(1)3e -【答案】A 【解析】【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上的均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -，作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个，设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-，所以3(1)5e S -≈. 故选：A【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A.23B.12C.16D.13【答案】D 【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处，123D N ∴=，M 为1CC 的中点，'M ∴也为1D D 中点，11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面，//'QN AM ，1'3AQ NM ∴==，故选D.9.直线l 过抛物线24y x =的焦点F 且与抛物线交于A ，B 两点，若线段,AF BF 的长分别为m ，n ，则11m n+等于（） A.14B.12C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程1x =，易解出,AF BF 的长度；当直线斜率存在时，设直线方程为：(1)y k x =-，联立方程：{2(1)4y k x y x=-=，整理后利用抛物线焦半径公式表示,AF BF ，结合韦达定理可得.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程1x =，代入24y x =，解得122,2y y ==-，所以(1,2),(1,2)A B -，2,2AF BF ==，所以111m n+=；当直线斜率存在时，设直线方程为：(1),0y k x k =-≠，联立方程：{2(1)4y k x y x=-=，整理得： 2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理：212122240,,1k x x x x k +>+==，2121212122422211111411()1121x x k m n x x x x x x k +++++=+===++++++++故选：C【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系和焦半径公式基本运算，考查直线与圆锥曲线问题的通式通法，容易出现漏掉直线斜率不存在的情况，虽然不影响结果，但体现思维逻辑的严密性；另外若能熟记一些二级结论的话，此题结果瞬间可得，大大提升解题效率. 10.函数2()(1)cos 1xf x x e=-+图象的大致形状是 A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再求()1f ，2f π⎛⎫⎪⎝⎭利用排除法可得解. 【详解】由题意得，()211cos cos 1e 1e x x x e f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以()()1cos 1e xxe f x x ----=⋅-+ ()1cos 1ex x e x f x -=⋅=-+，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令1x =，则()12111cos1cos101e 1e e f -⎛⎫⎛⎫=-=< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的图象，属于基础题.．11.在△ABC 中，2,6AB C π==，则AC 的最大值为（）A. B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理求出三角形外接圆直径，再用正弦定理表示出AC +，结合三角函数最值求法即可解得. 【详解】由题：在△ABC 中，设,,AB c BC a AC b ===，三角形△ABC 外接圆半径为R ，2,,246c C R π===，5(0,)6A π∈54(sin )4(sin())6AC b B A A A π=+=+=-14(cos )2cos )22A A A A A A ϕ=+=+=+，其中tan (0,)2πϕϕ=∈，当2A πϕ=-时，取得最大值.故选：C【点睛】此题考查利用正弦定理解决三角形相关问题，转化成三角函数求最大值之后一定注意最大值是否能够取到，当然此题也可用余弦定理结合基本不等式求得最大值.12.已知离心率为e ，焦点为12,F F 的双曲线C 上一点P 满足1221sin sin 0PF F e PF F ∠=⋅∠=/，则双曲线的离心率e 的取值范围为（）A.B.C. (1,2)D. (1,1+【答案】D 【解析】【分析】由题1221sin 1sin PF F e PF F ∠=>∠，根据正弦定理转化成边的比例关系即可求解.【详解】由题：因为1221sin sin 0PF F e PF F ∠=⋅∠≠，1221sin 1sin PF F e PF F ∠=>∠，考虑焦点在x 轴上，左右焦点12,F F ，则点P 一定在左支（除去实轴端点），1PF c a >-,2111122211PF PF a a a c aPF PF PF c a c a++==+<+=-- 在△12PF F 中，根据正弦定理212211sin sin PF PF F a ce PF F PF c a∠+==<∠-，所以221,1,2101e e e e e e e e +<-<+--<-，且1e >，解得：11e <<+，同理可得焦点在y 轴上离心率同解故选：D【点睛】此题考查双曲线几何性质与正弦定理知识相结合，解题中可以考虑焦点在x 轴上，左右焦点12,F F ，则点P 一定在左支，体现出数形结合和转化与化归思想.二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填在答题卷上）13.已知数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，*n N ∈，且1233a a a ++=，4566a a a ++=，则12S =__________. 【答案】45 【解析】【详解】可以将每三项看作一项，则也构成一个等比数列. 所以,故答案为45.14.己知直线l 与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等，且l 平面11BB D D H =，则l 与平面11BB D D 所成角的正切值是___________.【解析】【分析】直线l 与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等，这样的直线只需与正方体的任一条体对角线平行即可，要与平面11BB D D 相交，考虑直线1AC 即可求出. 【详解】作图：由题：与正方体1111ABCD A B C D -的所有面所成的角都相等且与平面11BB D D 相交的直线，可以考虑1AC 与平面11BB D D 所成角，设所成角为θ，AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC 与平面11BB D D 所成角与1CAC ∠互余，11tan tan 2CAC θ===∠【点睛】此题考查直线与平面所成角，求直线与平面所成角可以考虑作出线面角，也可转化成求这条直线与平面的垂线所成角的余角，或者此题几何体特殊还可以建立空间直角坐标系，用向量求解. 15.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin sin (2)A B cos B C <-+，则对任意的2,,,n n n n n N a b c ≥∈，都必须满足___________.【答案】n n n a c b +< 【解析】分析】根据三角形三内角和关系对已知不等式进行恒等变形，可得出C 为钝角，转化成222a b c +<，即22()()1a bc c+<，利用不等式放缩便可得出所求大小关系. 【详解】在△ABC 中，A B C π++=，2sin sin (2)A B cos B C <-+即2sin sin ()A B cos B A π<-+-，所以2sin sin cos()A B B A <-，2sin sin cos cos sin sin A B A B A B <+0cos cos sin sin A B A B <-cos()0A B +>，所以(0,)2A B π+∈，(,)2C ππ∈，根据余弦定理：222cos 02a b c C ab+-=<，222a b c +<，即22()()1a b cc+<，且01,01a bc c<<<<，所以当2,n n ≥∈N 时，21,()n a c-≤21,()n bc-≤222()()()(),n n a a aa c c cc -=≤222()()()(),n n b b b b c c c c-=≤ 【所以22()()()1)(nnab a b cccc+≤+<，两边同时乘以n c ，即n n n a c b +<. 故答案为：n n n a c b +<【点睛】此题考查依据三角形三内角关系对不等式进行三角恒等变形和余弦定理处理边角关系，考查依据指数型函数单调性对不等式进行放缩比较大小，对综合能力要求较高.16.若定义在R 上的函数()y f x =，其图像是连续不断的，且存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，则称()y f x =是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________. ①()3xf x =是一个“k ～特征函数”；②()3f x x =-不是“k ～特征函数”；③()0f x =是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点；【答案】①②④ 【解析】【分析】根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数()k k R ∈使得()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立即可.【详解】①()3x f x =，考虑()3xf x =即：330x x k k ++=，3(3)0x kk +=，考虑2()3,(1),(0)13kg k k g g =+-=-=，必存在0(1,0)k ∈-使0()0g k =，即存在0(1,0)k ∈-，使得()()000f x k k f x ++=对任意实数x 都成立，所以①正确； ②()3f x x =-，讨论()()0f x k kf x ++=，即3(3)0x k k x +-+-= 当2x =时，关于k 的方程23(23)0k k +-+-=无解，不存在()k k R ∈使()()0f x k kf x ++=对任意实数x 都成立，所以()3f x x =-不是“k ～特征函数”，所以②正确；③设常数函数()f x m =，讨论()()0f x k kf x ++=，即(1)0k m +=，当1k =-时对任意实数x 都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”，所以③错误；④设()f x 是“13～特征函数”，则()f x 是定义在R 上的连续函数，且()11033f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，下面利用反证法证明()f x 必有零点：证明：假设()f x 没有零点，因为()f x 是定义在R 上的连续函数，则()0f x >恒成立，或()0f x <恒成立；当()0f x >恒成立，则103f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()11033f x f x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，与题矛盾；当()0f x <恒成立，则103f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，()11033f x f x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，与题矛盾；所以()f x 必有零点，所以④正确. 故答案为：①②④【点睛】此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数()k k R ∈对任意实数x 都成立，对转化与化归思想要求较高.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.各项均不为零的数列{}n a 前n 项和为n S ，数列2{}n na 前n 项和为n T ，且212,(1,2,3,).n n a T S n ===⋅⋅⋅(1)求2a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）24a =（2）2*n a n n N =∈【解析】【分析】（1）根据22122,a T S ==即可解出2a ；（2）根据2(1,2,3,)n n T S n ==⋅⋅⋅，必有211(2,3,),n n T S n --==⋅⋅⋅两式作差，注意n 的取值范围，即可求解. 【详解】解：（1）因为212,(1,2,3,)n n a T S n ===⋅⋅⋅，所以222242(2)a a +=+．所以24a =，或20a =（舍）．（2）因为2(1,2,3,)n n T S n ==⋅⋅⋅，所以211(2,3,).n n T S n --==⋅⋅⋅ 所以21(),(2,3,)n n n n na S S a n -=+=⋅⋅⋅因为0n a ≠，所以11(),(2,3,)n n n n n na S S n S S n --=+=-=⋅⋅⋅① 可得：11(1)(2,3,)n n n n a S S n +++=+=⋅⋅⋅② ②一①得：1(2)1n na a n n n+=≥+，故22,(2),2,(2)2n n a a n a n n n ==≥∴=≥ 当1n =时，上式也成立，所以2*.n a n n N =∈方法2：因2(1,2,3,)n n T S n ==⋅⋅⋅，所以211(2,3,)n n T S n --==⋅⋅⋅.所以21(),(2,3,)n n n n na S S a n -=+=⋅⋅⋅因为0n a ≠，所以11(),(2,3,)n n n n n na S S n S S n --=+=-=⋅⋅⋅所以11(2)1n n n S S n n -+=≥-. 所以11143(1)(2)12321n n n n S S n n n n n n +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+≥---，当1n =时，上式也成立．(1)(*)n S n n n N ∴=+∈ 所以12(1)n n n a S S n n -=-=>. 当1n =时，上式也成立，所以2*n a nn N =∈.【点睛】此题重点考查数列前n 项之和与通项之间的关系，考查对此类问题常规解法掌握程度，注重细节，特别考虑n 的取值范围；另外也可考虑先求前n 项之和再求通项公式.18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（n a b c d=+++）.临界值表：【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i ）按照1:2进行名额分配；理由见详解；（ii ）有. 【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=，因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈，由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈；（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．（ii ）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人．于是列联表为：2K的观测值2200(40742660) 4.432 3.84166134100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K 2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别为11,AC BC 的中点，1C F AB ⊥，12AB BC AA===.（1）求证：1//C F 平面ABE ；（2）求三棱锥1E ABC -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）设D 为边AB 的中点，连接ED ，FD ，∵D ，F 分别为AB ，BC 的中点，根据三角形中位线定理以及题设条件可证明四边形1EC FD 为平行四边形，可得1C FED ，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明AB ⊥平面11BCC B ，知AB BC ⊥，从而可得三角形ABC 的面积为2，三角形ABF 的面积为1，利用等积变换可得11E ABC C EAB F EAB V V V ---== 121233E ABF V -==⨯⨯=. 试题解析：（1）设D 为边AB 的中点，连接ED ，FD ∵D ，F 分别为AB ，BC 的中点， ∴DFAC ，12DF AC =，又∵1EC AC ，112EC AC =，∴1DFEC ，1DF EC =，∴ 四边形1EC FD 为平行四边形. ∴1C FED ，又ED ⊂平面EAB ，1C F ⊄平面EAB ， ∴1C F 平面ABE ，（2）在直三棱柱中1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，1C F ⊂平面11BCC B ，111CC C F C ⋂=，∴AB ⊥平面11BCC B ，知AB BC ⊥，可得三角形ABC 的面积为2，三角形ABF 的面积为1，由（1）1C F 平面ABE 知：1C 到平面EAB 的距离等于F 到平面EAB 的距离 ∴11E ABC C EAB F EAB V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥 121233E ABF V -==⨯⨯=三棱锥. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 20.已知函数31()sin .6f x x ax x =-+(1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)若()f x 存在极小值点1x 与极大值点2x ，求证：122 2.x a x -<+ 【答案】（1）(1)y a x =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数在某点处切线方程的求法求出(0)f 和(0)f '可得；（2）函数存在极小值点1x 与极大值点2x ，即()f x '有两个零点12,x x ，且()f x '在零点左右两侧异号，依据根的存在性定理，确定根所在区间即可求解. 【详解】(1)解：21(0)0,()cos 2f f x x a x ==-+'(0)1f a '=-，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为(1)y a x =-；(2)设21()()cos 2g x f x x a x '==-+，则()sin g x x x -'=，设()()h x g x '=，则()1cos 0,h x x =-≥' 所以()h x 在(,)-∞+∞上单调递增．又因为(0)0h =，所以在[0,)+∞上，()0h x ≥，即()0,g x '≥ 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．当1a ≤时，(0)10g a =-≥，所以在[0,)+∞上，()0g x ≥，即()0,f x '≥ 所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.又()f x 是奇函数，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点；当1a >时，(0)10,g a =-<2211(1)(1)(1)(1)(1)(1)1022g a cos a a a cos a a cos a +=+-++=+++>++≥又因为函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数()f x '在[0,)+∞上有且只有一个零点1(0,1)x a ∈+可知1x 是()f x 的唯一极小值点，且1(0,1)x a ∈+又()f x 是奇函数，所以函数()f x 必存在唯一极大值点，记为2x ，且21x x =-，所以121(2)(2)22(1)0x a x x a --+=-+<，所以1222x a x -<+成立.【点睛】此题第一问考查函数在某点处的切线方程，属于简单题目；第二问证明不等式重点考查利用导函数处理函数单调性和极值问题，转化成函数零点问题，关键点在于如何限制其中一个根1x 所在区间，以及1x 为何要与1a +作比较，考查转化与化归思想.21.设椭圆2222:1(0)y x M a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且内切于圆2224x y +=.(1)求椭圆M 的方程；(2)已知R 00(,)x y 是椭圆M 上的一动点，从原点O 引圆R :2200()()8x x y y -+-=的两条切线，分别交椭圆M 于P 、Q 两点，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为12,k k ，试探究22OP OQ +是否为定值并证明你所探究出的结论.【答案】（1）2212412x y +=（2）22OP OQ +为定值36，证明见解析【解析】【分析】（1）椭圆内切于圆，得出圆的长半轴长，根据离心率求出半焦距便可得解；（2）依据直线与圆相切，得出12,k k 的关系和切点坐标，22OP OQ +可用1200,,,k k x y 的关系表示，整体代换即可求出定值.【详解】解：(1)∵双曲线221x y -=，∴椭圆M的离心率为2c e a ==∵椭圆M 内切于圆2224x y +=，2224x y ∴+=的半径为r a ==得：a c b ====所求椭圆M 的方程为：2212412x y +=(2)设直线OP ：1y k x =，OQ ：21122P(,)Q(,)y k x x y x y =，，，设圆R 过O 点的切线方程为：,y kx ==，整理得：2220000(8)280x k x y k y --+-=故20122088y k k x -=-，又220012412x y +=可得：1212k k =-将1y k x =代入2212412x y +=得：22211122112424,1212k x y k k ==++同理可得：22222222222424,1212k x y k k ==++222212221224(1)24(1)1212k k OP OQ k k ++∴+=+++22221221221224(1)((12)24(1)((12)(12)(12)k k k k k k +++++=++22122212243(1)362(1)k k k k ⨯++==++故22OP OQ +为定值36【点睛】此题考查椭圆基本量的常规求法，过圆外一点作圆的两条切线，通过圆心到直线距离等于半径可以转化成关于切线斜率的方程，得出12,k k 的关系，联立直线和圆求出切点坐标，容易漏掉R 00(,)x y 是椭圆M 上的一动点则 220012412x y +=这一关系在化简过程中的重要作用.（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答，多做，按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x 2tcos αy tsin α(t =-+=为参数).以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()22ρ45sin θ36+=．()1求l 和C 的直角坐标方程；()2设()P 2,0-，l 和C 相交于A ，B 两点，若PA PB 4⋅=，求sin α的值．【答案】（1）l 的直角坐标方程为x 2=-，或()y x 2t a n α=+；C 的直角坐标方程为22194x y +=；（2）5±. 【解析】【分析】()1代入法消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；()2将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义可得．详解】解：()π1αk π,k Z ,l x 22=+∈=-当时： παk π,k Z 2≠+∈当时，由 {()x 2tcos αy y tsin α,tan α,l y x 2tan αx 2得：=-+===++ 综上，l 的直角坐标方程为x 2=-，或()y x 2tan α=+由C 的极坐标方程()22ρ45sin θ36+=得()2224x y 5y 36++=， 22x y C 194∴+=的直角坐标方程为 ()2将{()x 2tcos αy tsin α,t =-+=为参数代入22x y 194+=，得()2245sin αt 16tcos α200+--= 12220t t P(245sin α-∴=-+，0)在l 上，12220PA PB t t 445sin α-∴===+sin α∴= 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程中t 的几何意义，属中档题．23.设函数()2 1.f x k x x =--(1)当1k =时，求不等式()0f x >的解集；(2)当(0,)x ∈+∞时，()0f x b +>恒成立，求k b +的最小值．【答案】（1）1(,1)3（2）最小值为3 【解析】【【分析】（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；（2）当(0,)x ∈+∞时，()0,f x b +>恒成立，即21k x b x +>-恒成立，数形结合求解.【详解】解(1)当1k =时，不等式化为210,x x -->0210x x x ≤⎧⎨-+->⎩，或102210x x x ⎧<<⎪⎨⎪+->⎩，或12210x x x ⎧≥⎪⎨⎪--+>⎩ 综上，原不等式的解集为1{1}3x x << (2)(0,)x ∈+∞时，()0,21f x b k x b x +>+>- 作21y x =-与y k x b =+的图像，可知2,1,y k b =≥≥3,k b k b ∴+≥+的最小值为3(这时2,1k b ==)【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.。

【百强校】广东省实验中学2020届高三3月线上考试数学(文)试题(PDF版,无答案)

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14.如图，圆锥的顶点为 S，母线 SA、SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成的角为 30 ，若 △SAB
的面积为 2，则该圆锥的体积为
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[来源:学科网 ZXXK]
15. 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，△ABC 的面积为 a2 b2 c2 ，且 43
a cos A c cos C ，则 B=
则 l 恒过除 P 点以外的定点（
A. (12 ,0) 5
B. ( 4 ,0) 3
）
C. (0, 12) 5
D. (0, 4) 3
12.在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 A1D1, D1C1 的中点，则过
B, E, F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（）
[来源:学*科*网]
12
B. f (x) 的图象可由 g(x) 2 sin 2x 向左平移个单位而得到 3
C. f (x) 的最小正周期为
D. f (x) 在区间（ , ）上单调递增 3 12
2
11.已知椭圆 E： x2 y2 1 ,P 为椭圆 E 的右顶点，直线 l 交 E 于 A、B 两点，且 PA PB ， 16 4
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16.已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) 2 f (2 x) ，且 f (x) 是偶函数，下面有关于
f (x) 的三种说法：① f (x) 是周期为 4 的函数；②若 f (x) 满足对任意的 x [0,1] ，都有
f (x2 ) f (x1) 0 ，则 f (x) 在[-3,-2]上单调递减；③若 f (x) 在[1,2]上的解析式为 x1 x2

广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学(理)试题(带答案解析)

广东省华附、省实、深中、广雅2019-2020学年高三下学期四校联考数学（理)试题第I 卷（选择题)一、单选题1．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 2．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v 在向量a v方向上的投影为( )A ．1B ．-1C ．2D ．-2 3．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r ，则C 的离心率是（）A B ．3 C D ．24．函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（） A ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆221x y +=，点()1,0A ，ABC ∆内接于圆，且60BAC ∠=︒，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是（）A ．2212x y +=B ．2214x y +=C ．221122x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭D ．221144x y x ⎛⎫+=< ⎪⎝⎭ 6．函数f (x )＝√1−x 2−1x−2的值域为( ) A ．[－43,43] B ．[－43,0]C ．[0,1]D ．[0,43] 7．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N = B ．M N C ．N M D ．M N ⋂=∅ 8．平面α∥β平面的一个充分条件是（）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α9．已知函数()sin 2cos2f x a x b x =-（a ，b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在12x π=处取得最大值，则函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（） A ．奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．偶函数且它的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．奇函数且它的图象关于x π=对称 D ．偶函数且它的图象关于x π=对称 10．已知函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，又函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，则{}n a 的前2019项之和为（）A ．0B ．2019C ．4038D ．404011．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．若正四面体SABC 的面ABC 内有一动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA 的距离依次成等差数列，则点P 在平面ABC 内的轨迹是A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题13．已知数列{}n a 满足：12a =，()1422n n a a n n -+=-≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1233721n n n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，求数列{}n b 的通项公式. 14．已知函数()ln f x x a x =+，a R ∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点()1,3P 可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由.15．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过左焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 为C 上一个动点，过点M 与椭圆C 只有一个公共点的直线为1l ，过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求证：1l 与2l 的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 16．某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用ξ表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点.（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设2PC AB =，求二面角E l C --大小的取值范围.18．已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OB OC OA +；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.三、填空题20．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22222b a c =+，当()tan B A -取最大值时，角A 的值为______.21．在区间[]0,2上分别任取两个数m ，n ，若向量(),a m n =v ，()1,1b =v ，则满足1a b -≤v v 的概率是______ .22．已知随机变量~(2,)X B p ，2~(2,)Y N σ，若(1)0.64P X ≥=，(02)P Y p <<=，则(4)P Y >=__________．23．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且311n n A n B n +=+，则25837a a ab b ++=+______.参考答案1．B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以12z z ==，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.考点：命题以及命题的真假.2．B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r ),=0，即()2·20a a b +=v v v 即a r g b r=﹣2 ∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=v v v =﹣1，故选B ．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．3．A【解析】试题分析：由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=，选A. 考点：双曲线离心率【名师点睛】求双曲线的离心率（取值范围）的策略求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键．4．B【解析】【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得 ()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈ 所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减；【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题.5．D【解析】【分析】将圆周角为定值转化为圆心角为定值，结合圆心距构成的直角三角形得12OD =，从而得BC 中点的轨迹方程.【详解】设BC 中点为D ，Q 圆心角等于圆周角的一半，60BAC ∠=︒，60BOD ∴∠=o ，在直角三角形BOD 中，由1122OD OB ==，故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=，如图，由BAC ∠的极限位置可得，14x <. 故选：D【点睛】本题考查了动点的轨迹方程问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.6．C令x =cosθ,θ∈[0,π]，则f(x)=g(θ)=sinθ−1cosθ−2的几何意义是单位圆(在x 轴及其上方)上的动点M(cosθ,sinθ)与点A(2,1)连线的斜率k ，由图象，得0≤k ≤1，即函数f(x)的值域为[0,1]，故选C.点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用√1−x 2的形式和平方关系联想到三角代换，二是由sinθ−1cosθ−2的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.7．B【解析】【分析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解.【详解】 121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴M N ，故选：B【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 8．D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确考点：空间线面平行的判定与性质 9．A 【解析】【分析】首先根据已知可得()()2f x x θ=-，然后根据正弦函数的图像与性质得到23k πθπ=--，再化简函数3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，从而求解问题. 【详解】Q ()()sin 2cos 22f x a x b x x θ=-=-，在12x π=处取得最大值，()22122k k Z ππθπ∴⨯-=+∈，则23k πθπ=--，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()232x x y f x ππ∴+=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭奇函数且它的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.故选：A 【点睛】本题考查了辅助角公式以及三角函数的图像与性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题. 10．C 【解析】【分析】由函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图像关于2x =对称，由题意可得420164a a +=，利用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求的和. 【详解】函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 的图象连续且在()2,+∞上单调，可得()y f x =的图像关于2x =对称，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()42016f a f a =，可得420164a a +=，又{}n a 是等差数列，可得42016120194a a a a +=+=，所以{}n a 的前2019项之和为()120192019201940328a a S +==故选：C 【点睛】本题考查了函数的平移变换、等差数列的性质以及等差数列的前n 项和，需熟记公式与性质，属于基础题. 11．C 【解析】【分析】【详解】令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2log 3sin()2x x π=，在同一平面直角坐标系内，画出y=2log ,3sin()2y x y x π==的图象，由图可得交点个数为3，所以函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是3，故选C ． 12．A 【解析】试题分析：设点到三个面的距离分别是. 因为正三棱锥的体积为定值，所以为定值，因为.成等差数列，所以.∴为定值，所以点的轨迹是平行的线段．考点：等差数列的性质；抛物线的定义．点评：本题以等差数列为载体，考查正三棱锥中的轨迹问题，关键是分析得出P 到侧面SBC 的距离为定值．13．（Ⅰ）2n a n =；（Ⅱ）221n nb =- 【解析】【分析】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=，令2n n c a n =-，推出1n n c c -=-，根据n c 的特征即可求出. （Ⅱ）根据题意可得()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，与原式作差再由（Ⅰ）即可求解. 【详解】（Ⅰ）由()1422n n a a n n -+=-≥可化为()()12220n n a n a n --+-+=. 令2n n c a n =-，则10n n c c -+=，即1n n c c -=-. 因为12a =，所以1120c a =-=，所以0n c =，即20n a n -=，故2n a n =.（Ⅱ）由()1233721nn n b b b b a +++⋅⋅⋅+-=，可知()()11231137221n n n a n b b b b ---++++-=≥L ，两式作差得()()12122nn n n b a a n --=-=≥，即()2221n nb n =≥-. 又当1n =时，也112b a ==满足上式，故221n n b =-. 【点睛】本题考查了由递推关系式求通项公式以及n S 与n a 的关系，属于中档题. 14．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）见解析，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出函数的定义域和导函数，根据导函数分类讨论a 的取值范围；当0a ≥时，当0a <时，分析()f x '的正负即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的导函数讨论a -是否在区间[]1,2内，利用函数的单调性求出函数的最值，使()min 0f x >即可解不等式即可.（Ⅲ）法一：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，讨论a 的取值范围，分析函数()g x 的的单调性以及()0g x =在()0,∞+上的零点即可求解；法二：设切点为()000,ln x x a x +，求出切线方程()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，从而可得001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，分离参数可得12ln 1x x a +-=-，令()1ln 1x g x x=+-，讨论()g x 的单调性求出函数()g x 的值域，根据值域确定2a-的范围即可求解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()'1a x af x x x+=+=. （1）当0a ≥时，()'0f x >恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）当0a <时，令()'0f x =，得x a =-.当0x a <<-时，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当x a >-时，()'0f x >，函数()f x 为增函数.综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,a -，单调递增区间为(),a -+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，所以在区间[]1,2上，()()min 11f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1,a -上为减函数，在(],2a -上为增函数，所以()()()min ln f x f a a a a =-=-+-.依题意有()()min ln 0f x a a a =-+->，解得a e >-，所以21a -<<-. （3）当2-≥a 时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以()()min 22ln 2f x f a ==+.依题意有()min 2ln 20f x a =+>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-. 综上所述，当2ln 2a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零. 另解：当1x =时，显然ln 10x a x +=>恒成立.当(]1,2x ∈时，ln 0x a x +>恒成立ln x a x ⇔>-恒成立ln x a x⇔>-的最大值. 令()ln x m x x =-，则()21ln '0ln x m x x -=>，易知()ln xm x x=-在(]1,2上单调递增，所以()m x 最大值为()22ln 2m =-，此时应有2ln 2a >-. 综上，a 的取值范围是2,ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（Ⅲ）设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01ak x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.① 令()()1ln 120a x x x x g ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭，则()()22111'a x a x x x g x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）当0a <时，在区间()0,1上，()'0g x >，()g x 单调递增；在区间()1,+∞上，()'0g x <，()g x 单调递减，所以函数()g x 的最大值为()120g =-<. 故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式. 因此当0a <时，切线的条数为0.（2）当0a >时，在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 单调递减，在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 单调递增，所以函数()g x 的最小值为()120g =-<.取211ax e e +=>，则()2211121120a a g x a eae a ----⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭. 故()g x 在()1,+∞上存在唯一零点.取2121ax ee --=<，则()22112211224a a g x a e ae a a ++⎛⎫=--+--=-- ⎪⎝⎭21221a a e a +⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.设()211t t a=+>，()2t u t e t =-，则()'2t u t e =-. 当1t >时，()'220tu t e e =->->恒成立.所以()u t 在()1,+∞单调递增，()()120u t u e >=->恒成立. 所以()20g x >.故()g x 在()0,1上存在唯一零点.因此当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线.（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点()1,3P 的切线. 综上所述，当0a >时，过点()1,3P 存在两条切线；当0a ≤时，不存在过点()1,3P 的切线.另解：设切点为()000,ln x x a x +，则切线斜率01a k x =+，切线方程为()()0000ln 1a y x a x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 因为切线过点()1,3P ，则()()00003ln 11a x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即001ln 120a x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 当0a =时，020-=无解. 当0a ≠时，12ln 1x x a+-=-，令()1ln 1x g x x =+-，则()21'x g x x-=，易知当01x <<时，()21'0x g x x -=<；当1x >时，()21'0x g x x-=>，所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.又()10g =，且()()0lim lim x x g x g x →→+∞==+∞，故当20a ->时有两条切线，当20a-<时无切线，即当0a <时有两条切线，当0a >时无切线. 综上所述，0a <时有两条切线，0a ≥时无切线. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性性的应用以及函数的零点，综合性较强，属于难题.15．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）证明见解析，2x =-，【解析】【分析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，根据点A ，B 都在椭圆上，代入椭圆方程两式相减，根据“设而不求”的思想，结合离心率以及中点坐标公式、直线的斜率建立等式即可求解.（Ⅱ）设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =1l 的方程，再由过点F 与MF 垂直的直线为2l ，求出2l ，两方程联立，消去y ，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题可知(),0F c -，直线AB 的斜率存在. 设()11,A x y ，()22,B x y ，由于点A ，B 都在椭圆上，所以2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②， ①-②，化简得2221222212y y b a x x --=-③又因为离心率为2，所以2212b a =.又因为直线AB 过焦点F ，线段AB 的中点为21,33⎛⎫-⎪⎝⎭，所以1243x x +=-，1223y y +=，12121323y y x x c -=--+，代入③式，得1213324233c ⨯-=⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1c =.再结合222a c b -=，解得22a =，21b =，故所求椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设()00,M x y ，由对称性，设00y >，由2212x y +=，得椭圆上半部分的方程为y =()'x y =-=，又1l 过点M且与椭圆只有一个公共点，所以102l x k y ==-，所以1l ：()00002x y y x x y -=--，④ 因为2l 过点F 且与MF 垂直，所以2l ：()11x y x y +=-+o o，⑤ 联立④⑤，消去y ，得220000122x x x y x x +=----，又220012x y +=，所以002202x x x +⋅++=，从而可得2x =-，所以1l 与2l 的交点在定直线2x =-上. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查了圆锥曲线中“设而不求”的思想，考查了学生的计算能力，属于中档题. 16．（1）∴0.06;（2）见解析. 【解析】试题分析：根据频率分布直方图求频率要注意小条形的面积代表频率，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件的概率，可根据4天中有2天发生的概率公式计算，根据二项分布列出频率分布列，计算数学期望.试题解析：（1）设日销量为x ，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件A ．则()1000.002500.006500.4P x ≤=⨯+⨯=，()1500.005500.25P x ≥=⨯=，∴()22240.40.250.06P A C =⨯⨯=．（2）日销售量不低于100枝的概率0.6P =，则()~4,0.6B ξ，于是()()440.60.40,1,2,3,4k k k P k C k ξ-==⋅⋅=，则分布列为∴16962162168101234 2.4625625625625625E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.17．（Ⅰ）//l 平面PAC ，证明见解析；（Ⅱ）,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（Ⅰ）证出//EF 平面ABC ，由线面平行的性质定理可证出//EF l ，再由线面平行的判定定理即可求解.（Ⅱ）法一：证出FBC ∠是二面角E l C --的平面角，1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠，根据ABC ∠的范围即可求解. 法二：以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面DBF 的法向量与平面BCD 的法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明如下：∵//EF AC ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ， ∴//EF 平面ABC .又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ， ∴//EF l .而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ， ∴//l 平面PAC .（Ⅱ）解法一：设直线l 与圆O 的另一个交点为D ，连结DE ，FB . 由（Ⅰ）知，//BD AC ，而AC BC ⊥，∴BD BC ⊥. ∵PC ⊥平面ABC ，∴PC BD ⊥. 而PC BC C ⋂=，∴BD ⊥平面PBC ，又∵FB ⊂平面PBC ，∴BD BF ⊥， ∴FBC ∠是二面角E l C --的平面角.1tan cos FC AB FBC BC BC ABC∠===∠. 注意到02ABC π<∠<，∴0cos 1ABC <∠<，∴tan 1FBC ∠>.∵02FBC π<∠<，∴,42FBC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 解法二：由题意，AC BC ⊥，以CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，()02BC t t =<<，则()0,,0B t ，()0,0,2F，),0Dt ，()0,,2BF t =-u u u r，)BD =u u u r .设平面DBF 的法向量为(),,m x y z =u r，则由00m BF m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v得20ty z -+=⎧=，取2y =得()0,2,m t =u r . 易知平面BCD 的法向量()0,0,1n =r，设二面角E l C --的大小为θ，易知θ为锐角，cos m n m n θ⋅⎛=== ⋅⎝⎭u r r u r r ， ∴42ππθ<<，即二面角E l C --的取值范围是,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、判定定理以及求面面角、空间向量法求面面角，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.18．(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2af -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围．（Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴；② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得， ∴.综上实数的取值范围是．（Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．∵不等式()2f x ≥恒成立，∴，即，解得或．∴ 实数的取值范围是.19．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．（Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，故两点的直角坐标为，.所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故，．20．6π 【解析】【分析】利用正弦定理以及二倍角公式将22222b a c =+化为()2cos2cos2sin0B A A B -++=，再由两角和与差的公式将式子化为sin cos 3cos sin B A B A =，由此可得tan 3tan B A =，代入()tan B A -的展开式，利用基本不等式即可求解. 【详解】由22222b a c =+，2222sin 2sin sin B A C ∴=+，()21cos21cos2sin B A A B ∴-=-++， ()2cos2cos2sin 0B A A B ∴-++=，()()()()()2cos cos sin 0B A B A B A B A A B ∴++--+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2sin 2sin sin A B A B B A ∴+=+-，()()sin 2sin A B B A ∴+=-，即sin cos 3cos sin B A B A =，tan 3tan B A ∴= ，由三角形ABC ∆为锐角三角形，所以()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan B A AB A B A AA A--===≤+++，当且仅当13tan tan A A =，即tan A =，6A π=取等号故答案为：6π【点睛】本题考查了正弦定理边化角、两角和与差的公式、二倍角公式以及基本不等式，需熟记公式，综合性比较强，属于中档题. 21．4π【解析】【分析】由已知向量的坐标求出满足1a b -≤r r的,m n 所满足的条件，结合[],0,2m n ∈，数形结合得出答案. 【详解】由(),a m n =r ，()1,1b =r，得()1,1a b m n -=--r r由1a b -≤r r1≤，即()()22111m n -+-≤，,m n 满足0202m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出图像如图：圆()()22111m n -+-=的面积为π，正方形OABC 的面积为4.则1a b -≤r r 的概率是4π .故答案为：4π【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，解题的关键是变量满足的条件，属于基础题. 22．0.1 【解析】∵随机变量服从()~2,X B p ，∴()()22111p 0.64P X C ≥=--=，解得：0.4p =.又()2~2,Y N σ，∴()()()400.5020.1P Y P Y P Y >=<=-<<=故答案为：0.1 23．215【解析】【分析】由等差数列的性质，258537532a a a a b b b ++=+，结合等差数列的前n 项和公式得到9595A a B b =，在311n n A n B n +=+中取9n =即可得出答案. 【详解】Q 数列{}n a 、{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n A 和n B ，则258537532a a a a b b b ++=+，且()()1955919559922922a a a a A b b b b B +===+，又311n n A n B n +=+，595939114915a A b B ⨯+∴===+，所以25853753314212255a a a ab b b ++==⨯=+. 故答案为：215【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.。

【20套精选试卷合集】广东省惠州市实验中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷数学（理）第I 卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设复数z 1，z 2在复平面、内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2=(A) -2 (B)2 (C)1一i (D)1+i(2)已知集合A={x|y=2x x -），B= {y| y=ln （1-x ）}，则A U B= (A) [0,1] (B) [0,1) (C) (一∞,1] (D) (一∞,1)(3)已知命题p ：函数f (x)=|cosx|的最小正周期为2π；命题q ：函数y=x 3+sinx 的图像关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是(A)p ∧q (B) p ∨ q (C)( p) ∧( q) (D)p ∨(q)(4)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =150，由最小二乘法求得回归直线方程为y $= 0.67x+ 54.9，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为 (A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 (5)(x 2一x+1)3展开式中x 项的系数为 (A) -3 (B) -1 (C)1 (D)3(6)从1，2，3，4，5，6，7，8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为 (A) 34 (B)58(C)78 (D)12(7)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为 (A)32 (B)94（C)1 (D)2 (8)甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有l 门不相同的选法共有 (A)30种 (B)36种 (C)60种 (D)72种(9)已知抛物线C ：y 2 =8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP=3FQ ，则|QF|= (A)83 (B)52(C)3 (D)2(10)如图格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(11)已知点P 在直线x+3y-2=0上，点Q 在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且y 0<x 0 +2，则y x 的取值范围是 (A)[一13，0） (B)（一13，0） (C)（一13，+∞） (D)（一∞，一13）U （0,+∞) (12)已知函数f(x)的定义域为D ，若对于∀a ，b ，c ∈D ，．f(a)，f (b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出‘F 列四个函数：①f(x)f=lnx(x>1)，②f(x)=4+sinx ，③f(x)= 13x (1≤x ≤8)，④f(x)= 2221x x ++，其中为“三角形函数”的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4第II 卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22 题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)已知向量a=(1，3)，向量a ，c 的夹角是3π，a ·c=2，则|c|等于。

2020届广东省广州大学附属中学高三下学期第三次线上测试数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届广东省广州大学附属中学高三下学期第三次线上测试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（） A ．()1,0- B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C解析：根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案. 解：311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0()102f =-=-<，13211112()()()022282f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>， 321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C点评：本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.2．垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（）A ．x x <甲乙，22s s <甲乙 B ．x x >甲乙，22s s <甲乙C ．x x <甲乙，22s s >甲乙 D ．x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】C解析：根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.解：因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以x x <甲乙；因为甲的数据没有乙的数据集中，所以22s s >甲乙.故选：C点评：本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|(22)|z i -+的最大值是（） AB1C2+D ．2【答案】B解析：|(22)|z i -+转化为圆22(1)1x y -+=上的点(,)x y 与点()2,2的距离，利用圆心到直线的距离可得答案.解：解：|(22)|z i -+的几何意义为圆22(1)1x y -+=上的点(,)x y 与点()2,2的距离，则max |(22)|1z i -+=.故选：B.点评：本题考查复数的几何意义，考查圆上一点到定点的距离最值问题，是基础题. 4．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（） A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C解析：结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 解：由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==.故选：C点评：本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5．已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A ．(–1,3) B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3)【答案】A解析：由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n-=+-表示双曲线，所以10{30n n +>->，解得1{3n n >-<，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c,这一点易出错.6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：()2~,X Nμσ则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．）A ．906B ．340C ．2718D ．3413【答案】B解析：由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案.解：解：∵()2~,4X N -， ∴阴影部分的面积11(02)[(62)(40)](0.95450.6827) 0.135922S P X P x P x =≤≤=-≤≤--≤≤=-=，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P =， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为0.135910000339.753404⨯=≈. 故选：B.点评：本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键，属基础题. 7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B解析：由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像.解：Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B点评：根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.8．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A解析：画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可．解：作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C解析：利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 解：222x y x y ++≥Q 且224x y +≤ ，224222x y x y x y ++∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又2x y xy +≥Q ，0,0x y >>221xy xy ∴⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C点评：本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型. 10．如果将函数y x x =+的图象向右平移02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位得到函数3sin cos (0)y x a x a =+<的图象，则tan θ的值为（） A ．2 B ．12C ．13D ．3【答案】A解析：先根据左右平移不改变最值求得a ，再根据平移规律列θ等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.2101a a a =<∴=-Q因为)4y x x x π==+，向右平移θ个单位得到)cos()sin )cos 444y x x x πππθθθ=-+=-+-，而3sin cos 3sin cos y x a x x x =+=-，cos()sin()144ππθθ-=-=-，即1tan()43πθ-=- 从而11()3)]tan ta 211()3n[(44ππθθ--+-==-=-故选：A点评：本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.11．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C解析：设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k=+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案.解：根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+，所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C.点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 12．如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A DE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线MB 垂直 B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值【答案】C解析：取DC 中点N ，连MN,NB,则1/?/,//MN A D NB DE ，所以平面/?/MNB 平面1A DE ，即/?/MB 平面1A DE ，A 正确；取1A D 的中点为F,连接MF,EF ，则平面BEFM 是平行四边形，所以1A EF ∠为异面直线BM 与1A E 所成角，故B 正确；A 关于直线DE 对称点N ，则DE ⊥平面1A AN ，即过O 与DE 垂直的直线在平面1A AN 上，故C 错误；三棱锥1A ADE -外接球的半径为2AD ，故D 正确. 故选C.二、填空题13．已知单位向量a v 与向量()1,2b =v 方向相同，则向量a v 的坐标是______.【答案】5555⎛⎫⎪⎪⎝⎭解析：设向量(),a x y =r，由条件列方程组求解.解：设向量(),a x y =r ，则2212x y x y ⎧+=⎨=⎩，解得525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于向量a r 与向量b r方向相同，所以52555a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r .故答案为：525⎝⎭点评：本题考查向量数量积的坐标表示，意在考查基本公式和计算，属于基础题型. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，972S =.数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-.则72020a b =________.【答案】10-解析：先根据条件解得等差数列{}n a 公差与首项，即得7a ；再根据12n n b b +=-解得{}n b。

广东省六校2019届高三数学第三次联考试题理(含解析)

广东省六校2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合，然后根据交集定义求结果【详解】解：则故选：C【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题2.若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( )A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：，所以复数z的模为考点：本题考查复数的运算点评：解决本题的关键是会复数的运算，知道复数的模为3.等差数列中，若，则的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】【分析】先由等差数列的性质得，再用性质求解【详解】解：依题意，由，得，即所以故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础4.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.5.在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 112【答案】A【解析】【分析】首先求出在的展开式中的通项，然后根据的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案【详解】解：因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A【点睛】此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ ( )A. 3B. 2C. －2D. －3【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．考点：简单的线性规划．【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为.【详解】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为．所以表面积为．故选：C【点睛】本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,故选A.考点：合情推理.【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用这个公式计算的.在2016年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.10.设F为抛物线的焦点，斜率为的直线过F交抛物线于A、B两点，若，则直线AB的斜率为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可【详解】解：假设A在第一象限，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形为矩形由抛物线定义可知,又∵，∴，即B为的三等分点，设即则，即直线AB的斜率故选：D【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键11.已知是偶函数，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】【分析】利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论【详解】解：∵是偶函数，∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12.已知函数，关于x的方程有四个不等实根，恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数是分段函数，通过求导分析得到函数的单调性，并求出当时有一个最大值，所以，要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解. 【详解】解：，当时，恒成立，所以在上为增函数；当时，，由，得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以函数的极大值为，极小值为：，令，由韦达定理得：此时若，则当,此时方程至多有两个实根，若，则当要使方程有四个实数根，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令，因为，①，则，②则只需，即，所以，③由①②解得：，④由③④得到：，，所以∴.故选：A.【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况，此题属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则=______．【答案】-4【解析】【分析】把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果【详解】解：∵，∴，∴则故答案为：-4【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题14.已知向量，且在上的投影为3，则与角为______.【答案】【答案】.【解析】试题解析：在上的投影为3，，，，向量与夹角为考点：平面向量15.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．【答案】【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．16.数列的前n项和为，已知，，若数列为等差数列，则=______．【答案】666【解析】【分析】求得数列的前6项之和，再由，，表示数列的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和【详解】解：设数列为公差d的等差数列，由，，可得两式相减可得，由，解得，则可得故答案为：666【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的三个内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求角.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（2）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．试题解析：（1）由正弦定理得，,即，故，所以.（2）设，则，于是.即.由余弦定理得.所以.考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系18.如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，,，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线l上存在点Q满足题意，|AQ|=1【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出面，从而得到，再由已知条件推导出面，由此证明平面．（Ⅱ）以坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余. 【详解】（Ⅰ）证明：∵分别是的中点，又平面，不包含于平面，∴面，又面，面面，∴，又，面面，面面，∴面,∴直线平面．．（Ⅱ）坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，面的法向量为则取，得，,|,依题意，得∴∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，．【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到位教师近年每人手机月平均使用流量(单位:)的数据,其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取人,求这人中至多有人月使用流量不超过的概率；(Ⅱ) 现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值流量,资费元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值流量,资费元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.【答案】(1)0.784.(2) 学校订购套餐最经济.【解析】【分析】(Ⅰ)先求得该教师手机月使用流量不超过的概率为.利用互斥事件的概率和独立重复试验的概率求这人中至多有人月使用流量不超过的概率. (Ⅱ)先分别求出三种套餐的期望，再比较它们的大小即得解.【详解】(Ⅰ)由直方图可知,从该校中随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过的概率为.设“从该校教师中随机抽取人,至多有人月使用流量不超过”为事件,则.(Ⅱ)依题意,,.当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,,, 且,,,所以(元)当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,,且,,所以(元)当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,且,(元)因为,所以学校订购套餐最经济.【点睛】(1)本题主要考查概率的计算，考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率，考查随机变量的期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)…… 为的均值或数学期望．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），()，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-．（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程：，化简整理得标准方程，注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出的面积，由平行条件得斜率关系：由得，即得坐标关系；设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入可得，而三角形面积可表示为，将代入化简得试题解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为5分（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知．因为，所以6分设直线的方程为，代入椭圆方程，得．①，．．7分设的坐标分别为，则8分又，．9分所以，得 10分又，所以，即的面积为定值．．12分考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数（I）求证（II）若取值范围.【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（1）将问题转化为证明与，从而令、，然后利用导数求得的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得≥，从而令，通过多次求导得出其单调性即可求出的取值范围．试题解析：（1）要证时，，只需证明.记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以.要证时，，只需证明，记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以，.综上，，.（2）（解法一）.设，则，记，则，当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数，于是，从而，所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，. 记，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为.因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.（解法二）先证当时，.记，则，记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此. 所以当时，.同理可证，当时，.综上，当时，.因为当时，，所以当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，因为.所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为.（1）求曲线1的普通方程和极坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且｜AB｜＝4，求的值.【答案】(Ⅰ) x2 + (y -2 )2 =4.( Ⅱ ) α =.【解析】【分析】（1）直接消去参数可得普通方程，由，可得极坐标方程；（2）设，则，列方程求解即可.【详解】由消去参数可得的普通方程为即，所以的极坐标方程为设，则所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标方程的表示，及极坐标的应用求解线段长度，属于基础题.23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)零点分段可得原不等式的解集为.(2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为.试题解析：（1），原不等式为，，或或或或，原不等式的解集为.（2）由题意得，当且仅当，计，且时，取最小值.绝对值不等式的解法点睛：|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2020届高三模拟考试试卷2020届高三模拟考试试卷。