面面垂直测试题

面面垂直测试题

1.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点。

2．如图，在三棱锥中，，平面，,分别为,的

中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

3如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知

，

求证（1）直线平面；

（2）平面平面.

4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面．

（Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）若，求证：平面平面．

,,PC AC AB ,,D E F -P ABC

PCD PAB ⊥2

PA PD AD ==CD PA ⊥PAD EF BD PC F E ABCD PAD ⊥ABCD P ABCD -

ABC ⊥BDE DEF //PA ,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===PAB AEF ⊥ABC //EF PC PB F

E ABC PA

⊥90ABC ∠=P ABC -⊥

5．已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D 是AB 的中点．

(1)求证：BC 1∥平面CA 1D ；(2)求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B ；

(3)若底面ABC 为边长为2的正三角形，BB 1

求三棱锥

B 1-A

1DC 的体积．

6．如图，已知四棱锥，，，

平面，∥，为的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求四棱锥的体积．

7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且底面ABCD ，，

E 是PA 的中点.

（1）求证：平面平面EBD ；

（2）若PA=AB=2，求三棱锥P-EBD 的高.

A

D

B C C

A

B PA

C ⊥B

D PC ⊥PA ⊥A BCD

E -ACD ⊥ADE ABC E

F AD F CD BE ABC CD ⊥2CD =1AB BC AC BE ====A BCDE -

面面垂直测试题

1.证明：(1)∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE ∥AP ，

又∵OE 平面BDE ，PA 平面BDE ，∴PA ∥平面BDE

(2)∵PO 底ABCD,∴PO BD ，又∵AC BD ，且AC PO=O

∴BD 平面PAC ，而BD 平面BDE ，∴平面PAC 平面BDE

2.证明:（1）在中，分别为的中点 3分

又平面，平面平面 7分

（2）由条件，平面，平面

，即， 10分

由，，

又，都在平面内 平面

又平面平面平面

3.（1）由于分别是的中点，则有，又，

，所以．

（2）由（1），又，所以，又是中点，所以

，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，

所以，又，所以平面平面．

4.（3)（Ⅲ）在△中，因为， 所以． 由（Ⅱ）可知，且，所以平面．

又因为平面，所以平面平面

5.由（Ⅱ）可知，且，所以平面．又因为平面

，

所以平面平面．

证明（1）连接AC 1交A 1C 于点E ，连接DE

因为四边形AA 1C 1C 是矩形，则E 为AC 1的中点

又D 是AB 的中点，DE∥B C 1，

又DE 面CA 1D ，BC 1面CA 1D ，BC 1∥面CA 1 (４分)

证明（2）AC=BC ，D 是AB 的中点，AB⊥CD，

又AA 1⊥面ABC ，CD 面ABC ，AA 1⊥CD，

AA 1∩AB=A，CD⊥面AA 1B 1B ，CD 面CA 1D ，

平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B (８分)

（3）解：,则（2）知CD⊥面ABB 1B ，所以高就是

，BD=1，BB 1，

PCD PAB ⊥PAB PA ⊂PCD PA ⊥=CD PD D CD PA ⊥PA PD ⊥PA PD AD ==

PAD 1111B A DC C A B D V V --=⊂⊂⊄⊂PCD PAB ⊥PAB PA ⊂PCD PA ⊥=CD PD D CD PA ⊥ABC ⊥BDE BDE DE ⊂平面DE ABC ⊥平面ABC ,EF AC DE EF ⊥222

DE EF DF +=5DF =142EF BC ==132DE PA ==AB F PE AC ⊥PA AC ⊥//PA DE //PA DEF 平面DE DEF ⊂平面PA DEF ⊄平面//PA DE ,PC AC ,D E PAB ⊥AEF ∴AEF ⊂EF PAB ⊥EF ∴PAB AB PA ,A AB PA =⋂EF PA ⊥EF AB ⊥∴//EF BC BC AB ⊥︒=∠90ABC BC PA ⊥∴ABC ⊂BC ABC ⊥PA ABC //EF ∴ABC ⊄EF ABC ⊂BC BC EF //∴PC PB ,F E , PBC ∆⊂⊄⊥ABCD BD 面⊂⊥⊥ ⊥⊂⊥

所以A 1D=B 1D=A 1B 1=2,

(1２分) 6.解：（1）取中点，连结，

，分别是，的中点， ∥，且.

∥，

与平行且相等.

所以四边形为平行四边形，∥. 3

分

又平面，平面.∥平面. 4分

（2）为等边三角形，为的中点，. 又平面，平面.， 6‘ 又，平面. 7分

∥，平面， 8分

平面，平面平面. 10分

（3）取中点,连结., .

平面，平面 ，

又， 平面，

是四棱锥的高，且， 12分 .

7（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，

因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ． 5分

（2）由（1）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，∠BAD ＝120︒．

所以 7分 设AC ∩BD ＝O ，连结OE ，则（1）可知，BD ⊥OE ． 所以．

设三棱锥P -EBD 的高为h ，则

12EBD S BD OE ∆=⋅=1122

ABD S BD AC ∆=⋅=111C A B D V -==11A B D S ∆=

AH =11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形A BCDE -AH ∴BCDE AH ⊥∴BC DC C =DC AH ∴⊥ABC AH ⊂ABC DC ⊥AH BC ∴⊥AB BC AC ==AH H BC ADC ADE ⊥∴ADE EF ⊂ADC EF ∴⊥BG EF ADC BG ∴⊥AC DC C =DC BG ∴⊥ABC BG ⊂ABC DC ⊥BG AC ∴⊥AC G ABC ∆ABC EF ∴ABC BG ⊂ABC EF ⊄BG EF ∴BEFG BE FG ∴CD BE 112FG DC ==CD FG ∴AC AD F G ，

BG FG G AC