高等代数第六章

6）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个 （是） 固定元素. σ：σ(a)＝a ，
0
（既非单，也非满） 7）M是一个集合，定义I： I(a)＝a ， a M （是） （双）
a M
称 I：M→ M为 M 上的恒等映射或单位映射．
Note 1) 映射σ ：M→ M´中为 M 、M´可以相同或不同．
k (a1 , a2 , , an ) ( ka1 , ka2 , , kan ), k P
而且这两种运算满足一些重要的规律,如

1 ( ) ( ) k ( l ) ( kl ) ( k l ) k l 0 k ( ) k k ( ) 0
定义：映射的逆
1 已知双射 : M M ', 定义 : M M 为其的逆 映射，满足对 a M ，当 (a) a时，有 －1 (a) a Note ①只有双射才是可逆映射.
②σ的逆映射是由σ唯一确定的. ③ 1 1M , 1 1M ④若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且
对于 , , P n , k , l P
引例2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，定义了两个多 项式的加法和数与多项式的乘法， 而且这两种运算同样满足上述这些重要的规律：
f ( x) g( x) g( x) f ( x) ( f ( x) g( x)) h( x) f ( x) ( g( x) h( x)) f ( x) 0 f ( x) f ( x) ( f ( x)) 0 1 f ( x) f ( x)
（σ－1）－1＝σ．
例题
1 , x R ，问： 例2、令 f : x x, g : x x 1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
g ，证明： 例3、设映射 : A B, : B C，令：
1）如果 g 是单射，那么 σ也是单射； 2）如果 g 是满射，那么 τ也是满射；
: M M ' 或 一个映射，记做 M M'
象与原象： 称
a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为
a在映射σ下的原象，记作σ(a)＝a´ 或 Note ① M在映射σ下的象，Imσ＝ 显然，Im M '
:a
a.
( M ) { (a) a M }
1. B是A的子集(B包含于A) ，记作 B A B A 当且仅当 x B x A 2. A与B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 A B且 B A 3. A与B的交： A B {x x A且x B}； 4. A与B的并： A B {x x A或x B} ; 显然有: A B A; A A B 5. A与B的差： A B {x | x A且x B; } 6. A与B的积 ： A B {( x, y) | x A且y B}。 Ex
( ) ◇利用负元素，可以定义减法： 3、 0 0, k 0 0, (1)
4、k ＝0

k＝0或 ＝0.
例7 证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零
向量，则V一定含有无穷多个向量.
Note 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间. Ex
第六章 线性空间
§0. 引言
线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的
抽象和推广．
在解析几何中讨论的三维向量，其加法和数与向量的乘
法可以描述一些几何和力学问题的有关属性． 把三维向量推广为n维向量，定义n维向量的加法和数量 乘法运算，可以阐明线性方程组的解集合的理论等．
具体做法：把n维向量抽象成集合中的元素，撇开
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R

a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
1. 若集合A有n个元素，则含有k(k<n)个元素的A 的子集有多少个？ 2. 已知 M { Ann | A A}, N {Bnn | B Leabharlann Baidu},求 M N , M N , M N
3.映射的定义
定义：映射指一个对应法则，
设M、M´是给定的两个非空集合，通过法则σ，有 对于 a M , | a M 与之对应，则称 σ为M到M´的
4） 上两种运算满足下列8条规则：
① ② ( ) ( )
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0 （具有这个性质的元素0称为V的零元素） ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ，使得
0 ;（β 称为 的负元素） ⑤ 1 ⑥ k (l ) (kl )
向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘 法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了 抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步 研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得 到应用．
§1. 集合与映射
集合的定义 集合间的关系与运算
映射的定义 映射的运算与性质
1. 集合的定义
运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
例1 引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间．
例2 线性空间 P[x]n P[ x ]n { f ( x ) an1 x n1
a1 x a0 an1 , , a1 , a0 P }
例6 线性空间 V f ( A) f ( x ) R[ x ], A R nn


即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．
例7 收敛于0的实数无限序列对于极限的加法和
数乘能否构成线性空间．
2. 线性空间的性质
1、零元素是唯一的. 2、任意元素的负元素是唯一的，记为- ．
2) M 中元素的象要唯一、且M´中每个元素都要有象.
3) M 中不同元素的象可能相同. 4) 函数可以看成是映射的一个特殊情形：任意一个 在实数集R上的函数 y＝f(x)都是实数集R到自身 的映射. Ex
4. 映射的性质与运算
定义：映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M '' ， 乘积 定义为： (a)＝τ(σ(a)) a M
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
②集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换．
例题1
1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝2， （不是） （不是） τ：τ(a)＝3,τ(b)＝2,τ(c)＝2 ,τ(c)＝3 2）M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n, n Z （是） （双） 3）M＝Z，M´＝Z＋， σ：σ(n)＝|n|, n Z （不是） （是） （满） n Z τ：τ(n)＝|n|＋1, nn 4）M＝ P ，M´＝P，（P为数域） （是） （满） σ：σ(A)＝|A|， A P nn nn 5）M＝P，M´＝ P ，（P为数域） τ：τ(a)＝aE， a （ （单） P E为n级单位矩阵） （是）
集合的表示方法
描述法：M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：M＝｛a1，a2，…，an｝
元素与集合的关系 a A ； 1. a 属于A，记作： 2. a不属于A，记作: a A . 空集：φ
约定：空集是任意集合的子集合. ｛φ｝≠φ ｛0｝≠φ
2. 集合间的关系与运算
⑦ (k l ) k l ⑧ k( ) k k
Note
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定：
若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者
k (lf ( x)) (kl) f ( x)
(k l ) f ( x) kf ( x) lf ( x) k( f ( x) g( x)) kf ( x) kg( x)
1. 线性空间的定义
定义P是一个数域，称V是数域P上的一个线性空间，若
1）V是一个非空集合， 2）V中元素对于定义的加法运算封闭， 3） P与V的元素之间定义的数量乘法运算封闭，
例子（例题1中4）和5））
Note
① 是 M 到 M“ 的一个映射 ②对于任意映射 : M M ' ，有 IM IM
③映射的乘法不满足交换律，
④结合律 : M M ', : M ' M '', : M '' M ''' ， ( ) ( ) 有
映射的性质
σ是M到M´的一个满射（或称 σ为映上的）： 满射：
若 Im M ' （即对于任意 y M '，均存在 x M，使 y ( x) ），
单射： σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
a1 , a2 M , 若a1 a2 , 则 (a1 ) (a2 )
（或 a1 , a2 M , 若 (a1 ) (a2 ), 则a1 a2 ）， （或称σ为 1—1对应） 双射： σ既是单射，又是满射。
Ex
Note ：双射的乘积还是双射.
Note
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对 应的充要条 件是它们所含元素的个数相同； ② 上结论不适用于无限集.如例1中的2）
§3. 维数、基与坐标
基本概念 线性空间中向量之间的线性关系
线性空间的维数、基与坐标
1. 基本概念
V 是数域 P 上的一个线性空间 向量组 1 , 2 , , r 的一个线性组合： 1）
k11 k2 2 kr r 其中 1 , 2 , , r V (r 1), k1 , k2 , , kr P,