光照强度计算的优化模型

光照强度计算的优化模型

陈家跃 1 黄雅丽2 肖习雨3 1．韶关学院2004级数学系数学与应用数学 2．韶关学院2002级信息技术教育(2)班 3．韶关学院2003级信息技术(1)班

摘 要

文章把整个教室看成若干个点的集合，每一个点的光照强度为四个点光源照到该点的光照强度之和.用离散化的思想，以距离作为重要的桥梁连接目标点与光源和光照强度之间的关系： P Q J QP

k J 2

=

(P Q J J ,是目标点的光照强度是四点光源的光强).算出任

意一点的光照强度和距离地面1米处各点的光强，用Maple8画出位置与光照强度之间的曲面图,还作出密度图和等高线图进一步说明模型的合理性.

对于第三问和第四问，重新考虑四个光源位置.根据在1米处的光照强度总和越大、光照越平均，学生的满意程度就越大的思想，用MATLAB6求出1米处的光照强度总和最大值M=0.1278和光照最平均值E=0.6⨯3110-，用最小二乘法找出一个最贴近M 和E 的值，其中目标函数关系式是∑-+-22)()( E J M L Q w ，找出目标函数的最小值，确定四个光源的位置为（(80,47,25)、(80,103,25)、(40,103,25)、(40,44,25)）, 同理也能确定线光源的位置.

关键词:光照强度;点光源;线光源;满意程度

1 问题的提出

现在已知一个教室长为15米，宽为12米，在距离地面高2.5米的位置均

匀的安放4个光源（分别为1、2、3、4），各个光源的光照强度均为一个单位，如下图

要求：

（1）如何计算教室内任意一点的光照强度？（光源对目标点的光照强度与该光源到目标点距离的平方成反比，与该光源的强度成正比）.

（2）画出距离地面1米处各个点的光照强度与位置（横纵坐标）之间的函数关系曲面图，试同时给出一个近似的函数关系式.

（3）假设离地面1米高正是学生桌面的高度，如何设计这四个点光源的位置，才能使学生对光照的平均满意度达到最高？

（4）若将题目中的点光源换成线光源，以上(2)、(3)问的结果又如何？

（对于（1）、（2）问，假设横向（纵向）墙壁与光源、光源与光源、光源与墙壁之间的距离是相等的.）

2 模型的假设

2．1 光不会通过窗、门等外涉，也不考虑光在空气中的消耗，即光照强度和不变；

2. 2 室内不受外界光源影响；

2．3 教室高度为2.5米；

2．4 不考虑光的反射；

2．5 线光源发光是均匀的.

3 符号约定

Q：教室内任意一点

J：四光源对点Q的光照强度

Q

J: 光源P的光照强度 (P=1,2,3,4)

P

QP：光源P与点Q之间的距离 (P=1,2,3,4)

w: 四个点光源位置 (P=1,2,3,4)

P

E : 1米处各点的最平均光照强度

w

L : 光源在w 处时，1米处各点的光源强度的总和

M ： 1米处各点光源强度总和的最大值

L : 线光源的长度

4 模型的建立

由于光源对目标点的光照强度与该光源到目标点的距离的平方成反比，与该光源的强度成正比，故可作出任意一点光照强度函数：

∑

==4

1

2

p p Q J QP

k J (1)

其中k 为正常数，建立右手直角坐标系，如图1所示，1.2.3.4分别为四个光源的位置，由于横向（纵向）墙壁与光源、光源与光源、光源与墙壁之间的距离是相等的，可以得到此四光源在坐标系中的位置为: (单位:分米)

1 (80, 50, 25)

由于各个光源的光照强度均为一个单位，且光都不外涉，不在空气中消耗，也不受外界光源影响，即所有目标点的光照强度之和等于四个点源的光强之和，故得：

∑

∑∑====4

1

2

41

p P Q p p J QP

k J J

⇒

∑∑∑

===-+-+-+

-+-+-1200150025

2

22222)25()100()80(1

)25()50()80(1(

x y z z y x z y x k (2) 4))

25()50()40(1

)25()100()40(12

22222 =-+-+-+-+-+-+

z y x z y x 图1

由（2）式解得：k=0.01855612043 故（1）式可化为：)3(QP

043

0.018556124

1

2

∑

=

=p p Q J J

5 模型的求解

5.1 计算教室内任意一点的光照强度:

把任意一点Q 代入（3）式，可得教室内任意一点的光照强度：

4222322222

221

222)25()50(x)-(40043

0.01855612)25()100(x)-(400430.01855612)25()100(x)-(80043

0.01855612)25()50(x)-(800430.01855612J z y J z y J z y J z y J Q -+-++-+-++-+-++-+-+=

5.2 距离地面1米处各个点的光照强度与位置（横纵坐标）之间的函数关系曲面图:

根据函数关系式：

4

2

232222

2122225)50()40(043

0.01855612225)100()40(0430.01855612225

)10()80(043

0.01855612225)50()80(0430.01855612J y x J y x J y x J y x J Q +-+-++-+-++-+-++-+-=

用MAPLE8软件作出相应的三维曲面图，如图2所示：

用MAPLE8软件作出距离地面1米处各个点光照强度的密度图和等高线图，如图3所示：（其中密度图能比较真实地反映四光源到离地面1米的水平面的亮暗程度，而等高线图也很好地反映在此平面上光照的分布.）

图2