南京师大附中2018期初数学调研测试卷

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南京师大附中2018期初数学调研测试卷(四校联考解析版)

南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==，且{3}A B ⋂=，则实数a 的值是__________．【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =．答案：3 2.已知复数12i1iz +=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是__________．【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-．答案：12-3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值．【详解】解：模拟程序的运行过程，得：1S =，1i =，满足条件5i …，执行循环112S =+=，3i =，满足条件5i …，执行循环235S =+=，5i =，满足条件5i …，执行循环5510S =+=，7i =，此时不满足条件5i …，退出循环，输出10S =．故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________．【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=，所以300.515⨯=．故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15．答案：155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________．【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==．答案：146.已知tan()34πθ+=，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2-由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=． ∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++．答案：2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则n B =________．【答案】22n n+ 【解析】由39S =，15225S =，得11323921514152252a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，可得()221111,2,2,,222n n n n n S n n n a d S n n n B n n -++===+⨯=⇒=∴=⨯=，故答案为22n n+. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________．【答案】16令224x ym-=，得2y x=±，故双曲线的渐近线方程为y x=．1()12-=-，解得16m=．答案：169.8，则其体积为________．【解析】设四棱锥斜高为,h'底面边长为,a因为正四棱锥的高为，正四棱锥的侧面积为8，所以22'2121122,=233334aha h V shah⎧=⎪⎪⇒===⨯=⎨+=⎩'⎪⎪'，故答案为310.设()f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a xf xx x+-<≤⎧=⎨-<≤⎩，其中a R∈．若()()55f f-=，则()2f a的值是________．【答案】1【解析】因为()f x是定义在R上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),201,02x a xf xx x+-<≤⎧=⎨-<≤⎩，(5)(5)(1)(1)f f f f-=⇒-=，可得()101(2)21a a f a f-+=⇒=⇒==，故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x=+-+在[]1,1-上单调递减，则a的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【分析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥，解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞．故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线，所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v ．13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，(22,),(22,2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得512OM =-=，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则(22,1)N a +，且||2CD =．∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以1)N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>，整理得2(1)1a +>，解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞．答案：()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛：解答本题时，要根据所给出的条件得到点M 的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M 在以CD 为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键． 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________．【答案】6 【解析】m n ==，则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++，以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+，即1,2m n ==时同时成立．所以所求的最小值为6．答案：6二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ．（1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．【答案】（1）3Aπ=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V 的面积为3，可得 4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=. ∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V 的面积为3，∴13sin 32bc A bc ==，∴4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别为,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ；（2）求证：平面PBC ⊥平面PDE【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点，所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点，所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ，故PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=，因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ．17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低.【解析】试题分析：（1）设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BFθ==，故12080sin EF θ=-，从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-，利用导数求解，可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,?O E O F ，则20ME =米，1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米，矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米，由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米，故阴影部分面积为8004800200033π-平方米．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BF θ==，所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-，修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-，所以()()1600012cos f θθ=-'，令()0f θ'=，得3πθ=，当θ变化时，()(),f f θθ'的变化情况如下表：θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有极小值，也最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 18.已知椭圆C 的方程：22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ，求直线AM 的方程.【答案】（1）22:143x y C +=；（2）2y x =+或1142y x =+. 【解析】试题分析：（1）由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==，由此可得椭圆方程．（2）由题意设AM 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标，由此可得MN ，AM ，然后由52AM MN=u u u u v u u u u v 建立关于k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程．试题解析：（1）由题意得24,1a c c ==，24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意得，直线AM 的斜率存在，设AM 的方程为()2y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222143k x x ++=， ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=，2p x ≠-Q ，()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=， 22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-，又4N x ，=2224643M N k MN x k k +∴=-==+，又M AAM x=-==，52AM MN=Q，=Q解得1k=或14k=．∴直线AM的方程为2y x=+或1142y x=+．19.已知函数()ln,(),f x x axg x ex a R=-=∈（e是自然对数的底数）（1）若直线y ex=为曲线()y f x=的一条切线，求实数a的值；（2）若函数()()y f x g x=-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a的取值范围；（3）设()()(),[1,]H x f x g x x e=⋅∈，若()H x在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a的取值范围.【答案】（1）1ee-；（2）(,][1,)e e-∞-⋃-+∞；（3）10ae<<或112ae<<.【解析】【详解】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a的范围．（3）由题意得()2lnlnxH x x ax ex ex ax=-⋅=-，令()[]ln,1,xt x a x ex=-∈，然后对实数a的取值进行分类讨论，并根据()t x的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x的单调性，进而得到函数()H x有极值时实数a的取值范围．试题解析：（1）设切点()00,P x y，则()0000000ln,,lny x ax y ex x a e x=-==+（*）又()1,f x ax='-()1,f x a ex∴=-='1xa e∴=+，代入（*）得0ln1,x=0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>，当()h x 单调递增时，则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立，又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时，则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞．（3）()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-，令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=，当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴在[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时，()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '<，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<，又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即证1a e<，所以结论成立，即()0k x '<， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时，()H x 在[]1,e 上有极值点．点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20.设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设312232222n n na a a a T =++++L ，证明：3n T <．【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减可得212n n a a ++=，在此基础上可得数列{}n a 为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）由数列{}n a 为“()2P 数列”，可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，于是可得312232345123582222222222n n n n n a a a a a T =++++=++++++L L ，然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，故得21,02n n n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <，即结论成立．试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”，则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-，两式相减得：212n n a a ++=，又1n =时，121a a =-，所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即12n na a +=（常数），故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=-，同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-，所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立．所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以22n n S a +=-，所以132n n S a ++=-，故有，132n n n a a a +++=-，又1n =时，132a a =-，故33a =，满足321a a a =+，所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．故312232345123582222222222n n n n n a a a a a T =++++=++++++L L ，所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++，两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，显然21,02nn n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立．21.如图，D 为△ABC 的BC 边上的一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G ．求证：（1）∠BAC ＋∠EGF ＝1800；（2）∠EAG ＝∠EFG ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）连结GD 交AB 于H,由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGH ＝∠B ，同理∠FGH ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF =∠BAC ＋∠B +∠C ＝1800；2）由（1）知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG . 试题解析：（1）连结GD 交AB 于H,由B 、D 、E 、G 四点共圆，可得∠EGH ＝∠B ，同理∠FGH ＝∠C ，故∠BAC ＋∠EGF =∠BAC ＋∠B +∠C ＝1800；（2）由（1）知E 、G 、F 、A 四点共圆，故∠EAG ＝∠EFG ．22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值=3λ所对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u v .（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线'C 的方程为2xy =，求曲线C 的方程．【答案】（1）见解析；（2）2632x xy += 【解析】试题分析：（1）可以利用矩阵特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论. 试题解析：（1）依题意,得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即31333a b -=-⎧⎨-=⎩ 1333a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦；（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线2xy =上一点，则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'，即，2x y ''=Q ，()2)32x y x +=（整理得，曲线的方程为2632x xy +=23.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线2cos :3sin x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)相交于两点,A B ，求,A B 两点的距离．【答案】AB ＝13．【解析】试题分析：利用平方法消去曲线2:3x cos C y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩的参数可得曲线C 的普通方程，利用代入法消去曲线22:3x t l y t=-+⎧⎨=⎩的参数可得到线l 的普通方程，两普通方程联立可得交点坐标，利用两点间距离公式可得结果.试题解析：曲线C 的普通方程为22143x y +=曲线l 的普通方程为332y x =-+，两方程联立得2320x x -+= 122,1x x ==，()32,0,1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭AB ＝．24.D ．（不等式选讲）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥.【答案】见解析【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-=21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y ≥-=- 试题解析：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，=21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y ≥-=-，所以2212232x y x xy y+≥+-+．考点：均值不等式25.如图，已知长方体1111ABCD A B C D - ，12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成角为30o ，AE 垂直BD 于点E ，F 为11A B 的中点.（1）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）线段11C D 上是否存在点P ,使得二面角F BD P --余弦值为35？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由. 【答案】（125；（2）存在点P ，为11C D 的中点. 【解析】试题分析：（1）先利用直线BD 与平面11AA B B 所成角为30o，求得1AE =, 以{}1,,AB AD AA u u u v u u u v u u u v为正交基底建立平面直角坐标系，求出直线AE 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面BDF 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u v u u u u v，则2322P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求出面BDP 的一个法向量，利用（1）中平面BDF 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：由11AD AA B B ⊥面, 得 BD 与面11AA B B 所成角为030DBA ∠=，2,3AB AD =∴=,由1AE BD AE ⊥⇒=,（1）以{}1,,AB AD AA u u u v u u u v u u u v为正交基底建立平面直角坐标系，则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12AE u u uv ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =v(),1,0,1,BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u uv()200x y n x z ⎧-=⎪⇒=⎨⎪-+=⎩v13cos ,AE n +∴==u u u v v 答：AE 与面BDF（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u v u u u u v，则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设面BDP 的一个法向量为()1,,n x y z =v，2,3BP u u u v λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭()1202220x y n x y z λλ⎧-=⎪⎪⇒=-⎨⎪-+=⎪⎩u v13cos ,5n n ∴===u vv化简得211342813022λλλλ-+=⇒==或 1012λλ<<∴=Q答：存在点P ，为11C D 的中点.【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角与二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.26.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；（III ）求n p ．【答案】（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-．【解析】试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论．试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=．（2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=；当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．综上所述，1111,=2430,21nnn kpn k-⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩．点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．。

★试卷3套精选★南京某大学附属中学2018年中考数学第三次阶段模拟试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．分式方程213xx=-的解为（）A．x=-2 B．x=-3 C．x=2 D．x=3【答案】B【解析】解：去分母得：2x=x﹣3，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B．2．如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣3表示的点最接近的是( )A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解析】3 1.732-≈-，计算-1.732与-3，-2，-1的差的绝对值，确定绝对值最小即可.【详解】3 1.732-≈-，()1.7323 1.268---≈，()1.73220.268---≈，()1.73210.732---≈，因为0.268＜0.732＜1.268，所以3-表示的点与点B最接近，故选B.3．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：9【答案】A【解析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.【详解】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴23OB OB '= ，故选A ．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．4．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【解析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α，在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα，故选B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．5．用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应（）A ．32⨯+⨯①②B ．3-2⨯⨯①②C ．53⨯+⨯①②D ．5-3⨯⨯①②【答案】C【解析】利用加减消元法53⨯+⨯①②消去y 即可．【详解】用加减法解方程组437651x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②时，若要求消去y ，则应①×5+②×3，故选C【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．110 B．158 C．168 D．178【答案】B【解析】根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，∵8=2×4−0，22=4×6−2，44=6×8−4，∴m=12×14−10=158.故选C.7．“一般的，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P21”参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x=1x﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根B．有两个实数根C．有一个实数根D．无实数根【答案】C【解析】试题分析：由得，，即是判断函数与函数的图象的交点情况.因为函数与函数的图象只有一个交点所以方程只有一个实数根故选C.考点：函数的图象点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，要特别注意. 8．某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．故选B.9．方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为212xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩的是()A．x＋2y＝1 B．3x＋2y＝－8C．5x＋4y＝－3 D．3x－4y＝－8【答案】D【解析】试题分析：将x与y的值代入各项检验即可得到结果．解：方程5x+2y=﹣9与下列方程构成的方程组的解为的是3x﹣4y=﹣1．故选D．点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．10．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【答案】C【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是灵活运用三角形三边关系.二、填空题（本题包括8个小题）11．已知菱形的周长为10cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm1．【答案】14【解析】根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝2．∵菱形的周长为10，BD＝2，∴AB＝5，BO＝3，∴22534AO=-=，AC＝3．∴面积168242S=⨯⨯=．故答案为14．【点睛】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．12．如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数kyx=的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜kx的解集为__________【答案】﹣2＜x＜0或x＞1【解析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．【详解】观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式ax+b＜kx的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．【点睛】本题主要考查一次函数图象与反比例函数图象，数形结合思想是关键.13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=_____°．【答案】40【解析】如图，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°，故答案为：40.14．如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝k x 的图象在第一象限交于点P.若OP ＝10，则k 的值为________．【答案】1【解析】设点P （m ，m+2），∵OP=10，∴()222m m ++ =10，解得m 1=1，m 2=﹣1（不合题意舍去），∴点P （1，1），∴1=1k ，解得k=1．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，仔细审题，能够求得点P 的坐标是解题的关键． 15．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC=_________．【答案】73°【解析】试题解析：∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°-∠CBD=146°，∴∠ABC=∠ABE=12∠CBE=73°．16．已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则+a b =________．【答案】11 【解析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】∵a ＜28＜b ，a 、b 为两个连续的整数，∴252836＜＜，∴a ＝5，b ＝6，∴a ＋b ＝11.故答案为11.【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键.17．若式子2x x+有意义，则x 的取值范围是_____．【答案】x≥﹣2且x≠1．【解析】由2x +知20x +≥，∴2x ≥-，又∵x 在分母上，∴0x ≠．故答案为2x ≥-且0x ≠.18．分解因式：4ax 2-ay 2=________________.【答案】a （2x+y ）（2x-y ）【解析】首先提取公因式a ，再利用平方差进行分解即可．【详解】原式=a （4x 2-y 2）=a （2x+y ）（2x-y ），故答案为a （2x+y ）（2x-y ）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF ，再证明EB=ED ，即可解决问题．试题解析：∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE=CF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，∴EB=CF ．考点：平行四边形的判定与性质．20．我市计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】（1）这项工程规定的时间是20天；（2）该工程施工费用是120000元【解析】（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】解：（1）设这项工程规定的时间是x 天根据题意，得1010511.5x x ++= 解得x ＝20经检验，x ＝20是原方程的根答：这项工程规定的时间是20天（2）合作完成所需时间111()1220 1.520÷+=⨯（天）（6500＋3500）×12＝120000（元）答：该工程施工费用是120000元【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．21．解不等式组22(4)113x x x x -≤+⎧⎪-⎨+⎪⎩＜，并写出该不等式组的最大整数解．【答案】﹣2，﹣1，0【解析】分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．本题解析：()224113x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩①②，解不等式①得，x≥−2，解不等式②得，x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1.∴不等式组的最大整数解为x=0，22．如图，AD 、BC 相交于点O ，AD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°．求证：△ACB ≌△BDA ；若∠ABC ＝36°，求∠CAO 度数．【答案】（1）证明见解析（2）18°【解析】（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD 即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ABC 和△BAD 都是Rt △，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AD BC AB BA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；（2）∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠ABC ＝∠BAD ＝36°，∵∠C ＝90°，∴∠BAC ＝54°，∴∠CAO ＝∠CAB ﹣∠BAD ＝18°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”． 23．观察下列等式：第1个等式：1111a 11323==⨯-⨯（）；第2个等式：21111a 35235==⨯-⨯（）；第3个等式：31111a 57257==⨯-⨯（）；第4个等式：41111a 79279==⨯-⨯（）； …请解答下列问题：按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = （n 为正整数）；求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值．【答案】（1）1111 9112911⨯-⨯，（）（2）()()1111 2n 12n+122n 12n+1⨯--⨯-，（）（3）100201【解析】（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算【详解】解：（1）a 5=1111=9112911⨯-⨯（）；（2）a n =()()1111=2n 12n+122n 12n+1⨯--⨯-（）；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 10011111111111=1++++232352572199201⨯-⨯-⨯-⋅⋅⋅⨯-（）（）（）（） 11111111111200100=1++++=1==23355719920122012201201⎛⎫⎛⎫⨯---⋅⋅⋅-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．为了奖励优秀班集体,学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍,购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元,购买3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元.每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元?若学校购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍,一共应支出多少元?【答案】（1）一副乒乓球拍 28 元，一副羽毛球拍 60元（2）共 320 元．【解析】整体分析：（1）设购买一副乒乓球拍x 元，一副羽毛球拍y 元，根据“购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3幅乒乓球拍和2幅羽毛球拍共需204元”列方程组求解；（2）由（1）中求出的乒乓球拍和羽毛球拍的单价求解.解：（1）设购买一副乒乓球拍x 元，一副羽毛球拍y 元，由题意得，211632204x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2860x y =⎧⎨=⎩答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元.（2）5×28＋3×60＝320元答：购买5副乒乓球拍和3副羽毛球拍共320元．25．如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角30α=︒，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角60β=︒，求树高AB(结果保留根号).【答案】6+332【解析】如下图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，设AB 长为x ，则易得AF=x-4，在Rt △ACF 中利用∠α的正切函数可由AF 把CF 表达出来，在Rt △ABE 中，利用∠β的正切函数可由AB 把BE 表达出来，这样结合BD=CF ，DE=BD-BE 即可列出关于x 的方程，解方程求得x 的值即可得到AB 的长.【详解】解：如图，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，设AB=x ，则AF=x-4，∵在Rt △ACF 中，tan ∠α=AF CF ， ∴CF=4tan30x -︒=BD ，同理，Rt △ABE 中，BE=tan60x ︒， ∵BD-BE=DE ，∴4tan30x -︒-tan60x ︒=3，解得332答：树高AB 为（332 . 【点睛】作出如图所示的辅助线，利用三角函数把CF 和BE 分别用含x 的式子表达出来是解答本题的关键. 26．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：本次一共调查了多少名购买者？请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？【答案】（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．【解析】分析：（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），补全的条形统计图如图所示，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200=108°，（3）1600×60+56200=928（名），答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m等于（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】B【解析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．【详解】解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），∴m2＝4，∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为AB 上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A．34B．35C．43D．45【答案】D【解析】如图，连接AB，由圆周角定理，得∠C=∠ABO ，在Rt △ABO 中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5， ∴4cos cos 5OB C ABO AB =∠==．故选D ．3．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，则tanB 等于( ) A ．43 B ．34C ．35D ．45【答案】B 【解析】法一，依题意△ABC 为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=45，∵22cos sin 1B B +=，∴sinB=35,∵tanB=sin cos B B =34故选B 法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=34ba 故选B 4．抛物线y=ax 2﹣4ax+4a ﹣1与x 轴交于A ，B 两点，C （x 1，m ）和D （x 2，n ）也是抛物线上的点，且x 1＜2＜x 2，x 1+x 2＜4，则下列判断正确的是（）A ．m ＜nB ．m≤nC ．m ＞nD ．m≥n【答案】C【解析】分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程2x =，根据抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，得出()()244410a a a =--⨯->，求得0a >，距离对称轴越远，函数的值越大，根据121224x x x x <<+<，，判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.详解：∵()2244121y ax ax a a x =-+-=--，∴此抛物线对称轴为2x =，∵抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，∴当24410ax ax a -+-=时，()()244410a a a =--⨯->，得0a >，∵121224x x x x <<+<，，∴1222x x ，->-∴m n >，故选C ．点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大， 5．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为（）A ．3B ．2C ．6D ．4【答案】B 【解析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC=,可求出AC 的长．【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC =，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=2, 故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．6．-2的倒数是（）A ．-2B ．12-C ．12D ．2 【答案】B【解析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-12故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握7．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是三角形内的任意一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，若△ABC 的周长为12，则PD+PE+PF ＝( )A．12 B．8 C．4 D．3【答案】C【解析】过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．【详解】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ABC的周长为12，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=13×12=4，故选C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣2x（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝kx（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A．53B．34C．43D．23【答案】C【解析】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数2yx=-(x<0)的图象上，∴当x=−1时，y=2，∴A(−1,2).∵此矩形向右平移3个单位长度到1111A B O C的位置，∴B1(2,0)，∴A1(2,2).∵点A1在函数kyx=(x>0)的图象上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为4yx=,O1(3,0)，∵C1O1⊥x轴，∴当x=3时,43y=，∴P4(3,).3故选C.点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标.9．下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2【答案】B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C、-2a（a+3）=-2a2-6a，故本选项错误；D、（2a-b）2=4a2-4ab+b2，故本选项错误；故选：B．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．10．4的平方根是( )A．2 B．2C．±2 D．±2【答案】D【解析】先化简4，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】∵4=2，2的平方根是±2，∴4的平方根是±2．故选D．【点睛】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把4正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．【答案】.【解析】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF==，∴cos∠EFC=，故答案为：．考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ▲°.【答案】1．【解析】试题分析：∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC=∠B ，∠OAB=∠OCB ，∠OAB+∠B=180°．∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D ＝12∠AOC ，∴3∠D=180°，解得∠D=1°．∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=1°．∴∠OAD+∠OCD=31°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB ）=31°-（1°+120°+1°+1°）=1°．故答案为1°．考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．13．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线21x y =（x≥0）与22x y 5=（x≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DE AB=_．【答案】5-5【解析】试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C 的坐标为（1，15），则点B 的坐标为（5，15），点D 的坐标为（1，1），点E 的坐标为（5，1），则AB=5，DE=5－1，则DE AB =5－5．考点：二次函数的性质14．如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在△ABC 的外部，则阴影部分图形的周长为_____cm.【答案】3【解析】由折叠前后图形全等，可将阴影部分图形的周长转化为三角形周长.【详解】∵△A'DE 与△ADE 关于直线DE 对称，∴AD=A'D ，AE=A'E ，C 阴影=BC+A'D+A'E+BD+EC= BC+AD+AE+BD+EC =BC+AB+AC=3cm.故答案为3.【点睛】由图形轴对称可以得到对应的边相等、角相等.15．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．【答案】1【解析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 1+5x+m 1﹣1m=0有一个根为0，∴m 1﹣1m=0且m≠0，解得，m=1，故答案是：1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 1+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．16．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD=6，DE=5，则CD 的长等于．【答案】1．【解析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=2；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可．【详解】∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE=5，∴DE=12AC=5， ∴AC=2．在直角△ACD 中，∠ADC=90°，AD=6，AC=2，则根据勾股定理，得22221068CD AC AD =-=-=．故答案是：1．17．分解因式：xy 2﹣2xy+x ＝_____．【答案】x （y-1）2【解析】分析：先提公因式x ，再用完全平方公式把221y y -+继续分解.详解：22xy xy x -+=x(221y y -+)=x(1y -)2.故答案为x(1y -)2.点睛：本题考查了因式分解，有公因式先提公因式，然后再用公式法继续分解，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.18．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心，EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin ∠EAB 的值为．【答案】35．【解析】试题分析：设正方形的边长为y ，EC=x ，由题意知，AE 2=AB 2+BE 2，即（x+y ）2=y 2+（y-x ）2，由于y≠0，化简得y=4x ，∴sin ∠EAB=3355BE y x x AE y x x -===+．考点：1．相切两圆的性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义三、解答题（本题包括8个小题）19．在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了A B 、两种玩具，其中A 类玩具的金价比B 玩具的进价每个多3元.经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同.求A B 、的进价分别是每个多少元？该玩具店共购进A B 、了两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得的利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？【答案】（1）A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）至少购进A 类玩具40个.【解析】（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元，根据用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个，结合“玩具点将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答.【详解】解：（1）设B 的进价为x 元，则A 的进价为()3x +元由题意得9007503x x=+，解得15x =，经检验15x =是原方程的解.所以15318+=（元）答：A 的进价是18元，B 的进价是15元；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具()100a -个由题意得：()12101001080a a +-≥解得40a ≥.答：至少购进A 类玩具40个.【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系，准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力.20．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得PA ，PB 与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.【答案】5.6千米【解析】设PD 的长为x 千米，DA 的长为y 千米，在Rt △PAD 中利用正切的定义得到tan18°=y x ，即y=0.33x ，同样在Rt △PDB 中得到y+5.6=1.33x ，所以0.33x+5.6=1.33x ，然后解方程求出x 即可．【详解】设PD 的长为x 千米，DA 的长为y 千米，在Rt △PAD 中，tan ∠DPA=DA DP ，即tan18°=y x， ∴y=0.33x ，在Rt △PDB 中，tan ∠DPB=64 5.6g )56x ⨯-（，即tan53°= 5.6y x+， ∴y+5.6=1.33x ，∴0.33x+5.6=1.33x ，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．21．如图，已知AC 和BD 相交于点O ，且AB ∥DC ，OA=OB ．求证：OC=OD ．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：首先根据等边对等角可得∠A=∠B ，再由DC ∥AB ，可得∠D=∠A ，∠C=∠B ，进而得到∠C=∠D ，根据等角对等边可得CO=DO ．试题解析：证明：∵AB ∥CD∴∠A ＝∠D ∠B ＝∠C∵OA=OB∴∠A ＝∠B∴∠C ＝∠D∴OC ＝OD考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质22．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .求证.DF AB =若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】分析：（1）利用“AAS”证△ADF ≌△EAB 即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF ，根据DF=AB 可得答案．详解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=1．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与1的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=1，解得m=1∴2--2=1．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根24．如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．。

师大附中2018-2019学年八年级上学期数学期中考试试卷

在△CEB和△CFD中
∵
∴△CEB≌△CFD（SAS），
∴∠2=∠CDF，
∵∠CDF+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°.
27.【答案】（1）③
（2）2；
（3）a+1；
28.【答案】（1）小聪；分式的分母不为0,故，从而
（2）解：去分母得：m+x=2x−6，
解得：x=m+6，
由分式方程的解为非负数，得到，且m+6≠3，
4.下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（）
A. B. C. D.
5.下列约分正确的是（）
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC和△DEF中，满足AB＝DE，∠B＝∠E，如果要判定这两个三角形全等，添加的条件错误的是（）
A.BC＝EF B.AC＝DF C. ∠A＝∠D D. ∠C＝∠F
7.如图，△ABC≌△FDE，∠C=40°，∠F=110°，则∠B等于（）
解得：且
（3）解：分式方程去分母得：3−2x+nx−2=−x+3,即(n−1)x=2，
由分式方程无解，得到x−3=0，即x=3，
代入整式方程得：
当n−1=0时，整式方程无解，此时n=1，
综上,n=1或
29.【答案】（1）证明：∵∠CAO=90°-∠BDO，
∴∠CAO=∠CBD.
又∵∠ACD=∠BCD，CD=CD，
15.【答案】①②
16.【答案】80
17.【答案】8
18.【答案】
三、解答题
19.【答案】解：a2﹣2a﹣15＝（a﹣5）（a+3）．
故答案为:（a﹣5）（a+3）．
20.【答案】解：ax2﹣ay2+x﹣y

2018-2019学年江苏省南京师大附中新城分校八年级(下)第一次调研数学试卷

2018-2019学年八年级（下）第一次调研数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．3．关于反比例函数y＝﹣，下列说法正确的是（）A．图象过（1，2）点B．图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大4．若关于x的分式方程＝3+有增根，则m的值是（）A．﹣2B．2C．±2D．45．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．两组对角相等C．对角线相等D．两组对边相等6．下列根式中，与属于同类二次根式的是（）A．B．C．D．7．下列语句正确的是（）A．线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形B．正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，那么正三角形是中心对称图形C．正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，则正方形是中心对称图形D．正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，则正五角星是中心对称图形8．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，则第三个三角形的周长为（）A．B．C．D．9．如图，在矩形ABCD中，P是边AD上的动点PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，如果AB＝5，AD＝12．那么PE+PF＝（）A．B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，若∠FPC ＝50°，则∠A＝（）A．100°B．105°C．110°D．120°二．填空题（共6小题）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．分式有意义的条件是．13．一个反比例函数图象过点A（﹣2，﹣3），则这个反比例函数的解析式是．14．四边形ABCD中，AC⊥BD，顺次连接它的各边中点所得的四边形是．15．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且△AEF是等边三角形，AB＝AE，则∠B＝．16．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以PA、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为．三．解答题（共9小题）17．计算：（1）﹣（2）（﹣2）×18．先化简，再求值：，其中x是从0，1，3，5中选取的一个合适的数．19．解方程（1）＝（2）＝20．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．21．已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是BA、DC延长线上的点，且AE∥CF，交BC、AD于点G、H、试说明：EG＝FH．22．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣2，﹣3）．（1）画出将△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标；（3）观察图形，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称吗？如果成中心对称，那么对称中心的坐标为；如果不成中心对称，请说明理由．23．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同的速度向C、A运动．（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．（2）若BD＝10cm，AC＝16cm，当运动时间t为多少时，四边形DEBF为矩形．24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，现在有一足够大的直角三角板，它的直角顶点D是BC上一点，另两条直角边分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求证：四边形AEDF是矩形；（2）在（1）条件下，若点D在∠BAC的角平分线上，试判断此时四边形AEDF的形状，并说明理由；（3）若点D在∠BAC的角平分线上，将直角三角板绕点D旋转一定的角度，使得直角三角板的两条边与两条直角边分别交于点E、F（如图2），试证明AE+AF＝AD．25．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．（I）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；（Ⅱ）判断CF与AC有怎样的位置关系并说明理由．。

2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题(含详细解答)

｛冷｝的前科项和，则总二 A 2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研测试试题I 必做題部分注慮事项苇生在答蠅前请认莫闻爆本注盘爭琨恳备題答越宴求1. 本试卷扶4頁包含战宅蛊£弟1理一第“題）、解浮題f 第沽題一第20題）.事卷满分 160分*考试时间为no 分钟.考试站虑后谥将裁鬆卡交冋.2. 答廳前诸您的必将自己的姓".廉专吒号用03亳能朋色團水的签宁笔壇斗在试雄戾答昭 I ：的规址位賈一乱请在答题卡卜战照脚存存对晦的袴題区域内作欝.衣共他位置作菩一律尤效.作答愛薇用 0.5老贰/色眾水的徒了遼.请注盘字怵工整乜址消建・4. 如盂杵：圈锁用2BM 笔绘.写仙楚线峯、符号弊锁加黑、加UL5. 请保持裁題卜左面時洁不輕折«. tt-tn ，押不准使川般带紙、髀止液、叮擦洗的岡珠笔. 躊考金式植那的徉积食“十討八氏中为3施邯的底面积”"为植协的向.、埴宁題；羸大題共M 小4T 每•卜趣F 分”共刑分.请把茬案塡吁在警趣卡相应位总上.1.已A = ｛1^｝, B = ｛13）,且/口左=｛3｝,刚实数应的值是 ______________ A Z 已如^7 = — ,其中f 是虚樹单位』贝虹餉丈邹是▲ •-1 — i 3. 根据如匱餅示的伪代與，可知输出的结異£为鱼 •.门二2I 5^0! While U1+2；End whileI Print 5;Jiod4. 如图所环，二面旦销害店根播以往某种面色的銷售记弧，绘制“日销匡里的頻率井布直方图•若 —个月以迫天计算，估计这冢面迈店一个月内日销WslOO 个到20D 个的天数为企一5. 有一个质地均匀的正四面体木块电于面分别标有数字1,乙鼻眼椅此木抉在水平桌面二抽两次，则两女看卞到前数宇部大于2的概車为 ▲ . *b.已 Mlzn 二亠H 二」：测 bill - d co J '肖力 ▲ •・化设数列｛务｝为等差数列』»列数列｛乐｝的前理呗和，已^3. =9,= 225 f 色為数別5.〔第3强圏）*8. 在平面直角坐标系xO）中，双曲^C:—-£--l（m>0）的一条渐近线弓直^x + 2j-l = 0垂直，则实數加的值为▲• “9. 高为的正四棱推的侧直积为8,则其体枳为▲• ♦10・谖/（刘是定义在R上且周朗为4的羽数’在区间（一2,2］上，貝函繳解祈式是< 、x十a -2 <x<0 / 、/ 、,、/«=<!!_ .，亘口处八若几-沪用）'则门加）的色定一▲・211. 已純函数/（x） = x'+ax'-a‘丫+ 1在［-1,1］上电调递屜，则a的取 <值范围是▲•・，12. 如图,在匹边形-15CD中,-4B = CD = 1,点3A N分别是边.4D.BC的中点，延长B4和CD交的延长线于不同的两点P.Q ,则“-迈的值为▲・213•已知圆O：A2 +>2=5 ,儿刀为圆O丄的两个动点，且AB^2；M为弦曲的中点，CQ逅CQQ 辰 2）・当儿〃存是O上运或盯.始终有ZCVD79锐吊，则实数"的取值范團九▲・门14•已純d>lb>2,则=的最小伯為▲茜一1 +J沪一 4二、解答題：木人題共6小題，共90分・诸仗答題卡指宦区域内作答.解答时应写出文了• ••••••说明、证明过稈或演氮步骤.■■■ ■ ■ ■ ■15.（本小題满分14分〉卩在△‘IBC 中，A.B.C的对边分别为a.b.c .已知acosS + bcosA = 2ccosC ・ a（1）求角C的大小；2（2）若c = 2bQC的直积为JJ ,求443C的周长.卩16.（本小題満分丄4分〉卩如图，在三棱锥P—ABC中，ZABC = 90^, PA = PC f^面PXC丄平面ABC , D,E分别为AC.B C中点•卩（1）求证：DE"平面P4B —（2）求证：平面P3C丄平面PDE.17.(木小題满分14分)如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD, AB = 120米八4D = 80米，以.Q/C 为直径的半圆O和半圆Q (半圆在矩形肋CD內部)为两个半圆形水上主题乐园，3C.CD.DA都建有围埴，游吝只能从结段曲处进出该王题乐园.力了逬一步提高经济效益，水上乐园菅埋部门决走沿看AE .侖修建不锈钢护栏，沿看线段Ef■修建该主进乐园大门并设贸檢票口，其中E：尸分别为百•炭上的动為EF7AB ,且线段EF与线段曲在园心O：和Q逹线的同测.已知弧线却分口修建费用为200元/米，直绒却分的平均修建費用为400元/米・a(1) 若EF=80米，则检票等候区域(图中匪影部分)面积为多少平方米？a(2) 试确走点£的位蚩，使得修建费用最低・“18.(本小題滿分16分)已知椭圆C的方程：^ + 4 = 1(^>6>0)，为准线/方程为x = 4,右焦点F(1.0)，/为椭圆的左顶点.亠(1)求椭圆C的方程；3<2)设点为梆圍在工轴上方一点…点N在右准线上旦満足= 0且“5|玄7|=2|莎|,求直线旳/的方程.P19.(本小世满分16分)已知囲数f (x) = Inx - ax.g(x) = ex.ae R, ( e是自然对数的底数)小(1)若直线y = &为曲线的一条切线，求实数a的值；"<2)若函数y = f(x) - g(x)在区间(l.+oc)±为单週函数，求实数a的取值范围丿"(3)设H(x) =|/(x) |・g(x), xe[l:e],若H(x)在定义域上有极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围.220.（本小題满分16分〉设数列｛$｝的首项为1,前n 顷和为S"若对任意的，均有S 广a“ — k 魏是常数且 keN 9）成立，则称数列｛冬｝为“P （/c ）数列“（1）若数列｛务｝为“P ⑴数列”，求数列｛$｝的通项公式；"（2）是否存在数列｛$｝既是“P （k ）数列二也是“P（k ・2）数列叩若存在，求出符合条件的数歹的通项公式及对应的去的值；若不存在，请说明理由；“附加题21 •［述做腿］任A 、B 、C> DPU 小■中只能选做2風每小題10分，堵把答案写在晋辱f 追乍孚域内...........A.选修i 几何证明选讲如图.D 人）44BC 的8C 边上的一点.OO 】经过点D.交曲于另一点E. 0O,经过点C, D 交AC f 点只OOi 400:交「•点G ・a 1一 1 已知二阶矩Q 特征值2・3所对应的一个特征冋量勺一』 J C/1（1）求矩阵M ; a （2）设曲线C 在突换矩阵M 作用下得到的曲线C •的方程为型=2,求曲线C 的方程.“C. 4-4：坐标系h 参数力程"JC = —° i 十 2 处缈和跑“绅）相交于两求D.选修4・5：不等式选讲己知x,y 均为正数，11 x > v ,求证：2x4-— -------- ---- 鼻2卩+ 3. ■ T 2-2XI + / "<3）若数列｛$｝为“P （2）数列J已知曲线C: 工-2cos0 y = \^3 sin 6 证明:22•如图，己知长方体ABCD_4B、C\D，AB = 2.AA y=l,直线BDW平面所成角为30*, HE垂宜BD于点上，F为4耳的中点.》<1）求^AE与平面万莎所成角灰正弦直；卩23.如亂一只蚂蚁从单位世方体ABCD-ABg的顶点/出发.每一步（均为等可能件的〉经过-条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过"步冋到点/的概率以.（1）分别马岀P-P2的值；（2）设顶点T出发经过"步到达点C的槪率为％,求几十規的值；（3）求必・。

2018年南师附中集团中考二模数学试卷及答案

18．（6 分）解方程：
16 x2 −2= ． x−4 x−4
19．（8 分）某中学七、八年级各选派 10 名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用 10 分制，选手得分均为整数，成绩达到 6 分或 6 分以上为合格，达到 9 分或 10 分为优秀，这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得 6 分、10 分的选手人数分别为 a、b．队别七年级八年级平均分 6.7 7.1 中位数 m 7.5 方差 3.41 c 合格率 n 80％优秀率 20％ 10％
⑴请根据图表中的数据，通过计算求 a、b 的值； ⑵填空：m=______，n=______；c______3.41；（填“>” 、 “=”或“<” ）
选手/人数
七年级队
a
4 2 2
八年级队
1 0 3 5 6
1
1 7
1 8
1 1 9
b 10 成绩/分
（第 19 题图） ⑶有人说七年级代表队选手成绩的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出至少两条支持八年级队成绩好的理由．
−3
−2
0
−8
1
−9
3
−5
5 7
… …
7 ）
0
则下列说法错误的是（ A．该函数的最小值是 − 9
B．方程 ax 2 + bx + c = −5 的两个根是 x1 = −1, x2 = 3
C．当 x < 1 时，y 随 x 的增大而减小 D．当 −2 < x < 4 时，y>0 5．如图,该几何体的俯视图是（ A． B．） C．

江苏省南京师范大学附属中学四校2018届高三联考数学调研测试---精校解析Word版

2018届南师附中、天一、海门、淮阴四校联考期初高三数学调研数学测试试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. 已知集合，且，则实数的值是__________．【答案】【解析】∵，∴，∴．答案：32. 已知复数，其中是虚数单位，则的实部是__________．【答案】【解析】∵，∴的实部是．答案：3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为__________．【答案】【解析】执行循环得结束循环，输出4. 如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以天计算，估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为__________．【答案】【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为，所以．故估计这家面包店一个月内日销售量个到个的天数为．答案：5. 有一个质地均匀的正四面体木块个面分别标有数字.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于的概率为__________．【答案】【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有种情况，其中两次看不到的数字都大于的情况有，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为．答案：6. 已知，则的值为__________．【答案】【解析】由题意得，解得．∴．答案：点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7. 设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列的前项和，则__________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴，∴，∴．答案：8. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】令，得，故双曲线的渐近线方程为．由题意可得，解得．答案：9. 高为的正四棱锥的侧面积为，则其体积为__________．【答案】【解析】设正四棱锥的底面边长为，斜高，则．由题意得，整理得，解得或（舍去）．∴．∴．答案：10. 设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是__________．..........................................【答案】【解析】∵是周期为的函数，，∴，∴，∴．∴，∴．答案：111. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是__________．【答案】【解析】∵，∴．又函数在上单调递减，∴在上恒成立，∴，即，解得或．∴实数的取值范围是．答案：12. 如图，在四边形中，，点分别是边的中点，延长和交的延长线于不同．．的两点，则的值为_________．【答案】0【解析】如图，连AC，取AC的中点E，连ME，NE，则分别为的中位线，所以,所以．由与共线，所以，故．答案：0点睛：（1）根据题中的，添加辅助线是解题的突破口，得到是解题的关键，然后根据向量的共线可得，再根据向量的数量积运算求解。

江苏省南京师大附中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题+答案

1南京师大附中 2017～2018 学年度第二学期高一年级期中试卷数学试卷一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 3 分，共计 42 分．把答案填在答．卷．纸．相．应．位．置．上．． 1．不等式(x +3)(x -2)<0 的解集为． 2．已知等差数列{a n }的公差为 3，且 a 2＝-2，则 a 6＝．3．在△ABC 中，若 A ＝60°，B ＝45°，BC =1，则 AC ＝．4. 已知公差不为零的等差数列的第 2，3，6 项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比等于．5. 已知数列{a n }的通项公式为a n = (2n -1)(2n +1)，则它的前 10 项的和为．6. 若不等式 x 2+ax +b <0 的解集为{x |－3< x <4}，则 a +b 的值为．7. 若等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则 a 1· a 2 ···· a n 的最大值为． 8．已知 p >0，q >0，且 p≠q ，记 A =(1+p )(1+q )，B p +q 2p+ pq ，则 A 、B 、C 的大小关系为．(用．“<．”连．接．) =(1+ 2 ) ，C=2π9. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 A = 3 ，b =2a cos B ，c =2，则△ABC 的面积等于．1 410. 已知 a ，b 为正实数，且 a ＋b ＝1，则 + 的最小值是．a b11. 若函数 y =的定义域为 R ，则实数 k 的取值范围是．12.已知 x <0，且 x -y =1，则 x + 12 y +1的最大值是．13. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，若 a n +2+2a n +1+a n =0 对任意n ∈ N * 都成立，则数列{a n }的前 n项和 S n = .14. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 3a 2-b 2+3ab cos C=0，则 c (cosA a cosB +)的最小值为．b二．解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字kx 2 - 2x +1说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 8 分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2=b2+c2+bc，a= 6b.（1）求 sin A 的值；（2）求 cos C 的值.16．（本小题满分 8 分）解下列关于x 的不等式：（1）1-2x≥1；（2）（| x|－2）（x+3）≥0. x + 317．（本小题满分 8 分）记数列{a }的前n 项和为S ，且S ＝3n－1.n n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n 项和T n.18．（本小题满分 10 分）如图，在海岸A 处，发现南偏东45°方向距A 为(2 3－2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为 2 2海里的C 处的缉私船立即奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以 10 2海里/时的速度从B 处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：2≈1.4，6≈2.5)．CAB45°75°{ n219．（本小题满分 12 分）设关于 x 的不等式(ax -a 2-9)(x -b )≥0 的解集为 A ，其中 a ，b ∈R .（1）当 b =6 时，①若 A =（-∞，+∞），求 a 的值；②记 L =d -c 为闭区间[c ，d ]的长度.当 a <0 时，求区间 A 的长度 L 的最小值；（2）当 b =2a-8，且 a <9 时，求 A .20．（本小题满分 12 分）设数列{a }满足 a = 1， a= 2a n -1 +1(n ≥ 2, n ∈ N * ) . n 1 na n -1 + 2a -1（1）证明：数列} 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；a n +1（2）设 c n =(3n+1)a n ，证明：数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列.==3 2 2南京师大附中 2017～2018 学年度第二学期高一年级数学期中试卷答案命题人：高一备课组审阅人：一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）：61. （-3,2）2. 103. 3104. 35.216. -137. 64 8. C<A<B 9. 31- 2 10. 9 11. [1, +∞) 12. 2⎧3 -2n, n为奇数⎨ 13. ⎩ 2n, n为偶数14. 2二．解答题：本大题共 6 小题，共计 58 分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 8 分）解：（1）由余弦定理，得a2=b2+c2-2bc·cos A，∴cos A=-1 . 2又∵A∈(0, π)，∴ sin A = =3 分2b ⋅3b sin A （2）由正弦定理，得sin Ba=，………2分6b由（1）cos A<0，∴A∈(π,π)，又A +B +C =π，∴B∈2(0,π) .2∴cos B = =14 4∴cos C = cos[π-(A +B)] =-cos(A +B) =-cos A cos B +sin A sin B=-(-1) ⋅214+43⋅2=2 414 +86. …………3 分1- cos2 A1- sin2 B⎩⎩nn nnnn nn n n －116．（本小题满分 8 分）1- 2x- 3x - 23x + 2解：（1） x + 3 -1 ≥ 0 , ∴ x + 3≥ 0 ,∴ x + 3 ≤ 0 ∴ (3x + 2)(x + 3) ≤ 0 且x + 3 ≠ 0 , ∴ - 3 < x ≤ - 23∴原不等式的解集为(-3,- 2] 3⎧| x | -2 ≥ 0. …………..4 分（2）① ⎨x + 3 ≥ 0 ，解得- 3 ≤ x ≤ -2 或 x ≥ 2 ；⎧| x | -2 ≤ 0 ② ⎨x + 3 ≤ 0 ，x 无解；∴原不等式的解集为[-3,-2] [2,+∞) ........................ 4 分17．（本小题满分 8 分）解：（1）S ＝3n －1. 当 n ＝1 时，a 1＝S 1＝2；当 n ≥2 且 n ∈N*时，a ＝S －S ＝3n －3n －1＝2·3n －1，对 n ＝1 时也适合，∴a ＝2·3n －1，n ∈N*. ............................................. 4 分（2）na ＝2n ·3n －1.T ＝2·30＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，① 3T ＝ 2·31＋4·32＋…＋(2n －2)·3n －1＋2n ·3n .②由①－②得：－2T ＝2＋2(31＋32＋…＋3n －1)－2n ·3n ＝(1-2n )3n -1，所以 T ＝ (n - 1)3n+1 ............................................... 4 分2218．（本小题满分 10 分）解：（1）在△ABC 中，∵AB ＝(2 3－2)海里，AC ＝2 2海里，∠BAC ＝135°，由余弦定理，得BC ＝分＝4(海里)． (4)(2 3－2)2＋(2 2)2－2×2 2×(2 3－2)cos 135°22AC sin 135° 2（2）根据正弦定理，可得 sin∠ABC ＝BC ＝ 2 .∴∠ABC ＝45°，易知∠ACB ＝15°， ....................................... 2 分设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则有 CD ＝10 3t (海里)，BD ＝10t (海里)．而∠CBD ＝120°，在△BCD 中，根据正弦定理，可得BD sin∠CBD sin∠BCD ＝ CD ＝，∴∠BCD ＝45°，∠BDC ＝15°， ..................... 2 分44 2解得t =5≈ 0.78小时≈ 47分钟． ....... 2 分故缉私船沿南偏东 60°方向，需 47 分钟才能追上走私船．19．（本小题满分 12 分）解：（1）a =0 时，不等式的解集 A 为(-∞, 2] 不符题意舍去⎧a > 0 ⎪ 当 a ≠ 0 时， ⎨ a 2 + 9 =，解得 a =3 ...........3 分⎩⎪ a6 a 2 + 9（2）当 a <0 时，解得 A= [ , 6] ，aa 2 + 9= + - + 9≥ + = -3所以 L=6－a6 [( a )] 6 6 12 ，当且仅当 a = (-a )时，取等号，因此区间 A 的长度 L 的最小值为 12 ..............................3 分(3) ①当 a >0 时，因为 2a - 8 - a 2 + 9 = (a +1)(x - 9)a a6 + 2n n所以，当 0<a <9 时，不等式的解集为{x |x ≥ a 2 + 9a或 x ≤ 2a - 8 }… .....2 分②当 a =0 时，不等式的解集为{x |x ≤ 0 } .......................... 1 分 a 2 + 9 ③10 当- 1<a <0 时，不等式的解集为{x |a≤ x ≤ 2a - 8}20 当 a = - 1 时，不等式的解集为{ - 10}30当 a < - 1 时，不等式的解集为{x | 2a - 8 ≤ x ≤ a 2 + 9 a}.............. 3 分20．（本小题满分 12 分）解：（1）证明：由条件， a-1 =2a n -1 +1 -1 =a n -1 -1(n ≥ 2, n ∈ N * ) ，①a n -1 + 2a n -1 + 2a +1 =2a n -1 +1+1 = 3(a n -1 +1) (n ≥ 2, n ∈ N * ) ，②a n -1 + 2 1a n -1 + 2由 a 1= 2知 a n >0, ∴a n +1>0.①/②得， a n -1 = 1 ⋅ a n -1-1(n ≥ 2, n ∈ N * ) 且 a 1 - 1-1 1 = 2 = - 1 ≠ 0 ,{a n -1a n +1 3 (a n -1 +1) 1 1 a 1 +1 1 +1 3 2∴ } 是首项为- ，公比为的等比数列 ............. 4 分a n +1a n -1= - 1 ⋅3 31 n -1 1 n3n -1因此， a n +1 ( ) = -( ) 3 3 3 ， ∴ a n = 3n +1.….2 分（2）证明：由（1）得，c =(3n +1)a =3n-1，（反证法）假设存在正整数 l ，m ，n 且 1≤l <m <n ，使得 c l ，c m ，c n 成等差数列. 则 2(3m -1)=3l +3n -2，即 2·3m =3l +3n ，则有 2·3m-l =1+3n-l ，即 2·3m-l -3n-l =1，则有 3m-l ·[2-3n-l-(m-l )]=1，即 3m-l ·(2-3n-m )=1. ∵l ，m ，n ∈N *且 1≤l <m <n ，∴3m-l∈N *.nn⎩⎧2 - 3n -m= 1 ⎧n - m = 0 ∴ ⎨ ⎩ 3m -l = 1，∴ ⎨ m - l = 0 ，∴l =m =n 与 l <m <n 矛盾，故假设不成立，所以数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列 ...... 6 分。

江苏省南京师大附中2018-2019学年七年级(上)第一次调研数学试卷解析版

2018-2019学年七年级（上）第一次调研数学试卷一.选择题1.﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．D．【考点】15：绝对值．【专题】11：计算题．【分析】根据绝对值的定义，﹣3的绝对值是指在数轴上表示﹣3的点到原点的距离，即可得到正确答案．【解答】解：|﹣3|＝3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．2.关于x﹣2的结果，下列说法一定正确的是（）A．比﹣2大B．比x大C．比﹣2小D．比x小【考点】18：有理数大小比较．【专题】511：实数；61：数感．【分析】根据代数式的表示方法可得x﹣2表示比x小2，由此可得答案．【解答】解：x﹣2表示比x小2，故选：D．3.用计算器计算230，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】1N：计算器—有理数．【分析】根据计算器上各个键的功能和基本应用，即可得出答案．【解答】解：按照计算器的基本应用，用计算器求230，按键顺序是2、x y、3、0、＝；故选：D．4.如图，若A、B分别是实数a、b在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是（）A．b+a B．b﹣a C．a b D．【考点】11：正数和负数；29：实数与数轴．【专题】511：实数．【分析】根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：由数轴，得a＜0＜b，|a|＞|b|．A、b+a＜0，故A不符合题意；B、b﹣a＞0，故B符合题意；C、b是奇数时，a b是负数，b是偶数时，a b是正数，故C不符合题意；D、＜0，故D不符合题意；故选：B．5.下列各组算式中，其值最小的是（）A．﹣（﹣3﹣2）2B．（﹣3）×（﹣2）C．（﹣3）2×（﹣2）D．（﹣3）2÷（﹣2）【考点】18：有理数大小比较；1G：有理数的混合运算．【分析】计算得到各项结果，即可做出判断．【解答】解：﹣（﹣3﹣2）2＝﹣52＝﹣25，（﹣3）×（﹣2）＝6，（﹣3）2×（﹣2）＝9×（﹣2）＝﹣18，（﹣3）2÷（﹣2）＝9÷（﹣2）＝﹣，则其值最小的为﹣25，故选：A．6.计算248﹣26的结果更接近（）A．248B．247C．242D．240【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【专题】512：整式．【分析】根据因式分解解答即可．【解答】解：248﹣26＝26（242﹣1）≈26×242＝248，故选：A．二.填空题7.计算：﹣7﹣4＝﹣11 ．【考点】1A：有理数的减法．【专题】11：计算题；511：实数．【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣7+（﹣4）＝﹣11，故答案为：﹣118.中国是严重缺水的国家之一．若每人每天浪费的水量为0.4L，那么8 000 000人每天浪费的水量总和用科学记数法表示为8×106．．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数；1J：科学记数法—表示较小的数．【专题】511：实数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：8 000 000＝8×106．故答案为：8×1069.一个数的相反数等于它本身，则这个数是0 ，一个数的倒数等于它本身则这个数是±1 ．【考点】14：相反数；17：倒数．【专题】511：实数．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数；乘积是1的两数互为倒数可得答案．【解答】解：一个数的相反数等于它本身，则这个数是0，一个数的倒数等于它本身则这个数是±1，故答案为：0；±1．10.写出一个比﹣3大，比1小的负整数﹣1 ．【考点】18：有理数大小比较．【专题】511：实数；61：数感．【分析】根据有理数大小比较的方法，可得：比﹣3大，比1小的负整数有﹣2、﹣1，写出一个即可．【解答】解：写出一个比﹣3大，比1小的负整数﹣1．故答案为：﹣1．（答案不唯一）11.0.是一个无限循环小数，它可以写成分数．【考点】12：有理数．【专题】511：实数．【分析】设0.＝x，则100x＝63.，二者做差后可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设0.＝x，则100x＝63.，100x﹣x＝63，解得：x＝．故答案为：．12.下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣1时，输出的数值是．【考点】33：代数式求值．【专题】27：图表型．【分析】根据程序，直接代入求出结果．【解答】解：依题意得，﹣x+3，当x＝﹣1时，原式＝1+3＝4．13.像1，2，4，8，16…这样的一串数，从第二个数开始，每个数和前一个数的比值为一个定值，叫做等比数列，在一个等比数列中，第一个数为2，第三个数为，则第二个数为 3 ．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】2A：规律型；66：运算能力．【分析】设第二个数为x，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：设第二个数为x，根据题意得，2：x＝x：，解得：x＝3，14.将四个数6、﹣3、﹣10、﹣4进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数只能用一次）结果为24，请写出算式﹣4﹣（﹣10）﹣6×（﹣3）＝24 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】11：计算题；511：实数．【分析】根据有理数的混合运算规则，分别用+、﹣、×、÷将四个数6、﹣3、﹣10、﹣4试验．最后找出结果．【解答】解：﹣4﹣（﹣10）﹣6×（﹣3）＝24，故答案为：﹣4﹣（﹣10）﹣6×（﹣3）＝24．15.图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是66 ．【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A：规律型．【分析】可用逐条分析的方法，从最高的那条开始计数．根据所给图形可知，从上到下逐层条是添加四个小正方体，通过计算得出结果．【解答】解：根据题意可得知：图（1）中有1×1＝1个小正方体；图（2）中有1×2+4×1＝6个小正方体；图（3）中有1×3+4×2+4×1＝15个小正方体；以此类推第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1＝66个．故答案为：66．16.如图，一个边长为的正方形，现分别以正方形的两个顶点为圆心，长为半径，在正方形中画了两个圆，则图中阴影部分的面积是﹣．【考点】LE：正方形的性质；MO：扇形面积的计算．【专题】556：矩形菱形正方形；69：应用意识．【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形ABD+S扇形﹣S正方形ABCD进行计算．ACD【解答】解：如图，图中阴影部分的面积＝S扇形ABD+S扇形ACD﹣S正方形ABCD＝+﹣×＝﹣．故答案为﹣．三.解答题17.计算：（1）（﹣2.8）+（+1.9）（2）﹣3÷（﹣1）×（﹣4）（3）﹣24×（﹣）（4）﹣12018+0.125×（﹣2）3﹣4÷（﹣）3【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】511：实数．【分析】（1）直接利用加法法则计算可得；（2）除法转化为乘法，再约分即可得；（3）利用乘法分配律计算可得；（4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则．【解答】解：（1）原式═﹣（2.8﹣1.9）＝﹣0.9；（2）原式＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣10；（3）原式＝20﹣9+2＝13；（4）原式＝﹣1+×（﹣8）﹣4×＝﹣1﹣1﹣＝﹣．18.把下列各数填入相应的集合中：﹣3.14，，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3，3.010010001…正数集合{ ，0.618，+3，3.010010001…}分数集合{ ﹣3.14，﹣，0.618，﹣}有理数集合{ ﹣3.14，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3 }【考点】12：有理数．【专题】511：实数．【分析】本题需先根据正数、分数、有理数的定义即可把各数填入相应的集合中．【解答】解：正数集合{，0.618，+3，3.010010001…}分数集合{﹣3.14，﹣，0.618，﹣}有理数集合{﹣3.14，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3}故答案为：{，0.618，+3，3.010010001…}；{﹣3.14，﹣，0.618，﹣}；{﹣3.14，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3}．19.因强冷空气南下，预计某地平均每小时降温1.6℃．若上午10时测得气温为7℃，那么下午3时该地的气温是多少？【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】11：计算题；511：实数；66：运算能力．【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：7﹣（15﹣10）×1.6＝7﹣8＝﹣1，则下午3时该地的气温是﹣1℃．20.用四个2可以组成这样的数：①2222，②2222，③，④，⑤2222，⑥2222（1）其中最大的数是⑤，（写序号）最小的数是①（写序号）；（2）用四个1组成一个数，最大的数是1111．【考点】18：有理数大小比较．【专题】11：计算题；511：实数；66：运算能力；67：推理能力．【分析】（1）分别利用底数相同时比较指数，指数相同时比较底数，以及估算，逐项比较大小即可；（2）根据（1）的推理过程及结论，再结合底数为1和1次方的特点，可得答案．【解答】解：（1）∵28＝256＞222，212＝4096＞2222∴③＞②＞①，④＞②＞①∵222＞222∴③＞④＞②＞①∵2222＞2222＞2222∴③＞④＞②＞⑥＞①∵＝422＜2222∴⑤＞③∴⑤＞③＞④＞②＞⑥＞①故答案为：⑤；①．（2）用四个1组成一个数，由于底数为1的次方数均为1，故最大值不可能是底数为1的；由于任何数的1次方均等于这个数，再由（1）的推理及结论可知，最大的数为1111．故答案为：1111．21.某出租车沿着一条东西方向的公路行驶，出发点为点A．向东记为正，从出发到停止所走的路线如下：（单位：千米）+8，﹣9，+4，+7，﹣2，﹣10，+18，﹣3，+7，+5（1）停止时该出租车在什么位置？（2）若该出租车每千米耗油0.12升，从出发到停止共耗油多少升？【考点】11：正数和负数．【专题】511：实数．【分析】（1）向东为正，向西为负，依题意列式求出和即可；（2）要求耗油量，需求他共走了多少路程，这与方向无关．【解答】解：（1）8﹣9+4+7﹣2﹣10+18﹣3+7+5＝25（千米）．答：停止时在点A的东边，离出发点A25千米；（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|+7|+|﹣2|+|﹣10|+|+18|+|﹣3|+|+7|+|+5|＝73，0.12×73＝8.76（升）．答：从出发到停止共耗油8.76升．22.（1）在计算﹣3+2时，我们将它写成﹣3+2＝﹣（3﹣2），这是用了有理数加法法则中的一条：异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值（请将这一条法则填写完）；这样，异号两数相加便转化成了减法，这样的思想便称为“转化”（2）以下语句中也含有转化的思想的是：①②（直接填写序号）①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；③乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c．【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】511：实数．【分析】（1）根据加法法则求解可得；（2）根据减法法则和除法法则及分配律逐一判断可得．【解答】解：（1）在计算﹣3+2时，我们将它写成﹣3+2＝﹣（3﹣2），这是用了有理数加法法则中的一条：异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；这样，异号两数相加便转化成了减法，这样的思想便称为“转化”；故答案为：取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；（2）以下语句中也含有转化的思想的是：①②，①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；③乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c．故答案为：①②．23.已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+a×b﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2．（1）求（﹣2）#（﹣3）的值；（2）若（﹣3）#m＝10，请直接写出m的值．【考点】1G：有理数的混合运算．【专题】11：计算题；23：新定义；66：运算能力．【分析】（1）根据#的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出（﹣2）#（﹣3）的值是多少即可．（2）根据#的含义，得到方程9﹣3m﹣5＝10，解方程即可求出m的值．【解答】解：（1）（﹣2）#（﹣3）＝（﹣2）2+（﹣2）×（﹣3）﹣5＝4+6﹣5＝5；（2）∵（﹣3）#m＝10，∴9﹣3m﹣5＝10，解得m＝﹣2．故m的值是﹣2．24.正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为 5 ；（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；（3）上题（2）中的面积最大的格点正方形边长为无理数（填有理数或无理数）．【考点】26：无理数；KQ：勾股定理；N4：作图—应用与设计作图．【专题】13：作图题．【分析】（1）利用分割法求出三角形的面积即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．（3）利用勾股定理求出正方形的边长即可判断．【解答】解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×2＝5，故答案为5．（2）面积最大的正方形ABCD如图所示．（3）正方形的边长＝＝，是无理数，故答案为无理数．25.将一些数排列成下表中的四列：第1列第2列第3列第4列第1行 1 4 5 10第2行 4 8 10 12第3行9 12 15 14 ……………（1）第4行第1列的数是多少？直接写出答案；（2）第17行的四个数之和是多少？请写出适当的过程；（3）数100所在的行和列分别是多少？直接写出答案．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】2A：规律型；67：推理能力．【分析】（1）观察可知，第1列的数从上往下依次为12，22，32，…，可得第4行第1列的数；（2）第1列的数的数为172，第2列的数为4×17，第3列的数为5×17，第4列为10+2（17﹣1），相加即可得到结论；（3）第3列的数从上往下依次为5×1，5×2，5×3，…；第4列的数从上往下依次为5×2，6×2，7×2，…，根据各列的变化规律可得100所在的行和列．【解答】解：（1）第4行第1列的数是42＝16；（2）∵第17行第1列的数的数为172，第17行第2列的数为4×17，第17行第3列的数为5×17，第17行第4列为10+2（17﹣1），∴第17行的四个数之和是172+4×17+5×17+10+2（17﹣1）＝484；（3）∵100＝102，∴数100在第10行第1列；∵100＝4×25，∴数100在第25行第2列；∵100＝5×20，∴数100在第20行第3列；∵100＝50×2＝（46+4）×2，∴数100在第46行第4列．综上所述，数100在第10行第1列，第25行第2列，第20行第3列，第46行第4列．26.如图，数轴上有A、B、C三点，点A和点B所表示的数分别为﹣3和+，点C到点A、点B的距离相等．（1）点C表示的数为﹣；（2）若数轴上有一点P，若满足PA+PB＝10，求点P表示的数；（3）若数轴上有一点Q．若满足QA+QB﹣QC＝，求点Q表示的数．【考点】13：数轴．【专题】511：实数．【分析】（1）先根据数轴上两点的距离＝较大的数﹣较小的数计算AB的长，由点C到点A、点B的距离相等，可得结论；（2）设点P表示的数是x，分两种情况：根据PA+PB＝10列方程可得结论；（3）设点Q表示的数为y，分四种情况：根据QA+QB﹣QC＝列方程可得结论．【解答】解：（1）∵点A和点B所表示的数分别为﹣3和+，∴AB＝﹣（﹣3）＝5.5，∵AC＝BC，∴点C表示的数为﹣＝﹣，故答案为：﹣；（2）设点P表示的数是x，∵PA+PB＝10，分两种情况：①P在A的左边时，﹣x+（﹣3）﹣x＝10，x＝﹣②P在B的右边时，x﹣+x﹣（﹣3）＝10，x＝∴点P表示的数是﹣或；（3）设点Q表示的数为y，分四种情况：①当Q在点A的左边时，如图1，∵QA+QB﹣QC＝，∴QA+BC＝，即﹣3﹣y+＝，y＝﹣∴点Q表示的数是﹣；②当Q在点B的右边时，如图2，∵QA+QB﹣QC＝，∴QB+AC＝，即y﹣+＝，y＝∴点Q表示的数是；③当Q在点A和点C之间时，如图3，∵QA+QB﹣QC＝，∴AB﹣QC＝，即5.5﹣（﹣﹣y）＝，y＝﹣∴点Q表示的数是﹣；④当Q在点B和点C之间时，如图4，∵QA+QB﹣QC＝，∴AB﹣QC＝，即5.5﹣（y+）＝，y＝，∴点Q表示的数是；综上，点Q表示的数是﹣或或﹣或．。

2017-2018学年江苏省南京师大附中新城中学黄山路分校九年级(下)第一次调研数学试卷解析版

2017-2018学年江苏省南京师大附中新城中学黄山路分校九年级（下）第一次调研数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，）1．（2分）16的算术平方根是（）A．4B．±4C．8D．±82．（2分）计算a2•a4÷（﹣a2）2的结果是（）A．a B．a2C．﹣a2D．a33．（2分）无理数a满足：2＜a＜3，那么a可能是（）A．B．C．2.5D．4．（2分）在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）A．70，80B．70，90C．80，90D．90，1005．（2分）在二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表：则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①④⑤6．（2分）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD＝DE＝CE，∠DEC ＝90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．45°二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，）7．（2分）﹣5的倒数是．8．（2分）红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为．9．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：9a2﹣81＝．11．（2分）计算﹣的结果是．12．（2分）已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，以BC所在直线为轴将此三角形旋转一周所得圆锥的侧面积是．13．（2分）如图，反比例函数y＝的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为．14．（2分）如图，⊙O的直径为5，弦AB长为4，点P在AB上运动，则OP的最小值是．15．（2分）在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有个．16．（2分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝12，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．18．（5分）化简：（1+）÷．19．（8分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A ＝∠D，AF＝DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．20．（7分）光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．21．（7分）“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的共享单车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次共享单车？”，将本次调查结果归为四种情况：A，每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如图两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有40万市民，请估算每天都用公共自行车的布民约有多少人？22．（8分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为个．（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？23．（8分）如图一平地，在建筑物AB的顶部测得铁塔CD底部的俯角为37°，测得其顶部的仰角为26.6°，已知铁塔CD的高80m．求建筑物AB的高度．（参考数据：sin26.6°＝0.45，tan26.6°＝0.50，sin37°＝0.60，tan37°＝0.75）24．（8分）已知二次函数y＝x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．25．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE＝5，求∠ADE的正弦值．26．（10分）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x＝小时，货车和轿车相距30千米．27．（11分）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AB＝12，AM＝3，求BN的长．（2）如图②，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝BC，DF＝CD，AE、AF分别交BD于点M、N．求证：M、N是线段BD的勾股分割点．（3）如图3，点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△ABC、△MND分别是以AB、MN 为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN＝4，连接CD，则CD＝．2017-2018学年江苏省南京师大附中新城中学黄山路分校九年级（下）第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，）1．（2分）16的算术平方根是（）A．4B．±4C．8D．±8【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，直接利用此定义即可解决问题．【解答】解：∵4的平方是16，∴16的算术平方根是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题要注意平方根、算术平方根的联系和区别．2．（2分）计算a2•a4÷（﹣a2）2的结果是（）A．a B．a2C．﹣a2D．a3【分析】首先根据同底数幂的乘法法则，求出a2•a4的值是多少；然后根据幂的乘方的运算方法，求出（﹣a2）2的值是多少；最后用a2•a4的值除以（﹣a2）2的值即可．【解答】解：a2•a4÷（﹣a2）2＝a6÷a4＝a2故选：B．【点评】（1）此题还考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n＝a mn（m，n是正整数）；②（ab）n＝a n b n（n是正整数）．3．（2分）无理数a满足：2＜a＜3，那么a可能是（）A．B．C．2.5D．【分析】在A，B，C，D中无理数为A，D，再估算，的范围，即可解答．【解答】解：∵，，∴无理数a可能是，故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算，的范围．4．（2分）在某校初三年级古诗词比赛中，初三（1）班42名学生的成绩统计如下，则该班学生成绩的中位数和众数分别是（）A．70，80B．70，90C．80，90D．90，100【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（80+80）÷2＝80，则该班学生成绩的中位数是80；90出现了14次，出现的次数最多，则众数是90；故选：C．【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．（2分）在二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表：则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象经过点（﹣1，3）；④当x＞0时，y随x的增大而增大；⑤方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①④⑤【分析】结合图表可以得出当x＝0或2时，y＝0，x＝3时，y＝3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而得出抛物线的性质．【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝0，x＝3时，y＝3，∴解得：∴y＝x2﹣2x，∵c＝0，∴图象经过原点，故①正确；∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，故②错误；把x＝﹣1代入得，y＝3，∴图象经过点（﹣1，3），故③正确；∵抛物线的对称轴是x＝1，∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点（0，0）、（2，0）∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故⑤正确；故选：B．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．6．（2分）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD＝DE＝CE，∠DEC ＝90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．45°【分析】先证明AD＝DE＝CE＝BC，得出∠DAE＝∠AED，∠CBE＝∠CEB，∠EDC＝∠ECD＝45°，设∠DAE＝∠AED＝x，∠CBE＝∠CEB＝y，求出∠ADC＝225°﹣2x，∠BAD＝2x﹣45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y＝135°，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD+∠ADC＝180°，∵AD＝DE＝CE，∴AD＝DE＝CE＝BC，∴∠DAE＝∠AED，∠CBE＝∠CEB，∵∠DEC＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，设∠DAE＝∠AED＝x，∠CBE＝∠CEB＝y，∴∠ADE＝180°﹣2x，∠BCE＝180°﹣2y，∴∠ADC＝180°﹣2x+45°＝225°﹣2x，∠BCD＝225°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣（225°﹣2x）＝2x﹣45°，∴2x﹣45°＝225°﹣2y，∴x+y＝135°，∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，）7．（2分）﹣5的倒数是．【分析】根据倒数的定义可直接解答．【解答】解：因为﹣5×（）＝1，所以﹣5的倒数是．【点评】本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．8．（2分）红细胞是人体中血液运输氧气的主要媒介，人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6故答案为：7.7×10﹣6．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．（2分）若式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答案是：x≥﹣2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．10．（2分）分解因式：9a2﹣81＝9（a+3）（a﹣3）．【分析】首先提取公因式9，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：原式＝9（a2﹣9）＝9（a+3）（a﹣3）．故答案为：9（a+3）（a﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，正确把握分解因式的步骤是解题关键．11．（2分）计算﹣的结果是﹣．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式＝﹣2＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12．（2分）已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，以BC所在直线为轴将此三角形旋转一周所得圆锥的侧面积是156π．【分析】首先确定圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用侧面积计算公式直接求得圆锥的侧面积即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴BC＝5，以BC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长＝24π，侧面积＝×24π×13＝156π，故答案为：156π．【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．（2分）如图，反比例函数y＝的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y＝的图象经过点D，则k的值为1．【分析】根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（，），从而得出过点D的反比例函数的解析式．【解答】解：设点A坐标（x，），∵反比例函数y＝的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点，∴D（，），∴过点D的反比例函数的解析式为y＝∴k的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据题意得出D点坐标是解答此题的关键．14．（2分）如图，⊙O的直径为5，弦AB长为4，点P在AB上运动，则OP的最小值是 1.5．【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．【解答】解：当OP⊥AB时，OP的值最小，则AP′＝BP′＝AB＝2，如图所示，连接OA，在Rt△OAP′中，AP′＝2，OA＝2.5，则根据勾股定理知OP′＝1.5，即OP的最小值为1.5．故答案为：1.5【点评】本题主要考查了勾股定理、垂径定理．注意两点之间，垂线段最短是解答此题的关键．15．（2分）在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M有3个．【分析】利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形进而得出答案．【解答】解：如图所示：当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，当AB平行且等于N′M′时，四边形ABN′M′是平行四边形．当AB为对角线时，四边形ABN′M′是平行四边形．故符合题意的有3个点．故答案为：3．【点评】此题考查了平行四边形的判定，结合AB的长分别确定M，N的位置是解决问题的关键．16．（2分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝12，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边AB，AD有交点，则BP的取值范围是12﹣4≤BP≤8．【分析】此题需要运用极端原理求解：①BP最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF＝PF，在Rt △PFC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得BP的值，即BP的最小值；②BP最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝8，即BP的最大值为8；根据上述两种情况即可得到BP 的取值范围．【解答】解：①当F、D重合时，BP的值最小，如图1所示：根据折叠的性质知：AF＝PF＝12；在Rt△PFC中，PF＝12，FC＝8，由勾股定理得：PC＝＝4；∴BP＝12﹣4；②当E、B重合时，BP的值最大，如图2所示：根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝8，即BP的最大值为8；故答案为：12﹣4≤BP≤8．【点评】此题主要考查的是翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及最值问题，熟练掌握翻折变换的性质，正确判断出两种极值下F、E点的位置是解决此题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式＝4+1+﹣1＝4+；（2），①×2+②，得5x＝5，即x＝1，将x＝1代入①，得y＝﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（5分）化简：（1+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•＝﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（8分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A ＝∠D，AF＝DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．【分析】（1）由AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC＝EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，所以连接BE，交CF 与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．【解答】（1）证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形．（2）解：连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴＝，即＝，∴CG＝，∵FG＝CG，∴FC＝2CG＝，∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝，∴当AF＝时，四边形BCEF是菱形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．20．（7分）光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．【分析】（1）根据检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力可以利用树状图得出所有可能即可求出；（2）根据图表求出即可．【解答】解：∵甲、乙、丙的检测情况，由如下8种可能：∴（1）P（甲、乙、丙在同一处检测）＝＝；（2）P（至少有两人在B处检测）＝＝．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．21．（7分）“低碳环保，你我同行”，两年来，南京市区的共享单车给市民出行带来切实方便，电视台记者在某区街头随机选取了市民进行调查，调查的问题是“您大概多久使用一次共享单车？”，将本次调查结果归为四种情况：A，每天都用；B．经常使用；C．偶尔使用；D．从未使用．将这次调查情况整理并绘制如图两幅统计图：根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次活动共有200位市民参与调查；（2）补全条形统计图；（3）根据统计结果，若该区有40万市民，请估算每天都用公共自行车的布民约有多少人？【分析】（1）由D情况的人数及其所占百分比可得总人数；（2）用总人数乘以B、C对应百分比求得其人数，再根据各情况的人数之和等于总人数求得A的人数，从而补全条形图；（3）用总人数乘以样本中A情况人数所对应的比例即可得．【解答】解：（1）本次调查的总人数为30÷15%＝200（人），故答案为：200；（2）B情况对应人数为200×28%＝56（人）C情况对应的人数为200×52%＝104（人），∴A情况的人数为200﹣（56+104+30）＝10（人），补全图形如下：（3）估算每天都用公共自行车的布民约有40×＝2（万人）．【点评】本题考查条形统计图和扇形统计图的有关知识，学会用样本估计总体的统计思想，解题的关键是记住百分比、圆心角的计算方法，属于中考常考题型．22．（8分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．（1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为200+50x个．（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？【分析】（1）设该商店第二周降低x元销售（0≤x≤4），则销售数量为200+50x；（2）先求出清仓处理的件数，由总利润＝单件利润×销售数量，可求出清仓处理的利润，再将第一周、二周、清仓处理的利润相加，即可得出该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润，令其等于1250，即可得出关于x的一元二次方程，解得即可求出x的值，再将其代入10﹣x中即可．【解答】解：（1）设该商店第二周降低x元销售（0≤x≤4），则销售数量为200+50x，故答案为：200+50x．（2）∵清仓处理的单价为4元/个，处理的数量为600﹣200﹣（200+50x）＝200﹣50x个，∴清仓处理利润为（4﹣6）（200﹣50x）＝100x﹣400元，∴该商店对剩余纪念品清仓处理后的利润为（10﹣6）×200+（﹣50x2+800）+（100x﹣400）＝﹣50x2+100x+1200元．﹣50x2+100x+1200＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣x＝9．答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（I）（1）根据总利润＝单件利润×销售数量，列出代数式；（2）将第一周、二周、清仓处理的利润相加；（II）找准等量关系，列出关于x的一元二次方程．23．（8分）如图一平地，在建筑物AB的顶部测得铁塔CD底部的俯角为37°，测得其顶部的仰角为26.6°，已知铁塔CD的高80m．求建筑物AB的高度．（参考数据：sin26.6°＝0.45，tan26.6°＝0.50，sin37°＝0.60，tan37°＝0.75）【分析】作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，求出CE和DE的长即可．【解答】解：作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△AEC中，；在Rt△AED中，；∵CE＝CD﹣DE，即，解得：DE＝48米，∴AB＝DE＝48米．答：建筑物AB的高度为48米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，转化为解直角三角形问题是解题的关键．24．（8分）已知二次函数y＝x2﹣ax﹣2a2（a为常数，且a≠0）．（1）证明该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）若该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），试求该函数图象的顶点坐标．【分析】（1）令y＝0可求得方程的两个根一正一负，可证得结论；（2）把（0，﹣2）代入抛物线的解析可求得a的值，进一步可求得其顶点坐标．【解答】（1）证明：y＝x2﹣ax﹣2a2＝（x+a）（x﹣2a），令y＝0，则x1＝﹣a，x2＝2a，∵a≠0，x1、x2的值必为一正一负，∴该二次函数的图象与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；（2）解：由题意，得﹣2a2＝﹣2，所以a＝1或﹣1．当a＝1时，y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，顶点坐标为（，﹣），当a＝﹣1时，y＝x2+x﹣2＝（x+）2﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），该函数图象的顶点坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查二次函数与x轴的交点和顶点坐标，掌握二次函数与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的两根是解题的关键．25．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°，（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AE＝5，求∠ADE的正弦值．【分析】（1）相切．连接OD，证OD⊥CD即可．根据圆周角定理，∠AOD＝90°，又AB∥CD，可得∠ODC＝90°，得证；（2）连接BE，则∠AEB＝90°，∠ADE＝∠ABE．在△ABE中根据三角函数定义求解．【解答】解：（1）CD与⊙O相切．理由是：连接OD．则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO＝∠AOD＝90°．∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE＝∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6（cm）．在Rt△ABE中，sin∠ABE＝＝，∴sin∠ADE＝sin∠ABE＝．【点评】本题考查切线的判定、平行四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图象解答下列问题：（1）求线段CD对应的函数表达式；（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义；（3）若已知轿车比货车晚出发20分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x＝小时，货车和轿车相距30千米．【分析】（1）设线段CD对应的函数解析式为y＝kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）根据两图象相交的交点指的是两车相遇解答即可．（3）先由货车和轿车相距30千米列出方程解答即可．【解答】解：（1）设线段CD对应的函数解析式为y＝kx+b，可得：，解得：．所以线段CD对应的函数表达式为：y＝120x﹣140（2≤x≤4.5）；（2）由图象可得：直线OA的解析式为：y＝80x，根据两图象相交的交点指的是两车相遇，可得：80x＝120x﹣140，解得：x＝3.5，把x＝3.5代入y＝80x，得：y＝280；所以E点的坐标为（3.5，280），即表示当货车出发3.5小时时货车和轿车相遇；（3）设货车出发xh后，可得：120x﹣140﹣30＝80x，解得：x＝4.25．故答案为：4.25．由题意知，B（，0），∴BC段解析式为y＝60x﹣20（≤x≤2），货车与轿车相距30km有四种情况：1）当≤x≤2时，80x﹣（60x﹣20）＝30，解得x＝；2）当2＜x≤时，80x﹣（120x﹣140）＝30，解得x＝；3）当＜x≤时，120x﹣140﹣80x＝30，解得x＝；4）当＜x≤5时，400﹣80x＝30，解得x＝；∴x＝．【点评】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．27．（11分）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AB＝12，AM＝3，求BN的长．（2）如图②，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝BC，DF＝CD，AE、AF分别交BD于点M、N．求证：M、N是线段BD的勾股分割点．（3）如图3，点M、N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△ABC、△MND分别是以AB、MN为斜边的等腰直角三角形，且点C与点D在AB的同侧，若MN＝4，连接CD，则CD＝2．【分析】（1）分两种情况讨论：当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．（2）利用菱形ABCD，证明△AMD∽△EMB，得到＝．BM＝BD，同理DN＝BD，再求出MN＝BD．由BM2+DN2＝（BD）2+（BD）2＝BD2＝（BD）2＝MN2．即可解答；（3）连接CM、CN，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得△CBF，将△CDM绕点C逆时针旋转90°得△CFE只要证明四边形EFDN是平行四边形以及MN＝NF就可以了．【解答】解：（1）∵AB＝12，AM＝3，∴BM＝9，设BN＝x，由题意得32+x2＝（9﹣x）2，∴x＝4．或32+（9﹣x）2＝x2，∴x＝5．答：BN的长为4或5．（2）∵菱形ABCD，∴AB＝BC＝CD＝DA，BC∥DA．∴△AMD∽△EMB．∴＝．∵BE＝BC，∴DM＝2BM，∴BM＝BD．同理DN＝BD．。

2017-2018学年江苏省南京市师范大学附属中学树人学校八年级下学期第一次校内调研测试数学试题(无答案)

2017-2018学年第二学期初二第一次校内调研测试数学试卷注意事项：1.考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效。

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试号是否与本人相符,再将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

3.选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑:如需改动,请用橡皮擦干净后,再选择其它答案。

非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置,在其他位置答题一律无效。

非选择题部分如果写错答案,需要修改,请用黑色水笔杠去写错部分,在题目空余位置重新作答，不可以使用修正液、修正带、透明胶带、橡皮等修改错误。

4.作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上)1.下列图案中是中心对称图形的是( )2.下列说法正确的是( )A.“打开电视机,正在播动物世界”是必然事件B.在一只不透明盒子里装有黑、白两种球(两种球除颜色外完全一样)共40个,小明做了50次试验，摸到黑球的频率是0.6,所以盒子里有24个黑球C.投掷一枚质地均匀的硬币1000次,正面朝上的次数一定是500次D.从一副去掉大、小王的扑克牌中随意抽5张,至少有2张花色相同3.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形,则该四边形一定是( )A.对角线相等的四边形B.等腰梯形C.菱形D.对角线互相垂直的四边形4.如图,矩形AB、CD的对角线相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长为( )A.4B.8C.6D.105.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△ABC,使得点A恰好落在AB上,则旋转角度为( )A.30°B.90°C.60°D.150°6.如图,矩形ABCD中,∠CAB=30°,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、点H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( )A.338B.334C.5D.8二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题纸相应位置上)7.小亮和其他两个同学站成一排,小亮“站在中间”这个事件是_____事件;小亮“站在中间”的可能性_______“站在两端”的可能性.(填“大于”、“小于”、“等于”)8.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,请再添加一个条件,使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是_________(写出一种即可)9.如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,交DC边于点E,已知AB=9,DE=2,则平行四边形ABCD的周长为________.10.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,若AB=OB=4,则AD=_______.11.在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球,其中有9个白球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到白球的频率稳定在45%,由此估计口袋中共有球________个.12.如图,两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD是________形.13.如图菱形ABCD中,∠BAD=70°,AB的垂直平分线交AC于F,则∠CDF=_____.14.如图图所示，边长为5的正方形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线EF分别交AD、BC于点E和点F,则阴影部分的面积是_______.15.如图在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周周长为118,则OF的长为________.16.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E为线段AB的中点,点P在线段BD上,且PE+PA=3,那么边长AB的最大值为_________.三、解答题(本大题共8小题,共68分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(6分)某质检员从一大批种子中抽取若干批,在相同条件下进行发芽试验,有关数据如下:(1)填写表中的数据:A=_______；(精确到0.01)(2)这种种子发芽的概率估计值是多少?请你简要说明理由.(精确到0.01)18.(6分)如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-6,0),C(-1,0).(1)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转180°,所得到的△'BA；'C'(2)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标_______.19.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且AE=CF,EF,BD相交于点O,求证:OE=OF.20.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE；(2)平行四边形ABCD是矩形。

江苏省南京师范大学附属中学2018届高三数学模拟考试试题

2018 届高三模拟考试一试卷数学( 满分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 2018 ． 5参照公式：锥体的体积公式：V＝13Sh，此中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高．一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分．1. 已知会合 A＝{0 ，1，2，3} ，B＝{x|x 2－ x－2＜0} ，则 A∩B＝________.2. 若复数 z ＝1－i ，则 z＋1z的虚部是 ________ ．3. 某企业生产甲、乙、丙三种不一样型号的轿车，产量分别为 1 400 辆、 5 600 辆、 2 000 辆．为查验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取 45 辆进行查验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________ 件．x－1≤0，x＋y＋1≥0， 4. 设变量 x ，y 知足拘束条件则目标函数 z＝－ 2x ＋y 的最大值是 ________ ．x－y＋3≥０5. 小明随机播放 A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则 A，B 两首歌曲起码有一首被播放的概率是________ ．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ________ ．( 第 6 题 )( 第 7 题 )7. 如图，直三棱柱 ABC－ A1B1C1 的各条棱长均为 2，D为棱 B1C1 上随意一点，则三棱锥 D－A1BC的体积是 ________ ．- 1 -8. 已知双曲线2 x 2－ a 2 y2＝1(a ＞0，b ＞0) 的一条渐近线方程是 y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线 y b2＝20x 的焦点同样，则双曲线的方程是 ________________ ．9. 若直线 y ＝2x ＋b 是曲线 y ＝ ex－ 2 的切线，则实数 b＝________. 10. “a ＝1”是“函数 f(x) ＝ x ＋ 1 2 ＋sin x － a x为奇函数”的 ________ 条件． ( 选填“充足不用要”“必需不充足”“充要”或“既不充足也不用要”）11. 在数列 {a n } 中，若 a 4＝1，a 12＝5，且随意连续三项的和都是 15，则 a 2 018 ＝________.12. 已知直线 x － y ＋b ＝0 与圆 x→ →2 2| ≥＋ y ＝9 交于不一样的两点 A ，B. 若 O 是坐标原点，且 |OA ＋ OB2 2 → |AB| ，则实数 b 的取值范围是 ________________ ．→ → → → → →13. 在△ ABC 中，已知 AB·A C ＋2BA ·B C ＝ 3CA ·CB ，则 cos C 的最小值是 ________ ．14. 已知函数 f(x) ＝ x 3 －3x25 2x－x ＋，x>0 ，4＋1， g(x) ＝若方程 g(f(x)) －a ＝0(a ＞0) 有 6 个实数根 ( 互2－x －6x －8，x ≤ 0.不同样 ) ，则实数 a 的取值范围是 ________ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. ( 本小题满分 14 分 )已知 A ，B ，C 是△ ABC 的三个内角，向量 m ＝( －1， 3) ，n ＝(cos A ，sin A) ，且 m ·n ＝1. (1) 求 A 的值；(2)若 1＋sin 2B 2 cos B －sin＝－ 3，求 tan C 的值．2B16. ( 本小题满分 14 分 )如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是矩形，点 E在棱 PC 上( 异于点 P，C) ，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.(1) 求证： A B∥E F；(2) 若 A F⊥E F，求证：平面 PAD⊥平面 ABCD.- 2 -17. ( 本小题满分 14 分 )如图， A，B， C三个警亭有直道相通，已知 A在 B 的正北方向 6 千米处， C在 B 的正东方向 6 3千米处．(1) 警察甲从 C出发，沿 CA行至点 P 处，此时∠ CBP＝ 45°，求 PB 的距离；(2) 警察甲从 C出发沿 CA前去 A，警察乙从 A 出发沿 AB 前去 B，两人同时出发，甲的速度为 3 千米 / 小时，乙的速度为 6 千米 / 小时．两人经过专用对讲机保持联系，乙抵达 B 后原地等候，直到甲抵达 A 时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超出 9 千米，试求两人经过对讲机能保持联系的总时长．18. ( 本小题满分 16 分 )如图，已知椭圆C：2x2＋ayb22＝1(a ＞b＞ 0) 的左、右焦点分别为 F1，F2，若椭圆 C 经过点 (0 ，3) ，离心率为12，直线 l 过点 F2 与椭圆 C交于 A，B 两点．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若点 N 为△Ｆ1 AF2 的心里 ( 三角形三条内角均分线的交点 ) ，求△Ｆ1N F2 与△Ｆ1AF2 面积的比值；(3) 设点 A，F2，B 在直线 x＝4 上的射影挨次为点 D，G, E ．连接 A E，BD，试问：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 能否订交于定点 T？假如，恳求出定点 T 的坐标；若不是，请说明原因．- 3 -19. ( 本小题满分 16 分 )已知函数 f(x) ＝ln x －ax ＋a，a∈R.(1) 若 a＝1，求函数 f(x) 的极值；(2) 若函数 f(x) 有两个零点，求 a 的取值范围；(3) 关于曲线 y＝ f(x) 上的两个不一样的点 P(x 1，f(x 1)) ，Q(x2 ，f(x 2)) ，记直线 PQ的斜率为k，若 y＝f(x) 的导函数为 f ′(x) ，证明：f ′x1＋ x22 ＜k.20. ( 本小题满分 16 分 )已知等差数列 {a n } 和等比数列 {b n} 均不是常数列，若 a1 ＝b1 ＝1，且 a1， 2a2 ，4a4 成等比数列，4b2，2b3，b4 成等差数列．(1) 求{a n} 和{b n} 的通项公式；(2) 设 m，n 是正整数，若存在正整数 i ， j ，k(i ＜j ＜k) ，使得 a m b j ， a m a n b i ，a n b k 成等差数列，求 m＋n 的最小值；(3) 令 c n ＝a nb n，记 {c n} 的前 n 项和为 T n，1a n*的前 n 项和为 A n. 若数列 {p n} 知足 p1 ＝c1 ，且对 ? n≥2，n∈ N，都有 p n ＝T n－1＋A n c n，设 {p n } 的前 n 项和为 S n，求证：S n＜ 4＋4ln n.n- 4 -2018 届高三模拟考试一试卷 ( 十九 )数学附带题 ( 满分 40 分，考试时间 30 分钟 )21. 【选做题】在 A，B， C，D 四小题中只好选做 2 题，每题 10 分，共 20 分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．A. ( 选修 41：几何证明选讲 )在△ ABC 中，已知A C＝12A B，CM是∠ ACB 的均分线，△ AMC的外接圆交 BC边于点 N，求证： BN＝2AM.B. ( 选修 42：矩阵与变换 )1 2已知矩阵M＝的一个特点值为 3，求M的另一个特点值．2 xC. ( 选修 44：坐标系与参数方程 )在极坐标系中，已知圆 C：ρ＝2 2cos θ和直线l ：θ＝π4( ρ∈R) 订交于 A，B 两点，求线段AB 的长．D. ( 选修 45：不等式选讲 )已知 a＞0，b＞0，a＋b＝ 1，1＋4 9求证：2a＋1≥2b＋ 1.4- 5 -【必做题】第 22， 23题，每题10 分，共 20 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1， P2 ，⋯， P6为单位圆上逆时针平均散布的六个点．现任选此中三个不一样点组成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量 S.(1) 求 S ＝ 3的概率；2(2) 求 S 的散布列及数学希望 E(S) ．23.设会合 A， B 是非空会合 M的两个不一样子集．(1) 若 M＝ {a 1， a2 } ，且 A 是 B 的子集，求全部有序会合对(A ， B) 的个数；(2) 若 M＝ {a 1， a2 ， a3 ，⋯， a n }，且 A 的元素个数比 B 的元素个数少，求全部有序会合对(A ，B) 的个数．- 6 -2018 届高三模拟考试一试卷数学参照答案及评分标准1. {0 ，1}2. －123.104.55.7106.47.2338.2x－52y20＝1 9. －2ln 2 10. 充足不用要 11.9 12. ( －3 2，－ 6] ∪［ 6 ，3 2) 13.2314.1，5415. 解： (1) 因为m·n＝1，所以 ( －1， 3) ·（cos A ，sin A) ＝1，即 3sin A －cos A ＝1，(2 分 )则 2 sin A ·32 －cosA ·12＝1，即sin A－π6＝12.(4 分 )又0<A<π，所以－π6<A－π65π<6，故A－π6＝π6，所以A＝π3.(6 分 )(2) 由题知1＋2sin Bcos B2 2cos B－ sin B＝－ 3，整理得 sin 2 B－ sinBcos B －2cos2B＝0.(8分 )又 cos B ≠0 ，所以 tan 2B－tan B －2＝0，解得 tan B ＝2 或 tan B ＝－ 1.(10 分 )又当 tan B ＝－1 时 cos 2B－sin2B＝0，不合题意舍去，所以 tan B ＝2.(12 分 )故 tan C ＝tan [ π－(A ＋ B)] ＝－ tan (A ＋B) ＝－tan A ＋tan B1－tan Atan B＝8＋5 3. (14分 )1116. 证明： (1) 因为四边形 ABCD是矩形，所以 AB∥CD. (2 分 )又 AB?平面 PDC，C D? 平面 PDC，所以 A B∥平面 PDC.(4 分 )因为 AB? 平面 ABE，平面 ABE∩平面 PDC＝E F，所以 AB∥EF. (7 分 )(2) 因为四边形 ABCD是矩形，所以 A B⊥AD. (8 分 )因为 A F⊥E F， A B∥E F，所以 A B⊥AF.(9 分 )又 AB⊥AD，点 E 在棱 PC上( 异于点 C) ，所以 F 点异于点 D，所以 A F∩AD＝ A. 又 A F，AD? 平面 PAD，所以 A B⊥平面 PAD.(12 分 )又 AB? 平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD. (14 分)17. 解： (1) 在△ ABC 中， AB＝6，∠ A＝60°，∠ APB＝75 °，由正弦定理，得AB＝sin ∠APBBPsinA，36 ×2即 BP＝＝2 6 ＋12 36＋ 2＝12 3（ 6－ 2）4＝3 3( 6－ 2) ，4故 PB的距离是 9 2－3 6千米 . (4 分 )(2) 甲从 C 到 A，需要 4 小时，乙从 A 到 B 需要 1 小时．设甲、乙之间的距离为 f(t) ，要保持通话则需要 f(t) ≤9.①当 0≤t ≤１时，- 7 -f(t) ＝（6t ）2 ＋（ 12－3t ）2－2·6t ·（ 12－3t ）cos 60 °＝ 3 7t2－16t ＋ 16≤9， (6 分 )即 7t 2 －16t ＋7≤0，解得 8－ 15 7 ≤t≤ 8＋ 15 7. 又 t ∈[0 ， 1] ，所以 8－ 157≤t ≤1，(8分 )故两人经过对讲机保持联系的时长为15－ 1小时 . 7 ② 当 1<t ≤４时，f(t) ＝ 36＋（ 12 －3t ） 2 －2·6（ 12－3t ）cos60 °＝ 3 t2 －6t ＋12≤9，(10 分 )即 t 2 －6t ＋3≤0，解得 3－ 6≤t ≤3＋ 6.又 t ∈(1 ， 4] ，所以 1<t ≤4， (12 分 ) 故两人经过对讲机保持联系的时长为 3 小时．由①②可知，两人经过对讲机能保持联系的总时长为 3＋15－ 1 7 ＝15＋207( 小时 ).答：两人经过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时 . (14 分) ( 注：不答扣 1 分 )18. 解： (1) 由题意知 b ＝ 3. 因为 c ＝ a 1 2 ，所以 b a ＝ 3，解得 a ＝2，2所以椭圆 C 的方程为2 x ＋ 42 y＝1. (4 分 )3 (2) 因为点 N 为△Ｆ1AF 2 的心里，所以点 N 为△Ｆ1AF 2 的内切圆的圆心，设该圆的半径为 r ，则 S △ F 1N F 2S △ F 1AF 2＝ 1 2F 1F 2· r＝ 1F 1F 2＝ AF 1＋AF 2＋F 1 F 2c＝ a ＋ c 13. (8分 )2（A F1＋AF2＋F1F2 ）·ｒ(3) 若直线 l 的斜率不存在时，四边形 ABED是矩形，此时 AE 与 BD 交于 F2G 的中点52， 0 .(9 分 )下边证明：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE与 BD订交于定点 T 52，0 .设直线 l 的方程为 y＝k(x －1) ，y＝k （x －1），联立 2 x＋42y＝1，3化简得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.因为直线 l 经过椭圆 C 内的点 (1 ，0) ，所以Δ＞0.设 A(x 1，y1) ，B(x 2，y 2) ，则 x 1＋x 2＝28k3＋4k2，x1x 2＝24k－122 . (11分)3＋4k由题意，得 D(4， y1) ，E(4 ，y2) ，则直线 AE 的方程为 y－y 2＝y2－y 14－x 1(x －4) ．- 8 -令 x ＝5，此时 y＝y2＋2y2－y14－x1×52－4＝2（x1－4）y2 ＋3（ y2－ y1 ）2（x1－4）＝2（ x1－4）k（x2－1）＋ 3k（x 2－x 1）2（x1－4）＝8k ＋2kx 1 x2－5k （x 2＋x1）2 （x1－4）＝8k ＋2k·24k－122 －5k·3＋4k2（x 1－4）28k3＋4k2＝2 28k （3＋4k）＋ 2k （4k － 12）－5k·8k22（x1－4）（ 3＋4k）2＝3 324k ＋32k＋8k －24k－40k22（x1－4）（ 3＋4k）3＝3340k－ 40k2（x 1－4）（ 3＋4k2）＝0，所以点T 52，0 在直线 AE 上．同理可证，点T 52，0 在直线 BD 上. (16 分 )所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD订交于定点 T 52，0 .19. (1) 解：f ′(x) ＝1x－a＝1－axx，x>0 ，当 a≤０时， f ′(x)>0 ，f(x) 在(0 ，＋∞ ) 上单一递加，无极值； (2 分 )当 a>0 时， x ∈ 0，1a， f ′(x)>0 ，f(x)在 0，1a上单一递加，x∈1，＋∞，f ′(x)<0 ，f(x) 在a1a，＋∞上单一递减．故函数有极大值f 1a ＝a－ln a －1，无极小值 .(4 分)(2) 解：由 (1) 可知当 a≤０时， f(x) 在(0 ，＋∞ ) 上单一递加，不行能有两个零点；当 a＞0 时，函数有极大值 f 1a＝a－ln a －1.令 g(x) ＝ x－ln x －1(x ＞ 0), 则g′(x) ＝ 1－1x＝x－1x.当 x∈(0 ， 1) ，g′(x)<0 ，g(x) 在 (0 ，1) 上单一递减；当 x∈(1 ，＋∞ ) ， g′(x)>0 ，g(x) 在(1 ，＋∞ ) 上单一递加，函数 g(x) 有最小值 g(1) ＝0.若要使函数 f(x) 有两个零点，一定知足 a>0 且 a≠1.(6 分 )下边证明 a>0 且 a≠１时，函数有两个零点．因为 f(1) ＝ 0，所以下边证明 f(x) 还有另一个零点．①当 0<a<1 时， f 1a＝ a－ln a －1>0，f12 ＝－ 2ln a＋a－a1a＝2－2aln a＋ aa－ 1＝－2aln a－ aa2＋1. 2令 h(a) ＝ 2aln a －a ＋1(0<a<1) ，则 h′(a) ＝ 2(ln a ＋1) －2a＝2(ln a －a＋1)<0 ，- 9 -h(a) 在(0 ，1) 上单一递减， h(a)>h(1) ＝0，则 f 12 <0，所以 f(x)在a1a，1a2 上有零点．又 f(x) 在1a，＋∞上单一递减，所以 f(x) 在1a，12 上有独一零点，进而f(x) 有两个零点．a②当 a>1 时， f 1a ＝a－ln a －1>0，f1a ＝－ a－a×e 1a ＋a＝－a×e1a<0.e易证e a>a，可得1 1a<，所以 f(x)在e a1a，e1a 上有零点．又 f(x) 在1a，＋∞上单一递减，所以 f(x) 在1ea，1a上有独一零点，进而 f(x) 有两个零点．综上， a 的取值范围是 (0 ，1) ∪(1 ，＋∞ ). (10 分 ) (3) 证明： f(x 1) －f(x 2) ＝ln x 1－ ln x 2＋a(x 2－ x1) ，k ＝f（x 1）－ f（x2）x1－x 2＝l n x 1－ln x 2＋a（x 2－x 1）x1－x 2＝l n x 1－ln x 2x 1－x 2－a.又f ′(x) ＝1x－a＝1－axx，f ′x1＋x 22＝2－a ，(12分 )x 1＋x 2所以f ′x1＋x22－k＝2－x1＋x2ln x 1－ lnx 2x1－ x2＝1x1－x22（x 1－x2）x 1＋x2－lnx1x 2＝1x1－x22x1x2－1x1x2＋1－lnx1x2.不如设 0＜ x 2＜x1, t ＝x 1x 2，则 t ＞1，则2x 1 －1x 2 x 1x 2 ＋ 1－ln x 1 x 2 ＝ 2（t －1） t ＋ 1－lnt.令 h(t)＝2（t －1）t ＋1 －ln t(t>1) ，则h ′(t) ＝－2（t －1）（ 1＋t ）2t<0，所以 h(t) 在(1 ，＋∞ ) 上单一递减，所以 h(t) ＜h(1) ＝0. 又 0＜x 2 ＜x 1，所以 x 1－x 2＞ 0，所以 f ′x 1＋x 2 2－k ＜0，即 f ′x 1＋x 22 ＜k. (16 分 )20. 解： (1) 设等差数列的公差为 d(d ≠0) ，等比数列的公比为 q(q ≠1) ，由题意，得22＝4a 1a 4，4a? 4b 3 ＝4b 2＋b 42＝a 1（a 1＋3d ），（a 1＋d ）4b q12 3＝4b 1q ＋b 1q，解得 d ＝1，q ＝2，(4 分)n － 1所以 a n ＝n ，b n ＝2 .i －1(2) 由 a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有 2a m a n b i ＝ a m b j ＋ a n b k ，即 2mn · ２j －1＝m · ２＋n · 2k －1. - 10 -因为 i<j<k ，且为正整数，所以 j － i ≥ 1， k－ i ≥ 2，j－i 所以 2mn＝m·２k－ i＋n·２≥ 2m＋ 4n，(6 分 )可得 mn≥ m＋2n, 即2＋m1n≤ 1.①当 1≤ m≤２时，不等式2＋m1n≤ 1 不建立；②当m＝ 4，n＝ 2 或m＝3，n＝ 3时，2mn· 2i－ 1 j － 1 k－ 1＝ m·２＋n·２建立； (8分 )③当 n≥４时，1>0，n2<1，即 m>2，则有 m＋n>6 ；m所以 m＋ n 的最小值为 6，当且仅当 j － i ＝ 1， k－i ＝ 2，且m＝ 4，n＝ 2或m＝3，n＝ 3时获得 . (10分 )(3) 由题意，得p2＝c12＋ 1＋12c 2，p3＝c 1＋ c 2＋ 1＋312＋13c3，⋯S n ＝ p1＋ p2＋ p3＋⋯＋p n＝ 1＋12＋13＋⋯＋1n(c 1＋ c2 ＋ c3 ＋⋯＋c n)(11 分 )＝ 1＋12＋13＋⋯＋1nT n.T n ＝ c1＋ c2＋ c3＋⋯＋ c n ①，1 2 T n ＝ 12c1＋12c 2＋⋯＋12c n②．12T n＝1＋12＋14＋18＋⋯＋1n －1－2nn＝2－2212n－n12n①－②，得， (12 分 )n － 1 1解得 T n ＝ 4－ (n ＋ 2) <4，2所以 S n <41＋1 2 ＋ 1 3 ＋⋯ ＋ 1 n. 设f(x) ＝ ln x ＋ 1 x － 1(x>1) ，则f ′ (x) ＝1 x － 1 2＝ xx － 12 >0， x 所以 f(x) 在 (1 ，＋∞ ) 上单一递加，有 f(x)>f(1) ＝ 0，可得 ln x>1 －1x . (14分 ) * 当 k ≥ 2，且 k ∈ N 时， k >1，有 ln k － 1 k k － 1>1－ k － 1 k ＝ 1k ，所以 1 2 <ln 2 1 ， 1 3 <ln 3 2 ，⋯ ，1 n <ln n n － 1，可得 1＋ 1 2 ＋ 1 3 ＋⋯ ＋ 1 n <1＋ ln 2 1 ＋ ln 3 2 ＋⋯ ＋ ln n n － 1＝ 1＋ lnn ，所以 S n <4 1＋1 2 ＋ 1 3 ＋⋯ ＋1 n<4＋ 4ln n. (16分 ) - 11 -2018 届高三模拟考试一试卷数学附带题参照答案及评分标准21. A. 证明：在△ ABC 中，因为 CM是∠ ACB 的均分线，所以A C＝BCA M.BM又 AC ＝12A B，所以A B＝BC2AMBM①.(4分 )因为 BA 与 BC 是圆 O过同一点 B 的弦，所以 BM·B A＝BN·BC，即A B＝BCB NBM②.(8分 )由①②可知2AM＝BMB N，所以 BN ＝2AM.(10分 )BMB. 解：矩阵M的特点多项式为f( λ) ＝λ－1 －2－2 λ－x＝ ( λ－ 1)( λ－ x)－4. (3 分 )因为λ1 ＝3 是方程 f( λ) ＝0 的一个根，所以 (3 －1)(3 －x) －4＝0，解得 x＝1. (6 分 )由( λ－1)( λ－1) －4＝0，解得λ＝－ 1 或 3，所以λ2＝－ 1. (10 分 )C. 解：圆 C：ρ＝2 2cos θ的直角坐标方程为 x 2＋y2－2 2x＝0，即 (x －2)2 2＋y ＝2.直线 l ：θ＝π4( ρ∈R) 的直角坐标方程为 y＝x，即 x－y＝0.(6 分 )圆心 C( 2，0) 到直线 l 的距离 d＝| 2－0|2＝1. (8分 )所以 AB＝ 2 （ 2）2－12＝2. (10分 )D. 证明： ( 证法 1) 因为 a＞ 0，b＞0，a＋b＝1，所以1＋2a＋ 142b＋1[(2a ＋1) ＋ (2b ＋1)]＝1＋4＋2b＋12a＋1＋4（ 2a＋1）2b＋ 1≥5＋ 2 2b＋12a＋ 1×4（2a＋1）2b ＋＝9. (8分 )1而(2a ＋1) ＋(2b ＋1) ＝4，所以1＋2a＋ 14≥2b＋ 194. (10 分 )( 证法 2) 因为 a＞0，b＞0，由柯西不等式得1＋2a＋ 1 42b＋1 [(2a ＋1) ＋(2b ＋1)]≥12a＋ 12a＋1＋42b＋12b＋12＝(1 ＋2) 2＝9. (8 分 )由 a＋b＝ 1，得 (2a ＋1) ＋(2b ＋1) ＝4, 所以1＋2a＋ 1 4≥2b＋ 1 94.(10分 )- 12 -322. 解： (1) 从六个点任选三个不一样点组成一个三角形共有 C6种不一样选法，此中 S ＝3 2的为有一个角是 30°的直角三角形 ( 如△Ｐ1P 4P 5) ，共6×2＝ 12 种，所以 P S ＝ 3 2 ＝ 12 3 C6＝35 . (3 分 ) (2) S 的全部可能取值为3 ，4 3 ， 2 3 34.S ＝ 3 4 的为顶角是 120 °的等腰三角形 ( 如△Ｐ1P 2P 3) ，共 6 种，所以 P S ＝ 3 4 ＝6 ＝ 3 C63 10 . (5 分 ) S ＝ 3 34 的为等边三角形 (如△Ｐ 1P 3P 5) ，共 2 种，所以 P S ＝ 3 3 4 ＝ 2 ＝ 3C61 10 . (7 分 ) 又由 (1) 知 P S ＝ 32 ＝12 ＝ 3C635 ，故 S 的散布列为 S4 3 3 2 3 34P3103 51 10所以 E(S) ＝3 ×4 3 10 ＋ 3 × 2 35 ＋ 3 3 4 × 1 10 ＝ 9 3 20 .(10 分 ) 23. 解： (1) 若会合 B 含有 2 个元素，即 B ＝ {a 1， a 2} ，则A ＝?， {a 1} ， {a 2} ，则(A ， B) 的个数为3；12种，不如设B ＝ {a 1} ，则A ＝ ?，若会合 B 含有 1 个元素，则B 有 C12× 1＝ 2. 此时(A ， B) 的个数为C综上， (A ， B) 的个数为5. (3 分 )n(2) 会合 M 有2个子集，又会合 A ， B 是非空会合 M 的两个不一样子集，则不一样的有序会合对(A ， B) 的个数为2 n(2 n－ 1). (5分 )若 A 的元素个数与 B 的元素个数同样多，则不一样的有序会合对(A ， B) 的个数为0 C n (C 0 1 n － 1) ＋ C n (C 1 2 n － 1) ＋ C n (C2 nn － 1) ＋⋯ ＋ C n (C nn － 1) ＝ (C0 n )2 ＋ (C 1n ) 2＋ (C2n)2＋⋯ ＋ (C n n ) 2 － (C 0 1 2 nn ＋ C n ＋ C n ＋⋯ ＋C n ). (7 分 )又 (x ＋ 1)n (x ＋ 1) n n的睁开式中 x 的系数为(C 0 n )2＋ (C1 n )2 ＋ (C 2 n ) 2 ＋⋯ ＋(Cn n )2，且 (x ＋ 1) n (x ＋ 1) n＝ (x＋ 1)2n n的睁开式中 xn的系数为C 2n ，所以 (C 0 n )2＋ (C 1 n ) 2 ＋ (C 2 n ) 2 ＋⋯ ＋ (C n n )2 n 2n . ＝ C0 1 2 n nn＋ C n ＋ C n ＋⋯ ＋ C n ＝ 2因为C ，所以当 A 的元素个数与 B 的元素个数同样多时，n 2n － 2 有序会合对(A ，B) 的个数为Cn.(9 分 )所以当 A 的元素个数比 B 的元素个数少时，有序会合对(A ， B) 的个数为 n2 n n n2n － 2 （ 2 － 1）－（ C ）2 ＝ 2n n2 － C2n.(10分 )2- 13 -。

2018-2019学年江苏省南京师大附中高一下学期期中数学试题(解析版)

【点睛】
本题主要考查余弦定理和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7．如图，在三棱柱中，平面ABC，是等腰三角形，，，D是AC的中点，点F在侧棱上，若要使平面BDF，则的值为( )
A．1B．或2C．或2D．或3
【答案】B
【解析】易证，故要使平面BDF，只需，然后转化到平面中，根据勾股定理计算，即可得结果.
【答案】B
【解析】先由题中条件，根据正弦定理得到，再化为，再由两角和的正弦公式，即可求出结果.
【详解】
因为，由正弦定理得到，
即，
所以，
即，可得sin（A-B）=0
又在三角形中，A-B ，
所以，因此三角形为等腰三角形.
故选B
【点睛】
本题主要考查三角形性质的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.
4．已知三条直线，三个平面，下列四个命题中，正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：A. 不正确，以墙角为例，可能相交；B. 不正确，有可能平行；C. 不正确，m,n可能平行、相交、异面；故选D。
【考点】本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。
点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。
【详解】
平面ABC，平面ABC，
所以，
又，D为AC中点，
所以，又，
所以平面，
平面，
所以，
因为，故要使平面BDF，只需，
在四边形中，，
设，则，
由得，
即，解得或，
所以或者，
故选：B.
【点睛】
本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．

2018南大附中--解析

2017——2018学年度初一第二次联考数学试卷一、选择题1.-2015的相反数的倒数是（）A.-12015B.12015C.2015D.−2015【考点】倒数；相反数．【分析】先求得-2015的相反数，然后再求得其相反数的倒数即可．【解答】解：∵-2015的相反数是2015，2015的倒数是12015，∴-2015的相反数的倒数是-12015．故选：B．【点评】本题主要考查的是倒数、相反数的定义，掌握倒数和相反数的定义是解题的关键．2.下列方程是一元一次方程的是（）A．2x+1=5 B.3y−1=2C．x-y=6 D．都不是【考点】一元一次方程的定义．【分析】根据一元一次方程的定义进行解答．【解答】解：A、分母中含有未知数，故本选项错误；B、符合一元一次方程的定义，故本选项正确C、未含有两个未知数，故本选项错误；D、符合一元一次方程的定义，故本选项正确．故选B．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，要抓住两点：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是一次．3.已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（）A．3.839×104千米B．3.839×105千米C．3.839×106千米D．38.39×104千米【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：383900=3.839×105，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.下列几何体中，属于棱柱的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【考点】认识立体图形．【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．【解答】解：根据棱柱的定义可得：符合棱柱定义的有第一、三、六个几何体都是棱柱，共三个．故选D．【点评】本题考查棱柱的定义，属于基础题，掌握基本的概念是关键．5.下列解方程过程中变形正确的是（）A ．由4x-5=3x+2，变形得4x-3x=-2+5B ．由3X =2，变形得x=32C ．由3（x-1）=2（x+3），变形得x-1=2x+6D ．由23x-1=12x +3，变形得得4x-6=3x+18．【考点】解一元一次方程．【分析】各项中方程变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A ．由4x-5=3x+2，变形得4x-3x=2+5 ;故错误B ．由3X =2，变形得x=23 ；故错误C ．由3（x-1）=2（x+3），变形得3x-3=2x+6；故错误D ．由23x-1=12x +3，变形得得4x-6=3x+18．故正确故选D ．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.如图是一个正方体的平面展开图，若把它折成一个正方体，则与空白面相对的面的字是（）A ．祝B ．考C ．试D ．顺【考点】正方体相对两个面上的文字．【分析】用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“考”与面“利”相对，“顺”与“祝”相对，“试”与空白面相对．故选C．【点评】本题考查了正方体展开图的知识，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，那么在①a＞b，②ab＜0，③b-a＞0，④a+b ＞0四个关系式中，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】数轴．【分析】根据所给数值在数轴上的位置，判断出相应的符号及绝对值，进而对所给代数式的正误进行判断即可．【解答】解：观察可得a＜0，b＞0，∴a＜b，ab<0,b-a>0，a+b＜0，则①错误；②正确；③正确；④错误．故正确的有2个．故选C．【点评】考查数轴的相关知识；用到的知识点为：较小的数减去较大的数，差为负数；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．8.有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天4名一级技工去粉刷10个房间，结果其中有32m2墙面未来得及粉刷；同样时间内7名二级技工粉刷了15个房间之外，还多粉刷了另外的4m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面，设每个房间需要粉刷的墙面面二.填空题9.已知x-y=5,xy=3,则3xy-7(x-y)的值是．【考点】代数式求值．【分析】先将代数式化简，再将x-y以及xy的值代入即可求得原代数式的值．【解答】解：3xy-7（x-y）=3×3-7×5=-26．【点评】本题比较简单，只要将原代数式化简后代值计算．10.若-2a m+4b4与5a2b b n+1可以合并成一项，则m n的值是 .【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），即可求得m，n的值，进而求解．【解答】解：根据题意可得：m+4=2，n+1=4，解得：m=-2，n=3，所以m n=-8，故选C【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．11.当y= , 代数式2（3y+4）的值比5（2y-7）的值大3【考点】解一元一次方程．【分析】根据代数式2（3y+4）的值比5（2y-7）的值大3即可列出方程2（3y+4）-5（2y-7）=3，求得y的值．【解答】解：根据题意得：2（3y+4）-5（2y-7）=3，解得：y=10．故答案是：10．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．12.关于x的方程2（x-1）-a=0的解是x=3,则a的值为．【考点】一元一次方程的解．【分析】把x=3代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x=3代入方程得：4+a=0，解得：a=-4，故答案为：-4【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为 .【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】假设工作量为1，初二学生单独工作，需要6小时完成，可知其效率为16初三学生单独工作，需要4小时完成，可知其效率为14时间列方程即可．【分析】根据所给数字发现，分母分别为2=1+1，3=2+1，4=3+1，5=4+1，所以第10个数的分母为10+1=11，；分子为分母的平方-1；符号为（-1）n+1，据此可的结果．【解答】解：根据所给数字发现，∵分母分别为2=1+1，3=2+1，4=3+1，5=4+1， ∴第10个数的分母为10+1=11； ∵分子为分母的平方-1，∴第10个数的分子为112-1=120， ∵符号为“+-+-…”， ∴第10个数为负数， ∴第10个数字为：-12011；第n 个是：（-1）n+1n 2n+1，故答案为：−12011；（-1）n+1n 2n+1．【点评】本题主要考查了数字的变化规律，发现分子，分母及符号的变化规律是解答此题的关键．三．解答题15.从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．【考点】作图-三视图．【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为2，1，2．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．16.计算（1）（-1）10×2+（-2）3÷4 （2）8a-7b-(4a-5b)【考点】有理数的混合运算．整式的加减．【分析】（1）先算乘方，再算乘法和除法，最后算加法；（2）直接利用去括号法则去括号，进而合并同类项得出答案【解答】（-1）10×2+(−2)3÷4解：原式=1×2+（-8）÷4=2-2=0；8a-7b-（4a-5b）解：原式=8a-7b-4a+5b=4a-2b；【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序与符号的判定，根据数字特点，选用适当的方法简算．17.解方程（1）x−13-1=x+15（2）x0.2- 0.31x−0.130.03=1【考点】解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】（1）先将方程去分母，去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1即可求解．(2)根据分数的基本性质，先把分子，分母化为整数，再按解一元一次方程的步骤进行计算即可．【解答】解：（1）去分母，得5（x-1）-15=2（x+1）去括号，得5x-5-15=2x+2移项，合并同类项，得3x=22系数化为1，得去分母得，15x-（31x-13）=3，去括号得，15x-31x+13=3，移项得，15x-31x=3-13，合并同类项得，-16x=-10，【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，要让学生掌握解方程的一般方法和步骤．18.一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，求两城之间的距离．【考点】一元一次方程的应用．【分析】应先设出飞机在无风时的速度为x，从而可知在顺风时的速度为飞机在无风中的速度加上风速，飞机在逆风中的速度等于飞机在无风中的速度减去风速，又已知了顺风飞行和逆风飞行所用的时间，再根据路程相等，列出等式，求解即可．【解答】解：设无风时飞机的速度为x千米每小时，则依题意得（x+45）×4=（x-45）×92解得x=765，所以两城之间的距离=（x+45）×3=2430（千米）答：两城之间的距离为2430千米．【点评】此题主要考查一元一次方程的实际运用，关键在于根据飞机在顺风时的速度为风速加上在无风中的速度，飞机在逆风中的速度等于在无风中的速度减去风速，列出等当x=-2，y=3时，原式=11【点评】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四．20.如图，长方形ABCD的长是a，宽是b，分别以A，B为圆心，b为半径作圆，交AB于点E，F，列式表示阴影部分的周长l和面积S．（2）比较表中两代数式计算结果，请写出你发现（a-b）2与a2-2ab+b2有什么关系？（3）利用你发现的结论，求20172-4034×2015+20152．【考点】代数式求值；有理数的混合运算．【分析】将a、b的值分别代入两个代数式中，然后求出数值后即可对两代数式的大小进行比较．【解答】解：（1）填表：4； 16； 9； 9．（2）（a-b）2=a2-2ab+b2（3）由（2）中的等式可知：20172-4034×2015+20152=20172-2×2017×2015+20152=（2017-2015）2=4故答案为：（1）4； 16； 9； 9．【点评】本题考查代数式求值，关键是掌握有理数的混合运算．22.有这样一道题“当a=2，b=-2时，求多项式3a3b3-12a2b+b-（4a3b3-14a2b-b2）+（a3b3+14a2b）-2b2+3的值”，小明做题时把a=2错抄成a=-2，小旺没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．【考点】整式的加减—化简求值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．【解答】解：原式==b-b2+3，结果与a的取值无关，故小明做题时把a=2错抄成a=-2，小旺没抄错题，但他们做出的结果却都一样．【点评】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．五．23.初一年级进行法律知识竞赛，共有30题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣2分．（1）小明同学参加比赛，成绩是96分．请问小明在竞赛中答对了多少题？（2）小王也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小王有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）设小明在竞赛中答对了x道题，根据初一年级进行法律知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分，及小明成绩是96分，可列方程求解；（2）如果小王的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意列出方程4y-2（30-y）=100，解方程求出y的值即可判断．【解答】解：（1）设小明在竞赛中答对了x道题，根据题意得4x-2（30-x）=96，解得x=26．答：小明在竞赛中答对了26道题；（2）如果小王的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意得4y-2（30-y）=100，解得y=803因为y不能是分数，所以小王没有可能拿到100分．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键设出做对的题数，以分数做为等量关系列出方程求解．六24.如图，数轴上一点A，点B从A出发沿数轴以a个单位/秒的速度匀速向左运动，同时另一点C也从A出发沿数轴以某一速度匀速向右运动，取BC中点M，AC中点N，关于x（1）求B点的运动速度；（2）当MN=5时，B点对应的数为-6，求A点对应的数；存在，请说明理由并求出C点的速度．【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）把x=a 代入已知方程，通过解方程求得a 的值；（2）由图中相关线段间的和差关系来求MN 的长度，则易得点A 对应的数；（3）设点C 的运动速度是x 单位/秒．根据“运动过程中始终有BN CM = 43”列出方程并解答．【解答】解：（1）把x=a 代入x−23+2a=4得a−23+2a=4，解得a=2．答：B 点的运动速度是2单位/秒；（2）如图所示：BM+MN=BN ，①BM-MN=CN ，②①-②，得BN-CN=2MN ．又AN=CN ，所以：BN-AN=AB=2MN=10，即点A 、B 间的距离是10．又∵点B 所对应的数是-6，点A 在点B 的右边，∴点A 所对应的数是4；（3）要满足BN CM = 43∵BN=BM+MN ，CM=BM ，则BM=3MN ．设点C 的运动速度是x 单位/秒，时间为t ，则AB=2t ，AC=xt ，即AB=2t=BM-AM=BM-AN+MN=BM-CN+MN=2MN ，∴MN=t ．又∵AN=CN，BM=CM，BM-CN=CM-CN=MN，∴AC=xt=2CN=2（BM-MN），即BM=3MN=3t，则xt=2（3t-4）=4t，解得x=4．答：C点的速度是4单位/秒．【点评】本题考查了数轴、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．。

江苏省南京师大附中2018-2019学年七年级(上)第一次调研数学试卷

2018-2019学年七年级（上）第一次调研数学试卷一.选择题1.﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．D．选：B．2.关于x﹣2的结果，下列说法一定正确的是（）A．比﹣2大B．比x大C．比﹣2小D．比x小选：D．3.用计算器计算230，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．选：D．4.如图，若A、B分别是实数a、b在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是（）A．b+a B．b﹣a C．a b D．选：B．5.下列各组算式中，其值最小的是（）A．﹣（﹣3﹣2）2B．（﹣3）×（﹣2）C．（﹣3）2×（﹣2）D．（﹣3）2÷（﹣2）选：A．6.计算248﹣26的结果更接近（）A．248B．247C．242D．240选：A．二.填空题7.计算：﹣7﹣4＝﹣11 ．8.中国是严重缺水的国家之一．若每人每天浪费的水量为0.4L，那么8 000 000人每天浪费的水量总和用科学记数法表示为8×106．．9.一个数的相反数等于它本身，则这个数是0 ，一个数的倒数等于它本身则这个数是±1 ．10.写出一个比﹣3大，比1小的负整数﹣1 ．11.0.是一个无限循环小数，它可以写成分数．12.下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为﹣1时，输出的数值是．13.像1，2，4，8，16…这样的一串数，从第二个数开始，每个数和前一个数的比值为一个定值，叫做等比数列，在一个等比数列中，第一个数为2，第三个数为，则第二个数为 3 ．14.将四个数6、﹣3、﹣10、﹣4进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数只能用一次）结果为24，请写出算式﹣4﹣（﹣10）﹣6×（﹣3）＝24 ．15.图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是66 ．16.如图，一个边长为的正方形，现分别以正方形的两个顶点为圆心，长为半径，在正方形中画了两个圆，则图中阴影部分的面积是﹣．三.解答题17.计算：（1）（﹣2.8）+（+1.9）（2）﹣3÷（﹣1）×（﹣4）（3）﹣24×（﹣）（4）﹣12018+0.125×（﹣2）3﹣4÷（﹣）3解：（1）原式═﹣（2.8﹣1.9）＝﹣0.9；（2）原式＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣10；（3）原式＝20﹣9+2＝13；（4）原式＝﹣1+×（﹣8）﹣4×＝﹣1﹣1﹣＝﹣．18.把下列各数填入相应的集合中：﹣3.14，，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3，3.010010001…正数集合{ ，0.618，+3，3.010010001…}分数集合{ ﹣3.14，﹣，0.618，﹣}有理数集合{ ﹣3.14，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3 } 解：正数集合{，0.618，+3，3.010010001…}分数集合{﹣3.14，﹣，0.618，﹣}有理数集合{﹣3.14，﹣，0.618，﹣，0，﹣1，+3}19.因强冷空气南下，预计某地平均每小时降温1.6℃．若上午10时测得气温为7℃，那么下午3时该地的气温是多少？解：根据题意得：7﹣（15﹣10）×1.6＝7﹣8＝﹣1，则下午3时该地的气温是﹣1℃．20.用四个2可以组成这样的数：①2222，②2222，③，④，⑤2222，⑥2222（1）其中最大的数是⑤，（写序号）最小的数是①（写序号）；（2）用四个1组成一个数，最大的数是1111．解：（1）∵28＝256＞222，212＝4096＞2222∴③＞②＞①，④＞②＞①∵222＞222∴③＞④＞②＞①∵2222＞2222＞2222∴③＞④＞②＞⑥＞①∵＝422＜2222∴⑤＞③∴⑤＞③＞④＞②＞⑥＞①故答案为：⑤；①．（2）用四个1组成一个数，由于底数为1的次方数均为1，故最大值不可能是底数为1的；由于任何数的1次方均等于这个数，再由（1）的推理及结论可知，最大的数为1111．故答案为：1111．21.某出租车沿着一条东西方向的公路行驶，出发点为点A．向东记为正，从出发到停止所走的路线如下：（单位：千米）+8，﹣9，+4，+7，﹣2，﹣10，+18，﹣3，+7，+5（1）停止时该出租车在什么位置？（2）若该出租车每千米耗油0.12升，从出发到停止共耗油多少升？解：（1）8﹣9+4+7﹣2﹣10+18﹣3+7+5＝25（千米）．答：停止时在点A的东边，离出发点A25千米；（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|+7|+|﹣2|+|﹣10|+|+18|+|﹣3|+|+7|+|+5|＝73，0.12×73＝8.76（升）．答：从出发到停止共耗油8.76升．22.（1）在计算﹣3+2时，我们将它写成﹣3+2＝﹣（3﹣2），这是用了有理数加法法则中的一条：异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值（请将这一条法则填写完）；这样，异号两数相加便转化成了减法，这样的思想便称为“转化”（2）以下语句中也含有转化的思想的是：①②（直接填写序号）①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；③乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c．解：（1）在计算﹣3+2时，我们将它写成﹣3+2＝﹣（3﹣2），这是用了有理数加法法则中的一条：异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；这样，异号两数相加便转化成了减法，这样的思想便称为“转化”；故答案为：取绝对值较大加数的符号，并用较大加数的绝对值减去较小加数的绝对值；（2）以下语句中也含有转化的思想的是：①②，①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；③乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c．故答案为：①②．23.已知a，b均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b＝a2+a×b﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2．（1）求（﹣2）#（﹣3）的值；（2）若（﹣3）#m＝10，请直接写出m的值．解：（1）（﹣2）#（﹣3）＝（﹣2）2+（﹣2）×（﹣3）﹣5＝4+6﹣5＝5；（2）∵（﹣3）#m＝10，∴9﹣3m﹣5＝10，解得m＝﹣2．故m的值是﹣2．24.正方形网格（边长为1的小正方形组成的网格纸，正方形的顶点称为格点）是我们在初中阶段常用的工具，利用它可以解决很多问题．（1）如图①中，△ABC是格点三角形（三个顶点为格点），则它的面积为 5 ；（2）如图②，在4×4网格中作出以A为顶点，且面积最大的格点正方形（四个顶点均为格点）；（3）上题（2）中的面积最大的格点正方形边长为无理数（填有理数或无理数）．解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×2＝5，故答案为5．（2）面积最大的正方形ABCD如图所示．（3）正方形的边长＝＝，是无理数，故答案为无理数．25.将一些数排列成下表中的四列：第1列第2列第3列第4列第1行 1 4 5 10第2行 4 8 10 12第3行9 12 15 14 ……………（1）第4行第1列的数是多少？直接写出答案；（2）第17行的四个数之和是多少？请写出适当的过程；（3）数100所在的行和列分别是多少？直接写出答案．解：（1）第4行第1列的数是42＝16；（2）∵第17行第1列的数的数为172，第17行第2列的数为4×17，第17行第3列的数为5×17，第17行第4列为10+2（17﹣1），∴第17行的四个数之和是172+4×17+5×17+10+2（17﹣1）＝484；（3）∵100＝102，∴数100在第10行第1列；∵100＝4×25，∴数100在第25行第2列；∵100＝5×20，∴数100在第20行第3列；∵100＝50×2＝（46+4）×2，∴数100在第46行第4列．综上所述，数100在第10行第1列，第25行第2列，第20行第3列，第46行第4列．26.如图，数轴上有A、B、C三点，点A和点B所表示的数分别为﹣3和+，点C到点A、点B的距离相等．（1）点C表示的数为﹣；（2）若数轴上有一点P，若满足PA+PB＝10，求点P表示的数；（3）若数轴上有一点Q．若满足QA+QB﹣QC＝，求点Q表示的数．解：（1）∵点A和点B所表示的数分别为﹣3和+，∴AB＝﹣（﹣3）＝5.5，∵AC＝BC，∴点C表示的数为﹣＝﹣，故答案为：﹣；（2）设点P表示的数是x，∵PA+PB＝10，分两种情况：①P在A的左边时，﹣x+（﹣3）﹣x＝10，x＝﹣②P在B的右边时，x﹣+x﹣（﹣3）＝10，x＝∴点P表示的数是﹣或；（3）设点Q表示的数为y，分四种情况：①当Q在点A的左边时，如图1，∵QA+QB﹣QC＝，∴QA+BC＝，即﹣3﹣y+＝，y＝﹣∴点Q表示的数是﹣；②当Q在点B的右边时，如图2，∵QA+QB﹣QC＝，∴QB+AC＝，即y﹣+＝，y＝∴点Q表示的数是；③当Q在点A和点C之间时，如图3，∵QA+QB﹣QC＝，∴AB﹣QC＝，即5.5﹣（﹣﹣y）＝，y＝﹣∴点Q表示的数是﹣；④当Q在点B和点C之间时，如图4，∵QA+QB﹣QC＝，∴AB﹣QC＝，即5.5﹣（y+）＝，y＝，∴点Q表示的数是；综上，点Q表示的数是﹣或或﹣或．。

2018南大附中--题目

2017——2018学年度初一第二次联考数学试卷一、选择题1.-2015的相反数的倒数是（） A.-12015B.12015C.2015D.−20152.下列方程是一元一次方程的是（）A ．2x +1=5 B.3y −1=2 C ．x-y=6 D ．都不是3.已知地球距离月球表面约为383900千米，那么这个距离用科学记数法表示为（） A ．3.839×104千米 B ．3.839×105千米 C ．3.839×106千米 D ．38.39×104千米4.下列几何体中，属于棱柱的有（）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 5.下列解方程过程中变形正确的是（） A ．由4x-5=3x+2，变形得4x-3x=-2+5 B ．由3X =2，变形得x=32C ．由3（x-1）=2（x+3），变形得x-1=2x+6D ．由23x-1=12x +3，变形得得4x-6=3x+18．6.如图是一个正方体的平面展开图，若把它折成一个正方体，则与空白面相对的面的字是（）A ．祝B ．考C ．试D ．顺7.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，那么在①a＞b，②ab＜0，③b-a＞0，④a+b ＞0四个关系式中，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8.有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天4名一级技工去粉刷10个房间，结果其中有32m2墙面未来得及粉刷；同样时间内7名二级技工粉刷了15个房间之外，还多粉刷了另外的4m2墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面，设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米，一级技工每天粉刷y平方米，下列方程正确有几个（）①15x−47- 10x+324+10=0；②15（4y+32）=70（y-10）-40③4y+322= 7(y−10)−43；④10x−324= 15x+47+10．A．4 B．3 C．2 D．1 二.填空题三．解答题15.从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．四．20.如图，长方形ABCD的长是a，宽是b，分别以A，B为圆心，b为半径作圆，交AB于（2）比较表中两代数式计算结果，请写出你发现（a-b）2与a2-2ab+b2有什么关系？五．23.初一年级进行法律知识竞赛，共有30题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣2分．（1）小明同学参加比赛，成绩是96分．请问小明在竞赛中答对了多少题？（2）小王也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问小王有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由．六24.如图，数轴上一点A，点B从A出发沿数轴以a个单位/秒的速度匀速向左运动，同时另一点C也从A出发沿数轴以某一速度匀速向右运动，取BC中点M，AC中点N，关于x（1）求B点的运动速度；（2）当MN=5时，B点对应的数为-6，求A点对应的数；存在，请说明理由并求出C点的速度．。

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南京师大附中2018期初数学调研测试卷（四校联考）
Ⅰ必做题部分
棱锥的体积公式V
棱锥
1
3
Sh =，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,}A a =，{2,3}B =，且{3}A B = ，则实数a 的值是▲．
2.已知复数121i
z i
+=
-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是▲．
3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．
（第3题图）
4.如图所示，一面包销售店根据以往
某种面包的销售记录，绘制了日销售
量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为▲．
5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为▲．
（第4题图）
6.已知tan 34πθ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，则sin cos 3cos θθθ2-的值为▲．
7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知39S =，15225S =，n B 为数列
n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则n B =▲．
8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22:104x y
C m m
-=>的一条渐近线与直线210
x y +-=垂直，则实数m 的值为▲．
9.高为3的正四棱锥的侧面积为8，则其体积为▲．
10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是
(),201,
02
x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨
-<≤⎪⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值
是▲．
11.已知函数()3
2
2
1f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减，则a 的取值范围是▲．
12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和
CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()PQ AB DC -
的值为▲．
13.已知圆O ：22
5x y +=，,A B 为圆O 上的两个动点，且2AB =，M 为弦AB 的中点，
),2)C a D a +．当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值
范围为▲．
14.已知1,2a b >>2
的最小值为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）
在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（1）求角C 的大小；
（2）若2,c ABC =∆ABC ∆的周长．
如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=
，PA PC =,平面PAC ⊥平面ABC ，,D E 分别为,AC BC 中点．
（1）求证：DE ∥平面PAB ；
（2）求证：平面PBC ⊥平面PDE ．
．
17.（本小题满分14分）
如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD ，120AB =米，80AD =米，以BC AD ,为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩
形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA 都建
有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理
部门决定沿着 AE 、 FB
修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为 ,AD BC 上的动点，//EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1
O 和2O 连线的同侧．已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米．
（1）若80EF =米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？
（2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低．．
18.（本小题满分16分）
已知椭圆C 的方程:22
221(0)x y a b a b
+=>>，右准线l
方程为4x =，右焦点1,0F （），A 为椭圆的左顶点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且
满足0AM MN ⋅= 且|2|5||AM MN =
,求直线AM 的方程．
19.（本小题满分16分）
已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈，（e 是自然对数的底数）（1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；
（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；
（3）设()|()|()[1,]H x f x g x x e =∈ ，，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围．
20.（本小题满分16分）
设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且
*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．
（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列
{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设3
12232222n
n n
a a a a T =
++++ ，证明：3n T <．附加题
21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区．．．．．．域．
内. A. 选修4-1：几何证明选讲
如图，D 为△ABC 的BC 边上的一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G ．求证：（1）∠BAC ＋∠EGF ＝1800；（2）∠EAG ＝∠EFG ．
B . 选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵的特征值=3λ所对应的一个
特
征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
.
（1）求矩阵；
13a M b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
M
（2）设曲线在变换矩阵作用下得到的曲线的方程为2xy =，求曲线的方程．
C. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线2cos :x C y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩
(θ为参数)和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)相交于两点,A B ，求
,A B 两点的距离．
D. 选修4-5：不等式选讲
已知,x y 均为正数，且x y >，求证：．
[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题卡指定区域．．．．．．．
内. 22.如图，已知长方体1111ABCD A BC D -，12,1AB AA ==，直线
BD 与平面11AA B B 所成角为30 ，AE 垂直BD 于点E ，F 为11A B 的中点. （1）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；
（2）线段11C D 上是否存在点P ,使得二面角F BD P --的余弦值为3
5
？若存在，确定P 点位置；若不存在，说明理由.
23.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（1）分别写出12,p p 的值；（2）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值；
（3）求n p ．
C M C'C 22
1
2232x y x xy y +
+-+
≥D 1
1
B。

南京师大附中2018期初数学调研测试卷