数值分析第四版第四章数值积分与数值微分精品PPT课件

b
n
b
R( f ) f (x)dx a
在a,b内存在一点 ,使得
b
I ( f ) f (x)dx (b a) f ( )
a
f ?
称 f 为 f x 在区间 a,b上的平均高度.
3、求积公式的构造
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：Biblioteka nAk b ak 0
n
k 0
Ak xk
1 2
b2 a2
n
k 0
Ak
xk m
1 m 1
bm1 am1
§2 插值型求积公式
一、定义
在积分区间 a,b上，取 n 1个节点 xi , i 0,1, 2,..., n
作f x 的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:
2 式（两点求积公式）
I f f a f b b a
2
y
f b
f a Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
ab 2
并令 f
f
a4 f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地 ，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达 式相当复杂,计算极不方便.
例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 x 2 2x 2 3 3 x 2x 2 3 9 ln( 2 x 2x 2 3 )
4
16
16 2
3. f x没有解析表达式，只有数表形式:
R(Pm1 ) I (Pm1 ) I n (Pm1 ) 0
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
(i) R(xk ) I (xk ) In (xk ) 0, (0 k m)
(ii) R(xm1) 0
注：梯形公式与中矩形公式都只具有1次代数精度。
一般的，若要使求积公式（1）具有m次代数精度，则只要 使求积公式对f (x) = 1，x，x2，…, xm 都准确成立，即
由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L 48 1 ( f ' (x))2 dx 48 1 (cos x)2 dx
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分。
WhatI’t’s tshseo Ocorimgipnlaelx that funwcetiocnan?!not
get it.
类似的，下列函数也不存在由初等函数表示的原函数: sin x 2 , cos x 2 , sin x , 1 , 1 x3 , ex2 x ln x
x 12 3
f x 4 4.5 6
45 8 8.5
原来通呵过呵原…函这数就来需计要积 算积分分有的它数的值局方限法性来。帮
那…忙…啦。
怎么办呢？
二、数值积分的基本思想
1、定积分的几何意义 y
f x
b
I ( f ) f (x)dx
a
oa
bx
2、数值积分的理论依据
依据积分中值定理, 对于连续函数 f x ,
实际问题
1.
的原函数
不能用初等函数表示
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平 整的铝板压制而成的.
假若要求波纹瓦长4英尺, 每个波纹的高度(从中心线)为1英寸, 且每个波纹以近似 英寸为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需
铝板的长度L.
这个问题就是要求由函数
给定的曲线,
从 x0到
英寸间的弧长L.
I
f
f
a
2
b
b
a
右矩形公式： I f f bb a
左矩形公式： I f f ab a
y
f x
f a Oa
bx
中矩形公式：
y
I
f
f
a
b 2
b
a
f x
f
a
2
b
O
a
ab b x
2
右矩形公式： I f f bb a
y
f x
f b
O
a
bx
➢ 若取 a, b 两点，并令 f f a f b ，则可得梯形公
处的高度 f xi ,i 0,1,..., n
通过加权平均的方法近似地得出平均高度 f
这类求积方法称为机械求积:
b
n
f (x)dx (b a)
a
i f (xi )
i0
或写成:
求积节点
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
数值积分公式
求积系数
记
n
In ( f ) Ak f (xk ) k 0
n j0
b a
l
j
(
x)dx
f
(
x
j
)
b
a Rn (x)dx
取
b
n
b
f (x)dx
a
f (x j ) a l j (x)dx
Aj
j0
Aj
b a
n (x xi ) dx i0 ( x j xi )
由 节点 决定，
与 f x无关。
i j
二、截断误差与代数精度
1、截断误差
称为数值 求积公式
（1）
b
n
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f (x)dx Ak f (xk ), （2）
k 0
称为求积公 式余项(误
差).
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i) 确定求积系数 Ak 和求积节点 xk；
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
n
Ln ( x) lk ( x) f ( xk ) k 0
则有
f (x) Ln (x) Rn (x)
其中，
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
wn1
(
x)
n
wn1(x) (x x j ) j0
为插值余项。
于是有：
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
三、求积公式的代数精度
n
定义4.1：称求积公式 In ( f ) Ak f (xk ) 具有m次代数精度,如 k 0 果它满足如下两个条件:
(i) 对所有次数≤m次的多项式 Pm (x,)有
R(Pm ) I (Pm ) I n (Pm ) 0
(ii)存在m+1次多项式 Pm1 (x),使得
第四章
数值积分 与数值微分
§1 引 言
一、数值积分的必要性
本章主要讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求函数 f x 的原函数 F x
☞ 有解析表达式； ☞ 为初等函数．