人教版高中数学必修1(全册)导学案
高中数学人教A版必修1全册导学案及答案
高中数学必修1导学案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合.[知识要点]1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.（1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学;（3）不等式217x +>的整数解;（4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2．下列四个集合中，是空集的是 （）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-3指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-3指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：深入学习指数函数的性质学习重点：能解决与指数函数有关的综合应用问题 学习过程：一、 关于定义域：求下列函数的定义域 1、1621-=xy2、191-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy3、x y 416-=二、 关于值域： 1、求下列函数的值域（1）3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y（2）xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32（3）212225.0+-=x x y（4）231-=+x y ，[]0,2-∈x （5）121-=x y2、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上的最大值比最小值大2a ，则a 的值为______三、 关于单调性：1、 求下列函数的单调区间 （1）12.01-=xy(2)322-+=x x a y ）（1,0≠>a a2、 已知x x a a a a -++>++122)2()2(，则x 的取值范围是_____________四、 关于奇偶性 1、判断函数xx f 2121)(+-=的奇偶性2、已知函数x x eaa e x f +=)( )0(>a 是R 上的偶函数，求a 的值 一、选择题1、 若指数函数y a x =+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-12、已知310x =，则这样的（ ）A 、 存在且只有一个B 、 存在且不只一个C 、 存在且x <2D 、 根本不存在 3、函数f x x ()=-23在区间()-∞，0上的单调性是（ ） A 、 增函数 B 、 减函数C 、 常数D 、 有时是增函数有时是减函数4、下列函数图象中，函数y a a a x =>≠()01且，与函数y a x =-()1的图象只能是（ ）y y y yO x O x O x O xA B C D11115、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的的值的集合是（ ）A 、 {}x x <0B 、 {}x x <1C 、 {}x x =0D 、 {}x x =16、函数f x g x x x ()()==+22，，使f x g x ()()=成立的的值的集合（ ） A 、 是φ B 、 有且只有一个元素 C 、 有两个元素 D 、 有无数个元素7、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）A 、1a >且1b <B 、01a <<且1b ≤C 、01a <<且0b >D 、1a >且0b ≤ 8、F(x)=(1+)0)(()122≠⋅-x x f x是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数，也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数，也不是偶函数 二、填空题9、 函数y x =-322的定义域是_________。
人教版高中数学必修1：11 集合 必修一导学案
1 / 9第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（1课时）【学习目标】1. 学习重点：了解集合、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.2. 学习难点：列举法、描述法.3. 学习意义：了解集合在现代数学中的基础作用，初步体会集合思想在数学中的应用.【预习导学】（一）新课导入：我们在初中接触了一些集合，请你尝试用合适的方法表示下列集合：1. 自然数的集合 ；2. 不等式73x -<的解的集合 ；3. 圆 .（二）自主预习（预习教材P2―P5）完成该下列问题，不明白的做记号.1.集合的含义与特性阅读下列几个例子，理解其含义，能否构成集合？（1）1到20以内的所有素数 ；（2）身材较高的人 ；（3）方程2320x x +-=所有的实数根 ；（4）广美附中高一所有的学生 ；一般地，我们把研究对象统称为 ；把一些元素组成的总体叫 ；集合具有三大特性： 、 、 ，这是判断语句是否确定一个集合的依据；构成两个集合的元素是一样的，我们称之为两个集合 .2.元素与集合的关系(1). 集合通常用大写字母,,,A B C 表示，元素通常用 表示，如果a 是集合A 的元2 / 9素，就说a 属于集合A ，记作： ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作： .(2). 数的集合称之为 ；常用的数集的记法：自然数集（非负整数集）记作 ；正整数集记作 ；整数集记作 ；有理数集记作 ；实数集记作 ；3.集合的表示如何表示一个集合？上面我们表示数集可以采用自然语言描述一个集合，除此以外，还能用什么方法表示集合？(1). 列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，这种表示集合的方法叫做 . 请用列举法表示方程2x x =的实数解 ；问题探究：你能不能用列举法表示不等式73x -<的解集？为什么？(2). 描述法如果集合中的元素无法列举，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 ， 一般形式为 ，其中x 代表元素，P 是确定条件. 用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如{|21,}x x k k Z =-∈； {|0}x x >. 请用描述法表示不等式73x -<的解集 ；【例题精析】题型一： 集合的性质理解例1.下列语句是否能构成一个集合？如果是请指出集合的元素，不是说明理由.（1）全体实数组成的集合 ；（2）我国的小河流 ；（3）大于3小于11的偶数 ；（4）平方值等于1-的全体实数 .例2. 用符号∈或∉填空：0 N 0 R 3.7 +N 3.7 Z 3- Q题型二 集合的表示方法例3. 试分别用列举法和描述法表示下列集合：3 / 9方程220x -=的所有实数根组成的集合； ； .【变式训练】用合适的表示方法表示下列集合：1. 不等式50x -<中所有正整数： ；2. 一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合 .方法总结：1. 列举法的特点是 .2. 描述法的特点是 .【堂上练习】1. 下列说法正确的是A ．高一年级中的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．13611,0.5,,,2244能组成一个集合 2. 给出下列关系：① 12R =；② 2Q ；③3N +-∉；④3.Q -其中正确的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为A. {0,1}B. {(0,1)}C. 1{,0}2-D. 1{(,0)}2-4. 试选择适当的集合表示方法表示下列集合（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合 .（2）不等式453x -<的解集 .【课堂小结】1．表示集合的主要的方法有 .2. 注意∈与⊆区别 .3. 集合具有三个性质是： .1.1.2 集合间的基本关系（1课时）【学习目标】4 / 91. 学习重点：理解集合之间包含于、相等的含义，能识集合的子集；了解空集的含义；2. 学习难点：子集、真子集、集合相等、空集之间的含义；3. 学习意义：通过学习集合之间的关系，为后章集合运算打下良好的基础.【预习导学】（一）新课导入回顾：用合适的方法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合 .（2）由大于10小于20的所有实数组成的集合 .（二）自主预习：（预习教材P6-P7）完成该下列问题，不明白的做记号.实数之间有大小关系，两个集合之间有没有关系呢？如：集合{}1,23A =，，{}1,2,3,4,5B =，我们发现，集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说集合A 与集合B 有包含关系.1.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作： ，读作： ，或 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：图1-1 2. 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，记作 .如：集合{}{}1,2=(1)(2)0x R x x ∈--=3.真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集，记作： .4.空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作： .并规定：空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 . 如：{}210x R x ∈+== . 问题探究：你能用合适的方法表示子集、真子集、集合相等，空集之间的关系吗？【例题精析】题型：两集合之间的关系理解B A5 / 9例1.已知集合}{}{12,01A x x B x x =-<<=<<，则A. B A > B . B A ⊆ C. AB D. B A 例2. 用适当的符号填空.（1）a {,,}a b c （2）∅ {}230x R x ∈+= （3）{0} 2{|0}x x x -=. 例3.写出集合{}1,2A =的所有子集：（1）不含元素的子集有 .（2）含1个元素的子集有 .（3）含2个元素的子集有 .（4）其中真子集有 个；非空真子集有 个. 【变式训练】写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.方法总结：两个集合之间的关系主要有 .【堂上练习】1. 集合}{Z x x x A ∈<≤=且30的真子集的个数为A . 5B . 6C . 7D . 82. 满足M a ⊆}{的集合},,,{d c b a M 共有A . 6个B . 7个C . 8个D . 15个3. 设集合}{{ax x x B x x A -==-=2,01}02=-，若B A ⊆，求a 的值. 【课后作业】（一）基础题1. 下列结论正确的是A. ∅∈AB. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈2. 比较下面例子，用合适的符号表示两个集合之间的关系：（1）{|(1)(2)0}E x x x x =--= {0,1,2}F = .6 / 9（2）{|(1)(2)0}E x x x x =--= {}1,2F = .（3）{}3E x x =>- {}2F x x => .3. 设{}2A x x =<，{}1B x x =<，则B A .4. 集合},02{2R x a x x x M ∈=-+=，且φM ，则实数a 的范围是 A . 1-≤a B . 1≤a C . 1-≥a D . 1≥a(二)能力提升1. 设{}2A x x =<，{}B x x a =<，B A ⊆,则a 的范围是 .2. 设{}2A x x =<，{}B x x a =<，B A ⊂≠,则a 的范围是 .3. 若集合{}{}2=1,1A x x B x ax ===，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.1.1.3 集合的基本运算(2课时)【学习目标】1. 学习重点：（1）会求两个简单集合的并集与交集、补集.（2）能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算.2. 学习难点：两个简单集合的交集、并集、补集.3. 学习意义：理解集合的运算，类比数的运算，深刻理解集合思想.【预习导学】（一）新课导入：用适当的符号填空：0 {0}； ∅ {x |210,x x R +=∈}； {}3x x >- {}2x x >. （二）自主预习：（预习教材P8-P11）完成该下列问题，不明白的做记号.1. 并集、交集、补集(1). 由所有属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作： ，读作：A 并B ，用描述法表示是： .并集的Venn 图如下表示.图1-2 (2). 由属于集合A 属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集，B A7 / 9记作 ，读“A 交B ”， 用描述法表示是： ;交集的 Venn 图如下表示.图1-3 (3). 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 .(4). 设集合A ⊆U ，由U 中所有 A 的元素组成的集合，称这个集合为 ，记作： ，读作：“A 在U 中补集”； 用描述法表示是 .补集的Venn 图表示如右：图1-42. 两个集合的交、并、补的性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；问题探究1：若A ∩B=A ，则集合A ，B 的关系是什么？试用韦恩图表示出来.问题探究2：若A B= A ，则集合A ，B 的关系是什么？试用韦恩图表示出来.【例题精析】题型一：理解集合的交集、并集、补集运算例1. 设集合{}123456U =，，，，，,{}1,23A =，，{}34,5,6B =，.用Venn 图表示,A B 如下： 则A B = ； A B = ； 【变式训练】设集合{}12x x =-<<,集合{}13B x x =<<，在数轴上表示AB ，A B . 则A B = ； A B = ； R A = .方法总结：一般地说，集合之间的运算，除了可以用韦恩图表示外，若是数集，还可以采用数轴的方法直观表示，体现了数形结合的解题方法.题型二：集合思想的应用例2. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点 . （2）12L L =∅ . （3）1212L L L L == .A B A U U A 1, 2 3456BA8 / 9 【变式训练】 设全集{}U x x =是三角形,{}A x x =是锐角三角形，{}B x x =是钝角三角形，求A B ，()U A B ,()()U U A B .方法总结：数学有很多的知识可以用集合的思想去理解，集合思想是数学的基本概念之一.【课堂练习】1. 已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有A . P M =B . P M ⊇C . M P M =D . P M ⊆2. 集合(){},0P x y x y =+=，(){},2Q x y x y =-= ，AB 3. 设集合{}{}=04,7A x x B x a x ≤<=<≤. （1）若AB φ=,求a 的取值范围； （2）若A B B =,求a 的取值范围.【课堂小结】1．用自己的语言总结：两个集合的交集，就是 ；并集是 ；补集是2. 我们在解题时，常采用图示法解题，一般的图示法有 .特别要注意分类讨论的方法解题.【课后作业】（一）基础题1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B 等于A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤ 2. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3. 若集合{}=0,1,2,3A ，{}=1,2,4B ，则集合A B =A ．{}01234，，，，B ．{}1234，，，C ．{}12，D ．{}04. 设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则ST =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-9 / 9 5. 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，在数轴上求A ∩B 、A ∪B .（二）能力提升1. 某校秋季运动会中，若集合A ={参加比赛的运动员}，集合B ={参加比赛的男运动员}，集合C ={参加比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A. A B ⊆B. B C ⊆C. B C = AD. A ∩B = C2. 集合{}{}22(,),1,(,),1A x y x y x y B x y x y x y =+==+=为实数，且为实数，且，则A B 的元素个数为A ．4 B.3 C.2 D. 13. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若AB =∅，求实数a 的取值范围是 .4. 已知集合}023|{2=+-=x ax x A .(1) 若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 .(2) 若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是 .。
[人教A版]高中数学必修一(全册)导学案及答案汇总
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§1.1.1 集合的含义与表示（1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点；③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +；⑤ 东升高中高一级全体学生；⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合.试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：①不等式30x->的解；②3的倍数；③方程2210-+=的解；x x④a，b，c，x，y，z；⑤最小的整数；⑥周长为10 cm的三角形；⑦中国古代四大发明；⑧全班每个学生的年龄；⑨地球上的四大洋；⑩地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A.试试3：设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B，0 B，－1 B.探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；整数集：全体整数的集合，记作Z；有理数集：全体有理数的集合，记作Q；实数集：全体实数的集合，记作R.试试4：填∈或∉：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，. 探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：① 15以内质数的集合；② 方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；③ 一次函数y x =与21y x =-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x =的图象与二次函数2y x =的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※ 学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※ 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）.A ．某个村子里的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．1361,0.5,,,224 2. 给出下列关系：① 12R =；② Q ；③3N +-∉；④.Q 其中正确的个数为（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为（ ）.A. {0,1}B. {(0,1)}C. 1{,0}2-D. 1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.x x1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100-=的所有实数根组成的集合.x x2. 设x∈R，集合2=-.A x x x{3,,2}（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为.其中的每个对象叫作.集合中的元素具备、、特征.集合与元素的关系有、.复习2：集合2=++的元素是，若1∈A，则x= .A x x{21}复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法① {方程210x -=的根}；② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如{|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别.（1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x =-.反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x =-与2{|1}y y x =-不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x >，{|3,}x x k k Z =∈.③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※ 动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.练2. 已知集合{|33,}A x x x Z =-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A ==+∈. 试用列举法分别表示集合A 、B .三、总结提升※ 学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x =+与集合2{|1}y y x =+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（ ）.A. 6A ∈B. 0A ∈C. 3A ∉D. 3.5A ∉2. 下列说法正确的是（ ）.A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（ ）.A. {1,2}-B. {1,2}x y ==-C. {(2,1)}-D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为.5.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空：4 A ，4 B ，5 A ，5 B .1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N =+=∈∈ ，试用列举法表示集合A .（2）设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ，且n <10}，B ＝{3的倍数}，求属于A 且属于B 的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，求实数a 、b .§1.1.2 集合间的基本关系1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.67复习1：集合的表示方法有 、 、. 请用适当的方法表示下列集合.（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且；{}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生；{|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A .当集合A 不包含于集合B 时，记作A B .② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V enn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※ 典型例题例1 写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x =->与{|250}B x x =-≥；（2）设集合A ={0,1}，集合{|}B x x A =⊆，则A 与B 的关系如何？变式：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围.※ 动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x =-+=，B ＝{1,2}，{|8,}C x x x N =<∈，用适当符号填空：A B ，A C ，{2} C ，2 C .练 2. 已知集合{|5}A x a x =<<，{|2}B x x =≥，且满足A B ⊆，则实数a 的取值范围为 .三、总结提升※ 学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※ 知识拓展 n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n -个.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列结论正确的是（ ）. A. ∅A B. {0}∅∈ C. {1,2}Z ⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. 1a < B. 1a ≤ C. 1a > D. 1a ≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-4. 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.5. 设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A 表示合格产品的集合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆ 试用Venn 图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）学习目标1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89 复习1：用适当符号填空.0 {0}； 0 ∅；∅ {x |x 2＋1＝0,x ∈R }； {0} {x |x <3且x >5}；{x |x >－3} {x |x >2}； {x |x >6} {x |x <－2或x >5}.复习2：已知A ={1,2,3}, S ={1,2,3,4,5}，则A S ， {x |x ∈S 且x ∉A }= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学 ※ 学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A =，{3,5,7,8}B =.（1）试用Venn 图表示集合A 、B 后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.① 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即： {|,}.A B x x A x B =∈∈且Venn 图如右表示.② 类比说出并集的定义.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集（union set ），记作：A B ，读作：A 并B ，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B =∈∈或.Venn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ；（2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ； （3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝ ，A ∩B ＝ . （4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝ ；A ∪A ＝ . A ∩∅＝ ；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .变式：（1）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|43}B x y x y =+=，则A B = ； （2）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|8212}B x y x y =+=，则A B = .反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※ 动手试试练1. 设集合{|23},{|12}A x x B x x =-<<=<<.求A ∩B 、A ∪B .A练 2. 学校里开运动会，设A ={x |x 是参加跳高的同学}，B ={x |x 是参加跳远的同学}，C ={x |x 是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B 与B C 的含义.三、总结提升 ※ 学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B C =（）（）， A B C A B C =（）（）， A A B A A A B A ==（），（）. 你能结合V enn 图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B 等于（ ）.A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）. A. x =3, y =－1 B. (3，－1) C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（ ）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B = .课后作业1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点； （2）12L L =∅； （3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B .§1.1.3 集合的基本运算（2）1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1011 复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B = ； A B = .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学 ※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集.① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且. 补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ； （3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A = ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？ （2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B .※ 动手试试练 1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合Venn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A = ，()U A C A = ； （2）()U U C C A = .三、总结提升 ※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1）()()()U U U C A B C A C B =； （2）()()()U U U C A B C A C B =.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）. A. {|02}x x x ≤≥或 B. {|02}x x x <>或 C. {|2}x x ≥ D. {|2}x x >3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--,{}0,3,4N =--，则()I M N =（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？ A B = ； A B = ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A = ；()U A C A = ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学 ※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点； （2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法. 例 3 若{}{}22430,10A x x xB x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。
湖北省武汉为明学校人教版高中数学必修一：1.1.1(1)导学案
课题：1.1.1 集合的含义与表示（1）第1课时集合的含义班级: 姓名: 小组: 评价:【学习目标】（1）学生通过观察８个例子，能准确说出集合的含义；（2）学生通过阅读“集合元素与集合的关系”，能准确判断一个元素是否属于某个集合；（3）学生通过实例，能用教师要求的方法：自然语言、图形语言、列举法表示集合，并能说出集合的三个特征与记住常用数集。
【重点难点】重点：集合的含义.难点：元素的三个特性的应用.【导学流程】一、导入由一个实际问题入手，导入课题二、深入学习1.阅读教材第2页8个例子，思考：（1）例（3）到例（8）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？（学生口答）2.学生归纳总结出集合的概念和集合元素的三个特性：（1）一般地，我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做，简称集。
集合通常用的拉丁字母表示，集合的元素用的拉丁字母表示.（2）一般地，元素的三个特性是指，，。
3.判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流.（分组讨论，小组派代表口答）4.学生阅读教材第3页，明确元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作：a A；如果a不是集合A的元素，就说a集合A，记作：a A. 问题记录典例分析：类型一集合的概念例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2014年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.类型二元素的三个特性的应用例2 已知集合A有三个元素： a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.类型三元素与集合的关系例3数集A满足条件：若a∈A，a≠－1，则1∈A.1＋a(1)若2∈A，写出A中的其他两个元素；(2)若A为单元素集合，求a.三、堂测堂练A 组：1.下列给出的对象中，能组成集合的是( )A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x2－1＝0的实数根2.下面说法正确的是( )A.所有在N 中的元素都在*N 中B.所有不在*N 中的数都在Z 中C.所有不在Q 中的实数都在R 中D.方程84-=x 的解既在N 中又在Z 中3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( )A.1B.2C.3D.44.下列结论不正确的是( )A.0∈NB.2∉QC.0∉QD.－1∈Z5.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可B 组：6. 已知集合M 中含有三个元素b a ,,2，集合N 中含有三个元素2,2,2b a ，且N M =，求b a ,的值.。
人教版高中数学必修一《集合》导学案(含答案)
第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．45.符号____ ________ ____ 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a ，b ，c 与由元素b ，a ，c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义知识梳理1．(1)研究对象 小写拉丁字母a ，b ，c ，… (2)一些元素组成的总体 大写拉丁字母A ，B ，C ，… 2.确定性 互异性 无序性3．一样 4.a 是集合A a 不是集合A 5.N N *或N ＋ Z Q R作业设计1．C [选项A 、B 、D 都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C [由题意知A 中只有一个元素a ，∴0∉A ，a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A 中含有3个元素，即a 2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [方法一 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．方法二 令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3．将集合表示成列举法，正确的是()A．{2,3} B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有()A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6．方程组的解集不可表示为()A．B．C．{1,2} D．{(1,2)}6二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号) ①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法{x|x<10}{x∈Z|x＝2k，k∈Z}作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x<5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y)|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y)，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3. 所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x1＝x2＝1，故方程x2－2x ＋1＝0的解集为{1}．]5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}．8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标；②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集．9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④.10．解 ①∵方程x(x2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；②{x|x ＝2n ＋1，且x<1 000，n ∈N}；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x2＋3中y 的取值范围是y≥3，所以B ＝{y|y≥3}． 集合C 中代表的元素是(x ，y)，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x2＋3上，所以C ＝{P|P 是抛物线y ＝x2＋3上的点}．12．C [由集合的含义知{x|x ＝1}＝{y|(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C.]13．A [M ＝{x|x ＝2k ＋14，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝k ＋24，k ∈Z}， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数，∴x0∈M 时，一定有x0∈N ，故选A.]。
高中数学必修1全册导学案及答案(145页)
§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
新人教A版必修1高中数学2.1.2-1指数函数及其性质导学案
高中数学 2.1.2-1指数函数及其性质导学案 新人教A 版必修1学习目标：1、理解指数函数的定义 2、掌握指数函数的图象和性质 学习重点：指数函数性质的应用 学习过程：一、情景体验、获得新知1、一张纸对折1次，厚度变为原来的2倍；对折2次，厚度变为原来的 倍；对折3次，厚度变为原来的2倍；对折4次，厚度变为原来的____ 倍；对折次，厚度变为原来的______倍。
2、指数函数的概念____________________ 练习：1、下列函数中是指数函数的是________ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥2、函数是指数函数，则a=_________二、指数函数的图象与性质1、图象：在直角坐标系中作出下列函数的图象(1)(2)2、指数函数的图象和性质练习：1、 若a>1，-1<b<0，则函数的图象一定在第_____象限 2、 比较大小（1） ，（2），(3) ,一、选择题(每小题5分，共20分)1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B.()1，＋∞C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，123．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)5．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x∈Z，则M∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0} 6．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝____8．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．9．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.10．下列空格中填“>、<或＝”．(1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.三、解答题(每小题10分，共20分)11．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－2x(a >0且a ≠1)．12．已知a>0且a≠1，讨论f(x)＝a－x2＋3x＋2的单调性．．．13．(10分)已知函数f(x)＝3x＋3－x.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．。
人教版高中数学必修一全册导学案
人教版高中数学必修一全册导学案尊敬的读者：在这篇文章中，我将为您提供人教版高中数学必修一全册导学案。
这是一份由数学教师编写的全面指导学生学习高中数学课程的材料。
以下是每个单元的导学案，旨在帮助您更好地理解和掌握相关的数学概念和技巧。
第一单元：函数的概念与基本性质本单元导学案旨在帮助学生们理解函数的基本概念和性质。
在这个单元中，学生将掌握如何用映射、关系、对应等方式描述函数的概念，并了解函数的定义域、值域和图像等基本性质。
第二单元：一次函数与二次函数在这个单元的导学案中，学生将学习一次函数和二次函数的图像、性质和应用。
学生将学会如何识别一次函数和二次函数的特点，并学习如何利用函数的图像解决实际问题。
第三单元：指数与对数函数这一单元的导学案将帮助学生们理解指数函数和对数函数的概念和性质。
学生们将学习指数函数和对数函数的性质、图像以及它们的运算法则，并能够应用指数和对数函数解决实际问题。
第四单元：三角函数本单元的导学案将介绍三角函数的基本概念和性质。
学生将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像，并掌握化简三角函数表达式的方法。
第五单元：数列与数学归纳法这个单元的导学案旨在帮助学生理解数列的概念和性质，并学习数列的求和公式和通项公式。
学生们将学习如何应用数学归纳法解决数列相关的问题。
第六单元：排列与组合在这个单元的导学案中，学生将学习排列和组合的基本概念和性质。
通过学习排列和组合的问题，学生可以培养解决实际问题的能力。
第七单元：概率与统计在概率与统计的导学案中，学生将学习如何计算事件的概率和统计数据，并了解一些常见的概率分布和统计方法。
第八单元：二次函数的图像与性质在这个单元的导学案中，学生将深入学习二次函数的图像和性质。
学生将学习如何识别二次函数的图像特点，并学习如何应用二次函数解决实际问题。
第九单元：三角函数的图像与性质这个单元的导学案将介绍更多关于三角函数的图像和性质。
学生将学习如何识别三角函数的图像特点，并学会通过图像推导三角函数的性质和公式。
高中数学必修1(全册)导学案汇总
高中数学必修1(全册)导学案汇总
导学案1：数学命题与证明
内容：本导学案主要介绍数学命题和证明的基本概念和方法。
通过研究，学生将会了解什么是命题，命题的分类以及命题的真值；同时也会研究到数学证明的基本步骤，如假设、推导和结论等。
导学案2：分式与整式
内容：本导学案主要介绍分式和整式的概念、性质和运算方法。
学生将研究如何化简分式，如何进行分式的加减乘除运算；同时也
会研究整式的展开和因式分解的方法。
导学案3：一次函数与二次函数
内容：本导学案主要介绍一次函数和二次函数的基本概念和性质。
通过研究，学生将会了解一次函数和二次函数的图像特征，掌
握如何求解一次方程和二次方程，以及如何利用一次函数和二次函
数进行问题求解。
导学案4：三角函数
内容：本导学案主要介绍三角函数的概念和性质。
学生将研究
正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特征，掌握三角函数的周期性、奇偶性和性质等。
同时也会了解三角函数与三角恒等式的关系，并且能够灵活运用三角函数解决实际问题。
导学案5：平面向量基础
内容：本导学案主要介绍平面向量的基本概念和性质。
学生将
研究如何表示平面向量及其运算，掌握平面向量的线性运算法则和
向量共线、垂直的判定方法。
同时也会研究向量的数量积和向量的
夹角等重要概念，以及它们的性质和应用。
以上是《高中数学必修1》全册的导学案汇总，通过系统学习
这些导学案中的内容，学生将能够建立起扎实的数学基础，为进一
步的学习打下坚实的基础。
【人教A版】高中数学必修一：第1章《集合与函数概念》导学案设计(含答案) 1.3.1 第2课时
第2课时 函数的最值[学习目标] 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值.知识点 函数的最大(小)值及几何意义答 不一定.函数的最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素.若仅有对定义域内的任意实数x ，都有f (x )≤M ，但M 不在函数值域内，则M 不能称为函数的最值.例如函数y ＝1x (0<x <1)，对于任意x ∈(0,1)，0<y <1成立，由于0,1不在值域(0,1)内，因此0,1都不是这个函数的最值，这个函数既没有最大值也没有最小值.题型一 利用函数的图象求最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值.解 作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.反思与感悟 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值.2.如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值.跟踪训练1 (1)函数f (x )的部分图象如图所示，则该函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )A.f (－2)，f (3)B.0,2C.f (－2)，2D.f (2)，2答案 C解析 由图象可知，x ＝－2时，f (x )取得最小值为f (－2)＝－1， x ＝1时，f (x )取得最大值为f (1)＝2.(2)画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈(－∞，0)，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞)的图象，并写出函数的单调区间及函数的最小值.解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.题型二 利用单调性求函数的最值例2 求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值.解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2(x 2－1)(x 1－1)，∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0.∴f (x 2)<f (x 1).∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数.∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 反思与感悟 1.当函数图象不易作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值. 2.函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求证：f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值. (1)证明 设1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2.∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数. (2)解 由(1)可知，f (x )在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2， 当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174. 综上所述，f (x )在[1,4]上的最大值是174，最小值是2.题型三 闭区间上二次函数的最值问题 例3 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，x ∈[－1,1]. (1)若a ＝1，求函数f (x )的最值； (2)若a ∈R ，求函数f (x )的最小值.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114，故函数在[－1，－12]上单调递减，在[－12，1]上单调递增，又f (－1)＝3，f (－12)＝114，f (1)＝5，∴函数f (x )的最大值为5，最小值为114.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝－a2.当－a2<－1，即a >2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝4－a .当－1≤－a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )min ＝f (－a 2)＝a 24－a 22＋3＝3－a 24.当－a2>1，即a <－2时，f (x )＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝4＋a .综上可知，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧4－a ，a >2，3－a24，－2≤a ≤2，4＋a ，a <－2.反思与感悟 1.二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且它们只能在区间的端点或二次函数图象的对称轴上取到.2.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，再依a 的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x ＝－h 得出顶点的位置，再根据x 的定义区间结合大致图象确定最大或最小值.对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.3.对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[p ，q ]上的最值问题可作如下讨论： (1)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的左侧，即当h <p 时，f (x )max ＝f (q )，f (x )min ＝f (p ). (2)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]之间，即当p ≤h ≤q 时，f (x )min ＝f (h )＝k . 当p ≤h <p ＋q2时，f (x )max ＝f (q )；当h ＝p ＋q 2时，f (x )max ＝f (p )＝f (q )；当p ＋q 2<h ≤q 时，f (x )max ＝f (p ).(3)对称轴x ＝h 在区间[p ，q ]的右侧，即当h >q 时， f (x )max ＝f (p )，f (x )min ＝f (q ). 当a <0时，可类似得到结论.跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )的最小值为1. 当x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调函数， 故－a ≤－5，或－a ≥5.即实数a 的取值范围是{a |a ≤－5，或a ≥5}. 题型四 函数最值的实际应用例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400.其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ， 从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f (x )max ＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.反思与感悟 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.2.实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.跟踪训练4 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？ 解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销售量减少10(x －50)个.∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答 售价为70元时，利润最大为9 000元.利用函数最值或分离参数求解恒成立问题例5 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)，∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2， ∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立 ⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立.设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数.所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.反思与感悟 在解决不等式恒成立问题时，最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理，在分离参数后常使用以下结论： a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .跟踪训练5 设f (x )＝x 2＋4x ＋3，不等式f (x )≥a 对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3＝(x ＋2)2－1， 由f (x )≥a 恒成立，知f (x )min ≥a ， ∴a ≤－1.1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( ) A.f (2)，f (－2) B.f (12)，f (－1)C.f (12)，f (－32)D.f (12)，f (0)答案 C解析 由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32).2.已知函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12B.－12 C.1 D.－1 答案 A解析 可知函数f (x )＝1x 在[1,2]上单调递减.∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12，∴A －B ＝12.3.函数y ＝x －1x 在[1,2]上的最大值为( )A.0B.32 C.2 D.3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数， 函数y ＝－1x 在[1,2]上是增函数，∴函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数.当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.4.f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________. 答案 9解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1,2]上递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝9.5.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________.答案 6解析 由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤410－x ，x >4，作出函数f (x )的图象如图所示.易知f (x )max ＝f (4)＝6.1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x .如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得.即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ). 2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.一、选择题1.设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A.只有最大值 B.只有最小值C.既有最大值，又有最小值D.既无最大值，又无最小值 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，画出图象(图略)可知，既无最大值，又无最小值.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对答案 A解析 ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10， f (x )min ＝2×1＋6＝8.又x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8， f (x )min ＝－1＋7＝6，∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.3.函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A.10,5 B.10,1 C.5,1 D.以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]，所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B. 4.函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.54B.45C.43D.34 答案 C解析 因为1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，所以11－x (1－x )≤43.故f (x )的最大值为43.5.函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且函数y ＝f (x )在区间[3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上( ) A.为增函数，且最小值为－5 B.为增函数，且最大值为－5 C.为减函数，且最小值为－5 D.为减函数，且最大值为－5 答案 B解析 由题意画出示意图，如图所示，可以发现函数y ＝f (x )在区间[－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.6.已知关于x 的不等式x 2－x ＋a －1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，54)B.(－∞，54]C.(54，＋∞) D.[54，＋∞) 答案 D解析 设f (x )＝x 2－x ＋a －1，问题等价于f (x )的最小值大于或等于0，∵f (x )＝(x －12)2＋a －54，当x ＝12时，f (x )min ＝a －54，所以a －54≥0，解得a ≥54.故选D.二、填空题7.函数y ＝1x －2，x ∈[3,4]的最大值为________.答案 1解析 函数y ＝1x －2在[3,4]上是单调减函数，故y 的最大值为13－2＝1.8.函数y ＝－x 2＋x ＋2的最大值为________，最小值为________. 答案 32解析 令u ＝－x 2＋x ＋2，则u ≥0，且u ＝－(x －12)2＋94.所以当x ＝12时，u max ＝94，即y max ＝32.又因为u ≥0，所以y min ＝0. 9.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－3，－1]，－x －1，x ∈(－1，4]的最小值为________，最大值为________.答案 －5 0解析 由题意可知，当x ∈[－3，－1]时，y min ＝－2；当x ∈(－1,4]时，y min ＝－5，故最小值为－5.同理可得，最大值为0.10.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3和最小值2，则m 的取值范围是________. 答案 [1,2]解析 因为f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 所以f (0)＝f (2)＝3.又因为m >0，所以m ∈[1,2].三、解答题11.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值.解 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .综上可知，f (x )的最小值为f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ，a >1，2－a 2，－1≤a ≤1，3＋2a ，a <－1.12.若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意知x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立.令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.13.为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地(如图所示的长方形ABCD )上规划出一块长方形地面建小区公园(公园的一边落在CD 上)，但不超过文物保护区△AEF 的边EF .如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB ＝CD ＝200 m ，BC ＝AD ＝160 m ，AE ＝60 m ，AF ＝40 m).解 如图所示，设P 为EF 上一点，矩形CGPH 为规划出的公园，PH ＝x ，则PN ＝200－x . 又因为AE ＝60，AF ＝40，所以由△FNP ∽△F AE ，得FN AF ＝PN AE， 所以FN ＝PN AE ·AF ＝200－x 60·40＝23(200－x )， 所以AN ＝AF －NF ＝40－23(200－x )， 所以PG ＝160－AN ＝120＋23(200－x ). 故矩形CGPH 的面积为S ＝x [120＋23(200－x )] ＝－23(x －190)2＋23×1902(140≤x ≤200). 所以当x ＝190时，S max ＝23×1902＝24 06623(m 2). 答 当PH ＝190 m ，PG ＝126 23m 时，公园的面积最大，最大面积为24 066 23m 2.。
最新人教版高一数学必修一导学案(全册)
1.1 集合的含义及其表示（1）【教学目标】1．初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.3．能根据集合中元素的特点，使用适当的方法和准确的语言将其表示出来，并从中体会到用数学抽象符号刻画客观事物的优越性．【考纲要求】1．知道常用数集的概念及其记法.2．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号.【课前导学】1．集合的含义：构成一个集合.（1）集合中的元素及其表示：.（2）集合中的元素的特性：.（3）元素与集合的关系：（i）如果 a 是集合 A 的元素，就记作 ________ 读作“__________________ ”；（ii ）如果 a 不是集合 A 的元素，就记作__ 或_____ 读作“ ____________ ”【思考】构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】2．常用数集及其记法：一般地，自然数集记作___________ ，正整数集记作__________ 或 _________ ，整数集记作 _______ ，有理数记作______ ，实数集记作 ______ .3．集合的分类：按它的元素个数多少来分：（1） ______________________ 叫做有限集；（2）___________________ ____ 叫做无限集；（3）____________ _叫做空集，记为______________________4.集合的表示方法：（1） ______ ___________________ 叫做列举法；（2）________________ _______ 叫做描述法.（3）_____ ___________________ 叫做文氏图【例题讲解】例1、下列每组对象能否构成一个集合？（1）高一年级所有高个子的学生；（2）平面上到原点的距离等于 2 的点的全体；（3）所有正三角形的全体；（4）方程x2 2 的实数解；（5）不等式x 1 2的所有实数解例2、用适当的方法表示下列集合①由所有大于10 且小于20 的整数组成的集合记作A；②直线y x 上点的集合记作B ；③不等式4x 5 3的解组成的集合记作C ；xy2④方程组的解组成的集合记作D ；xy0⑤第一象限的点组成的集合记作E ；⑥坐标轴上的点的集合记作F .例3、已知集合A x| ax22x 1 0,x R ,若A 中至多只有一个元素，求实数a的取值范围.课堂检测】1．下列对象组成的集体：①不超过45 的正整数；②鲜艳的颜色；③中国的大城市；④绝对值最小的实数；⑤高一（2）班中考500 分以上的学生，其中为集合的是_____________22．已知2a∈A，a2-a∈A，若 A 含 2 个元素，则下列说法中正确的是① a取全体实数；②a 取除去0 以外的所有实数；③a取除去3以外的所有实数；④ a取除去0和3以外的所有实数3．已知集合A {0,1, x 2} ，则满足条件的实数x组成的集合B教学反思】1.1 集合的含义及其表示（2）教学目标】1．进一步加深对集合的概念理解；2．认真理解集合中元素的特性；3. 熟练掌握集合的表示方法，逐渐培养使用数学符号的规范性【考纲要求】3．知道常用数集的概念及其记法4．理解集合的三个特征，能判断集合与元素之间的关系，正确使用符号【课前导学】1．集合A 0,1 , 2,3 ，则集合A中的元素有个.2．若集合x|ax 0,x R 为无限集，则a .3. 已知x2∈{1，0，x}，则实数x 的值124. 集合A x|x N, N ,则集合A=6x例题讲解】例1、观察下面三个集合，它们表示的意义是否相同？(1) A x|y x21 (2) B y|y x21 (3)C (x,y)|y x21a,b,1 ，也可表示为a2,a b,0 ，求a2011b2011.a例2、含有三个实数的集合可表示为例3、已知集合A a 2,(a 1)2,a23a 3 ，若1 A,求a 的值.【课堂检测】1. 用适当符号填空：(1) A x|x2x , 1 _________ A (2) B x|x2x 6 0 , 3 ____________________ B 3C x| x 22,x R,2 5___Cb2．设a,b R,集合1,a b,a 0, ,b ，则b a . a3．将下列集合用列举法表示出来:1 A m| m N且6 m N ;2 B x| 9 N,x N 9x教学反思】1.2 子集·全集·补集（1）【教学目标】1.理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.【课前导学】1．子集的概念及记法：如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素（），则称集合A为集合B的子集,记为________ 或_________ 读作“_________ ”或“___________ ”用符号语言可表示为：________________ ，如右图所示：_______________ .2．子集的性质：① A A ② __________________ A ③ A B,B C,则A___C【思考】: A B与B A能否同时成立？【答】3．真子集的概念及记法：如果A B ，并且A B ，这时集合A称为集合B 的真子集,记为_________ 或__________ 读作“ ___________________ ”或“________________ ”4．真子集的性质：① 是任何的真子集符号表示为 _______________________________②真子集具备传递性符号表示为 _______________________________【例题讲解】例1、下列说法正确的是_________（1）若集合A 是集合B 的子集，则A 中的元素都属于B ；（2）若集合A不是集合B 的子集，则A中的元素都不属于B ；（3）若集合A 是集合B 的子集，则B 中一定有不属于A 的元素；（4）空集没有子集.例 2. 以下六个关系，其中正确的是________（1）{ }；（2）{ }（3）{0} （4）0 （5）{0} （6）{ }例3．( 1)写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出子集的个数；a，b，c｝的所有子集，并指出子集的个【思考】含有n 个不同元素的集合有个子集，有个真子集，有个非空真子集.例 4.集合A {x|x 1} ，集合B {x|x a} .(1) 若A B ,求a的取值范围；(2)若A B,求a的取值范围.【课堂检测】1．下列关系一定成立的是________1 3 x|x 102 {1, 2} { 2,1}3 1,2 x,y |x y 32．集合A x| x(x 1)(x 2) 0 ,则集合A的非空子集有个.3．若A a |a 3n 1,n Z ,B b |b 3n 2,n Z ,C c|c 6n 1,n Z ,则集合A,B,C 的包含关系为.教学反思】1.2 子集·全集·补集( 2)【教学目标】1.理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2.通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.【考纲要求】1. 理解全集、补集概念，会进行简单集合的运算；2. 通过概念教学，提高学生逻辑思维能力.【课前导学】1．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集.全集通常记作___ 2．补集的概念：设___________ ，由U 中不属于A的所有元素组成的集合称为U 的子集A的补集, 记为 ____ 读作“ __________________________________________ 即：”C U A = ______ C U A 可用右图阴影部分来表示：____________________________________3．补集的性质：① C U = _______________________② C U U = _____________________③ C U (C U A) = ________________【例题讲解】例 1 已知全集U {2,3, a2 2a 3}, A {| 2a 1|, 2}, C U A {5} ，求实数a的值.例 2 设U R,A {x| 1 x 6},B {x|a 2 x 2a} ，若B C U A,求实数a 的取值范围.例 3 若方程x2 x a 0至少有一个非负实数根，求a 的取值范围【课堂检测】1．全集U 1,2,3,4,5 ,A 1,5 ,B C U A,则集合 B 有个.2．全集U R,A x |x 3 2 ,a 1 , 则下面正确的有231 a C U A2 a C U A3 a A4 a C U A 3．（1）已知全集U x|x 3 ,集合A x|x 1,则C U A= .（2）设全集U Z,A x|x 3k 1,k Z ,则C U A为.教学反思】1.3 交集·并集（1）教学目标】1．理解交集和并集的概念，会求两个集合的交集和并集；2．提高学生的逻辑思维能力，培养学生数形结合的能力；3．渗透由具体到抽象的过程；【考纲要求】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系.【课前导学】1．交集：叫做 A 与 B 的交集.记作，即：.2．并集：叫做 A 与 B 的并集，记作，即: .3．设集合A x| x 2n,n N ,B x|x 3n,n N ,则A B ________________________ 4．设M 1,2,m2 3m 1,P 1,3 ,M P 3 ,则m的值为【例题讲解】例1．设A { 1,0,1}, B {0,1,2,3},求A B及A B.例2．设A {x|2x2 px q 0},B {x|6x2 (p 2)x 5 q 0},若A B {1} ,求A B.例3．设集合 A {x 2 x 4}, B {x x a}.（1）若A B B ,求a的取值范围；（2）若A B ,求a的取值范围【课堂检测】1．设集合A 1,2 ,B 1,2,3 ,C 2,3,4 ,则A B C ___________________ .2．若集合S x|x 2或x 3 ,T x|2 x 3 ,则S T ____________________ .213．设集合U R,A x|0 x 2.5 ,B x|x 或x ,则(C U A) (C U B)=324．已知A 1,a2 1,a2 3,B a 3,a 1,a 1,则A B 2 ,则a _________________________ .教学反思】1.3 交集·并集( 2)【教学目标】、(1)掌握集合交集及并集有关性质；运用性质解决一些简单问题；( 2)掌握集合的有关术语和符号；使学生树立创新意识.【考纲要求】集合的交、并运算及正确地表示一些简单集合.【课前导学】1．有关性质：A A= A = AB B AA A= A = AB B A2．区间：设a,b R, 且a b,规定[a,b] ，(a,b) ，[a,b) ，(a,b] ，(a, ) ，( ,b] ，( , ) .3. U {1,2,3,4,5,6},A {2,3,5}, B {1,4},求C U (A B)与( C U A) (C U B),并探求C U(A B),C U A, C U B三者之间的关系4.求满足P Q {1,2} 的集合P,Q 共有多少组？【例题讲解】例1设A 2, 1,x2 x 1,B 2y, 4,x 4,C 1,7,且A B C，求x, y的值及A B.例 2 设A {| a 1|,3,5}, B {2a 1,a2 2a,a2 2a 1}, 若A B {2,3} ,求A B.例3设A {x|x2 4x 0}, B {x|x2 2(a 1)x a2 1 0}.(1)若A B B,求a的值；( 2)若A B B,求a的值.例 4 设全集U {(x,y)|x R,y R},M {(x,y)| y 3 1},P {(x,y)|y x 1} ，求C U (M P).x2【课堂检测】1．设集合I x| x 3,x Z , A 1,2 , B 2, 1,2 ,则A C U B 等于2．若A 非负整数,B 非正整数,则A B , A B .3．设U R，A x|0 x 5, , B x|x 1,则C U A C U B4．已知集合A,B,C 满足A B B C ，则A _________ C .教学反思】2) xx2.1.1 函数的概念与图像( 1)【 教学目标 】1． 通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念； 2． 了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出 他们的值域 . 【 考纲要求 】了解构成函数的三要素； 【 课前导学 】1．函数的定义： 设 A ，B 是两个数集， 如果按照某种确定的 ，使对于集合 A中的 一个数 x ，在集合 B 中 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到B 的一个函数，记为，其中 x 叫， x 的取值范围叫做函数的，与 x 的值相对应的 y 的值叫 ， y 的取值范围叫做函数的 ；2．在对应法则 f :x y,y x b,x R,y R 中，若 2 5，则 2【 例题讲解 】 例1以上 4 个对应中，为函数的有3．下列图象中不能．作为函数 y f (x) 的图象的是：1) x,x N ；3) y, 其中 y x 1x1,x N,y N ；R ； 4)y ，其中 y 1 2x,x 1,0,1, y1,0,1,2,3变式：下列各组函数中，为同一函数的是 ；(1) f x x 3与 g x x 26x 9 (2) f x x 1与 g(t)t 2 2t 1x2 4 2(3) f(x)与 g(x) x 2 (4) f (x) x 2与圆面积 y 是半径 x 的函数x2例 2 求下列函数的定义域：1(1) f(x)11x*变式：若 y f (x)的定义域为 1,4 ， f (x 2)的定义域为例 3已知函数 y x 2 2x 3，求 f (0), f (1), f (1), f (n) f (n 1).变式 1：函数 y x 22x 3,( 3 x 2)的值域是函数 yx 2 2x 3 ，1x2 x2x 2, 1,0,1,2 的值域是 .变式 2：若一系列函数的解析式相同， 值域相同， 但定义域不同， 则称这些函数为 “同族函数 那么函数 y x 2，值域为 1,4 的“同族函数 ”共有 个；课堂检测 】1. 对于集合 A {x|0 x 6}，B {y|0 y 3} ，有下列从 A 到B 的三个对应：①1y x ；③ x y x ；其中是从 323. 若 f (x) (x 1)21,x { 1,0,1,2,3} ，则 f (f (0))教学反思 】1x y x ；② x2A 到B 的函数的对应的序号2. 函数 f (x)3 | x 1| 2的定义域为 ____________2.1.1 函数的概念与图像（2）【教学目标】通过现实生活中的实例体会函数是描述变量之间的依赖关系得重要模型，理解函数概念；构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域并能说出他们的值域.【考纲要求】了解构成函数的三要素；【课前导学】1．求下列函数的定义域：（1）y x 2 x 2 （2）y 2 x2x 32．函数y f （x）的定义域为1,4 ，则函数y f （2x）的定义域为3．求下列函数的值域：( 1) y 1 x(0 x 2)(2) y 2x3) y x2 2x 3(0 x 3)了解【例题讲解】例 1. 求下列函数的定义域：1)0 x1 y x x2) y 2x 3 1 12 x x例 2. 求下列函数的值域：1) y 3x22) y x24x 6, x 1,53) y8x24x 54) y x x 1例3(1)已知函数y mx26mx m 8的定义域为R，求实数m 的取值范围；(2)设A 1,b(b 1)，函数f(x) 1(x 1)21，当x A，f (x)的值域也是A，求b 的值.【课堂检测】1.函数y x 1 x 2 的定义域为，y 11的定义域为11x 12.函数y 2的值域为. x13.函数y x x 2 的值域为教学反思】2.1.1 函数的概念与图像( 3)【 教学目标 】1．理解函数图象的意义； 2．能正确画出一些常见函数的图象； 3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势； 4．从 “形 ”的角度加深对函数的理解 .【 课前导学 】1．函数的图象：将函数 f (x) 自变量的一个值 x 0作为 坐标，相应的函数值作为 坐标， 就得到坐标平面上的一个点 (x 0, f(x 0))，当自变量，所有这些点组成的图形就是函数 y f(x) 的图象． 2．函数 y f ( x)的图象与其定义域、 值域的对应关系： 函数 y f (x)的图象在 x 轴上的射影 构成的集合对应着函数的 ，在 y 轴上的射影构成的集合对应着函数的 .22xx 3. 函数 f (x) x 与 g(x) 的图象相同吗？并画出函数 g(x) 的图像 . xx4. 画出下列函数的图象：(1) f (x) x 1；3) y 5x ，x {1,2,3,4} ； 4) f (x) x ．2 2) f (x) (x 1)2 1,x [1,3) ；【例题讲解】例 1. 画出函数f (x) x2 1 的图象，并根据图象回答下列问题：1)比较f ( 2), f (1), f (3)的大小；2)若0 x1 x2 (或x1 x2 0，或|x1| |x2 |)比较f (x1)与f (x2)的大小；3)分别写出函数f(x) x2 1( x ( 1,2] )，2f(x) x2 1( x (1,2] )的值域．2x 3，(x 1)例 2. 已知函数f (x) = x2 ,(-1 x 1)x,(x 1)(1)画出函数图象；(2)求f(f(f( 2))) 的值(3)求当f (x) 7 时，求x 的值；例 3 作出下列函数的图像(1) y x23x 42(2) y x22 x 1课堂检测】1.函数f (x) 的定义域为2,3 ，则y f(x) 的图像与直线x 2的交点个数为2. 函数y f(x) 的图象如图所示，(1) f (0) _______ ；(2)f (1) _( 4) 若1 x1 x21，则x3.画出函数f (x) x 的图像.填空：_____ ；(3) f (2) ________ ；f (x1)与f (x2) 的大小关系是x教学反思】2.1.2 函数的表示方法( 1)【教学目标】1．掌握函数的三种表示方法 (图象法、列表法、解析法)，理解同一个函数可以用不同的方法来表示；2．了解分段函数，会作其图，并简单地应用；3．会用待定系数法、换元法求函数的解析式.【考纲要求】在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数【课前导学】1.一次函数一般形式为.2.二次函数的形式：( 1)一般式：；( 2)交点式：；( 3)顶点式：.3.已知f (x) 3x 1，g(x) 2x 3，则f [g(x)] ，g[ f (x)] .4.已知函数f (x)是二次函数，且满足f(0) 1,f(x 1) f(x) 2x，求f(x) .【例题讲解】例 1.下表所示为x与y 间的函数关系：那么它的解析式为例 2. 函数 f (x)在闭区间 [ 1,2] 上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．例 3.(1)已知一次函数 f (x) 满足 f f (x) 4x 3，求 f (x).2)已知 f(x 1) x 2 2x ，求 f(x)．课堂检测 】2x 21,x 0 1.已知 f(x) ， 2x 1,x 02.已知 f ( x 1) x 2 x ，则 f (x)223.若二次函数 y x 2 2mx m 23的图像对称轴为 x 2 0，则 m = ，顶点 坐标为教学反思】f ( 2)= 2； f (a 2 1)=2.1.2 函数的表示方法( 2)【教学目标】掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法) ，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；会用待定系数法、换元法求函数的饿解析式；通过实际问题体会数学知识的广泛应用性，培养抽象概括能力和解决问题的能力.【考纲要求】在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数【课前导学】1．函数f (x) 2x x 0 ，则f (1)是；x 1 x2．已知f ( x 1) x 1，那么f (x) 的解析式为；23．一个面积为100m 2的等腰梯形，上底长为xm，下底长为上底长的3倍，则高y与x的解析式为；4．某种笔记本每本5元，买x( x 1,2,3,4 )个笔记本的钱数记为y (元)，则以x为自变量的函数y 的解析式为；例题讲解】例 1. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D 再回到A，设x 表示点P的行程，y表示线段PA的长，求y关于x 的函数解析式.变式:如图所示，梯形 ABCD 中， AB//CD ， AD BC 5，AB 10,CD 4，动 点 P 自 B 点出发沿BC CD DA 路线运动，最后到达 A 点，设点 P 的运动路程 为 x ， ABP 的面积为 y ，试求 y f (x)的解析式并作出图像 .例 2已知函数满足 f (x) 2f (1) ax ， x(1)求 f (1), f (2) 的值；2)求 f(x) 的解析式.【课堂检测】1．周长为定值l的矩形，它的面积S是此矩形的长为x 的函数，则该函数的解析式2.若函数f (x)满足关系式f(x) 2f(1) 3x，则f(2) =x教学反思】2.1.3 函数的单调性（1）教学目标】1．会运用函数图象判断函数是递增还是递减；2．理解函数的单调性，能判别或证明一些简单函数的单调性；3．注意必须在函数的定义域内或其子集内讨论函数的单调性.【考纲要求】通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性，学会运用函数图象理解和研究函数的性质【课前导学】1．下列函数中，在区间0,2 上为增函数的是；12（1）y （2）y 2x 1 （3）y 1 x （4）y （2x 1）2x2．若f（x）（2k 1）x b在, 上是减函数，则k 的取值范围是3．函数y 2x 2 x 1的单调递增区间为4．画出函数y 2x 1 的图象，并写出单调区间【例题讲解】例1：画出下列函数图象，并写出单调区间．21（1）y x2 2 ；（2）y ；x3) f(x)x21, x 02x 2, x 01例 2.求证函数f(x) 1在0, 上是减函数思考：在,0 是函数，在定义域内是减函数吗？例 3.求证函数f(x) x3 x 在, 上是增函数课堂检测】1．函数x2 6x 10 在单调增区间是2．函数1 1 的单调递减区间为x3．函数(x 0)(x 0)的单调递增区间为，单调递减区间为4．求证：函数f (x) x2 x在,1上是单调增函数2教学反思】2.1.3 函数的单调性( 2)【教学目标】1．理解函数的单调性、最大(小)值极其几何意义；2．会用配方法、函数的单调性求函数的最值；3．培养识图能力与数形语言转换的能力.【课前导学】1．函数y 2x 1 在1,2 上的最大值与最小值分别是；2．函数y x2 x 在3,0 上的最大值与最小值分别是；3．函数y 2 1 在1,3 上最大值与最小值分别是；x4．设函数f(x) a(a 0)，若f (x)在,0 上是减函数，则a的取值范围为x【例题讲解】例 1. (1)若函数f(x) 4x2 mx 5 m在[ 2, )上是增函数，在( , 2] 上是减函数，m 的值为；2)若函数f(x) 4x2 mx 5 m在[ 2, ) 上是增函数，3)若函数f(x) 4x2 mx 5 m的单调递增区间为[ 2, ) ，则实数m的值为则实数则实数m 的取值范围为2.已知函数y f (x) 的定义域是[a,b] ，a c b.当x [a,c]时，f (x) 是单调增函数；x [c,b] 时，f (x) 是单调减函数，试证明f (x) 在x c 时取得最大值.3.(1)求函数f (x) x 1的单调区间；xx22x 12)求函数f (x) x 2x 1，x 1,4 的值域. 4,4 的值域x【课堂检测】1. 函数f (x) (a 1)x 1在, 上是减函数实数a 的取值范围是22. 函数f (x) x2 mx 4(m 0) 在( ,0] 上的最小值是.3. 函数f (x) x x 2 的最小值是，最大值是．教学反思】2.1.3 函数的奇偶性( 1)【教学目标】3．了解函数奇偶性的含义；4．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；5．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式全套导学案PPT课件及配套WORD讲义
由 a>b>0，有 ab>0⇒aab>abb⇒1b>1a，故 B 为假命题；
a<b<0⇒－a>－b>0⇒－1b>－1a>0，
a<b<0⇒－a>－b>0
⇒ab>ba，故 C 为假命题；
a>b⇒b－a<0，
a1>1b⇒a1－b1>0⇒ba－ba>0⇒ab<0.
∵a>b，∴a>0，b<0，故 D 为真命题． 解析
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 作差法比较大小
例 1 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 3x；
(2)设 x，y，z∈R，比较 5x2＋y2＋z2 与 2xy＋4x＋2z－2 的大小．
[解] (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0，∴x2＋3>3x. (2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－
第二章 一元二次函数、方程 和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
(教师独具内容) 课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质， 能运用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明不等式和解决实 际问题． 教学重点：1.不等式的性质.2.不等式性质的应用． 教学难点：用不等式的性质证明不等式． 核心素养：1.借助不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理素养.2.通过 大小比较及利用不等式求范围，提升数学运算素养.
∴0<a－b<6，
故 2a＋3b 的取值范围为－18<2a＋3b<－5，a－b 的取值范围为 0<a－
新人教A版必修1高中数学1.1.2集合间的基本关系导学案
高中数学 1.1.2集合间的基本关系导学案新人教A版必修1 学习目标：1、理解集合之间包含与相等的含义。
2、掌握子集、真子集的概念。
3、了解空集的含义及性质。
4、了解集合的韦恩图表示。
学习难点：子集、真子集、空集概念的应用。
学习过程：观察下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？1、A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}2、设A为开滦二中高一（1）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合3、设C={x x是两条边相等的三角形}，D={x x是等腰三角形}一、子集的概念：，用符号表示为：，读作：。
用韦恩图表示为：子集的性质：1、2、二、集合相等的概念：。
真子集的概念：，用符号表示为。
三、空集及其性质：。
性质：1、2、例题1、用适当的符号填空：（1）a {a,b,c} (2) o {02=x}x(3) φ {x∈R2x+1=0}（4）{0,1} N (5) {0} {x x2=x}(6) {2,1} {x x2-3x+2=0}例题2、写出下列集合的所有子集：(1){a}: (2) {a,b}: (3) {a,b,c}: .例题3、判断下列两个集合之间的关系：（1）A={1,2,4} , B={x x是8的约数}；（2）A={x x=3k,k∈N}, B={x x=6z,z N∈}（3）A={x x是4与10的公倍数，x∈N},+}.B={x x=20m,m∈N+例题4、已知:{1,2}⊆A}4,3,2,1{⊂,试写出集合A.例题5、设集合M={x x=2n+1,n∈Z},N={y y=4k±1,k∈Z},则M与N的关系是（）A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M⊂N且M⊃N例题6、已知集合A={x0<x<9},集合B={x1<x<a}, 若非空集合B⊆A,求实数a的取值范围。
例题7、已知集合A={x,xy,x-y}, 集合B={0,x,y}, 且A=B,求实数x、y的值。
统编人教A版数学高中必修第一册《2.2 基本不等式》优秀教研导学案
ab 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）1. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；2. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件, 掌握运用基本不等式求最值；1.的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值； 2.基本不等式等号成立条件； 一、情境导学（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （2）探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b （a≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？ab ba ≤+22a bab +ab ba ≤+222b a +22b a +ab b a 222≥+二、新知探究基本不等式：如果a>0,b>0,我们用、分别代替a 、b ，可得写作：基本不等式（a>0,b>0)（当且仅当a=b 时，取等号）（1）在数学中，我们称为a 、b 的算术平均数，称为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
探究1.从不等式的性质推导基本不等式如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。
分析法证明：证明不等式 探究2.理解基本不等式的几何意义 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．的几何解释吗？ (1)AB 表示什么? (2)表示哪个线段？ (3)对应哪个线段呢？ （4）OD 与CD 的大小关系如何？ 典例解析：利用基本不等式求最值例1.10,0,36,a b ab a b >>=+（）已知求的最小值。
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1．1．1集合的含义使用说明：“自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。
“巩固练习”10分钟，组长负责，组点评。
“个人总结”5分钟，根据组讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。
能力展示5分钟，教师作出总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈”关系的意义.。
.(2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事、扎实严谨的科学态度.学习重点：集合概念的形成。
学习难点：理解集合的元素的确定性和互异性.学习过程（一）自主学习阅读课本，完成下列问题：1、例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。
2、一般地，我们把研究对象称为 .，把一些元素组成的总体叫做。
3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。
4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。
5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。
元素通常用小写的拉丁字母表示，如。
6、如果 a是集合A 的元素,就说 a属于A ,记作 ,读作””。
如果 a不是集合 A的元素,就说 a不属于A ,记作，读作””。
7、非负整数集（或自然数集），正整数集，整数集，有理数集，有理数集，实数集。
（二）合作探讨1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由（1）世界上最高的山（2）世界上的高山。
(3) 2的近似值 (4)爱好唱歌的人（5）本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员。
（6）本届奥运会我国参加的所有运动项目。
2、结合具体例子，请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解。
3、如果用A 表示高一（3）班全体学生组成的集合，用a 表示高一（3）班的一位同学，b 是高一（4）班的一位同学，那么a, b 与集合A 有什么关系？由此可见元素与集合间有什么关系？4、请你指出下列集合中的元素。
（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x 2=x 的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以的所有素数组成的集合； （4）方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合； （5）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
（三）巩固练习1、用“∈”或“∉”符号填空:(1)372 .Q (2 )32 N ; (3 ) π Q (4 )2 R ; ( 5)5)2N2、集合A ：比3的倍数小1的所有的数(1)5 A, (2 )7 A , (3 )-10 A.(四)个人收获与问题知识： 方法：我的问题：（五）预习容预习集合的表示法。
1．1．1集合表示法使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。
“巩固练习”5分钟，组长负责，组点评。
“个人总结”5分钟，根据组讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。
能力展示5分钟，教师作出总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:1．掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．3．通过合作学习培养合作精神．学习重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合学习难点：难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合学习过程（一）自主学习阅读课本，完成下列问题1.集合的表示方法(1)列举法：把一一列举出来，写在 ,用逗号隔开。
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号，具体方法在大括号先写上表示这个集合元素的 .及取值（或变化）围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的。
{ x I | p(x)}其中：1）x是集合中元素的代表形式，2）I是x的围，3）p(x)是集合中元素的共同特征，4）竖线不可省略。
思考？1、{ x | x=3}与{ y | y=3}是否是同一集合？ 2、{y | y=x2}与{（x，y）| y=x2 }是否是同一集合？（二）合作探讨1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以的所有素数组成的集合；（4）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合；（5）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
2、试用描述法表示下列集合:1) 方程x2-2=0的所有实数根组成的集合； 2) 所有的奇数；所有偶数；比3的倍数多一的整数3)不等式x-10>0的解集 4)一次函数y=2x+1图象上的所有的点。
思考？请你结合具体例子，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用对象。
自己举几个集合的例子，并分别用自然语言，列举法和描述法表示出来。
（三）巩固练习1、已知A={x ∣x=3k-1,k ∈Z},用“∈”或“∉”符号填空:(1 ) 5 A, (2 ) 7 A , (3 ) -10 A. 2、试选择适当的方法表示下列集合:1) 由小于8的所有素数组成的集合 2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合； 3) 不等式4x-5<3的解集 4) 二次函数y= x 2-4的函数值组成的集合； 5) 反比例函数y=x2的自变量的值组成的集合；3、已知-3∈{m-1,3m, m 2+1},求m 的值.(四)个人收获与问题知识： 方法：我的问题：（五）拓展能力：设集合B={x ∈N ∣x+26∈N}1) 试判断元素1，元素2与集合B 的关系； 2) 用列举法表示集合B 。
1.2.1集合间的关系使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。
“巩固练习”5分钟，组长负责，组点评。
“个人总结”5分钟，根据组讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。
“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:（1）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系 （2）能识别给定集合的子集.（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn 图）对理解抽象概念的作用（4）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
：（5）了解集合的包含，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。
学习重点：子集的概念学习难点：元素与子集、属于与包含之间的区别 学习过程（一）自主学习（1）一般的，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素那么集合A 叫做集合B 的 ，记作 或 . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B,用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 (2) 集合与集合之间的 “相等”关系, 若 ，则B A =B A =中的元素是一样的(3) 真子集的概念： 。
(4) 任何一集合都是它自身的 .(5) 空集的概念： 。
记作 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 。
思考？包含关系{a }⊆A 与属于关系a A ∈有什么区别？试结合实例作出解释。
（二）合作探究例1．观察实例，写出下列集合间的关系。
(1) A=｛1，3｝，B=｛1,3,5,7｝ (2) A=｛高一全体女生｝，B=｛高一全体学生｝ (3) A={x ︱x 是矩形}，B={x ︱x 是平行四边形} (4) A=N,B=Q(5) A={x ︱x >3}，B={x ︱x >5},C={x ︱x >7} (6) A={x ︱（x +2）(x +1)=0}，B={-1,-2}例2 写出集合｛a ， b ｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?A⊇,，则数b的围？例3 已知集合A=｛x︱x > b ｝, B=｛x︱x > 3｝,若B（三）巩固练习1．用适当的符号填空：（1）a {a,b,c} （2）0 {x︱x2=0} （3）￠ {x∈R︱x2+1=0},（4）{0,1} N (5) {0} {x︱x2=x} （6）{2,1} {x︱x2-3x+2=0}(7)已知集合A={x︱2x-3< 3x}，B={x︱x≥2},则有：-4 B -3 A {2} B B A(8) 已知集合A={ x︱x2-1=0},则有：1 A， {-1} A ，￠ A ， {-1,1} A(9) {x︱x是菱形 } {x︱x是平行四边形 } ；{x︱x是等腰三角形 } {x︱x是等边三角形 }2．写出集合｛a ,b , c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?(四)个人收获与问题:知识：方法：我的问题：（五）拓展能力A⊇，则数x？1.已知集合A=｛-1，2x-1，3｝，B=｛3, x2｝若BB⊆,，则数a的围？2已知集合A=｛x︱2-x<0｝, B=｛x︱a x =1｝,若A1.3.1集合的运算使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。
“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。
“巩固练习”5分钟，组长负责，组点评。
“个人总结”5分钟，根据组讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。
能力展示5分钟，教师作出总结性点评。
通过本节学习应达到如下目标:(1)理解两个集合的交集、并集、补集的含义.(2)会求两个集合的交集、并集、补集. (3)能使用Venn 图表达集合间的运算.(4)通过复习集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.(5)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力(6)通过直观图的运用培养学生的探索精神. 学习重点：集合的交、并、补运算 学习难点：补集的运算.学习过程 自主学习：1、试用Venn 图表示集合A ，B 可能的关系。
2、并集： 叫做A,B 的并集,记作 （读作＂A 并B ＂）. 即A ⋃B= , 用Venn 图表达如图（1）交集: 叫做A,B 的交集．3、全集: 那么称这个给定的集合为全集(1)4、补集： ，叫做A 在U 中的补集，记作 用Venn 图表达如图（3(2)（二） 合作探讨 1、求下列集合A 与B 的交集、并集记作 （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=用Venn 图表达如图（2）(1) A={4,5,6,8} B={3,5,7,8} （3）(2) A={ x|-1<x<2} B={ x|1<x<3}2、新华中学开运动会，设A={ x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}B={ x| x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.3、设平面直线L1上点的集合为L1,直线L2上点的集合为L2,试用集合的运算表示L 1, L2的位置关系.4、设U=｛x|x是小于9的正整数｝, A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求C U A, C U B, A∩U,U∩(A⋃B)5、设全集U=｛x|x是三角形｝, A=｛x|x是锐角三角形｝, B=｛x|x是钝角三角形｝, 求A∩B, C U (A⋃B)（三）巩固练习1、设A={3,5,6,8}, B={4,5,7,8},求A∩B, A⋃B2、设A=｛x|x2-4x-5=0｝, B=｛x|x2=1｝, 求A∩B, A⋃B3、已知A=｛x|x是等腰三角形｝, B=｛x|x是直角三角形｝, 求A∩B, A⋃B.4. 已知全集U=｛1,2,3,4,5,6,7｝, A={2,4,5}, B={1,3,5,7},求A∩CU B,( CUA)∩(CUB)5、设集合A=｛x|2≤x<4｝, B=｛x|3x-7≥8-2x｝, 求A∩B, A⋃B6、设S=｛x|x是平行四边形或梯形｝, A=｛x|x是平行四边形｝, B=｛x|x是菱形｝,C=｛x|x是矩形｝, 求C∩B, CA B ,CSA .(四)个人收获与问题知识：方法：我的问题：（五）拓展能力1. 设集合A=｛x|(x-3)(x-a)=0｝,B=｛x|(x-4)(x-1)=0｝, 求A∩B, A⋃B2. 已知全集U= A⋃B={x∈N|0≤x≤10}, A∩(C U B)={1,3,5,7},试求集合B.1.2.1函数的概念使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。