结构力学第五版 李廉锟 第三章

滚轴支座
Fy
F xA
A
C
D
B
计算简图
F yA F yC F yD F yB
第三章 静定梁与静定刚架 求解静定结构的方法
取隔离体、列平衡方程。
第三章 静定梁与静定刚架
§3-1 单跨静定梁
梁： 受弯构件，但在竖向荷载下不产生水平推力； 其轴线通常为直线（有时也为曲线）。
单跨静定梁
从支承情况不同又分为：
A B
VB 33.75kN VA 26.25kN
HA 0
校核：
20 26.2 5
M (KN.m) 20
Y 26.25 33.75 10 4 20 0
（2）作弯矩图 选择A、C、D、B、E为控制截 面，计算出其弯矩值。
13.75 Q (KN)
（3）作剪力图 选择A、C、D、B、E为控制截面，计算出其剪力值。
（1）求反力（悬臂梁可不求） （2）分段 ——外力不连续点：q端点，F、M作用点 （3）定点 ——求控制截面内力值（全部荷载） （4）连线 ——按微分关系 连直线 曲线：连虚线，叠加简支梁M0图
第三章 静定梁与静定刚架
【例3-1】 1.反力 2.控制截面 C-A-(D)-E-FGL-GR-B 3.FS－连线 4.M－连线 直线 曲线 （极值）
F1 M
K
FN FS
(a)
FB
(b)
内力符号规定 ：
第三章 静定梁与静定刚架
（2）M、FS、FN图正负号规定 ①弯矩M：对梁而言，使杆件上凹者为正（也即下侧纤 维受拉为正），反之为负。一般情况下作内力图时，规定弯 矩图纵标画在受拉一侧，不标注正负号。 ②剪力FS：使截开后保留部分产生顺时针旋转者为正， 反之为负。
第三章 静定梁与静定刚架 静定结构定义
在荷载等因素作用下，其全部支座反力和任意 一截面的内力均可由静力平衡方程唯一确定的结构。
F F
F xA F yA F yB
Fx
M
Fy
（a）静定梁
（b）静定刚架
第三章 静定梁与静定刚架 静定结构的基本特征
几何特征： 几何不变且无多余联系。 静力特征： 未知力的数目=独立平衡方程式的数目。 超静定结构是有多余约束的几何不变体系,其反力 和任意一截面的内力不能由静力平衡条件唯一确定。
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。 （2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其 凹下去的曲线象锅底一样兜住q(x)的箭头。 （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力 偶作用点两侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
第三章 静定梁与静定刚架
M 5 27kN.m
FB
Fs5
5 5
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的剪力图和弯矩图。
q=3kN/m 4 5 1 2 3 6 B A 1 4 5 2 3 6 C D 2m 2m 2m F=6kN
解：取整体
m
y
A
0; FB 6 F 2 2q 5 0
FB 7kN
1
2 3 2 3
4 4 B
M1 M 4 0 M 2 16kN.m
2m
2mC
4m
M 3 8kN.m 8kN.m 1 2 1 ql 2 4 2 4kN .m M图 ⊕ 8 8 ⊕ 1 1 4kN.m 16kN.m 4kN.m Pl 4 4 4kN .m 4 4
解：取整体
B
m F
B
0; FA 6 m1 4q 2 0
FA 6kN
FA
FB
y
0; FA FB 4q 0
FB 18kN
第三章 静定梁与静定刚架
m=12kN.m q=6kN/m AC： 1 2 3 4 5 A B A 1 2 3 5 4 2m C 4m MC
左
FA=6kN 6kN Fs图 ⊕
FB=18kN FA
3m
Fs2
Fs 2 6kN MA 0
M C左 12kN.m
MC
右
A
－ ○
CB： FA
Fs4
Fs3
Fs 3 12kN Fs 4 18kN
M图
12kN.m 24kN.m 27kN.m
18kN ⊕ M5
MB
q
M C右 24kN.m M B 0
FA=6kN FB=6kN
第三章 静定梁与静定刚架
例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
（1）计算支座反力
2m
60
3m
VB=33.75KN
VA=26.25kN
32.5 2.5 25
X 0: M 0 : M 0 :
FBy 36 kN
M B 0 FAy 12 20 10 15 4 6 32 0 FAy 44 kN
第三章 静定梁与静定刚架
(2) 分别求截面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ和Ⅳ-Ⅳ的内力。 可以判定所有截面的轴力均为零, 取截面Ⅰ-Ⅰ以 左为隔离体。
20 kN
2mC
4m
FB 两段。先求支座反力。
m
B
0;
FA 8 P 6 m 4q 2 0 FA 6kN
F
y
0;
FA FB P 4q 0 FB 6kN
第三章 静定梁与静定刚架
例 用叠加法画图示梁的弯矩图。 P=4kN 8kN.m q=2kN/m
A 1
q=1kN/m 1 7 A 1 7 4m FA=2.5kN m=6kN.m 2 3 4 5 6 A 2 3 4 5 6D C B 2m FA 3m FC =6.5kN
q
2 2
M2
Fs2
Fs图
(kN)
2.5 ⊕
3 ⊕
m
2
0;
M 2 FA 4 4q 2 0
－ ○
2.5m
3.5 4 9
第三章 静定梁与静定刚架
滚小球作FS图 力推小球同向走，力尽小球平行走 集中力偶中间铰，方向不变无影响 反推小球回到零，上正下负剪力图
第三章 静定梁与静定刚架
例 用叠加法画图示梁的弯矩图。 P=4kN 8kN.m q=2kN/m
A 1
1
2 3 2 3
4 解：将梁分为AC ，BC B 4
FA 2m M图
第三章 静定梁与静定刚架
*斜梁的内力计算
计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜 梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的 法向、切向投影。
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法：
（1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
（b）简支梁作用(a－b/中点)集中力F
*（c）简支梁作用(中点)集中力偶m
*（d）悬臂梁－q
*（e）悬臂梁－F
第三章 静定梁与静定刚架
（2）区段叠加法作M 简支梁（如图） 叠加原理 叠加法—— 杆端弯矩图 叠加上简支梁上 对应（q或p）的 标准M0图。 叠加—— 指纵坐标叠加， 而不是图形简单拼合
③轴力FN ：拉为正，压为负。剪力图和轴力图可绘在杆 轴的任意一侧，但必须标注正负号。
M M FS FS FS
F
S
FN
FN
M
M
F
F
第三章 静定梁与静定刚架
求所示简支梁任一截面的内力。
解 (1)求出支座反力。 由整体平衡： Fx 0
FAx 0
MA 0
20 2 15 4 6 32 FBy 12 0
解：取整体，
m
A
Leabharlann Baidu
0;
FC 6 m F 9 6q 3 0
FA
FC
FC 6.5kN
Fs图
(kN)
0; FA FC F 6q 0 FA 2.5kN
y
F
(kN.m)
M图
第三章 静定梁与静定刚架
q=1kN/m 1 A 1 4m FA=2.5kN m=6kN.m P=3kN 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6D C B 2m 3m FC =6.5kN
Fs1 2.5kN,
Fs 2 Fs3 1.5kN,
Fs 图
2.5 ⊕
3 ⊕
Fs 4 3.5kN,
Fs5 Fs 6 3kN,
(kN)
－ ○
3.5
(kN.m)
M图
第三章 静定梁与静定刚架
q=1kN/m 1 A 1 4m FA=2.5kN m=6kN.m P=3kN 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6D C B 2m 3m FC =6.5kN
M1 M 6 0,
M 4 M 5 9kN.m, mF q
A 3 3
s3
Fs图
(kN)
2.5 ⊕
3 ⊕
－ ○
M3
3.5 4 9
－ ○
FA
m
3
0;
(kN.m)
M图
M 3 FA 4 4q 2 m 0
M 3 4kN.m
第三章 静定梁与静定刚架 P=3kN
F
FA
Fs3
y
0; FA P Fs 3 0
Fs 1kN
⊕
10kN.m
m
3
0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
q=3kN/m 4 5 1 2 3 6 B A 1 4 5 2 3 6 C D 2m 2m 2m P=6kN
FA=5kN
• 荷载： q = 0， q = c， F作用点，集中力偶M， 铰处
FS图： (FS =0) (FS =0)
(变号)
M图：
(M极值)
第三章 静定梁与静定刚架
简易法作内力图：
利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值 基本步骤：1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q cos
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
第三章 静定梁与静定刚架
1. 反力
以整体为研究对象，利用静力平衡条件求支座反力（简支 梁、外伸梁） 三个支座反力 整体隔离体——平衡方程求解
第三章 静定梁与静定刚架
2. 内力 (1)截面法，取隔离体利用静力平衡条件求截面内力
F1 A FAX
FAY K
m n
F2
B FAX A
FAY
－ ○
M 2 2kN.m q
A 7 7
M7
(kN.m)
M图
FA
Fs7
⊕ 3.125
2
M 7 FA 2.5 2.5q 1.25 0
m
7
0;
M 7 3.125kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
4．区段叠加法作弯矩图 直杆段弯矩图――分段叠加法，简化绘制工作 （1） 两个标准M0图 （a）简支梁作用均布荷载q
A
C
FSⅠ MⅠ
44 kN
15 kN/m A
取截面Ⅱ-Ⅱ以左为隔离体
20 kN C D 44 kN
FSⅡ MⅡ
取截面Ⅲ-Ⅲ以左为隔离体
20 kN A C 44 kN D
15 kN/m E
FSⅢ MⅢ
第三章 静定梁与静定刚架
3.内力与外力间的微分关系及内力图形状判断
dFs q( x ) dx dM FS dx 2 d M q ( x ) d 2x
第三章 静定梁与静定刚架
任意直杆段——适用 叠加法作M图 （1）求控制截面值 外力不连续点 （F,M作用点， q的起点，终点等） （考虑全部荷载） （2）分段画弯矩图 控制截面间无荷载 ——连直线 控制截面间有荷载(q、F) ——连虚线， ——再叠加标准M0图
第三章 静定梁与静定刚架
5．绘制内力图的一般步骤
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
qa A a FA=qa
qa C D
B a
m=3/2qa2 q E a
G
H
a
F 2a
a
q
FE=2qa
第三章 静定梁与静定刚架
画图示梁的剪力图和弯矩图。
m=12kN.m q=6kN/m A 2m C 4m
FA Fs图
FB
F 0;
FA FB F 4q 0
FA 5kN
M图
第三章 静定梁与静定刚架
q=3kN/m 4 5 1 2 3 6 B A 1 4 5 2 3 6 C D 2m 2m 2m P=6kN
FA=5kN
5kN
FB=7kN
－ ○ 7kN
P
A
Fs图
M图
⊕
1kN
3 3
M3
5kN
FB=7kN
－ ○ 7kN
P
A
Fs 图
M图
⊕
1kN
4 4
M4
FA
Fs 4
m
4
0; M 4 FA 4 P 2 0
M 4 8kN.m
⊕
10kN.m 8kN.m
第三章 静定梁与静定刚架
例 画图示梁的内力图。
q=1kN/m 1 A 1 4m m=6kN.m F=3kN 6 6D 2 3 4 5 2 3 4 5 C B 2m 3m