2015高考数学真题及答案

2015高考数学真题及答案

高三数学 （文科）

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）在复平面内，复数12i z =-对应的点的坐标为

（A ）(1,2) （B ）(2,1) （C ） (1,2)- （D ）(2,1)-

（2）双曲线2

214

x y -=的渐近线方程为

（A ）1

2

y x =±

（B ）y =

（C ）2y x =± （D ）y =

（3）记函数)(x f 的导函数为)(x f '，若()f x 对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程为1y x =-+，则

（A ）0()=2f x ' （B ）0()=1f x ' （C ）0)(0='x f

（D ）0()=1f x '-

（4）已知命题p ：直线a ，b 不相交，命题q ：直线a ，b 为异面直线，则p 是q 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（5）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，则事件“310x -<”发生的概率为

（A ）

12 （B ）

13

（C ）14

（D ）

16

（6）执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为4，

则图中判断框内①处应填

（A ）2 （B ）3

（C ）4 （D ）5

（7）设集合1,(,) 1.x y D x y x y ⎧⎫+≥⎧⎪⎪

=⎨⎨⎬-≤，则下列命题中正确的是

（A ）(,)x y ∀D ∈，20x y -≤ （B ）(,)x y ∀D ∈，22x y +≥- （C ）(,)x y ∀D ∈，2x ≥

（D ）(,)x y ∃D ∈，1y ≤-

（8）某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用n a ，n b 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若1300a =，则+1n a 与n a 的关系可以表示为 （A ）111502n n a a +=+ （B ）11

2003n n a a +=+ （C ）113005n n a a +=

+ （D ）12

1805

n n a a +=+

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知集合{}1A =，{}1,21B m =--，若A ≠

⊂B ，则实数m 的值为 ．

（10）将函数()sin(2)3f x x π=+

的图象向右平移6

π

个单位后所得图象对应的解析式为 ． （11）在矩形ABCD 中，AB =(1,3)-，(,2)AC k =-，则实数k = ．

（12）已知函数()f x 的对应关系如下表所示,数列{}n a 满足13a =，1()n n a f a +=,则4a = ， 2015a = ．

（13）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=．当[0x ∈，1]时，()2f x x =.若在区间

[2-，3]上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．

（14）C 是曲线10)y x =-≤≤上一点，CD 垂直于y 轴，D 是垂足，点A 的坐标是1,0-（）．设

CAO θ∠=(其中O 表示原点)，将AC CD +表示成关于θ的函数()f θ，则()f θ= ，()

f θ的最大值为 ．

三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）

下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

已知甲组数据的中位数为（Ⅰ）求x ，y 的值；

（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．

（16）（本小题共13分）

在△ABC 中，sin 2A A =． （Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）现给出三个条件：①2a =； ②45B =；③c =．

试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) ．

（17）（本小题共14分）

如图甲，⊙O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，且CBA ∠3

DAB π

=∠=

．沿直径AB 将半圆ACB 所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）．F 为BC 的中点，E 为AO 的中点． （Ⅰ）求证 ：CB DE ⊥；

（Ⅱ）求三棱锥C BOD -的体积；

（Ⅲ）在劣弧BD 上是否存在一点G ，使得FG ∥平面ACD ？若存在，试确定点G 的位置；

若不存在，请说明理由． 图乙

（18）（本小题共14分）

（Ⅰ）求实数b 的值；

（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间；

（19）（本小题共13分）

已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2

F ，离心率为12，M 为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大

值．

（20）（本小题共13分）

已知等差数列{}n a 中，15a =，2474a a =，数列{}n b 前n 项和为n S ,且2(1)n n S b =-n *

∈N （）.

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列,,n n n a n c b n ⎧=⎨

⎩为奇数为偶数，

，

求{}n c 的前n 项和n T ；

（Ⅲ）把数列{}n a 和{}n b 的公共项从小到大排成新数列{}n d ,试写出1d ，2d ，并证明{}n d 为等比数列．