如何求非齐次线性方程组Ab的通解
非齐次方程通解
非齐次方程通解在数学中，非齐次方程是一类常见且重要的方程。
与齐次方程不同，非齐次方程的解不仅包括通解，还包括特解。
在本文中，我们将着重讨论非齐次方程的通解。
非齐次方程的一般形式可以表示为：y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)，其中p(x)，q(x)和g(x)是已知函数。
我们的目标是找到这个方程的通解。
我们需要解决齐次方程的问题。
齐次方程可以表示为：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0。
为了解决这个方程，我们可以使用特征方程的方法。
通过假设y=e^(mx)，我们可以得到特征方程m^2 + p(x)m + q(x) = 0。
解这个特征方程，我们可以得到齐次方程的通解。
接下来，我们需要找到非齐次方程的一个特解。
我们可以使用待定系数法来找到特解。
假设特解为y = u(x)，将其代入非齐次方程中，我们可以得到关于u(x)的方程。
通过适当选择u(x)的形式，我们可以解出这个方程，从而得到特解。
特解得到之后，非齐次方程的通解可以表示为齐次方程的通解加上特解。
即y = y_homogeneous + y_particular。
通过这种方法，我们可以解决各种形式的非齐次方程。
无论是常系数非齐次方程还是变系数非齐次方程，我们都可以使用相同的方法来找到它们的通解。
非齐次方程的通解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，非齐次方程可以用来描述振动系统、电路和弹性体的运动。
在工程学中，非齐次方程可以用来模拟各种工程问题，如电力系统、控制系统和结构力学问题。
非齐次方程的通解是解决非齐次方程问题的关键。
通过找到齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，我们可以得到非齐次方程的通解。
这个通解可以应用于各种实际问题中，帮助我们解决各种工程和物理问题。
非齐次方程的通解是数学中的一个重要概念，对于理解和应用数学知识都具有重要意义。
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
非齐次方程的通解
非齐次方程的通解非齐次方程是数学中重要的一类方程，它们在科学研究、工程设计和工程实施方面占据着重要的位置。
非齐次方程的求解是数学研究的核心，得到它的通解是找到特定问题的最优解的关键。
因此，非齐次方程的通解对于理解和解决许多实际问题至关重要。
非齐次方程是一类常微分方程，它们不包括齐次项，只有非齐次项。
一般来说，只有当一个方程的每一项和所有变量都是常数时，才称为齐次方程，其余称为非齐次方程。
非齐次方程的求解问题，主要是指对非齐次方程的通解求解问题。
一般来说，非齐次方程的通解求解，可以采用特征方法、迭代法、变分法和记数等方法。
1、特征方法特征方法是指一种求解非齐次方程的一种方法，它是由具有特征关系的非齐次方程变形而来的，它可以用来求解一般非齐次方程。
特征方法主要是根据非齐次方程的特征关系，把它变换为一个可以求解的方程，从而求得它的通解。
2、迭代法迭代法是指一种求解非齐次方程的一种方法，它是由一组连续的迭代过程组成的。
这类方法主要是利用非齐次方程可以求解空间上一定程度的精度表达出来，在满足一定精度的情况下，迭代某一个未知函数的初始条件以及一定的技巧，以及一定的计算，从而求出未知函数的解。
3、变分法变分法是指一种求解非齐次方程的一种方法，它是由一系列的变分运算组成的。
变分法主要是利用有限元法的矩阵和变分的数学思想，将非齐次方程的求解问题，转换为一系列有限元方程的求解，从而求得非齐次方程的通解。
4、记数记数是指一种求解非齐次方程的一种方法，它是由一系列的记数运算组成的。
这类方法主要是以逐次逼近的形式，通过不断运用指定的数学方法，使得得到的数值更接近真实的解，以此求得非齐次方程的通解。
综上所述，非齐次方程的通解求解问题，主要有特征方法、迭代法、变分法和记数等方法可以实现。
以上方法，是解决大量实际应用问题的重要算法。
因此，研究非齐次方程的通解，是求解数学问题的重要基础，也是科学研究领域中重要的研究内容之一。
非齐次线性方程组ax=b无解
非齐次线性方程组ax=b无解
常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。
非齐次线性方程组的表达式为：ax=b非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a, b)（否则为无解）。
含n-r个参数的通解。
求解的存有性
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
非齐次线性方程组存有无穷多求解的充要条件就是rank(a)\ucn。
（rank(a)则表示a
的秩）
解法
非齐次线性方程组ax=b的解步骤：
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余
n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1，c2，..-r，即可写出。
matlab 非齐次方程的通解
matlab 非齐次方程的通解非齐次方程是数学中常见的一种方程形式，与齐次方程相对应。
在解非齐次方程时，我们需要找到其通解。
本文将介绍如何求解非齐次方程并得到其通解。
一、什么是非齐次方程？非齐次方程是指形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的方程，其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数，y(x)是未知函数。
这个方程中的f(x)项使得它与齐次方程不同，也使得解的求解变得更加复杂。
二、如何求解非齐次方程？对于非齐次方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常数变易法的基本思想是，假设非齐次方程的解可以表示为齐次方程的通解和一个特解的和。
具体步骤如下：1. 求解齐次方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的通解。
我们可以使用特征方程法或级数法来求解齐次方程，得到通解y_h(x)。
2. 假设非齐次方程的特解为y_p(x)，代入非齐次方程，得到一个关于y_p(x)的方程。
3. 根据非齐次方程的形式，我们可以猜测特解的形式，并将其代入方程。
根据猜测的形式，我们可以确定特解的形式。
4. 将特解代入非齐次方程，并求解得到特解y_p(x)。
5. 非齐次方程的通解为y(x) = y_h(x) + y_p(x)，其中y_h(x)为齐次方程的通解，y_p(x)为非齐次方程的特解。
三、非齐次方程的通解举例考虑一个具体的非齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 2x + 1。
我们可以按照上述步骤求解该方程。
1. 求解齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 0的通解。
该方程的特征方程为r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1，重根。
因此齐次方程的通解为y_h(x) = (c1 + c2x)e^{-x}，其中c1和c2为常数。
二阶常系数非齐次的通解
二阶常系数非齐次的通解1. 引言非齐次线性微分方程是研究微分方程中的重要内容之一。
二阶常系数非齐次线性微分方程是其中的一类典型问题，其形式为：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中a,b为常数，f(t)为已知函数。
本文将着重讨论这类微分方程的通解。
2. 齐次线性微分方程的通解为了解决非齐次线性微分方程，首先需要求解其对应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$其通解可以表示为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中，$r_1$，$r_2$为齐次方程的特征根，$c_1$，$c_2$为任意常数。
根据特征根的不同情况，可以将齐次方程分为三类：两个实根、两个虚根、一个实根和一个重根。
分别讨论如下。
2.1 两个实根当齐次方程的特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$此时，$r_1$和$r_2$可以通过特征方程求得：$$r_1,\ r_2=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$如果$a^2<4b$，则$r_1$和$r_2$是两个虚根。
2.2 两个虚根当齐次方程的特征方程有两个虚根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)$$其中，$\alpha$和$\beta$为实数，可以通过特征方程求得：$$\alpha=-\frac{a}{2},\ \beta=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$ 2.3 一个实根和一个重根当齐次方程的特征方程仅有一个实根$r_1$且其重根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=(c_1+c_2t)e^{r_1t}$$其中$c_1$、$c_2$为任意常数。
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
线性方程组通解的几种写法-最新年文档
线性方程组通解的几种写法线性方程组作为线性代数的起源，是刻画线性代数各种概念的一个重要工具，同时也是解决各类问题最基本最常见的一个工具，对于研究诸多线性关系、线性变换问题起着举足轻重的作用。
对于线性方程组本身而言，需要对方程组的表示方式、解的判定、解的结构、解的求法、解的表示都有清晰透彻的理解和掌握，才能灵活运用到学科本身以及解决其它学科的各类问题。
在方程组有解时，解的情况只有两种情形：有唯一解或有无穷多个解。
对于唯一解的情形，没有解的结构问题；对于无穷多解的情形，需要讨论解与解的关系问题，是否可将全部的解由有限多个解表示出来，即解的结构问题。
根据向量空间的知识以及解的性质容易掌握解的结构理论，目前在教学中凸显的问题是，学生在求解具体的方程组时，难以快速准确地写出通解，即求解线性方程组的通解表示需要进一步清晰简单化。
本文将根据线性方程组解的结构理论，利用行最简形矩阵的特点给出线性方程组（主要是非齐次线性方程组）通解的几种快速简单的求法。
1 基本知识[1]1.1 线性方程组由n元一次方程构成的方程组叫线性方程组。
（1）1.2 非齐次线性方程组在（1）中，右端常数项不全为零，这种方程组叫非齐次线性方程组，记作Am×n=b（b≠0）。
1.3 齐次线性方程组在（1）中，右端常数项全为零，这种方程组叫齐次线性方程组，记作Am×nX=0。
1.4 行最简形矩阵矩阵中若有非零行，则非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零。
1.5 齐次方程组Am×nX=0解的结构在Am×nX=0中，若（A）=r易知（A）=秩（Ab）=3 最简矩阵M对应的方程组为：[x1-x3+x5+2x6=3x2+2x3-3x5-2x6=-1x4+x5+4x6=2] [x1-x3+x5+2x6=0x2+2x3-3x5-2x6=0x4+x5+4x6=0] [（2），相应齐次方程为：]令x3=1，x5=0，x6=0，代入（3）得x1=1，x2=-2，x4=0，X1=（1，-2，1，0，0，0）T；令x3=0，x5=1，x6=0，代入（3）得x1=-1，x2=3，x4=-1，X2=（-1，3，0，-1，1，0）T；令x3=0，x5=0，x6=1，代入（3）得x1=-2，x2=2，x4=-4，X3=（-2，2，0，-4，0，1）T；令x3=0，x5=0，x6=0，代入（2）得x1=3，x2=-1，x4=2，X0=（3，-1，0，2，0，0）T；通解为X=X0+k1X1+k2X2+k3X3，k1R，i=1，2，33.2 拆分法（2.2）最简形矩阵M对应的方程组写成如下形式：[x1=3+x3-x5-2x6x2=-1-2x3+3x5+2x6x4=2-x5-4x6] （4）令x3=k1，x5=k2，x6=k3，k1R，i=1，2，3，代入（4）得：4 结语如何用方程组反映代数的本质，并能够解决实际应用问题是线代代数教学的核心，而求解一般方程组，写出其解的结构又是线性代数教学的首要任务。
§4[1].6__非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
![§4[1].6__非齐次线性方程组有解的条件及解的结构](https://img.taocdn.com/s3/m/6db0e3db6f1aff00bed51ea7.png)
为 求 A X=β 的 一 个 特 解 ， 把 x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0代 入 方 程 组 即 可
7 1 1 2 2 2 1 3 1 2 2 2 AX=β的通解 0 + c1 1 + c2 0 + c3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 2 1 2
定理2 n 元非齐次线性方程组 As×n X = β :
1) 无解的充要条件 R ( A ) < R ( A , b ) ;
2) 有唯一解的充要条件 R( A) = R( A, b) = n ;
3) 有 无 穷 多 解 的 充 要 条 件 是 R ( A ) = R (A,b AX=β 的 通 解 为
2
2) λ = 2时,
1 B ~ 0 0 1 3 0 2 3 0 4 6 3
R ( A ) ≠ R ( B ),故方程组无解 . 故方程组无解
练习 : a, b取何值时, 方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2 2x + 3x + x + x 3x = a 1 2 3 4 5 x1 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 6 4x1 + 5x2 + 3x3 + 3x4 x5 = b 无解, 有唯一解, 有无穷多解 ? 有解时 求出所有解.
1 0） 1） （ ， ，（0， 得到导出组的基础解系 =（ 1， T X1 =（ 1，0）, X2 = (1,0,1)T .让自由为知量x2 , x3代入
T (0,0)得 =（ (0,0)得到AX=β的一个特解X0 =（1，0，0）.
其通解为 X0 + c1 X1 + c2 X2 , c1 , c2任意。
2-3工程数学非齐次线性方程组
x1 = x2 + x4 在对应的齐次线性方程 组 中，取 x3 = 2x4 x2 1 0 = 及 x4 0 1
x1 1 1 则 = 及 x 0 2 3 得对应的齐次线性方程 组的基础解系 1 1 1 0 ξ1 = ， ξ 2 = 0 2 0 1
9
例1 求解方程组
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1, 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x − 2 x = 3. 1 2 3 4
解 对增广矩阵 B施行初等行变换
1 − 2 3 − 1 1 B = 3 − 1 5 − 3 2 2 1 2 − 2 3
系，∗是方程组A X = b的一个特解，则 η X = K1ξ1 + K 2 ξ 2 + L + K n − r ξ n − r + η ,
∗
K1 , K 2 , L, K n为任意实数. 的通解.
是方程组 A X = b
6
根据以上定理可知，当方程组（ 根据以上定理可知，当方程组（2.3.1）有解时，它 ）有解时， 有唯一解的充要条件是其导出组只有零解； 有唯一解的充要条件是其导出组只有零解；它有无 穷多组解的充要条件是其导出组（ 穷多组解的充要条件是其导出组（2.2.1）有无穷多 ） 组解。 组解。
第三节
非齐次线性方程组
一、解的判定和解的结构 二、用初等行变换求线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组有解的判定条件
对非齐次线性方程组
4.3非齐次线性方程组
(k1,k2∈R)
x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x4 = 1 例2 求解方程组 3 x1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x4 = 2 2 x + x + 2 x − 2 x = 3 2 3 4 1
1 3 解: B = 2 1 − 2 ~ 0 5 − 0 0
方程组(1)的系数阵 方程组 的系数阵: 的系数阵
a11 ⋯ A= a m 1
a11 ⋯ B= a m 1
a12 ⋯ a1n ⋯ ⋯ ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ a m 2 ⋯ a mn
a12 ⋯ ⋯ a1n ⋯ ⋯ b1 ⋯ =(β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b) ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅ bn
方程组(1)的增广阵 方程组 的增广阵: 的增广阵
a m 2 ⋯ a mn
方程组(1)有解 ⋅⋅⋅,x 方程组 有解x1,x2,⋅⋅⋅ n 有解 ⋅⋅⋅ 存在一组数x ⋅⋅⋅,x ⋅⋅⋅+x ⇔存在一组数 1,x2,⋅⋅⋅ n,使x1β1+⋅⋅⋅ nβn=b ⋅⋅⋅ 使 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅, ⇔b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 可由 ⋅⋅⋅ 下面四种提法可互为充要条件: 下面四种提法可互为充要条件 1° 方程组 有解 有解. ° 方程组(1)有解 2° b可由β1,⋅⋅⋅ βn线性表示 ⋅⋅⋅, ° 可由 ⋅⋅⋅ 3° 向量组β1,⋅⋅⋅ βn与向量组β1,β2,⋅⋅⋅ βn,b等价 ⋅⋅⋅, ⋅⋅⋅, ° ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 等价 4° R(A)=R(B) ° 定理二 非齐次线性方程组(1)有解 有解⇔ 非齐次线性方程组 有解⇔R(A)=R(B)
1 λ 1 ~ 0 λ − 1 1 − λ − 0 1 − λ 1 − λ2
线性代数 非齐次方程组
⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
不再是含参数 的方程组了。
a
=
−
4 5
时，方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4−2xx1451+x−1545−x2xx−22
=
⎜ ⎜
a22
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ am2 ⎟⎟⎠
⎜⎛ a1n ⎟⎞
αn
=
⎜ a2n ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ amn ⎟⎟⎠
⎜⎛ b1 ⎟⎞
β
=
⎜ b2 ⎜
⎟ ⎟
⎜⎜⎝ bm ⎟⎟⎠
x1α1 + x2α2 + + xnαn = β
方程组的向量方程
即 (α 1 ,α 2 ,
⎛ x1 ⎞
,α
n
)
⎜ ⎜ ⎜
x2
⎟ ⎟ ⎟
其中 η* 是n 元非齐次线性方程组（1）的一个特解，ξ1, ξ2 , , ξn−r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，k1,k2, ,kn−r为任意常数.
(3) 当 r(A) ≠ r(A) 时，方程组(1)无解.
例 设A为m×n矩阵，AX＝0为AX＝b的导出组，则
1) 当 AX＝0 仅有零解时，AX＝b 有唯一解 2) 当 AX＝b 有唯一解时，AX＝0 仅有零解 3) 当 AX＝0 有非零解时，AX＝b 有无穷多解 4) 当 AX＝b 无解时，AX＝0 仅有零解
通解。
注意什么？
补充
含参数的方程组
在求解方程组之前，要先确定参数值。——这是准则。
而参数值的确定，要依据有解的条件即：r( A) = r( A)
一般而言，有两种方法确定参数值。一种是行列式法，另一种是
初等变换法。
例3 解
3.5 非齐次线性方程组
2 x1 x2 x3 1 a 1时，方程组为 x1 x2 x3 2 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
不再是含参数 的方程组了。
4 2 x1 5 x2 x3 1 4 a 时，方程组为 4 x x x 2 1 2 3 5 5 4 x1 5 x2 5 x3 1
x1 x2 x4 1/ 2 ( x2 , x4为自由未知量） x3 2 x4 1 / 2
令x2 x4 0得一个特解为
X 0 (1/ 2, 0,1/ 2, 0)T
第3步：写出导出组的一般解，求得一个基础解系。 导出组的一般解为
x1 x2 x4 ( x2 , x4为自由未知量） x3 2 x4
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
秩(C, d) 秩(C)
秩( A, b)
秩( A)
二、非齐次线性方程组的解的结构 1. 解的性质
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A 1 1 1 3 1 0 0 2 4 1 1 1 2 3 0 0 1 2
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
线性代数第三章第五节 非齐次线性方程组(2014版)
若R(A) R(A|b),则方程组 Amn x b 无 解；
x1 x2 x3 x4 x5 1
例1 设线性方程组
3x1 2x2 x3 x2 2x3 2x4
x4 3x5 6x5 3
a
5x1 4x2 3x3 3x4 x5 b
由于 1,2 , ,nr 线性无关，故 k1 k2 knr 0
所以 *,1 *,2 *, ,nr * 线性无关。
故 线性*无,1关的*解,。2 *, ,nr * 是Ax=b的n-r+1个
3）设x为方程组Ax=b的任一解，则x可表示为：
x k11 k22 knrnr k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr ) (1 k1 k2 knr ) k1( 1 ) k2( 2 ) knr ( nr )
个元素 Aij 0 (i, j 1,2, ,n) ，故 r( A*) 1
又 AA* A* A | A | I 0 知 A* 的每列元素均
为齐次方程组 Ax 0 的解，但 r( A) n 1 所
以 Ax 0
r( A*) 1
r( A*) 1
n r( A) 1 的基础解系所含解向量的个数不超
1 2 3
矩阵
B
2 3
4 6
6 k
（k为常数），且AB=0,求线
性方程组Ax=0的通解。 解：由于AB=0 故 r( A) r(B) 3 又由a,b,c 不全为零， 可知 r( A) 1
当 k 9 时，r(B) 2 于是 r( A) 1
证明 A1 b, A2 b
A b b 0.
1
2
即x 1 2满足方程Ax 0.
求下面非齐次线性方程组的基础解系和通解
求下面非齐次线性方程组的基础解系和通解
1． 4x1 - 3x2 + x3 = 2． 2x1 - 2x2 + 2x3 = 2
说起非齐次线性方程组，它是一类常见的数学问题，非齐次线性方程组指的是系数矩阵A与自变量x之间的关系式类似Ax=b，但是等号右边的向量b为零。
它可以用来求解复杂的方程。
例如我们考虑下面的非齐次线性方程组：
4x1 - 3x2 + x3 = 2
2x1 - 2x2 + 2x3 = 2
此时系数矩阵A为：
A =
[4 -3 1]
[2 -2 2]
把这两个方程组化简成矩阵相乘的形式：
[4 -3 1][x1] = [2]
[2 -2 2][x2] [2]
解之前，我们可以把矩阵变成上三角形，只需进行几次基本的运算操作，不会改变方程的解。
[4 -3 1][x1] - 3[2 -2 2][x2] [0]
[2 -2 2][x2] [2]
然后特解性解为：
x1 = 1
x2 = 1
x3 = 3
此时基础解系与通解之间的关系如下：
x = x + c1(1,1,1)
1 Specific
即在基础解系的基础上加上一个任意常数c1(1,1,1)，就得到了方程组的通解。
总结一下，解决非齐次线性方程组是一个比较头疼的任务，它需要我们通过化简系数矩阵，把矩阵变成上三角形来获得基础解系，然后根据基础解系求得通解。
n元非齐次线性方程组ax=b无解的充要条件
n元非齐次线性方程组ax=b无解的充要条件
N元线性方程组AX=B无解的充要条件是：rank（A）不等于rank （A，B），其中rank（A）是系数矩阵A的秩，rank（A，B）是增广矩阵（A，B）的秩。
另外，非齐次线性方程组AX=B有解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A，B）的秩，即rank（A）=rank（A，B）；非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank（A）=n；非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank（A）<n。
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解。
扩展资料：
非齐次线性方程组AX=B的求解步骤：
1、对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯形；
2、若R（A）<R（B），则方程组无解；
3、若R（A）=R（B），则进一步将B化为行最简形；
4、设R（A）=R（B）=r，把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，即可写出含n-r个参数的通解。
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如何求非齐次线性方程组
A b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。