平方根和立方根的知识点

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平方根与立方根

平方根与立方根在数学中，平方根和立方根是两个常见的运算符号。

它们分别表示一个数的平方和立方的根。

平方根表示一个数的二次方根，而立方根则表示一个数的三次方根。

平方根和立方根的概念在解决数学问题和实际应用中都有着广泛的应用。

一、平方根平方根是指一个数的二次方根，通常用符号√来表示。

对于一个非负数x，其平方根为正的实数y，满足y^2 = x。

平方根可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算平方根的方法有很多种，其中最常见的方法有以下几种。

（1）二分法：该方法通过猜测一个数的平方根，然后逐步逼近最终结果。

首先确定一个上下界，然后根据猜测的平方根和实际值的大小关系进行二分查找，最终得到较为准确的结果。

（2）牛顿法：牛顿法是一种迭代的方法，利用函数的斜率来逐步逼近平方根的值。

首先选择一个初始值，然后通过迭代计算来逼近平方根。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解平方根。

例如对于完全平方数，它的平方根就是这个数的整数解。

2.近似值除了精确计算平方根，我们还可以使用近似值来表示平方根。

例如在科学计算中，经常使用的近似值是保留2位小数的平方根。

例如，√2的近似值为1.41，√3的近似值为1.73。

二、立方根立方根是指一个数的三次方根，通常用符号∛来表示。

对于一个实数x，其立方根为实数y，满足y^3 = x。

立方根和平方根类似，可以通过计算或者近似的方法来求解。

1.计算方法计算立方根的方法与计算平方根类似，有多种常见的方法可以使用。

（1）二分法：通过猜测一个数的立方根，然后利用二分查找来逼近最终结果。

（2）牛顿法：利用函数的导数和斜率来迭代逼近立方根的值。

（3）开方公式：对于一些特定的数，可以使用开方公式来直接求解立方根。

2.近似值立方根的近似值也可以使用在实际计算中。

例如在物理学中，常用的近似值是保留3位小数的立方根。

例如，∛2的近似值为1.26，∛3的近似值为1.44。

总结：平方根和立方根是数学中常见的运算符号，它们表示一个数的二次方根和三次方根。

平方根与立方根知识点总结

平方根与立方根知识点总结1. 平方根平方根是指一个数的平方等于给定数的正数解。

以√a表示a的平方根，其中a为非负实数。

1.1 平方根的概念对于非负实数a，如果存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则这个非负实数x被称为a的平方根。

平方根的记号为√a。

1.2 平方根的性质- 平方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。

- 非负实数的平方根有两个解，一个是正数，另一个是负数，但我们在常见的情况下只讨论正数平方根。

- 非负实数的平方根可以通过求解方程x^2 = a得到。

2. 立方根立方根是指一个数的立方等于给定数的正数解。

以³√a表示a的立方根，其中a为实数。

2.1 立方根的概念对于实数a，如果存在一个实数x，使得x的立方等于a，则这个实数x被称为a的立方根。

立方根的记号为³√a。

2.2 立方根的性质- 立方根不一定是一个整数，可以是一个无理数或者有理数。

- 实数的立方根有两个复数解和一个实数解，其中实数解为正数立方根。

- 实数的立方根可以通过求解方程x^3 = a得到。

3. 计算平方根与立方根3.1 通过近似方法计算- 对于非完全平方数和非完全立方数，可以通过近似方法利用计算器或者数学软件计算得到一个接近真实值的结果。

3.2 通过公式计算- 对于完全平方数，可以利用公式进行计算。

例如，对于一个完全平方数a，其平方根可以通过√a = a的1/2次方得到。

- 对于完全立方数，可以利用公式进行计算。

例如，对于一个完全立方数a，其立方根可以通过³√a = a的1/3次方得到。

4. 应用场景平方根和立方根在日常生活和科学领域中有广泛的应用。

4.1 数学- 在代数中，求解方程的过程中常常需要计算平方根和立方根。

- 在概率统计中，方差和标准差的计算中，需要使用平方根。

- 在计算几何中，勾股定理的应用需要计算平方根。

4.2 自然科学- 物理学中，运动速度、加速度等的计算中，需要使用平方根。

平方根与立方根知识点总结

平方根与立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。

下面我们就来详细地总结一下平方根与立方根的相关知识点。

一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。

用数学语言表示为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。

例如，因为 3²＝ 9，（－3）²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。

2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

比如 4 的平方根是 ±2 ，2 和－2 互为相反数。

（2）0 的平方根是 0 。

（3）负数没有平方根。

这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。

3、开平方求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方，其中 a 叫做被开方数。

开平方与平方互为逆运算。

例如，因为 5²＝ 25 ，所以√25 ＝ 5 ；因为（－5）²＝ 25 ，所以√25 ＝－5 。

4、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。

例如，9 的算术平方根是 3 ，即√9 ＝ 3 。

5、平方根的估算对于一些非完全平方数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。

例如，要估算√7 的值，因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。

二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。

用数学语言表示为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。

例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。

2、性质（1）正数的立方根是正数。

（2）负数的立方根是负数。

（3）0 的立方根是 0 。

也就是说，任何数都有且只有一个立方根。

3、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方，其中 a 叫做被开方数。

平方根与立方根的性质及运算

平方根与立方根的性质及运算平方根与立方根是数学中常见的运算，它们具有一些独特的性质。

在本文中，我们将探讨平方根和立方根的性质以及它们的运算规则。

一、平方根的性质与运算平方根是指某个数的平方等于给定的数的运算。

设a为一个正实数，那么b是a的平方根的充分必要条件为b^2=a，记作b=√a。

平方根有以下性质和运算规则：1. 平方根的非负性：对于任意实数a，如果a为非负数，那么√a也为非负数。

这意味着平方根不可能为负数。

2. 平方根的不唯一性：对于一个正实数a，如果b是a的平方根，那么-b也是a的平方根。

因此，一个正实数可以有两个平方根，分别是正数和负数。

3. 平方根的运算规则：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √(a*b) = √a * √b(b) √(a/b) = √a / √b(c) √(a^2) = |a|二、立方根的性质与运算立方根是指某个数的立方等于给定的数的运算。

设a为一个实数，那么b是a的立方根的充分必要条件为b^3 = a，记作b=∛a。

立方根具有以下性质和运算规则：1. 立方根的非负性：与平方根类似，对于任意实数a，如果a为非负数，那么∛a也为非负数。

2. 立方根的不唯一性：与平方根不同的是，立方根只有一个实数解。

因此，一个实数只有一个立方根。

3. 立方根的运算规则：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛(a*b) = ∛a * ∛b(b) ∛(a^2) = |a|(c) ∛(a^3) = a三、平方根与立方根的运算在实际运算中，我们常常需要计算不同根之间的运算，包括加法、减法和乘法。

下面是一些常见的运算规则：1. 平方根的加法和减法：设a和b都是非负实数，则有以下运算规则：(a) √a ± √b = √(a ± b)2. 立方根的加法和减法：设a和b都为实数，则有以下运算规则：(a) ∛a ±∛b ≠ ∛(a ± b)3. 平方根和立方根的乘法：设a为一个非负实数，则有以下运算规则：(a) √a * ∛a = √(a^2) = |a|综上所述，平方根与立方根具有一些独特的性质和运算规则。

平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

(完整版)平方根与立方根知识点小结

“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）；（3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。

初中数学知识归纳平方根和立方根的计算

初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。

它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。

本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。

一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。

给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。

计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。

1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。

那么b就是a的平方根。

例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。

这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。

1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。

对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。

然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。

最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。

例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。

这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。

二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。

给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。

计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。

2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。

那么b就是a的立方根。

例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。

这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。

平方根和立方根

平方根和立方根一、知识要点：1、平方根的意义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

注意：这样的数常常有两个。

2、平方根的性质：(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;如9的平方根是±3。

(2)0的平方根是0本身；(3)负数没有平方根。

3.平方根的表示方法: 正数a的平方根表示为―±‖4.算术平方根:正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根。

记作。

0的平方根0,也叫做0的算术平方根。

5.≥0（当a<0时, 无意义）。

到此为止,我们已学完三个非负数:|a|、a2和(a≥0)。

6.立方根和开立方同平方根开平方的概念类似。

二.易犯错误：1.算术平方根与平方根混淆，例如出现100的平方根等于10的错误．2.表示的正数a的算术平方根。

蕴含条件a≥0。

三.例题分析:例1.求下列各数的平方根,算术平方根:(1)121(2)0.0049(3)(4)4(5)|a|2解: (1)∵(±11)2=121∴121的平方根是±11,算术平方根是11；即±=±11, =11。

(2)∵(±0.07)2=0.0049∴0.0049的平方根是±0.07,算术平方根是0.07,即,±=±0.07, =0.07。

(3)∵(±)2=∴的平方根是±,算术平方根是,即±=±,=。

(4)要先把带分数化成假分数,即4∵(±)2=∴4的平方根为±，算术平方根为。

即,±。

(5) ∵(±|a|)2=|a|2,而±|a|=±a。

∴|a|2的平方根是±a,算术平方根为|a|。

说明:通过例1,我们看到必须熟记1-20的平方数,和1-10的立方数,才能很好地做这部分习题。

例2. 求下列各式的值:解: (1)3=3×=(2)±=±(3)=8(4)±=±(5)-(带分数要先化成假分数)(6)3×=3×7=21(7)(8)×0.6+×0.9=0.3+0.3=0.6(9)(a<b)=∵a<b，∴原式=-(a-b)=b-a。

数的开方(平方根与立方根)

一、知识点归纳:1、平方根(1) 平方根的意义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。

a 的平方根记作：±20或±丿5。

求一个数a 的平方根的运算叫做开平方 . (2) 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。

(3) 平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根(1)算术平方根的意义：非负数 a 的正的平方根。

一个非负数a 的平方根用符号表示为：“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 (2) 算术平方根的性质①正数a 的算术平方根是一个正数；② 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。

3、立方根(1)立方根的意义如果一个数的立方等于 a ,那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。

如果x3=a ,则x 叫做a 的立方根。

记作：x=需 ,读作三次根号a ”求一个数的立方根的运算叫做开立方。

(2)立方根的性质">0②一个负数有一个负的立方根，即若a<0,则V^0③0的立方根是0,即若a=0，则3垢=0 。

重要性质：旷弓=-V a (3)立方与开立方互为逆运算。

二、典型例题：例1、x 为何值时，寸X +1(5)X —1例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。

例3、若X 、y 都是实数，且y = J x -3 + J 3-X +2，求x+3y 的平方根。

例4、如果M =aP a +b +3是a+b+3的算术平方根, N =2噪a + 2b 是a+2b 的立方根，求M — N 的立方根。

第12章数的开方重要性质：J a 2=a ,(需 $ = a(a >0)下列代数式有意义。

(1W 3 + 2x(2) J x -2 + J 2—X(3) J x 2+31(4) -^= 如一1①一个正数有一个正的立方根，即若a>0,则 (6) (X-1)2例5、已知a,b,c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简V a 2- a -b + c-a + J (b -C)2三、课堂练习:1、填空：(10)某种洗衣机的包装箱是长方形，其高为1.2m ,体积为1.2 m 3,底面是正方形，则该包装箱的底面边长m.(11)已知△ ABC 的三边长分别为a 、b 、c,,且满足7rW+|b -4+(c -3)2=0,则此△ ABC 的周长= (12 )请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以 J121=11，同样，因为111^12321 ,所以 J12321 =111,由此猜想 J12345678987654321 =2、选择: (1) (2) 一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( -1 D 、1, -1 或 0 () A 、 1 B 、 0 C 、下列各式中无意义的是A 、 —J 3B J-32).±J(-3丫(3) A下列说法正确的是( 、4的平方根是2、-16 的平方根是C 、实数a 的平方根是土 J a 、实数a 的立方根是V a (4)有理数中，算术平方根最小的是)(1) 0.25的平方根是9 2的算术平方根是J 16 的平方根是 - J 2的相反数是,73的倒数是J 3 -1的绝对值是(16=±层，V (」)2(4)时，有意义；若有意义，则x 时，j3-m 有意义；当m时，3治-3有意义(5)j 81的平方根是，74的算术平方根是邸64的平方根是，764的立方根若一个正数的平方根是 2a -1和-a + 2，贝U a =，这个正数是(7) 如果有-是m 的一个平方根，那么m 的算术平方根是 (8) 计算：口 +伙-1)2 + J (-1)2 =(9)已知 j 2a -1 +(b +3)2 =0,则 #竽=；(a+2)2+ |b — 1|+ J 3— C = 0,贝y a + b + c =、0.1A 、1B 、0 C（5）下列说法中，正确的是（ D 、不存在）•A 、27的立方根是3,记作J27=3B 、-25的算术平方根是5C 、a 的三次立方根是土蚯D 、正数a 的算术平方根是 j a(6) V a 的值是（）• （A ）是正数 (B) 是负数（C ）是零以上都可能(7) 若 X 2 =(-0.7 丫，则 X = ( )• (8) (9) (A) -0.7 ( B) ±).7(C ) 0.7 ( D ) 0.49下列等式：① ② y( - 2 ) = -2，③ J( - 2 ) = 2, ⑥-44 = —2;正确的有（ )个. (A) 4 ( B) 3 ( C) 2 ( D) 1 设 x 、y 为实数，且 y =4+J 5-X + J x-5 , 则|x —y 的值是（ (10) (11) (12) (13)下列说法中正确的是（ A 、4是8的算术平方根下列各式中错误的是（下列计算中正确的是（ A 、J T8=J 32X 2=3 运 ).B 、16的平方根是 4C 、).B 、Q 0.36 = 0.6).④审= -V 8 ⑤ 716 = ±4, V 6是6的平方根D 、 -J1.44 = —1.2 D 、 B 、、/皿一心4-3"乎击不改变根式的大小把（a —q丄根号外的因式移入根号内，正确的是（(A) J 1-a (B W a —1 (C) -J a —1 -a 没有平方根J1.44 =±1.2莎=2 D、J 4^ =2a(D) - J 1-a).3、求下列各数的平方根和算术平方根: （1）空 4 (-4f(3) (- 2卜(一8 )•4、计算:6、已知实数 a,b,c 满足一 a-b + J 2b +c +(c -7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简： J (a +1)2 + J (b -1)2 - J (a-b)2.abI _ !■ _. I J. ■ 1 •-2-1 0 1 2+------------ + ab (a + 1)(b +1) (a + 2)(b+2)+ 中(a +2004)( b + 2004)的值.(4)7001 5、解方程: (1) 4x 2=9 2(2) (X +1) =1⑶(5-3x(121-——=0 . 493(4)(x+3) =27(5) (2x-1)' =-8(6) 64(x-1)3+125=08、已知 2x-1的平方根是± 3, 3x+y-1的平方根是± 4，求x+2y 的平方根。

初中数学点知识归纳平方根和立方根的概念和计算

初中数学点知识归纳平方根和立方根的概念和计算初中数学点知识归纳：平方根和立方根的概念和计算数学是一门广泛应用于生活和实际问题解决的学科，它能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

在初中数学中，平方根和立方根是一些基础概念，本文将对其进行详细的介绍和计算。

一、平方根的概念和计算平方根是一个数学术语，表示一个数的平方为该数。

在数学符号中，平方根通常以√表示。

1. 平方根的概念设a是一个非负数，数x是非负数且x^2 = a，那么x就是数a的平方根。

平方根有正负两个值，分别表示正数和负数。

2. 平方根的计算平方根的计算主要有两种方法：试探法和公式法。

（1）试探法：试探法是通过猜测某个数的平方根，然后进行验证的方法。

例如，求16的平方根，我们可以猜测它的平方根为4。

验证结果为4的平方等于16，所以4是16的平方根。

（2）公式法：公式法是通过数学公式来计算平方根。

最常用的公式是牛顿切线法和二分法。

其中，牛顿切线法适用于任何正数的平方根计算。

牛顿切线法的计算步骤如下：步骤1：假设一个初始值x0；步骤2：计算初始值对应的函数值f(x0)和导数f'(x0)；步骤3：由初始值和函数值计算切线方程；步骤4：求得切线与x轴的交点x1；步骤5：将x1代入切线方程，得到新的函数值f(x1)；步骤6：重复步骤4和步骤5，直到获得的函数值足够接近0。

二、立方根的概念和计算立方根是一个数学术语，表示一个数的立方等于该数。

在数学符号中，立方根通常以³√表示。

1. 立方根的概念设a是一个实数，数x是实数且x^3 = a，那么x就是数a的立方根。

立方根也有正负两个值，分别表示正数和负数。

2. 立方根的计算立方根的计算方法与平方根类似，同样有试探法和公式法。

（1）试探法：试探法是通过猜测某个数的立方根，并进行验证的方法。

例如，求27的立方根，我们可以猜测它的立方根为3。

验证结果为3的立方等于27，所以3是27的立方根。

平方根和立方根知识点总结

平方根和立方根知识点总结数字运算是数学中的基础内容，而平方根和立方根是其中常见且重要的概念。

它们用来求解数字的根号运算，能够帮助我们计算数字的次方根。

本文将对平方根和立方根进行知识点总结，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。

一、平方根平方根是一个数学运算符号，用symbol √ 表示。

它表示一个数的平方根。

对于一个非负数 a，其平方根记作√a，表示满足 b² = a的正数 b。

例如，√25 = 5，因为 5² = 25。

1. 平方根的性质平方根有一些基本的性质，包括：（1）非负性质：一个非负数的平方根是非负的。

例如，√25 = 5，√0 = 0。

（2）保号性质：如果两个非负数 a 和 b 满足 a < b，则有√a < √b。

例如，√9 = 3 < √16 = 4。

（3）开方法则：对于任意非负数 a 和 b，有以下等式成立：√(a × b) = √a × √b。

例如，√(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6。

2. 平方根的应用平方根在数学和实际生活中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：形的斜边长度等。

（2）物理学公式：平方根可以用于求解物理学公式中的问题，如求解速度、加速度等。

（3）统计学问题：平方根可以用于求解统计学问题，如计算方差、标准差等。

二、立方根立方根是另一种常见的根号运算，用 symbol ∛表示。

它表示一个数的立方根。

对于一个实数 a，其立方根记作∛a，表示满足 b³ = a 的实数 b。

例如，∛8 = 2，因为 2³ = 8。

1. 立方根的性质立方根与平方根一样，也有一些基本的性质。

其中包括：（1）非负性质：一个实数的立方根可以是正数、负数或零。

（2）保号性质：如果两个实数 a 和 b 满足 a < b，则有∛a < ∛b。

例如，∛1 = 1 < ∛8 = 2。

平方根和立方根的概念及计算

平方根和立方根的概念及计算在数学中，平方根和立方根是常见的数学运算，用以计算一个数的平方和立方。

平方根指的是一个数的平方等于该数的正根。

而立方根则是一个数的立方等于该数的正根。

在本文中，我们将探讨平方根和立方根的概念以及如何计算。

一、平方根的概念及计算1.1 平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的正根。

以数学符号表示，若一个非负实数x的平方等于一个非负实数a，即x²=a ，则x为a的平方根。

1.2 平方根的计算方法计算平方根有多种方法，以下是几种常用的方法：1.2.1 借助计算器借助计算器，可以直接输入要计算平方根的数，并按下对应的函数键，如√x或x^(1/2)，计算器会给出平方根的值。

1.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于逼近函数零点的方法，也可以用来计算平方根。

它的基本原理是不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求。

1.2.3 龙贝格-勒让德法这种方法利用龙贝格-勒让德法的思想，通过递归计算和加权平均来获得平方根的值。

二、立方根的概念及计算2.1 立方根的定义立方根是指一个数的立方等于该数的正根。

以数学符号表示，若一个实数x的立方等于一个实数a，即x³=a，则x为a的立方根。

2.2 立方根的计算方法与平方根类似，计算立方根也有多种方法。

以下是几种常用的方法：2.2.1 借助计算器可以通过计算器输入要计算立方根的数，并按下对应的函数键，如³√x，计算器将给出立方根的值。

2.2.2 牛顿迭代法牛顿迭代法同样也可以用于计算立方根。

通过不断逼近函数的零点，直到满足精确度的要求，从而得到立方根的值。

2.2.3 二分法二分法是一种迭代法，它通过不断将区间一分为二，判断区间中点的立方与给定的数之间的关系来逼近立方根。

结论平方根和立方根作为数学中重要的概念，在实际生活中经常用到。

通过计算器、牛顿迭代法以及二分法等方法，我们可以准确地计算出任意数的平方根和立方根。

熟练掌握这些计算方法，对于解决各种数学问题和实际应用具有重要意义。

八年级数学第二章平方根立方根

第二章第一节平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。

2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。

特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。

3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。

4、开平方与平方的关系：互为逆运算。

5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。

6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。

①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。

例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ；（2）()231-= ；（5）210= ；（6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。

例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。

例6、x 为何值时，x x +-1有意义。

例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。

例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。

请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（）。

七年级：平方根与立方根

七年级：平方根与立方根1.平方根(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记为“±√a”, 读作“正负根号a”, 如下：b²=a→±√a=b其中把a称之为被开方数。

(2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0。

2.算术平方根(1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根，一个数a(a≥0)的算术平方根记作√a, 读作“根号a”。

0 的算术平方根为0。

(2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“√a” 也是一个非负数.3.平方根与算术平方根的联系与区别1)联系：(1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a的平方根土√a中的非负部分；(2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根；(3)0的平方根和算术平方根都是0。

2)区别：(1)个数上：正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负。

而算术平方根只有一个，取它的正平方根。

(2)表示方法：±√a表示平方根，前面的“±”表示其值有正负；√a表示算术平方根.特别注意的是：±√a≠ √a.4.立方根(1)定义：一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根3”,读作“三次根号a”.即可以表示如下：，记为“√a3=bb3=a⇒√a其中a，是被开方数，3是根指数。

(2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0。

推广：一个数的奇次方根有且只有一个。

(3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根。

5. 几个关于平方根、立方根的记忆点(1)一个数的平方根是本身，这个数是0；(2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1；(3)一个数的立方根是本身，这个数是一1,0,1。