2019·学而思创新体系寒春补录诊断·数学·八年级(解析版)

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2019-2020学年北京市海淀区清华附中创新班八年级(下)期末数学试卷

2019-2020学年北京市海淀区清华附中创新班八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．买一张电影票，座位号是偶数C．抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上D．若a是实数，则|a|≥02．（3分）下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形3．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于（）A．3B．4C．5D．64．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+35．（3分）某班50人一周内在线学习数学的时间如图所示，则以下叙述正确的是（）A．全班同学在线学习数学的平均时间为2.5hB．全班同学在线学习数学时间的中位数为2hC．全班同学在线学习数学时间的众数为20hD．全班超过半数学生每周在线学习数学的时间超过3h6．（3分）在居家学习期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：℃）分别写在5张完全相同的卡片正面上，这五个数据分别是：36，36.1，35.9，35.5，m．把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知抽到写有“36”的卡片的概率是，则这5张卡片上数据的方差为（）A．35.9B．0.22C．0.044D．07．（3分）已知点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的横坐标为（）A．1B．C．1或﹣1D．或﹣8．（3分）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s ﹣t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和的比例中项．10．（3分）如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．抛掷次数n50100150200250300350400450500“正面向上”次数m225268101116147160187214238“正面向上”频率0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48下面有三个推断：①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；其中合理的是（填写序号）．11．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的．那么点B′的坐标是．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G 有公共点，写出一个满足条件的实数m的值．13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a的取值范围是．14．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为．15．（3分）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为．三、解答题（本题共72分，第17-22题每题5分，第23、24每题6分，第25、26每题7分，第27，28题每题8分）17．（5分）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．18．（5分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD ∽△BAC．19．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．（1）请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求DP的长．20．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…5212n…（1）表中n的值为；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．22．（5分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下：收集数据：随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析：甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 8595 88 88 90 44 91乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 8891 96 68 97 59 88整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：经统计，表格中m的值是．得出结论：a若甲学校有500名初二学生，估计这次考试成绩80分以下的人数为．b可以推断出学校初二学生的数学水平较高，理由为：．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）23．（6分）某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出4个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？24．（6分）在平面直角坐标系xOy内，以端点在x轴上的长度为1的线段为底边（端点横坐标都为整数），画出数个矩形．现已知其中几个矩形的位置如图所示．其相关信息如表：底边位置…﹣3～﹣2﹣2～﹣1﹣1～00～11～22～33～4…矩形的高…1…… 3.5……15…若所有矩形的左上方的顶点都在我们已学的某类函数图象上．（1）求这个函数解析式；（2）对于所有满足条件的矩形，直接写出面积最小的矩形的面积．25．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB 延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，C1的顶点为D．点B的坐标为（﹣5，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移5个单位长度后，恰好经过B、C两点．（I）求k的值和点C的坐标；（2）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．27．（8分）如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是；（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝10，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0），将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为点A的伴随线段．（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为，；（2）已知二次函数的图象经过点B（﹣1，t），C（1，t），D（0，t+1），将此图象在B，C之间的部分与线段BC所组成的封闭图形记作图形G（包含B，C两点）．①当t＝2时，是否存在m，使得点M在图形G内部（包括边界）？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；②若存在点A，使得其伴随线段MN上的所有点都在图形G内（包括边界），请直接写出t的取值范围．2019-2020学年北京市海淀区清华附中创新班八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．买一张电影票，座位号是偶数C．抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上D．若a是实数，则|a|≥0【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、打开电视机，它正在播广告，是随机事件；B、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；C、抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上，是随机事件；D、若a是实数，则|a|≥0，是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）下面四组图形中，必是相似三角形的为（）A．两个直角三角形B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形C．有一个角为40°的两个等腰三角形D．有一个角为100°的两个等腰三角形【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D 一定相似；即可得出结果．【解答】解：两个直角三角形不一定相似；因为只有一个直角相等，∴A不一定相似；两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；因为这个对应角不一定是夹角；∴B不一定相似；有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；因为100°的角只能是顶角，所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，∴D一定相似；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．3．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例计算计算AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得AE＝4．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．5．（3分）某班50人一周内在线学习数学的时间如图所示，则以下叙述正确的是（）A．全班同学在线学习数学的平均时间为2.5hB．全班同学在线学习数学时间的中位数为2hC．全班同学在线学习数学时间的众数为20hD．全班超过半数学生每周在线学习数学的时间超过3h【分析】根据平均数、众数和中位数的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．【解答】解：A、全班同学在线学习数学的平均时间为：（12×1+20×2+10×3+5×4+3×5）＝2.34h，故本选项错误；B、把这些数从小到大排列，则中位数是＝2h，故本选项正确；C、全班同学在线学习数学时间的众数为2h，故本选项错误；D、本班同学有8名学生每周在线学习数学的时间超过3h，故本选项错误；故选：B．【点评】此题考查了众数、中位数以及平均数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．6．（3分）在居家学习期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：℃）分别写在5张完全相同的卡片正面上，这五个数据分别是：36，36.1，35.9，35.5，m．把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知抽到写有“36”的卡片的概率是，则这5张卡片上数据的方差为（）A．35.9B．0.22C．0.044D．0【分析】先根据抽到写有“36”的卡片的概率是得出数据36的个数，再根据方差的定义计算可得．【解答】解：∵抽到写有“36”的卡片的概率是，∴卡片中36的个数为5×＝2，则这组数据为36，36.1，35.9，35.5，36，∵＝＝35.9，∴方差为×[2×（36﹣35.9）2+（36.1﹣35.9）2+（35.9﹣35.9）2+（35.5﹣35.9）2]＝0.044，故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握方差的定义和随机事件A的概率P （A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．7．（3分）已知点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的横坐标为（）A．1B．C．1或﹣1D．或﹣【分析】直接利用位似图形的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．【解答】解：∵点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，点D与点B对应，∴点D的横坐标为：3×＝1或3×（﹣）＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．8．（3分）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s ﹣t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，当x＝﹣＜0，∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q＝8，即p+q＝7，∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q＝t，即t＝7﹣p，当x＝﹣＞1，∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q＝8，∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q＝t，即t＝9+p，当0≤﹣＜此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝7﹣p﹣，＜﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣，x＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣∵w＝s﹣t，∴w的值与p有关，但与q无关，故选：D．【点评】本题考查了考查了二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和AB的比例中项．【分析】根据射影定理得到AC2＝AD•AB，得到答案．【解答】解：∵∠C＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，∴AC是AD和AB的比例中项，故答案为：AB．【点评】本题考查的是射影定理，射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．10．（3分）如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．抛掷次数n50100150200250300350400450500“正面向上”次数m225268101116147160187214238“正面向上”频率0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48下面有三个推断：①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；其中合理的是③（填写序号）．【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故错误；②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48，错误；③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生，正确；故答案为：③．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．11．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的．那么点B′的坐标是（﹣4，3）或（4，﹣3）．【分析】根据矩形的性质得到点B的坐标，根据相似多边形的性质得到矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【解答】解：∵OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，∴点B的坐标为（﹣8，6），∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽OABC关于点O位似，∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2，∴点B′的坐标为（﹣8×，6×）或（8×，﹣6×），即（﹣4，3）或（4，﹣3），故答案为：（﹣4，3）或（4，﹣3）．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、矩形的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k是解题的关键．12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G 有公共点，写出一个满足条件的实数m的值答案不唯一，如：2（0≤m≤2）．【分析】求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【解答】解：由解得或，∴函数y1＝2x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（2，4），∵函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤2，故答案为：答案不唯一，如：2（0≤m≤2），【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，求得交点坐标是解题的关键．13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a的取值范围是0＜a＜4．【分析】将点的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式和c的值并用a表示出b，再根据顶点坐标和第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），∴，所以，a﹣b＝4，b＝a﹣4，∵顶点在第四象限，∴，即﹣＞0①，＜0②，解不等式①得，a＜4，不等式②整理得，（a+4）2＞0，所以，a≠﹣4，所以，a的取值范围是0＜a＜4．故答案为：0＜a＜4．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，得到用a表示b 的式子并列出关于a的不等式是解题的关键．14．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为．【分析】根据D为BC的中点和BC＝8，可以得到BD的长，然后根据∠ABC＝90°，AB＝4和BD的长，利用勾股定理可以得到AD的长，再根据等积法可以求得BE的长，从而可以得到AE的长，作DG∥BF，再利用三角形相似，即可求得EF的长．【解答】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，∵D为BC边的中点，BC＝8，∴BD＝4，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD＝＝＝8，∵BE⊥AD于点E，交AC于F，∴BE＝＝2，∵AB＝4，BE＝2，∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝6，设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣2，∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴，即，解得，x＝，∴EF＝2x﹣2＝2×﹣2＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（3分）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为4．【分析】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为或或3．【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM ＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，∴∠ADC＝∠MDG，∴∠ADM＝∠CDG，∴△ADM≌△CDG（SAS），∴∠DAM＝∠DCG＝135°，∵∠CAB＝45°，∴∠CAM＝90°，∴MH＝GH＝＝＝5k，∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，∴△DGH∽△AGD，∴＝，∴DG2＝GH•GA＝40k2，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝12，∴AD＝CD＝6，∵DJ⊥AC，∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，∴GJ＝8K﹣3，在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝或（舍弃），∴AH＝3k＝．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝（舍弃）或，∴AH＝3k＝．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，解得k＝或﹣3（舍弃），∴AH＝3k＝3，综上所述，满足条件的AH的值为或或3．故答案为或或3．【点评】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本题共72分，第17-22题每题5分，第23、24每题6分，第25、26每题7分，第27，28题每题8分）17．（5分）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案．【解答】解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，∴两个相似多边形的相似比为2：3，∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，∴＝，＝，解得，x＝16，y＝12，经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．18．（5分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD ∽△BAC．【分析】利用已知线段的长得到＝＝，加上公共角，则根据相似三角形的判定方法可得到结论．【解答】解：∵BD＝2，AB＝，BC＝3．∴＝，＝＝，∴＝，而∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．19．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．（1）请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求DP的长．【分析】（1）过点D作DP⊥AM于P，△APD即为所求．（2）利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）如图，△APD即为所求．（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝2，∵BM＝MC＝1，∴AM＝＝＝，∵△DP A∽△ABM，∴，∴，∴PD＝．【点评】本题考查作图﹣相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．故答案为（2a，﹣2b）．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…。

北师大版2019-2020学年度第二学期八年级(下)期末数学试卷(含解析) (6)

北师大版2019-2020学年第二学期八年级（下）期末数学试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1、(3分) 下列式子中，属于最简二次根式的是（）A.√30B.√36C.√40D.√172、(3分) 若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A.5B.6C.√7D.5或√73、(3分) 某班数学兴趣小组8名同学的毕业升学体育测试成绩依次为：30，29，28，27，28，29，30，28，这组数据的众数是（）A.27B.28C.29D.304、(3分) 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）A. B. C. D.5、(3分) 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.四边相等B.对角线相等C.对角相等D.对角线互相垂直6、(3分) 直线y=-3x+2经过的象限为（）A.第一、二、四象限B.第一、二、三象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限7、(3分) 如图，广场中心菱形花坛ABCD的周长是32米，∠A=60°，则A、C两点之间的距离为（）A.4米B.4√3米C.8米D.8√3米8、(3分) 若式子√k−1+（k-1）0有意义，则一次函数y=（k-1）x+1-k的图象可能是（）A. B. C. D.9、(3分) 已知，在平面直角坐标系xOy中，点A（-4，0 ），点B在直线y=x+2上．当A，B两点间的距离最小时，点B的坐标是（）A.（−2−√2，−√2）B.（−2−√2，√2）C.（-3，-1 ）D.（-3，−√2）10、(3分) A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地．其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.411、(3分) 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=√3，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A.4B.4√6C.4√7D.2812、(3分) 如图，点A，B，C在一次函数y=-2x+m的图象上，它们的横坐标依次为-1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A.1B.3C.3（m-1）D.3(m−2)2二、填空题（本大题共 4 小题，共 12 分）的结果是______．13、(3分) 计算：√24-9√2314、(3分) 一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是______．15、(3分) 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．16、(3分) 如图放置的两个正方形的边长分别为4和8，点G为CF中点，则AG的长为______．三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分）17、(4分) 计算√18-√8+（√3+1）（√3-1）18、(4分) 先化简，再求值：已知a=8，b=2，试求a√1a +√4b-√a4+√b的值．19、(8分) 已知长方形的长a=12√32，宽b=13√18．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．20、(8分) 为了让同学们了解自己的体育水平，八年级1班的体育老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：根据以上信息，解答下列问题（1）这个班共有男生______人，共有女生______；（2）补全八年级1班体育模拟测试成绩分析表；（3）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并写出一条支持你的看法的理由21、(8分) 如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．22、(8分) 武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）求甲、乙两种收费方式的函数关系式；（2）当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样？23、(10分) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=5，连接BD，∠BAD的平分线分别交BD、BC于点E、F，且AE∥CD（1）求AD的长；（2）若∠C=30°，求CD的长．24、(10分) 某酒厂生产A，B两种品牌的酒，平均每天两种酒共可售出600瓶，每种酒每瓶的成本和售价如表所示，设平均每天共获利y元，平均每天售出A种品牌的酒x瓶．（1）请写出y关于x的函数关系式；（2）如果该厂每天至少投入成本25000元，且售出的B种品牌的酒不少于全天销售总量的55%，那么共有几种销售方案？并求出每天至少获利多少元？25、(12分) 已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、Bx相交于点C．与2：y=13（1）求点C的坐标；（2）若平行于y轴的直线x=a交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED=2DM，求a的值；（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．2018-2019学年湖北省恩施州恩施市八年级（下）期末数学试卷【第 1 题】【答案】A【解析】解：A 、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A 符合题意；B 、√36=6，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B 不符合题意；C 、√40=2√10，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C 不符合题意；D 、√17=√77，被开方数含分母，故D 不符合题意；故选：A ．检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【第 2 题】【答案】D【解析】解：当4是直角三角形的斜边时，32+x 2=42，解得x=√7；当4是直角三角形的直角边时，32+42=x 2，解得x=5．故使此三角形是直角三角形的x 的值是5或√7．故选：D ．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分4是斜边或直角边两种情况进行讨论．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【第 3 题】【答案】B【解析】解：27出现1次；28出现3次；29出现2次；30出现2次；所以，众数是28．故选：B．根据出现次数最多的数是众数解答．本题考查了众数的定义，熟记出现次数最多的是众数是解题的关键．【第 4 题】【答案】D【解析】解：A、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故A不符合题意；B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故B不符合题意；C、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故C不符合题意；D、对于x的每一个取值，y有不唯一确定的值，y不是x的函数，故D符合题意；故选：D．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．【第 5 题】【答案】B【解析】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：B．根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．【第 6 题】【答案】A【解析】解：∵k=-3，b=2，∴直线y=-3x+2经过第一、二、四象限．故选：A．由k=-3、b=2利用一次函数图象与系数的关系，即可得出直线y=-3x+2经过第一、二、四象限，此题得解．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．【第 7 题】【答案】D【解析】解：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O，∵菱形花坛ABCD的周长是32米，∠BAD=60°，∴AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=1∠BAD=30°，AD=8米，2=4√3（米），∴OA=AD•cos30°=8×√32∴AC=2OA=8√3米．故选：D．由菱形花坛ABCD的周长是40米，∠BAD=60°，可求得边长AD的长，AC⊥BD，且∠CAD=30°，则可求得OA的长，继而求得答案．此题考查了菱形的性质以及三角函数的性质．注意根据菱形的对角线互相垂直且平分求解是解此题的关键．【第 8 题】【答案】B【解析】解：∵式子√k−1+（k-1）0有意义，∴k-1≥0，且k-1≠0，解得k＞1，∴k-1＞0，1-k＜0，∴一次函数y=（k-1）x+1-k的图象如图所示：故选：B．首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0=1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k-1、1-k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=（k-1）x+1-k的图象可能是哪个即可．此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，零指数幂定义以及二次根式有意义的条件；解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．【第 9 题】【答案】C【解析】解：如图，过点A作AB⊥直线y=x+2于点B，则点B即为所求．∵C（-2，0），D（0，2），∴OC=OD，∴∠OCD=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴B（-3，-1）．故选：C．根据题意画出图形，过点A做AB⊥直线y=x+2于2点B，则点B即为所求点，根据锐角三角函数的定义得出∠OCD=45°，故可判断出△ABC是等腰直角三角形，进而可得出B点坐标．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．【第 10 题】【答案】C【解析】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；乙出发3-1=2小时后追上甲，故②错误；甲的速度为：12÷3=4（千米/小时），故③正确；乙的速度为：12÷（3-1）=6（千米/小时），则甲到达B 地用的时间为：20÷4=5（小时），乙到达B 地用的时间为：20÷6=313（小时），1+313=413＜5，∴乙先到达B 地，故④正确；正确的有3个．故选：C ．观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．【第 11 题】【答案】C【解析】解：∵E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，EF=√3，∴AC=2EF=2√3，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=12AC=√3，OB=12BD=2， ∴AB=√OA 2+OB 2=√7，∴菱形ABCD 的周长为4√7．故选：C ．首先利用三角形的中位线定理得出AC ，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．【第 12 题】【答案】B【解析】解：由题意可得：A 点坐标为（-1，2+m ），B 点坐标为（1，-2+m ），C 点坐标为（2，m-4），D 点坐标为（0，2+m ），E 点坐标为（0，m ），F 点坐标为（0，-2+m ），G 点坐标为（1，m-4）．所以，DE=EF=BG=2+m-m=m-（-2+m ）=-2+m-（m-4）=2，又因为AD=BF=GC=1，所以图中阴影部分的面积和等于12×2×1×3=3．故选：B ．设AD ⊥y 轴于点D ；BF ⊥y 轴于点F ；BG ⊥CG 于点G ，然后求出A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的坐标，计算出长度，利用面积公式即可计算出．本题灵活考查了一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法．【第 13 题】【答案】-√6【解析】解：原式=2√6-9×√63=-√6，故答案为：-√6根据二次根式的运算法则即可求出答案．本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．【第 14 题】【答案】x ＜-2【解析】解：把x=-2代入y 1=kx+b 得，y 1=-2k+b ，把x=-2代入y 2=x+a 得，y 2=-2+a ，由y1=y2，得：-2k+b=-2+a，解得b−ak−1=2，解kx+b＞x+a得，（k-1）x＞a-b，∵k＜0，∴k-1＜0，解集为：x＜a−bk−1，∴x＜-2．故答案为：x＜-2．把x=-2代入y1=kx+b与y2=x+a，由y1=y2得出b−ak−1=2，再求不等式的解集．本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题的关键是求出b−ak−1=2，把b−ak−1看作整体求解集．【第 15 题】【答案】25【解析】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故答案为25．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【第 16 题】【答案】2√10【解析】解：连接AC、AF，延长CB交FH于M，则∠FMC=90°，CM=4+8=12，FM=8-4=4，在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF=√CM2+FM2=√122+42=4√10，∵四边形CDAB和四边形EFHA是正方形，∴∠CAB=45°，∠FAE=45°，∴∠CAF=45°+45°=90°，∵G为CF的中点，∴AG=12CF=2√10，故答案为：2√10．连接AC、AF，延长CB交FH于M，求出CM和FM，根据勾股定理求出CF，求出∠CAF=90°，根据直角三角形的性质求出AG即可．本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、正方形的性质等知识点，能求出∠CAF=90°和求出CF的长度是解此题的关键．【第 17 题】【答案】解：原式=3√2-2√2+3-1=√2+2．【解析】直接化简二次根式以及结合平方差公式计算得出答案．此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．【第 18 题】【答案】解：a√1a +√4b-√a4+√b=√a+2√b-√a2+√b =√a+3√b当a=8，b=2时，原式=√82+3√2=√2+3√2=4√2【解析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式，再代入求值．本题主要考查了二次根式的化简求值．注意若被开方数中含有分母，开出来后仍然充当分母．【第 19 题】【答案】解：a=12√32=2√2，b=13√18=√2．（1）长方形的周长=（2√2+√2）×2=6√2；（2）正方形的周长=4√2√2×√2=8，∵6√2=√72.8=√64，∵√72＞√64∴6√2＞8．【解析】首先化简a=12√32=2√2，b=13√18=√2．（1）代入周长计算公式解决问题；（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．此题考查二次根式的实际运用，掌握二次根式的化简方法以及长方形、正方形的周长与面积计算方法是解决问题的关键．【第 20 题】【答案】解：（1）男生有：1+2+6+3+5+3=20（人），女生有：45-20=25（人），故答案为：20，25；（2）解：男生的平均分为120×（5×1+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）=7.9，女生的众数为8，补全表格如下：故答案为：7.9，8；（3）女生队表现更突出，理由：从众数看，女生队的众数高于男生队的众数，所以女生队表现更突出．【解析】（1）根据条形统计图中的数据可以求得男生的人数，从而可以求得女生的人数；（2）根据统计图中的数据可以计算出男生的平均数和女生的众数，本题得以解决；（3）根据表格中的数据，进行说明理由即可，本题答案不唯一，说的只要合理即可．本题考查方差、众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【第 21 题】【答案】证明：四边形AECF的形状是菱形，理由是：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，∵EF过AC的中点O，∴OA=OC，在△AEO和△CFO中，{∠EAO=∠OCF ∠AEO=∠CFOOA=OC，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，∵OA=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．【解析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根据AAS证△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．本题考查了平行线性质，平行四边形的性质，矩形、菱形的判定等知识点的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，具有一定的代表性，但难度不大．【第 22 题】【答案】解：（1）设甲的函数解析式是y=kx+b ，根据题意得：{b =6100k +b =16，解得：{k =0.1b =6，则甲的函数解析式是：y=0.1x+6；设乙的函数解析式是y=mx ，根据题意得：100m=12，解得：m=0.12，则乙的函数解析式是：y=0.12x ；（2）根据题意得：0.1x+6=0.12x ，解得：x=300，故当印刷300份学案时，两种印刷方式收费一样．【解析】（1）设出两种收费的函数表达式，代入图象上的点，利用待定系数法即可求解；（2）把两个解析式中，令y 相等，则得到一个关于x 的方程，求得当y 相等时x 的值即可．此题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，以及一次函数与一元一次方程的关系．理解题意，从图象中获取有用信息是解题的关键．【第 23 题】【答案】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠DAF=∠AFB ，∵AF 平分∠DAB ，∴∠DAF=∠BAF ，∴∠BAF=∠AFB ，∴AB=BF=3，∵BC=5，∴CF=5-3=2，∵AD ∥BC ，AE ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD=CF=2；（2）过B 作AF 的垂线BG ，垂足为G ．∵AF ∥DC ，∴∠AFB=∠C=30°，在Rt △BGF 中，GF=BF•cos30°=3×√32=3√32， ∵AB=BF ，BG ⊥AF ，∴AF=2FG=3√3，由（1）知：四边形AFCD 是平行四边形，∴DC=AF=3√3．【解析】（1）根据角平分线和平行线的性质：∠BAF=∠AFB ，所以AB=BF=3，再证明四边形AFCD 是平行四边形，可得结论；（2）作高线BG ，根据特殊的三角函数或勾股定理可得FG 的长，所以得AF 的长，由（1）知：四边形AFCD 是平行四边形，得结论．本题考查了平行四边形的判定，三角函数的应用（或勾股定理）、等腰三角形的判定、平行线的性质，正确作出辅助线是关键．【第 24 题】【答案】解：（1）由题意，每天生产A 种品牌的酒x 瓶，则每天生产B 种品牌的酒（600-x ）瓶， ∴y=20x+15（600-x ）=9000+5x ．（2）根据题意得：{600−x ≥600×55%50x +35(600−x)≥25000，解得：26623≤x≤270，∵x 为整数，∴x=267、268、269、270，该酒厂共有4种生产方案：①生产A 种品牌的酒267瓶，B 种品牌的酒333瓶；②生产A 种品牌的酒268瓶，B 种品牌的酒332瓶；③生产A 种品牌的酒269瓶，B 种品牌的酒331瓶；④生产A 种品牌的酒270瓶，B 种品牌的酒330瓶；∵每天获利y=9000+5x ，y 是关于x 的一次函数，且随x 的增大而增大，∴当x=267时，y 有最小值，y 最小=9000+5×267=10335元．【解析】（1）根据获利y=A 种品牌的酒的获利+B 种品牌的酒的获利，即可解答．（2）根据生产B 种品牌的酒不少于全天产量的55%，A 种品牌的酒的成本+B 种品牌的酒的成本≥25000，列出方程组，求出x 的取值范围，根据x 为正整数，即可得到生产方案；再根据一次函数的性质，即可求出每天至少获利多少元．本题考查了一次函数的应用，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等量关系列解析式，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后根据一次函数的性质求出哪种方案获利最小．【第 25 题】【答案】解：（1）联立两直线解析式得：{y =−x +4y =13x ，解得：{x =3y =1，则C 坐标为（3，1）；（2）由题意：M （a ，0）D （a ，13a ） E （a ，-a+4）∵DE=2DM ∴|13a-（-a+4）|=2|13a|解得a=2或6．（3）如图2中，过O 作OQ ⊥OP ，交BP 的延长线于点Q ，可得∠POQ=90°，∵∠BPO=135°，∴∠OPQ=45°，∴∠Q=∠OPQ=45°，∴△POQ 为等腰直角三角形，∴OP=OQ ，∵∠AOB=∠POQ=90°，∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB ，即∠AOP=∠BOQ ，∵OA=OB=4，∴OA OP =OB OQ ，∴△AOP ∽△BOQ ，∴∠APO=∠BQO=45°，∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°，则AP ⊥BP ．【解析】（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出C的坐标；（2）将x=1代入两直线方程求出对应y的值，确定出D与E的纵坐标，即OD与OE的长，由OE-OD求出DE的长，根据ED=2DM，求出MN的长，将x=a代入两直线方程，求出M与N对应的横坐标，相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；（3）AP⊥BP，理由为：过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，由∠BPO为135°，得到∠OPQ为45°，又∠POQ为直角，可得出三角形OPQ为等腰直角三角形，再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠APO=∠BQO=45°，由∠BPO-∠APO得到∠APB为直角，即AP⊥BP．此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，以及坐标与图形性质，属于中考压轴题．- 21 -。

学而思初二数学暑假班第3讲.轴对称初步.尖子班.教师版

3轴对称初步满分晋级阶梯图形变换2级构造轴对称图形春图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换1级轴对称初步暑期班第三讲秋季班第一讲季班第六讲漫画释义1初二暑期·第3讲·尖子班·教师版（2）轴对称图形的对称轴是一条直．．，不知识互联网模块一轴对称图形的认识与应用知识导航定义轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴 .这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.如图，等腰三角形 △ABC 是轴对称图形.注：在理解轴对称图形时．应注意以下几点：（1）一个图形被对称轴分成两部分，对折后能重合（即全等），这样的图形是轴对称图形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、圆等．线是射线也不是线段，在叙述时应注意．（ 3 ）轴对称图形的对称轴条数至少有一条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴．示例剖析初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版2两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A'，B和B'，C和C'是对称点.注：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.轴对称的性质：1．关于一条直线轴对称的图形全等；2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．夯实基础【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．C C C CA B A B A B A B⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑹已知两条互不平行的线段A B和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对应点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）3初二暑期·第3讲·尖子班·教师版A．①③④B．③④C．①②D．①②③④【解析】⑴A；⑵D EDC E C F(F)CA DF BEA(E)E(D)B A BDFFC(F)C CA B A(D)B A B(E)⑶6；⑷A；⑸⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．⑹D【教师备注】关于某直线对称两个图形具备五个特点：1.对应线段相等；2.对应线段的延长线交于一点，并且在对称轴上；3.对称轴垂直平分对应点的连线；4.交点到对应点的距离相等．能力提升【例2】⑴图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且∠ABE=30°．分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°(2012台湾)A E D EAB C B CD图1④图2③②⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．①B．②初二暑期·第3讲·尖子班·教师版①4⑤⑥C．③D．④⑶已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P与P关于OB对称，P与P关于OA对称，12则P，O，P三点确定的三角形是（）12A．直角三角形B．钝角三角形C．腰底不等的等腰三角形D．等边三角形【解析】⑴D；⑵A；⑶D.模块二线段的垂直平分线知识导航定义线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线.示例剖析DA C B线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的E如图，若AC=BC，AB⊥CD，则直线DE是线段AB的垂直平分线.D距离相等.AC BE如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA=DB.D线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.A C BE如图，若DA=DB，则点D在线段AB的垂直平分线上.夯实基础【例3】⑴如何用圆规与直尺作线段AB的垂直平分线？⑵证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直5初二暑期·第3讲·尖子班·教师版平分线的判定）.【解析】⑴如图1，分别以线段两端点为圆心，以大于线段AB的1为半径在线段两侧作弧，连2接两相交点M、N，直线MN就是该线段的垂直平分线．要求学生证明做法的正确性，假设AB、MN交于点O，先证△AMN≌△BMN，进而△AON≌△BON，即可得到相等与垂直的结论．PA NOM B A O B图1图2⑵已知：如图2，PO⊥AB，AO=BO．求证：AP=BP．证明：∵AO=BO，PO⊥AB，PO=PO，∴△APO≌△BPO，∴AP=BP.⑶解答略．【例4】⑴如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是．⑵如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是．⑶如下图3，在△ABC中，∠A=90︒，∠ABD:∠DBE=2:3，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数．AA BEE BP DB DC E AD C图1图2C图3【解析】⑴19cm．∵ED垂直平分AC，∴DA=DC，∵AC=2⨯AE=6cm，△∴ABC的周长是19cm．⑵3cm．过P作PF⊥AB于F，∵BD垂直平分线段AC，∴BA=BC ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，∴∠ABD=∠CBD∴△PFB≌△PEB(AAS)，∴PF=PE=3cm⑶∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDE(SSS)∴∠DBE=∠C，设∠ABD=2x,则∠DBC=3x,∠C=3x.BAFP DE图2C初二暑期·第3讲·尖子班·教师版6∵∠A=90︒，∴∠ABD+∠DBC+∠C=90︒．∴∠C=33.75︒.【教师备选】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与点A、点B的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【解析】点B与点A重合如图1，或者点B是点A关于直线l的对称点如图2.AAP lPA（B）lPBl 图1图2能力提升【例5】△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，⑴若BC△=8，求ADE的周长；⑵若∠BAC+∠DAE=150︒，求∠BAC．H AFBD EC 【解析】根据题意可得：⑴BD=AD，CE=△AE，∴ADE的周长是8⑵△ADH≌△BDH,△AEF≌△CEF∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE则∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=∠B+∠C+∠DAE即∠BAC=180︒-∠BAC+150︒-∠BAC，解得∠BAC=110︒模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）知识导航定义示例剖析7初二暑期·第3讲·尖子班·教师版．AEC角平分线的性质定理：在角的内部平分线上的点到这个角的两边的距离相等．DO FB如图，若射线 OC 是∠AOB 的角平分线，则 DE=DF ．AEC角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．DO FB如图，若 DE=DF ，则 OC 是∠AOB 的角平分线．角平分线的两种基本模型1．点垂线，垂两边，对称全等要记全A D2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现A1O2CE BOD 1 3 2CB已知：∠1 = ∠2 ，CD ⊥ OA ，作 CE ⊥ OB 于 E ，已知： ∠1 = ∠2 ， CD ∥OB 交 OA 于 D ，则 △OCD ≌△OCE ．则 △ODC 为等腰三角形（即 OD = CD ）．夯实基础【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．AMCP⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为 OB三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．AMOPB初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版NNC8△1ABC =S+S+S【解析】⑴注意书写形式．已知：如图，∠MOP=∠NOP，CA⊥OM交OM于A，CB⊥ON交O N于点B．求证：CA=CB．证明：易证△AOC≌△BOC，故CA=CB⑵略.⑶已知：如图，在△ABC中，BN、CM分别平分∠ABC与∠ACB，CM与BN交于点O，连接AO并延长交BC于P．求证：∠BAO=∠CAO．证明：如图，从点O向三边做垂线OE、O F、O Q．根据角平分线的性质定理易得OE=OF=OQ，根据角平分线的判定定理得AO平分∠BAC，即∠BAO=∠CAOA AM N M E NQOB P COBP F C⑷略.A 【例6】⑴如图，已知△ABC的周长是21，O B，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，求△ABC的面积．O⑵如图所示，AB=2A C，∠1=∠2，DA=DB.求证：DC⊥AC.【解析】⑴∵O点为△ABC的两内角平分线的交点，∴O点到三边距离相等．∴S△63OAC=⨯(A B+BC+AC)⨯3=；22⑵方法一：作DE⊥AB于点E，则∠AED=90°BD CAB12DC∵DA=BD，∴△AED≌△BED(HL).∴AE=BE.∴AB=2A E.∵AB=2A C，∴AE=AC.BE A12C9初二暑期·第3讲·尖子班·教师版D⎪ AD = AD ⎪ ⎪ AD = AD ⎪⎧ AE = AC 在 △AED 和 △ACD 中， ⎨∠1 = ∠2⎩∴ △AED ≌ △ACD(SAS)∴ ∠ACD = ∠AED = 90°，∴ DC ⊥ AC方法二：如图所示，延长AC 到 F ，使 AF = AB ，连接 D F ．⎧ AB = AF在 △ABD 和 △AFD 中， ⎨∠1 = ∠2⎩B1 A2 C∴ △ABD ≌ △AFD(SAS) ，∴ DF = DB = ADF∵ AB = 2 A C ，∴ AF = 2 A C ，即 C 为 AF 的中点，易证 △ACD ≌△FCD∴ DC ⊥ AC ．D能力提升【例7】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交 AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ； ⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．【解析】⑴∵直线 EF 垂直平分线段 AD ∴AE =DE ，即 △Rt AOE ≌△Rt DOE(HL)∴∠EAD =∠EDA⑵同理∠F AD =∠FDA又∵AD 是∠BAC 平分线∴∠F AD =∠CAD ，即∠FDA =∠CAD ∴DF ∥AC⑶连结 DG ，同⑴△Rt AOG ≌△Rt DOG(HL) ∴∠1=∠2又∵AD 是∠BAC 平分线 ∴∠2=∠3，即∠1=∠3∴DG ∥ABBBFDFDAGOC EA32O G1C E∴∠B =∠GDE∵△AGE △≌ DGE(SSS) ∴∠GDE =∠GAE初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版10即∠EAC=∠B．【探究对象】“轴对称图形”中的重要基本图形【探究目的】几何问题中所涉及的几何图形有基本图形和复杂图形，而这些复杂图形往往都是这些基本图形的叠加和演变．如果学生能掌握这些基本图形的性质和特征，那么，对于识别一些复杂图形有极大的帮助，再此以“轴对称图形”中总结出的基本图形为例加以说明．【基本图形一】AB D C特征：如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC，∠B=∠C.【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴∠B=∠C（等边对等角）备注：等腰三角形的相关知识将在下节课讲解，但线段垂直平分线的知识点与等腰三角形结合紧密，老师可以适当提前渗透，否则此步可用全等证明．【变式一】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C.AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E.线段AB与CD相等吗？试说明理由．AEB DC 【分析】添辅助线往往是具有基本图形的条件，而基本图形不完整时补完整基本图形，因此首先连接AD，即出现基本图形一【解析】连结AD，根据垂直平分线性质易得∠C=∠DAC，A又∵∠ADB△是ADC的外角，EBD C∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，11初二暑期·第3讲·尖子班·教师版由已知∠ABC=2∠C，∴∠ADB=∠B，∴AB=AD，又∵AD=DC，∴AB=CD【基本图形二】A12B D C特征：如图，△Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的高．问图形中有哪些相等的线段（除AB=AC外），相等的锐角？相等的线段：AD=BD=DC；相等的锐角：∠B=∠1=∠2=∠C．【解析】∵AB=AC且AD是BC边上的高，∴△Rt ABD≌Rt△ACD(HL)∴AD是BC边上的中线，且∠1=∠2=1∠BAC=45°2△即ABC、△ABD以及△ACD都是等腰直角三角形∴AD=BD=DC∴∠B=∠1=∠2=∠C．【基本图形三】DBOPE C A特征：如图，点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA，垂足分别为D、C．问图中有哪些相等的线段，相等的锐角？相等的线段：OD=OC，DP=CP；初二暑期·第3讲·尖子班·教师版12相等的锐角：∠DOP=∠COP，∠OPD=∠OPC．【解析】∵点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA∴PD=PC(角平分线上的点到角两边的距离相等)△易证ODP≌△OCP（AAS）可得∠OPD=∠OPC，OD=OC【基本图形四】AEB D C特征：如图，AD是∠BAC的角平分线，DB⊥AB、DE⊥AC，垂足分别为B、E．本图形包含了基本图形三，因此具有基本图形三的一切性质．【演变一】当∠C=30°时，A图形中相等的线段有：AB=AE=EC，BD=DE，AD=DC E相等的锐角有：∠BAD=∠DAE=∠C，∠BDA=∠ADE=∠EDC=∠BAC B D30°C【变式二】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．C⑴DE和CD相等吗？为什么？⑵∠1=∠2吗？为什么？D12A E30°B【解析】⑴由基本图形三易得DE=CD；⑵∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，故∠CAD=∠BAD=30°又∵DE⊥AB，∴∠1=60°，∠2=60°13初二暑期·第3讲·尖子班·教师版故∠1=∠2A【演变二】当∠C=45°时，图形中相等的线段有：AE=AB，CE=DE=BDE 相等的锐角有：∠C=∠BAC=∠EDC，∠BAD=∠DAE，∠BDA=∠ADE B DC 【变式三】如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．试说明AC=AB+BD的理由．【解析】由基本图形三可得AB=AE，BD=EDA ∵DE⊥AC，∠C=45°，∴∠EDC=45°，∴DE=CE，即BD=CE则AC=AE+CE=AB+BD．BED C 初二暑期·第3讲·尖子班·教师版14B思维拓展训练(选讲)训练1.D 为 BC 中点， DE ⊥ BC 交 ∠BAC 的平分线于点 E ， EF ⊥ AB 于 F ， EG ⊥ AC 于 G .求证： BF = CG .AABFFD DCGC GEE【解析】连接 BE 、 CE .∵ DE 垂直平分 BC ，∴ BE = CE∵ AE 平分 ∠BAC ， EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，∴ EF = EG 又 ∠BFE = ∠CGE = 90︒ ，∴ △Rt BEF ≌ Rt △CEG （ HL ），∴ BF = CG ．训练2. 已知：如图，∠ABC 及两点 M 、 N ．求作：在平面内找一点P ，使得 PM = PN ，且 P点到 ∠ABC 两边所在的直线的距离相等．BNC AM【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一： ∠ABC 内角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点，如左图；答案二： ∠ABC 外角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点，如右图.B BN NPPCCAMAM训练3. 如图，在 △ABC 中， BD 、 CD 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ．DE ∥AB ，FD ∥AC ．如果 BC = 6 ，求 △DEF 的周长．【解析】6．BADE FC训练4. 已知：如图，在 ∠POQ 内部有两点 M 、 N ， ∠MOP = ∠NOQ ．15初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版QNMO P' ''⑴ 画图并简要说明画法：在射线 OP 上取一点 A ，使点 A 到点 M 和点 N 的距离和最小；在射线 OQ 上取一点 B ，使点 B 到点 M 和点 N 的距离和最小； ⑵ 直接写出 AM + AN 与 BM + BN 的大小关系．（西城期末）【解析】⑴画法如下：作 M 分别关于 OP 和 OQ 的对称点 M ' 和 M '' ，连接 M N和 M N 分别交 OP 和 OQ 于A 、B ．⑵相等，证明 △OM ''N ≌ △OM 'N 即可.初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版16.实战演练知识模块一轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】 ⑴ 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．①② ③ ④答：图形__________；理由是__________．⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（）条对称轴．A ．1B ．2C ．3D ．4（四中月考）⑷ 下列图形中，不是轴对称图形的是（）．A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．不等边三角形（四中月考）⑸ 如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称【解析】 ⑴ ②；四个图形中，只有图②不是轴对称图形．⑵17初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版⑶A；⑷D；⑸轴对称图形：⑴，⑶，⑷，⑹，⑻，⑽；成轴对称的图形有：⑵，⑸，⑺，⑼．【演练2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．∠A=∠1-∠2B．2∠A=∠1-∠2C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2(∠1-∠2)CB1D2E【解析】B.知识模块二线段的垂直平分线课后演练【演练3】如图，已知∠AOB=40︒，CD为OA的垂直平分线，求∠ACB的度数．A【解析】∵CD垂直平分OA，∴CO=CA，DA∴∠O=∠A=40°∴∠ACB=∠A+∠O=80︒．知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练O C B【演练4】如图，BD=CD，∠ABD=∠ACD=90°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分∠BEF．A①求证：FD平分∠EFC；②求证：EF=BE+CF.EFA B C 【解析】①证明：过点D作DG⊥EF于G∵DG⊥EFD ∴∠EGD=∠B=90°G F∵ED平分∠BEF E∴∠BED=∠FED B C∴BD=GD∵BD=CD∴GD=CDD初二暑期·第3讲·尖子班·教师版18⎨∠GFD = ∠CFD ⎪FD = FD ∵ DG ⊥ EF ， DC ⊥ CF∴ D 在 ∠EFC 的角平分线上， ∴ FD 平分 ∠EFC ．② ∵ △BDE ≌△GDE∴ BE = GE ∵ DG ⊥ EF∴ ∠DGF = ∠C = 90° ∵ FD 平分 ∠EFC∴ ∠GFD = ∠CFD∵在 △DFG 与 △DFC 中 ⎧∠DGF = ∠DCF ⎪⎩∴ △DFG ≌△DFC (AAS )∴ CF = GF∵ EF = EG + GF ∴ EF = BE + CF【演练5】证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点．【解析】注意书写形式．已知：如图， ∠ABO = ∠CBO ， ∠CAO = ∠Q AO求证： ∠ACO = ∠MCO ．QQAAFOOBC MBPC EM证明：如图，从点 O 向三边引垂线段 OE 、 OF 、 OP ．根据角平分线的性质定理易得OE = OF = OP ，根据角平分线的判定定理得 C O 平分 ∠ACM ，即 ∠ACO = ∠MCO19初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版.课后测测1.下列说法中错误的是（）．A ．两个关于一直线对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后完全重合（四中月考）【解析】C ．测2.如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：⑴ 作出关于直线 AB 的轴对称图形；⑵ 将你画出的部分连同原图形绕点 O 逆时针旋转 90° AAOOBB【解析】如右图．测3.如图， AD 是 ∠BAC 的平分线， BE 是 ∠ABC 外角的平分线，交 AD 的延长线于点 E ，过点 E 作 EG ∥ AB 交 AC 于点 G ，交 BC 于点 F ．图中哪两条线段之间存在等量关系?A【解析】 AG = EG ， BF = EF ．B D FEG C初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版20.第十五种品格：创新需要一把剪刀据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子 .每当球投进的时候，就有一个专门的人踩在梯子上把球拿出来.为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少激烈紧张的气氛. 为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想 .有位发明家甚至制造了一种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛 .小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，大人们如梦初醒，于是才有了今天我们看到的篮网样式.去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到 .听来让人费解，然而这个简单的“难题”困扰了人们多年.可见，无形的思维定式就像那个结实的篮子禁锢了我们的头脑，使得我们的思维就像篮球被“囚禁”在了篮筐里.于是，我们盲目地去搬梯子、去制造机器……生活中许多时候，我们就需要这样一把剪刀，去剪掉那些缠绕我们的“篮筐”，生活原本并没有那么复杂.今天我学到了21 初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版。

学而思初二数学寒假班第1讲.一元二次方程认识初步.尖子班.教师版

围图形漫画释义满分晋级阶梯1一元二次方程的基本解法方程10级判别式与求根公式方程9级一元二次方程的基本解法方程8级分式方程题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8 直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2；配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4；因式分解法解一元二次方程例7；演练5．本讲内容的思路非常简单，主要学习一元二次方程的概念及三种解法，公式法则放到了下一讲，因为学完公式法就可以和判别式联系在一起学习。

这一讲共分为四个模块，模块一主要讲解一元二次方程的基本概念，首先要先会判断一个方程是不是一元二次方程以及一元二次方程的项数组成，所以例1给出了这样的练习，这里面有一些易错点，希望老师给同学们强调到位。

接下来例2是针对一元二次方程的概念经常遇到的几种出题的形式，继续加强概念的理解。

编写思路知识互联网题型切片下面三个模块就是针对一元二次方程的不同解法进行练习，这些例题中都有不同的题型，希望通过这部分的练习让同学们见到不同形式的方程，才能达到练一抵百的效果。

定义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2．⑷二次项的系数不为0 22210x x -+=此方程满足：整式方程；只含有一个未知数x ；x 的最高次数是2，系数是2所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠．其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程22210x x -+=，其中221a b c ==-=，，．一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元知识导航模块一一元二次方程的概念二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉符号．．．．． 4．项及项的系数要区分开．建议强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵413x =+ ⑶ 210x -=； ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()()2212150a x a x a ++-+-=（a 为常数）．【解析】 ⑴⑶⑷⑻．易错点：二次项前面的系数不为0，和一次项前面系数及常数项无关；⑵是分式方程；⑸是二元方程；⑹整理后是一元一次方程；⑺当0m =时，是一元一次方程；⑻因为210a +≠永远成立，所以无论 a 为何值，方程⑻都是一元二次方程．⑴，⑶，⑷，⑻是一元二次方程．判断一个方程是什么方程，必须化简成最简形式再判断．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-； ⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．【解析】 ⑴ 22610x x --=；261--，，；⑵ 2310x +=；301，，；⑶ 2120x x -=；1120-，，⑷ ()2231330x x +++-=；123133+-，，【例2】 ⑴关于x 的方程()()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程；⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；⑶已知a 是2200910x x -+=的根，求22120082009a a a +--的值．能力提升夯实基础【解析】 ⑴3m ≠±；3；易错点：容易忽略当其是一次方程时一次项系数不为零 ⑵∵m 是方程210x x --=的一个根，∴210m m --=()225520085120132013m m m m -+=--+=．⑶1-．结合一元二次方程根的定义，采用整体思想求解a 是2-2009+1=0x x 的根，∴2-2009+1=0a a ，∴22+1-2008-2009a a a 22009-2009+2009aa a a =-1=-定义示例剖析直接开平方法：对于形如2x m =或()2ax b m+=()00a m ≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．()211x +=11x +=或11x +=-1202x x ==-，【例3】用直接开平方法解关于x 的方程：⑴ ()()323212x x +-=； ⑵()22463x -=；⑶ ()2x m n -=； ⑷ ()2214x b c -=+【解析】 ⑴ 124433x x ==-，；⑵ 1217x x ==，；夯实基础知识导航模块二直接开平方法解一元二次方程⑶ 当0n ≥时，12x m n x m n =+=-，；当0n <时，无实数根． ⑷ 当40b c +≥时，214x b c -=±+，∴1142b c x ++=，2142b cx -+=；当40b c +<时，无实数根．注意：1.方程的两边应同时开方2.开方后，方程的一边应有正负号，即有相等和互为相反数两种情况。

学而思初二数学第12讲.专题突破之一元二次方程.尖子班.学生版

39初二春季·第12讲·尖子班·学生版方程12级特殊根问题方程13级根系关系及应用题方程6级方程14级一元二次方程专题突破春季班第十二讲春季班第十讲围图形满分晋级阶梯漫画释义12专题突破之——一元二次方程40初二春季·第12讲·尖子班·学生版题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的定义及方程的根例1，练习1；一元二次方程的解法例2，练习2；一元二次方程的特殊根例3，例4，练习3，练习4；一元二次方程的综合运用例5，例6，例7，练习5．题型切片知识互联网41初二春季·第12讲·尖子班·学生版一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．1. 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．2. 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．3. 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．二、一元二次方程的解法1. 直接开平方法：适用于解形如2()(0)x a b b +=≥的一元二次方程．2. 配方法：解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．3. 公式法：利用求根公式和判别式来求解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程．4. 因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．三、一元二次方程根的判别式1. 一元二次方程根的判别式的定义：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2. 判别式与根的关系．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则 ①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；思路导航42初二春季·第12讲·尖子班·学生版若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根． 3. 一元二次方程的根的判别式的应用． ① 运用判别式，判定方程实数根的个数；② 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ③ 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；④ 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题、最值问题．【例1】 ⑴ 关于x 的方程()25410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A. a ≥1B. a >1或a ≠5C. a ≥1且a ≠5D. a ≠5⑵ 已知关于x 的方程()2110kx k x +--=，下列说法正确的是（）A. 当k =0时，方程无解B. 当k =1时，方程有一个实数解C. 当k =1-时，方程有两个相等的实数解D. 当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解⑶ 若关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根是1-，则a – b + c = ；若有4a - 2b + c = 0此方程必有一个根．【例2】用适当的方法解关于x 的一元二次方程：⑴ ()22239x x -=- ⑵ 222250x x --=典题精练典题精练题型一：一元二次方程的定义及方程的根题型二：一元二次方程的解法43初二春季·第12讲·尖子班·学生版⑶ ()()22352360x x ---+= ⑷ ()22321410a a x ax +--+=44初二春季·第12讲·尖子班·学生版【例3】已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例4】若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．典题精练题型三：一元二次方程的特殊根45初二春季·第12讲·尖子班·学生版【例5】已知关于x 的方程21(1)(3)0mm x m x k +++-+=，问：⑴ m 取何值时，它是一元一次方程？ ⑵ m 取何值时，它是一元二次方程？①若2x =是一元二次方程的一个根，求k 的值； ②若3k =-，求出此一元二次方程的解；③分别求出一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根对应的k 的取值范围．④若一元二次方程的解是整数，把你发现字母k 的取值规律用含字母n （n 为正整数）的式子表示为．【例6】已知关于x 的方程()23130mx m x +++=．⑴ 求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；⑵ 若此方程有两个不同的整数根，试确定m 的正整数值；⑶ 当m 为⑵中所求数值时，1x 与1x n +（n ≠0）分别是关于x 的方程()23130mx m x b +++-=的两个根，求代数式22114125168x x n n n ++++的值．真题赏析题型四：一元二次方程的综合运用【例7】列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60m、50m的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m的一横两纵的甬道．⑴用含x的代数式表示草坪的总面积S；⑵当甬道总面积为矩形面积的10.4%时，求甬道的宽．初二春季·第12讲·尖子班·学生版4647初二春季·第12讲·尖子班·学生版题型一一元二次方程的定义及方程的根巩固练习【练习1】 ⑴ 关于x 的方程的一元二次方程()22230a x x ---=有一根为3，则另一根为（） A. 1- B. 3 C. 2 D. 1 ⑵ 关于x 的一元二次方程230x x m +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A. 112m >B. 112m <C. 112m >-D. 112m <-题型二一元二次方程的解法巩固练习【练习2】 ⑴ 用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（）A. ()223x +=B. ()223x -=C. ()225x -= D. ()225x +=⑵ 把方程2630x x ++=化成()2x m n +=的形式，正确的结果为（） A. ()236x += B. ()236x -= C. ()2312x += D. ()21633x +=题型三一元二次方程的特殊根巩固练习【练习3】已知关于x 的一元二次方程()21002ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求()()()22111ab a b b -++-的值．【练习4】已知：关于x 的一元二次方程()()2413301kx k x k k -+++=>⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根复习巩固48初二春季·第12讲·尖子班·学生版⑵ 若方程的两个实数根分别是1x ，2x （其中12x x <），设212y x x =--，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出表达函数；若不是，请说明理由．题型四一元二次方程的综合应用巩固练习【练习5】某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该车把进价为27万元；每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．⑴ 若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________万元； ⑵ 如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利 = 销售利润 + 返利）第十六种品格：感恩陈毅为老母洗屎尿裤20世纪60年代初，陈毅时任国务院副总理兼外交部长，日理万机，公务繁忙。

2019-2020学年北京一零一中学八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年北京市101中学八年级（下）期末数学试卷一 •选择题（共10小题）1.下列各式中，一定是最简—次根式的是（）4. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定A .矩形B .菱形C .正方形D .无法判断5. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185 180 185 180 方差2.52.56.47.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A .甲B .乙C .丙D .丁6.如图所示，函数 y = 2x 和y = ax+4的图象相交于点 A （「，3）,则关于x 的不等式2x >C . ■D .一 I2.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° , AB = 10 , CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是3.下列线段能组成直角三角形的一组是（ A . 1, 2, 2B . 3, 4, 5C. 5 )C. ff , 2,D . 5, 6, 7AB10是（）ax+4的解集为（）7•如图，有一张矩形纸片，长 10cm ，宽6cm ,在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒•若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm 2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（）&在平面直角坐标系中， A 、B 、C 三点的坐标分别为（0, 0）、（ 0,- 5 ）、（- 2, - 2）,以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点D 不可能在（）9.图①是一个边长为（m+n ）的正方形，小颖将图 ①中的阴影部分拼成图 ②的形状，由图10.小明、小聪参加了 100m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图.C . x >D . x >3A . 10X 6 - 4X 6x= 32 C. (10 - x) (6 - x)= 32B. 10X 6- 4x 2= 32 D. (10 - 2x) (6 -2x)= 32A .第一象限B .第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限图①2 2A . (m+n ) 2-( m - n ) 2= 4mn(m - n ) 2 2 2+2m n = m +nB . (m+n ) 2-( m 2+n 2)= 2mn2 2D . (m+n ) (m -n )= m - nxw 3①和图②能验证的式子是（根据图中信息，有下面四个推断: ① 这5期的集训共有56天；② 小明5次测试的平均成绩是 11.68秒;③ 从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；•填空题（共10小题）.若.在实数范围内有意义，贝U x 的取值范围为____________ . 2.已知x = 1是关于x 的方程x+mx+ n = 0的一个根，则 m+n 的值是 ____________.已知正比例函数图象经过点（1, 3）,则该函数的解析式是___________ •如图，A , B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量 A , B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ,B 的点C ,找到AC , BC 的中点M , N ,并且测出 MN 的长为10m ,则A , B 间的距离为 ________________.已知点A （5, y 1）和点B （ 4, y 2）都在直线y = x+b 上，则y 1与y 2的大小关系为 ______ .比较实数的大小： 2 .二 ______ 3二..一次函数y =- x+3的图象不经过第 _________ 象限..一次函数y = kx+b 的图象是由函数 y =- 2x 的图象向上平移 2个单位而得到的，则该次函数的表达式为 _______________ .11 12 13 14 15 16 1718H 期每期的剣I 时间统计图期每期忖月、小聪测试成绩统计图成绩用t 11.11.SO 11.7G 11.60 1L5G J1.8S«11.52 11-5311.40 k—莎二“三"二心"垃欠④ 从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第所有合理推断的序号是（）A .①③B .②④4期出现，建议集训时间定为 14 天.C .②③D .①④B19.如图，在菱形ABCD中，/ ABC = 120° 点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB= 2，贝U PB+PE的最小值是 ________20.在？ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, E是边AB上的一个动点(不与A、B重合)，连接EO并延长，交CD于点F，连接AF, CE,有下列四个结论：①对于动点E,四边形AECF始终是平行四边形；②若/ ABC>90°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是矩形；③若AB>AD，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形；④若/ BAC = 45 °,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形.以上所有错误说法的序号是_________ .三.解答题(共8小题)21.计算：2「1+ ( 1 - 2) . ?.222.解方程：x - 6x+8 = 0.23.已知关于x的一元二次方程x+mx+m- 1 = 0.(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；(2)若方程只有一个根为负数，求m的取值范围.24.在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A (2, 0),与y轴交于点B( 0, - 4).(1)求直线AB的解析式；(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S^BOC= 8,求点C的坐标.25.如图，？ABCD 中，点E, F 分别在边BC, AD 上，BE = DF，/ AEC= 90°(1)求证：四边形AECF是矩形;(2)连接BF，若AB = 4,/ ABC = 60°, BF 平分/ ABC，求AD 的长.新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情•为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传•某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试.现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩(满分100分)进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15 名学生测试成绩分别为：78, 83, 89, 97, 98, 85, 100, 94, 87, 90, 93, 92,99, 95; 100.乙班15名学生测试成绩中90< xv 95的成绩如下：91, 92, 94, 90 , 93【整理数据】：班级75W xv 80 80< xv 85 85< xv 90 90w xv 95 95 w xv100 甲 1 1 3 4 6乙 1 2 3 5 4【分析数据】：班级平均数众数中位数方差甲92 a 93 47.3乙90 87 b 50.2【应用数据】：(1)根据以上信息，可以求出：a= 分， b = 分；分别以X I, X2为横坐标和纵坐标得到点M ( x l, x2),则称点M为该一元二次方程的衍生占八、、♦(1 )若方程为X2- 2x = 0,写出该方程的衍生点M的坐标.(2)若关于x的一元二次方程x2-( 2m+1) x+2m= 0 ( mv 0)的衍生点为M，过点M 向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.(3)是否存在b, c,使得不论k (k丰0)为何值，关于x的方程x2+bx+c= 0的衍生点M始终在直线y= kx- 2 ( k- 2)的图象上，若有请直接写出b, c的值，若没有说明理由. 28.如图，在正方形ABCD中，AB = 6, M是CD边上一动点(不与D点重合)，点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE, ME,延长CB到点F，使得BF = DM，连接EF, AF.(1 )当DM = 2时，依题意补全图1 ;(2 )在(1 )的条件下，求线段EF的长；(3)当点M在CD 边上运动时，能使△ AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD 的数量关系________ .Si 备用图Si 备用图.选择题（共10小题）1.下列各式中，一定是最简—次根式的是（）A . -B .—C . ,D .一）【分析】被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.【解答】解：A.二属于最简二次根式，符合题意；B •寺二7属于三次根式，不合题意；C. ：「=凶，不属于最简二次根式，不合题意；D.1：'= 3,不属于最简二次根式，不合题意；故选：A .2.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90 ° , AB = 10 , CD 是AB 边上的中线，则 CD 的长是【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD 的长.【解答】解：•••在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°, AB = 10, CD 是AB 边上的中线,••• CD =— AB = 5,2故选：C .3.下列线段能组成直角三角形的一组是（）A . 1, 2, 2B . 3, 4, 5C . 了化 2D . 5, 6, 7【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.【解答】解：A 、••• 12+22工22,二该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；参考答案与试题解析C . 510B、••• 32+42= 52,「.该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；C、•••（_ ?）2+22工（.二）2,二该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；D、：52+62工72,二该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形.故选：B.4•如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（）A .矩形B .菱形C.正方形 D .无法判断【分析】由条件可知AB // CD , AD// BC,再证明AB = BC即可解决问题.【解答】解：过点D作DE丄AB于E, DF丄BC于F.•••两张长方形纸条的宽度相等，••• DE = DF .又•••平行四边形ABCD的面积=AB?DE = BC?DF ,•AB= BC,•平行四边形ABCD为菱形.故选：B.5.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm）185 180 185 180 方差 2.5 2.5 6.4 7.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（A .甲B .乙C .丙D .丁【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加. 【解答】解：•••甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数， • ••从甲和丙中选择一人参加比赛， •••甲的方差小于丙的方差， •选择甲参赛，故选：A .6. 如图所示，函数 y = 2x 和y = ax+4的图象相交于点 A （「，3）,则关于x 的不等式 ax+4的解集为（）（6 - 2x ） cm ,根据长方形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解.2x>B . x < 3C . xD . x >3【分析】根据函数的图象即可写出不等式的解集. x>—2故选：C .【解答】解：根据图象可得：不等式 2x >ax+4的解集是:7.如图，有一张矩形纸片，长 10cm ，宽6cm ,在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm 2, 去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm ,根据题意可列方程为（求剪）A . 10X 6 - 4X 6x= 32C. (10 - x) (6 - x)= 322B . 10X 6- 4x = 32 D. (10 - 2x) (6 -2x)= 32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm ,则做成的纸盒的底面长为（10 - 2x ） cm ,宽为A . x<2【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm,则做成的纸盒的底面长为（10- 2x）cm, 宽为（6 - 2x）cm, 依题意，得：（10 - 2x）（6 - 2x）= 32.故选：D.&在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（0, 0）、（0,- 5 ）、（- 2, - 2）, 以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点D不可能在（）A .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限【分析】可用点平移的问题来解决，从A到B横坐标不变，纵坐标变化5，那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5，为（-2,- 7）或（-2, 3）分别在第三象限或第二象限；从C到A 横坐标加2,纵坐标加2,那么从B到D也应如此，应为（2,- 3）, 在第四象限，所以不可能在第一象限.【解答】解：根据平移的性质分两种情况①从A到B横坐标不变，纵坐标变化5,那么从C到点D，横坐标不变，纵坐标也变化5,贝U D点为（-2,- 7）或（-2, 3）,即分别在第三象限或第二象限.②从C到A横坐标加2，纵坐标加2,那么从B到D也应如此，应为（2,- 3）,即在第四象限.故选：A.9.图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（）图①2 2 2 2 2A . （m+n）-（m- n）= 4mn B. （m+n）-（m+n）= 2mn间、测试成绩绘制成如图两个统计图.根据图中信息，有下面四个推断: ① 这5期的集训共有56天;② 小明5次测试的平均成绩是 11.68秒;③ 从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑;所有合理推断的序号是【分析】根据图中的信息可以求得这 5期的集训共有多少天和小明根据图中的信心和题意，说明自己的观点即可.【解答】解：①这5期的集训共有：5+7+10+14+20 = 56 （天），故正确;② 小明 5 次测试的平均成绩是：（11.83+11.72+11.52+11.58+11.65 ）- 5= 11.66 （秒）,故错误；③ 从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确；④ 从测试成绩看，两人的最好的平均成绩是小明在第三期，小聪在第四期出现，建议集训时间定为10s 14天•故错误；故选：A .二.填空题（共10小题）11. _________________________________________________ 若二一在实数范围内有意义，贝U x 的取值范围为 _x > 2 __________________________________【分析】根据二次根式有意义的条件可得x - 2> 0，再解即可.期每期的剧I 时间统计图期捋期彳朋、小聪测试成绩统计图成绩f 秒儿11.?011.80 11.70 11.50 1L5Q 11.40C笑一聖茅二鲨勇三隹笑二聲第壬禺館欠L1R88 -1165——不明 ---- 丿卜聪尸11血11.52④ 从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为 14 天.B .②④C .②③D .①④5次测试的平均成绩,【解答】解：由题意得：x- 2>0,解得：x> 2,故答案为：x> 2.212.已知x= 1是关于x的方程x+mx+ n= 0的一个根，则m+n的值是 -1 .【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x= 1代入一元二次方程x2+ mx+ n = 0,即可求得m+n的值.【解答】解：T x= 1是一元二次方程x2+mx+n = 0的一个根，x= 1满足一元二次方程x2+mx+ n= 0,1 + m+ n= 0,/•m+n =—1;故答案为：-1.13.已知正比例函数图象经过点（1, 3）,则该函数的解析式是y = 3x .【分析】设这个正比例函数的解析式是y= kx,再将（1, 3）代入求得k即可.【解答】解：设这个正比例函数的解析式是y= kx,•••正比例函数的图象经过点（1, 3）,3 = k,解得k= 3,•••正比例函数的解析式是y= 3x.故答案为：y= 3x.14.如图，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点M, N,并且测出MN的长为10m,则A, B间的距离为20m .B【分析】M、N是AC和BC的中点，贝U MN是厶ABC的中位线，则依据三角形的中位线定理即可求解.【解答】解：I M、N是AC和BC的中点，• AB= 2MN = 2 X 10 = 20m.故答案是：20m.15.已知点A (5, y i)和点B ( 4, y2)都在直线y= x+b上，贝U y1与y2的大小关系为_y i> y 2—.【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y i, y2的值，比较后即可得出结论.【解答】解：当x= 5时，y i = 5+b；当x = 4 时，y2= 4+b.■/ 5+b >4+b,二y i > y2.故答案为：y i> y2.16.比较实数的大小：2.：； v 3. I.【分析】先比较两数平方的大小，即可确定出所求.【解答】解：•••( {) 2= i2, (3.匸)2= i8,且i2v i8,••• 2- V 3_ 】.故答案为：v.17.一次函数y=- x+3的图象不经过第三象限.【分析】先根据一次函数y=- x+3判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可.【解答】解：•一次函数y=- x+3中，k=- iv 0, b = 3> 0,•••此函数的图象经过第一、二、四象限，•此函数的图象不经过第三象限.故答案为：三.18.一次函数y = kx+b的图象是由函数y=- 2x的图象向上平移2个单位而得到的，则该一次函数的表达式为y=- 2x+2 .【分析】求直线y= kx+b (kz 0)平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化.【解答】解：把一次函数y=- 2x向上平移2个单位长度，得到图象解析式是y=- 2x+2, 故答案是：y=- 2x+2 .19.如图，在菱形ABCD中，/ ABC = i20° 点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB= 2，贝U PB+PE的最小值是_,门【分析】找出B点关于AC的对称点D ,连接DE交AC于P,则DE就是PB+PE的最小值，求出即可.【解答】解：连接DE交AC于P,连接DB,由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD = PB,••• PE+PB= PE+PD = DE ,即DE就是PE+PB的最小值，•••/ ABC= 120 ° ,•••/ BAD = 60° ,•/ AD = AB,•△ ABD是等边三角形，•/ AE= BE,•DE丄AB （等腰三角形三线合一的性质）.在Rt △ ADE 中，DE = 「:.•PB+PE的最小值为.二故答案为：.■:.20.在？ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF, CE,有下列四个结论：①对于动点E,四边形AECF始终是平行四边形；②若/ ABC>90°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是矩形；③若AB>AD，则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形；④若/ BAC = 45 °,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形. 以上所有错误说法的序号是①③.【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心0,故四边形AECF —定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明.然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形.【解答】解：①如图1,•••四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点0,••• AB// DC , AB = DC, 0A= 0C , 0B= OD ,•••/ 0AE=Z 0CF,•••/ A0E=Z C0F,•△ AOE^A C0F (ASA),•AE= CF ,又•••AE/ CF ,•四边形AECF为平行四边形，即E在AB上任意位置(不与A、B重合)时，四边形AECF恒为平行四边形, 故选项①正确；②如图2 ,_______ -P四边形AECF不是矩形，故选项②错误.③如图3,当EF丄AC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确.如果AB V AD,就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故选项④错误. 故答案为：①③.三.解答题(共8小题)21•计算：2「1+ ( 1-血)何.【分析】先计算负整数指数幕、零指数幕、化简二次根式，再计算加减可得.【解答】解：原式=二+1- 2. ■:一2二222.解方程：x - 6x+8 = 0.【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x- 2 = 0或x- 6= 0,然后解两个一次方程即可.【解答】解：(x-2) (x-4)= 0,x- 2 = 0 或x - 4 = 0,所以X1 = 2, X2= 4.223.已知关于x的一元二次方程x+mx+m- 1 = 0.(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；(2)若方程只有一个根为负数，求m的取值范围.【分析】(1)根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可; 【解答】解：(m 2- 4X( m- 1)2=m - 4m+42=(m - 2) > 0,•••无论m 为何值，方程总有两个实数根； (2)解：由求根公式可求得 x =- 1或x =- m+1 , 若方程有一个根为负数，则- m+1 > 0,解得mv 1.故m 的取值范围为mv 1.24.在平面直角坐标系 xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (2, 0),与y 轴交于点B (0,把点A (2, 0)与点B ( 0,- 4)代入得,k=2 b=-4'•直线AB 的解析式为：y = 2x - 4;(2)设点C 的坐标(a , 2a - 4), • S ^BOC^ 8,• a = 4,••点 C 的坐标为：(4, 4).-4).，且S ^BQC = 8,求点C 的坐标.y = kx+b ，把点 A (2, 0)与点 B (0,- 4)解方(2)设点C 的坐标(a , 2a - 4),根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.【解答】解：(1)设直线 AB 的解析式为：y = kx+b , (1)求直线AB 的解析式;程组即可得到结论;25.如图，？ABCD 中，点 E , F 分别在边 BC , AD 上，BE = DF ，/ AEC = 90°(1) 求证：四边形 AECF 是矩形；(2) 连接 BF ，若 AB = 4,/ ABC = 60°, BF 平分/ ABC ，求 AD 的长.【分析】(1)根据平行四边形的下载得到 BC = AD , BC // AD ，求得ECAF ，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2) 解直角三角形得到 BE = 2, AE =；打弋，根据矩形的性质得到 FC 丄BC , FC = AE =到结论.【解答】(1)证明：•••四边形 ABCD 是平行四边形，••• BC = AD , BC // AD ,又••• BE = DF ,• BC - BE = AD - DF ，即 EC = AF , • EC = AF ,•四边形AECF 为平行四边形，又•••/ AEC = 90°, •四边形AECF 是矩形；(2)解：在 Rt △ ABE 中，/ AEB = 90°,/ ABE = 60°, AB = 4, • BE = 2, AE = 1'：,•••四边形AECF 是矩形， • FC 丄 BC , FC = AE =；.；. •/ BF 平分/ ABC , • / FBC =—/ ABC = 30°,2在 Rt △ BCF 中，/ FCB = 90°,/ FBC = 30°, FC =-'：, • BC = 6, • AD = BC = 6.ABC = 30°，根据直角三角形的性质即可得B E C26. 2020年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情•为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传•某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试•现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩(满分100分)进行整理分析，过程如下：【收集数据】甲班15 名学生测试成绩分别为：78, 83, 89, 97, 98, 85, 100, 94, 87, 90, 93, 92, 99, 95; 100•乙班15名学生测试成绩中90< xv 95的成绩如下：91, 92, 94, 90 , 93【整理数据】：班级75< xv 80 80< xv 85 85< xv 90 90w xv 95 95 < xv100 甲 1 1 3 4 6乙 1 2 3 5 4【分析数据】：班级平均数众数中位数方差甲92 a 93 47.3乙90 87 b 50.2【应用数据】：(1)根据以上信息，可以求出：a= 100 分，b = 91 分；(2)若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由(一条理由即可).【分析】由收集的数据即可得；(1 )根据众数和中位数的定义求解可得；(2 )用总人数乘以乙班样本中合格人数所占比例可得；(3 )甲、乙两班的方差判定即可.【解答】解：(1 )在78, 83, 89, 97, 98, 85, 100, 94, 87, 90, 93, 92, 99, 95, 100, 这组数据中，100出现的次数最多，故a = 100 分;乙班15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，即出现在90< xv 95这一组中，故b = 91分；故答案为：100, 91 ;(2) 480X | i = 256 (人)，30即480名学生中成绩为优秀的学生共有256人；(3 )甲班的学生掌握防疫测试的整体水平较好，•••甲班的方差v乙班的方差，•••甲班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好.27.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0 (0)的两个实数根为x1, x2 (x1 v x2),分别以X1, x2为横坐标和纵坐标得到点M ( x1, x2),则称点M为该一元二次方程的衍生占八、、♦(1 )若方程为x2- 2x = 0,写出该方程的衍生点M的坐标.(2)若关于x的一元二次方程x2-( 2m+1) x+2m= 0 ( mv 0)的衍生点为M，过点M 向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.2(3)是否存在b, c,使得不论k (k丰0)为何值，关于x的方程x2+bx+c= 0的衍生点M始终在直线y= kx- 2 ( k- 2)的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由. 【分析】(1 )求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；(2 )求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；2(2) x -( 2m+1) x+2m= 0 (mv 0)v mv 0「. 2mv 0解得：X1= 2m，x2= 1，方程x2-( 2m+1) x+2m= 0 (m v 0)的衍生点为M ( 2m，1).点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴(3 )求出定点，禾U用根与系数的关系解决问题即可；【解答】解：(1)v x2- 2x= 0，•x ( x- 2) = 0，解得：X1= 0，x2= 2故方程x2- 2x= 0的衍生点为M (0，2).恰好围城一个正方形，所以2m =- 1，解得(3)存在.直线y= kx- 2 ( k- 2)= k (x- 2) +4，过定点M (2, 4),2二x+bx+c= 0 两个根为x i = 2, X2= 4,••• 2+4 =- b, 2X4= c,b =- 6, c= 8.28.如图，在正方形ABCD中，AB = 6, M是CD边上一动点(不与D点重合)，点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE, ME,延长CB到点F，使得BF = DM，连接EF,AF.(1 )当DM = 2时，依题意补全图1 ;(2 )在(1 )的条件下，求线段EF的长；(3)当点M在CD 边上运动时，能使△ AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系AD = DM 或AD = 2DMSi 备用图【分析】(1)根据题意作出图形便可，(2)连接BM，先证明厶ADM ABF，再证明厶FAE^A MAB，求得BM，便可得EF ;(3)设DM = x (x>0),求出AE、AF、EF，当△ AEF为等腰三角形，分两种情况：AE=EF或AF = EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果.【解答】解：(1)根据题意作图如下:(2)连接BM，如图2,•••点D与点E关于AM所在直线对称，••• AE= AD，/ MAD =Z MAE,•••四边形ABCD是正方形，•AD = AB,/ D = Z ABF = 90°,•/ BM = BF ,•△ ADM ◎△ ABF ( SAS),•AF = AM , / FAB=/ MAD ,•••/ FAB =/ NAE ,•/ FAE =/ MAB ,•△ FAE◎△ MAB ( SAS),•EF = BM ,•••四边形ABCD是正方形，•BC= CD = AB = 6 ,•/ DM = 2 ,•CM = 4 ,•BM =祁/初汽=2丘,•EF = 2■：;(3)设DM = x (x> 0),贝U CM = 6- x ,•EF = BM =.「「「■=:，「「•••AE= AD = 6 , AF = AM = ” .；：=_,：；.,•AF > AE ,•当△ AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE= EF ,或AF = EF , ①当AE= EF时，有Qj・L2x+72= 6,解得x= 6 ,••• DM = 6,••• AD = DM ;②当AF = EF时，厂心$十筋，解得，x= 3,•DM = 3,•/ AD = 6,•AD = 2DM ,综上,DM与AD的数量关系为AD = DM或AD = 2DM .故答案为：AD = DM或AD = 2DM .(2) 若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；(3) 根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由(一条理由即可).27.定义：若关于x的一元二次方程ax2 3+bx+c= 0 (0)的两个实数根为x1,x2 (x1 v x2),2 2 2 2 2C. （m - n）+2m n= m+nD. （m+n）（m-n）= m - n【分析】根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2,即为对角线分别是2m, 2n的菱形的面积.据此即可解答.【解答】解：（m+n）2-（m2+ n2）= 2mn.故选：B.10.小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时。

北师大版2019-2020学年度第二学期八年级(下)期末数学试卷(含解析) (11)

北师大版2019-2020学年第二学期八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A．a（m+n）＝am+anB．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2C．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x3．（3分）不等式5+2x＜1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形5．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2B．x≠1C．x＝2D．x＝﹣1 6．（3分）如图，若平行四边形ABCD的周长为40cm，BC＝AB，则BC＝（）A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm7．（3分）若关于x的方程+＝3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣8．（3分）如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°9．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（）A．18B．14C．12D．610．（3分）定义新运算“⊕”如下：当a＞b时，a⊕b＝ab+b；当a＜b时，a⊕b＝ab﹣b，若3⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2B．x＜﹣2或1＜x＜2C．﹣2＜x＜1或x＞1D．x＜﹣2或x＞2二、填空题（每3分，共15分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是．12．（3分）若a2﹣5ab﹣b2＝0，则的值为．13．（3分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则秒后四边形ABQP为平行四边形．14．（3分）在代数式，，，，x+中，是分式的有个．15．（3分）如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是．三、解答题（共计75分）16．（10分）分解因式（1）a2x2y﹣axy2（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）17．（10分）（1）化简求值：（﹣）÷，其中m＝﹣1（2）解不等式组．并把它的解集在数轴上表示出来．18．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF，求证：DE ＝BF．19．（11分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；直接写出点B2的坐标；（3）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并直接写出B3的坐标．20．（8分）探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝，＝；（2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．21．（8分）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，求证：DE ＝FE．22．（12分）我市某学校2016年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）2017年为大力推动校园足球运动，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过3000元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？23．（9分）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB 于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD＝0，可得结论：PD+PE+PF＝AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．解：A、只是中心对称图形，故本选项错误；B、只是中心对称，故本选项错误；C、只是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误；D、即是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．2．解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；故选：C．3．解：5+2x＜1，移项得2x＜﹣4，系数化为1得x＜﹣2．故选：C．4．解：设这个多边形的边数为n，则有（n﹣2）180°＝360°，解得：n＝4，故这个多边形是四边形．故选：A．5．解：由题意得，x﹣2≠0，解得，x≠2，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵▱ABCD的周长为40cm，∴AB+BC＝20cm，∵BC＝AB，∴BC＝20×＝8cm，7．解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣9，整理得：2x＝﹣2m+9，解得：x＝，∵关于x的方程+＝3的解为正数，∴﹣2m+9＞0，解得：m＜，当x＝3时，x＝＝3，解得：m＝，故m的取值范围是：m＜且m≠．故选：B．8．解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．9．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝．∵△CDE的周长为24，∴CD＝9，∴BC＝2CD＝18．故选：A．10．解：当3＞x+2，即x＜1时，3（x+2）+x+2＞0，解得：x＞﹣2，∴﹣2＜x＜1；当3＜x+2，即x＞1时，3（x+2）﹣（x+2）＞0，解得：x＞﹣2，综上，﹣2＜x＜1或x＞1，故选：C．二、填空题（每3分，共15分）11．解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标是（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．解：对a2﹣5ab﹣b2＝0两边同除ab，得﹣5﹣＝0，整理得，＝5，故答案为：5．13．解：∵运动时间为x秒，∴AP＝x，QC＝2x，∵四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ，∴x＝6﹣2x，∴x＝2．答：2秒后四边形ABQP是平行四边形．故答案为：2．14．解：在代数式，，，，x+中，是分式的有，，故答案为：215．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的），∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正确．∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，故②正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝AG，故③，故答案为①②③④．三、解答题（共计75分）16．解：（1）原式＝axy（ax﹣y）；（2）原式＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．17．解：（1）原式＝＝m﹣3将m＝1代入，原式＝﹣4；（2）由①得，x＞1，由②得，x＜4，所以不等式组的解集为1＜x＜4，18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，在△EAD和△FCB中∴△EAD≌△FCB（SAS），∴DE＝BF．19．解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△AB2C2如图所示，点B2（4，﹣2）．（3）△A3B3C3如图所示，B3的坐标（﹣4，﹣4）．20．解：（1）＝﹣，＝﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）（﹣+﹣+…+﹣）＝，（﹣）＝﹣＝，＝，解得x＝50，经检验，x＝50为原方程的根．故答案为﹣，﹣．21．证明：∵DE是△ABC的中位线∴AE＝EC，∵CF∥BD∴∠A＝∠ECF，且AE＝CE，∠AED＝∠CEF∴△AED≌△CEF（ASA）∴DE＝EF22．解：（1）设购买一个甲种足球需要x元，，解得，x＝50，经检验，x＝50是原分式方程的解，∴x+20＝70，即购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；（2）设这所学校再次购买了y个乙种足球，70（1﹣10%）y+50（1+10%）（50﹣y）≤3000，解得，y≤31.25，∴最多可购买31个足球，即这所学校最多可购买31个乙种足球．23．解：图2结论：PD+PE+PF＝AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE＝PF，∠EPM＝∠B，∠EPM＝∠ANM＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EMP＝∠EPM，∴PE＝EM，∴PE+PF＝AE+EM＝AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB＝PD．∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，即PD+PE+PF＝AB．图3结论：PE+PF﹣PD＝AB．。

学而思2014~2015年寒春入学测试题(初二年级数学) 学生版.A卷

学而思2014~2015寒春入学测试题初二年级数学A 卷姓名：___________学校：___________ 班级：____________ 成绩：___________1．（5x 的取值范围是（） A ．3x ≠ B ．3x ≥ C ．3x <D ．3x >2．（10分）如图所示，将长方形ABCD 沿对角线AC 对折，B 点落在了B'处，AB'CD 交于E 点，已知65ACB ∠=︒，则DEA ∠的度数为（） A ． 25︒B ．65︒C．50︒D ．40︒（第2题）（第3题）3．（5分）如图所示，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，BC =，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点，E F 、分别是线段BC BD 、上的动点，连接EF FC 、，则EF FC +的最小值为（） AB ．3C ．D ．324．（10分）将一次函数32y x =-+的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移之后的图像对应函数解析式为 ____________．5．（10分）平面直角坐标系中，A B 、是直线1x =上的两个点，已知()11A ，且3AB =，则点B 的坐标为：______________________．6．（5分）如图所示，直线1234l l l l 、、、分别是一次函数111y k x b =+、222y k x b =+、333y k x b =+、444y k x b =+的对应图像，则1234k k k k 、、、的大小关系是__________________．l7． (1) (10分) 解二元一次方程组：43122134x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩(2)(10分) 化简计算：已知非零实数a b 、满足等式224250a b a b +--+=8．（10分）如图所示，已知点12A ,是直线1l ：y kx =上的一点，过B 点的直线2l 与1l 以及y 轴所围图形面积是3，求直线2l 对应函数的解析式．9．（10分）如图，在ABC V 中，D 是AB 的中点，24AB CD ==，AC BC +=求ABC V 的面积．AB10．（15分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x=3y x=+交于点A，分别交于x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A B C、、的坐标．（2）当CBDV为等腰三角形时，求点D的坐标．。

2019学而思数学创新体系诊断(六年级)

2. 如果 a 、 b 为定值，关于 x 的方程
a b ________．
2kx a x bk 2 ，无论 k 为何值，它的根总是 1 ，则 3 6
【分析】
2k a 1 bk 2 ，去分母并整理得 (4 b)k 13 2a ， 3 6 由已知其为关于 k 的恒等式，即关于 k 的方程的解为全体实数， 13 4 b 0 5 a 2 ．则 a b ．因此，解得 13 2 a 0 2 b 4
3 5 2 3 1 _________．
2 1 1 6
3 2 6 3 3
11. 化简： 23 6 10 4 3 2 2 _______________．【分析】
23 6 10 4 3 2 2 23 6 10 4

2 1

2
23 6 10 4
二、解答题：本大题共 3 小题；每小题 15 分，共 45 分； 16. 已知 a ， b 为实数，若不等式 2a b x 3a 4b 0 的解集为 x
4 ，求不等式 9
a 4b x 2a 3b 0 的解集．【分析】将不等式移项，得 2a b x 4b 3a ，

2
2
2
2
2
x x 1
2 2
x2 1

5 2 x 1 2x 4x x 1 4 2
2 2

5 2 1 5
2
15. 设 M (4 2 3)3 ，它的小数部分是 P ，则 M (1 P)= ________．【分析】
x2 x 12 x2 14 x 12

北京八中2019-2020学年八年级下学期阶段质量检测数学试题(解析版)

是（）
A. (3,3)
B. (3, 3)
C. (5, 3)
D. (3, 5)
【答案】B 【解析】【分析】先根据 C 点坐标和 BC 的长度求出点 B 的坐标，再根据 B,D 关于原点对称求出 D 点坐标即可．
【详解】∵ ABCD 的对角线交点是直角坐标系的原点，
∴B，D 关于原点对称．
∵ C 坐标是 (5, 3) ， BC 8， B(3,3) ， D(3, 3) ，
bb
C、 4a 4 ＝2 a 1 ，不合题意；
D、 14 为最简二次根式，符合题意，
故选 D．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．
2.下列各式中，计算正确的是（）
A. 2 3 5
【答案】C
B. (2)2 2
C. ( 3)2 3
D. 2 3 3 3 6 3
故选：B．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标，掌握平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标的特点是解题的关键． 5.如图，在▱ ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BCD 的平分线交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长为( )
A. 3
B. 2.5
C. 2
D. 1.5
EF EH
RtDGE RtFHE(HL) ，
DEG FEH ． DEF 2 ， GEH 2 ， GCH 360 90 90 2 180 2 ， DAB 180 2 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，四边形内
角和，能够做出辅助线将角度进行转化是解题的关键．
9.有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”.下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”

北师大版2019-2020学年度第二学期八年级(下)期末数学试卷(含解析) (13)

北师大版2019-2020学年第二学期八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠0B．x＝0C．x≠﹣4D．x≠43．（3分）不等式的正整数解的个数是（）A．0个B．4个C．6个D．7个4．（3分）如图，在四边形ABCD中，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD．若∠BAC＝25°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．120°C．100°D．50°5．（3分）若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A．﹣1B．﹣2C．2D．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°7．（3分）如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，F为CE的中点，连接DF，则AF的长等于（）A．2B．3C．D．28．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为（）A．1B．2C．2.5D．49．（3分）为打击毒品犯罪，我县缉毒警察乘警车，对同时从县城乘汽车出发到A地的两名毒犯实行抓捕，警车比汽车提前15分钟到A地，A地距离县城8千米，警车的平均速度是汽车平均速度的2.5倍，若设汽车的平均速度是每小时x千米，根据题意可列方程为（）A．+15＝B．＝+15C．＝D．＝10．（3分）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD ＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF ＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）已知某个正多边形的每个内角都是120°，这个正多边形的内角和为°．12．（3分）如果多项式x2+（2﹣k）xy+9y2是一个完全平方式，那么k的值为．13．（3分）在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对题．14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连结DE，取DE的中点F，连结EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．（5分）解方程：＝﹣1．16．（5分）解不等式组：17．（5分）如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R ＝6.8cm，r＝1.6cm，请利用因式分解求出剩余阴影部分的面积．（结果保留π）19．（7分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝2．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在的直线上且BM＝CN，求证：△AMN是等腰三角形．21．（7分）如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4），B（﹣1，﹣3），C （﹣4，﹣1）．（1）画出△ABC以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的△A1BC1；（2）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A2B2C2；①在图中画出△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标；②如果将△A2B2C2看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．22．（7分）四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）连接BF、AC、DE，当BF⊥AE时，求证：四边形ACED是平行四边形．23．（8分）问题背景：对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2﹣140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．24．（10分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A、B两种型号电脑已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万元购买B种型号电脑的数量相同．（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？（2）学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买A种型号电脑多少台？25．（12分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE＝BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）2018-2019学年陕西省汉中市城固县八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各项分析判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本项错误；②不是中心对称图形，故本项错误；③是中心对称图形，故本项正确；④不是中心对称图形，故本项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠0B．x＝0C．x≠﹣4D．x≠4【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：x+4≠0，∴x≠﹣4，故选：C．【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）不等式的正整数解的个数是（）A．0个B．4个C．6个D．7个【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．【解答】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+1）﹣6，去括号得：3x+3＞4x+2﹣6，移项得：3x﹣4x＞2﹣6﹣3，合并同类项得：﹣x＞﹣7，系数化为1得：x＜7，故不等式的正整数解有1、2、3、4，5，6这6个，故选：C．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4．（3分）如图，在四边形ABCD中，点D在AC的垂直平分线上，AB∥CD．若∠BAC＝25°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．120°C．100°D．50°【分析】根据平行线的性质求出∠ACD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠DCA，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝25°，∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝25°，∴∠ADC＝130°，故选：A．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（3分）若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A．﹣1B．﹣2C．2D．1【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣5）＝0，得到x＝5，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣5），得x﹣6+x﹣5＝﹣k，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣5）＝0，解得x＝5，当x＝5时，k＝1．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可求得∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等边三角形，∴α＝∠ACA′＝60°．故选：C．【点评】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ACA′是等边三角形是关键．7．（3分）如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，F为CE的中点，连接DF，则AF的长等于（）A．2B．3C．D．2【分析】根据三角形中位线定理求出DF，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵F为CE的中点，D为BC的中点，∴DF＝BE＝2，DF∥BE，∴∠ADF＝90°，∴AF＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为（）A．1B．2C．2.5D．4【分析】作CG⊥DF，根据平移性质得出AD＝CF＝2、∠ACB＝∠F＝30°，由直角三角形的性质可得答案．【解答】解：如图，作CG⊥DF于点G，由平移知，AD＝CF＝2，∠ACB＝∠F＝30°，∴CG＝CF＝1，故选：A．【点评】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键．9．（3分）为打击毒品犯罪，我县缉毒警察乘警车，对同时从县城乘汽车出发到A地的两名毒犯实行抓捕，警车比汽车提前15分钟到A地，A地距离县城8千米，警车的平均速度是汽车平均速度的2.5倍，若设汽车的平均速度是每小时x千米，根据题意可列方程为（）A．+15＝B．＝+15C．＝D．＝【分析】设汽车的平均速度是每小时x千米，则警车的平均速度是每小时2.5x千米，根据时间＝路程÷速度结合警车比汽车提前小时（15分钟）到A地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设汽车的平均速度是每小时x千米，则警车的平均速度是每小时2.5x千米，依题意，得：＝+．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（3分）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD ＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF ＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】连接EC ，作CH ⊥EF 于H ．首先证明△BAD ≌△CAE ，再证明△EFC 是等边三角形即可解决问题；【解答】解：连接EC ，作CH ⊥EF 于H ．∵△ABC ，△ADE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝EC ＝1，∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∵EF ∥BC ，∴∠EFC ＝∠ACB ＝60°，∴△EFC 是等边三角形，CH ＝，∴EF ＝EC ＝BD ，∵EF ∥BD ，∴四边形BDEF 是平行四边形，故②正确，∵BD ＝CF ＝1，BA ＝BC ，∠ABD ＝∠BCF ，∴△ABD ≌△BCF ，故①正确，∵S 平行四边形BDEF ＝BD •CH ＝，故③正确，S △AEF ＝S △AEC ＝•S △ABD ＝故④错误，故选：C ．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．（3分）已知某个正多边形的每个内角都是120°，这个正多边形的内角和为720°．【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n＝360°，求解即可．【解答】解：设所求正多边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n＝360°，∴n＝6．所以这个正多边形是正六边形．则内角和是：（6﹣2）×180＝720°．故答案为：720．【点评】本题考查了多边形内角和外角的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°并根据外角和求出正多边形的边数．12．（3分）如果多项式x2+（2﹣k）xy+9y2是一个完全平方式，那么k的值为8或﹣4．【分析】根据完全平方公式的结构特征判断确定出k的值即可．【解答】解：∵多项式x2+（2﹣k）xy+9y2是一个完全平方式，∴2﹣k＝±6，解得：k＝8或﹣4，故答案为8或﹣4【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（3分）在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对19题．【分析】求至少要答对的题数，首先应求出在竞赛中的得分，然后根据题意在竞赛中的得分不低于60列出不等式，解答即可．【解答】解：设他至少应选对x道题，则不选或错选为25﹣x道题．依题意得4x﹣2（25﹣x）≥60得x≥又∵x应为正整数且不能超过25所以：他至少要答对19道题．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，用不等式解答应用问题时，要注意对未知数的限制条件．14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E在边AB上，连结DE，取DE的中点F，连结EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，OF＝2，则线段AE的长是．【分析】由题意可求AB＝CD，AB∥CD，即可证△AEO≌△CGO可得AE＝CG，即可得DG＝BE，由三角形中位线定理可求DG＝2OF＝4，即可求AE的长．【解答】解：∵点O是AC的中点，点F是DE的中点∴OF∥DG，DG＝2OF＝4∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠ACD＝∠BAC且AO＝CO，∠AOE＝∠COG∴△AEO≌△CGO（ASA）∴AE＝CG，且AB＝CD∴BE＝DG＝4∵BE＝3CG∴AE＝CG＝故答案为：【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．（5分）解方程：＝﹣1．【分析】观察可得方程最简公分母为：2x﹣4，将方程去分母转化为整式方程即可求解．【解答】解：化为整式方程得：2﹣2x＝x﹣2x+4，解得：x＝﹣2，把x＝﹣2代入原分式方程中，等式两边相等，经检验x＝﹣2是分式方程的解．【点评】此题考查分式方程的解法，解分式方程去分母时有常数项的注意不要漏乘，求解后要进行检验，这两项是都是容易忽略的地方，要注意检查．16．（5分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣3，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集是﹣3≤x＜4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．17．（5分）如图，已知直线l和l外一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】利于基本作图（过一点作已知直线的垂线））作l′⊥l．【解答】解：如图，直线l为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．18．（5分）如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R ＝6.8cm，r＝1.6cm，请利用因式分解求出剩余阴影部分的面积．（结果保留π）【分析】根据题意和图形，可以用因式分解求出剩余阴影部分的面积．【解答】解：∵R＝6.8cm，r＝1.6cm，∴剩余阴影部分的面积是：πR2﹣4πr2＝π（R+2r）（R﹣2r）＝π（6.8+2×1.6）×（6.8﹣2×1.6）＝36π，即剩余阴影部分的面积是36π．【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（7分）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝2．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1+）÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M、N分别在BC所在的直线上且BM＝CN，求证：△AMN是等腰三角形．【分析】作AH⊥BC于H．证明AH垂直平分线段MN即可解决问题．【解答】证明：作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∵BM＝CN，∴HM＝HN，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21．（7分）如图，已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4），B（﹣1，﹣3），C （﹣4，﹣1）．（1）画出△ABC以点B为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的△A1BC1；（2）将△ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A2B2C2；①在图中画出△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标；②如果将△A2B2C2看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点点A1、C1，从而得到△A1BC1．（2）①利用点平移的坐标规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；②平移的方向为从B到点B2，再利用勾股定理计算出BB2得到平移的距离．【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作；（2）①如图，△A2B2C2为所作；点A2的坐标为（2，﹣1）；②如果将△A2B2C2看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移方向为从点B点到B1点，和平移距离＝＝．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．22．（7分）四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）连接BF、AC、DE，当BF⊥AE时，求证：四边形ACED是平行四边形．【分析】（1）只要证明AB＝CD，AB＝BE即可解决问题．（2）只要证明△DAF≌△CEF推出AD＝CE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠EAB＝∠EAD＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD．（2）∵BA＝BE，BF⊥AE，∴AF＝EF，∵AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF，在△ADF和△ECF中，，∴△DAF≌△CEF∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ADEC是平行四边形．【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（8分）问题背景：对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456＝（x﹣60）2﹣144＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）＝（x﹣48）（x﹣72）问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2﹣140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子因式分解；（2）根据整式的除法和因式分解可以求得这个长方形的长．【解答】解：（1）x2﹣140x+4756＝x2﹣2×70x+702﹣702+4756＝（x﹣70）2﹣144＝（x﹣70）2﹣122＝（x﹣70+12）（x﹣70﹣12）＝（x﹣58）（x﹣82）；（2）∵一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，∴这个长方形的长是：（a2+8ab+12b2）÷（a+2b）＝（a+2b）（a+6b）÷（a+2b）＝a+6b，即这个长方形的长是a+6b．【点评】本题考查因式分解的应用、整式的除法，解答本题的关键是明确因式分解的方法．24．（10分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A、B两种型号电脑已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元，且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万元购买B种型号电脑的数量相同．（1）求A、B两种型号电脑每台价格各为多少万元？（2）学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买A种型号电脑多少台？【分析】（1）设求A种型号电脑每台价格为x万元，则B种型号电脑每台价格（x﹣0.1）万元．根据“用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同”列出方程并解答．（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．根据“A种型号电脑至少要购进10台”、“用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑”解答．【解答】解：（1）设求A种型号电脑每台价格为x万元，则B种型号电脑每台价格（x ﹣0.1）万元．根据题意得：＝，解得：X＝0.5．经检验：x＝0.5是原方程的解，x﹣0.1＝0.4答：A、B两种型号电脑每台价格分别是0.5万元和0.4万元．（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．根据题意得：0.5y+0.4（20﹣y）≤9.2．解得：y≤12，所以y＝12．最大值答：最多可购买A种型号电脑12台．【点评】考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．25．（12分）在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE＝BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）【分析】（1）①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF＝∠FDC，从而得到∠F＝∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F＝∠BEF＝45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG＝CG，再求出∠GAC+∠ACG＝90°，然后求出∠AGC＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF＝AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC＝∠ADC＝60°，然后求出∠CBG＝60°，从而得到∠AFG＝∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得AG＝CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG＝∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG＝120°，再求出∠AGC＝60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∴∠F＝∠BEF，∴BF＝BE；②△AGC是等腰直角三角形．理由如下：连接BG，由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∵G是EF的中点，∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，∵∠FAD＝90°，∴AF＝AD，又∵AD＝BC，∴AF＝BC，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∴∠FAG＝∠BCG，又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，即∠GAC+∠ACG＝90°，∴∠AGC＝90°，∴△AGC是等腰直角三角形；（2）连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，∴△BFG是等边三角形，∴FG＝BG，∠FBG＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AFG＝∠CBG，∵DF是∠ADC的平分线，∴∠ADF＝∠FDC，∵AB∥DC，∴∠AFD＝∠FDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，在△AFG和△CBG中，，∴△AFG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，∴△AGC是等边三角形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

《2018 年上海学而思寒春高端班补录》解析版··五年级数学

绝密★启用前《2018年寒春高端班补录》解析版··数学年级：五年级考试时间： 90分钟总分：100分考生须知1．请考生务必核对试卷年级、科目是否正确. 2．请将答案写在答题纸上，在试卷上答题无效. 3．考试结束后试卷可以带回，答题纸必须上交.一．填空题I （每题4分，共40分）1. 计算：231(13)55111+÷=____________．【考点】分数计算【答案】555【分析】原式5111555=⨯=2. 两个质数的和为2019，那么这两个质数的乘积是____________．【考点】质数合数【答案】4034【分析】奇偶分析，两个数的和是奇数，那么这两个数必是一奇一偶.那么必有2，220172019+=.乘积是220174034⨯=. 3. 有一项工程，学学单独完成需要10天，思思单独做3天可以完成整项工程的15.现在让学学和思思一起做，完成这项工程至少需要____________天．【考点】工程问题【答案】6【分析】设工作总量为1 ，那么学学的工作效率是110，思思的工作效率是113515÷=. 合作的工作效率是11110156+=，1166÷=，需要6天.4. 在数列1,2,3,……，99,100，这100个数中，所有既不是3的倍数也不是5的倍数的数的和是____________．【考点】容斥原理【答案】2632【分析】1~100的总和是123...991005050+++++=，其中3的倍数有[1003]33÷=(个)，和是369...96991683+++++=；其中5的倍数有[1005]20÷=(个)，和是51015...951001050+++++=；其中重复算的是15的倍数，有[10015]6÷=(个)，和是153045...7590315+++++=. 所以答案是2632.5. 学学和思思都在加工某种零件，一开始他们的工作效率之比为5:3，做了一段时间之后，他们熟能生巧，都提高了工作效率，每个人每天都比原来多做10个.学学和思思新的工作效率之比变为8:5.那么现在学学和思思一天一共能做零件____________个．【考点】比例应用题【答案】260【分析】因为两人每天都比原来多做10个，所以他们的差不变，把差统一.原来学学：思思5:315:9==；现在学学：思思8:516:10==.学学和思思都增加了1份，1份是10个，那么学学和思思现在一天能做26份，即260个.6. 如图，直角三角形OBC ∆中90C ∠=︒8BC =厘米，15OC =厘米，现在以O 为圆心，OB 为半径，画一个圆.那么图中圆O 的面积是____________平方厘米(结果请保留π)． O C B【考点】勾股定理，圆的面积公式【答案】289π【分析】222815289r =+=，所以圆的面积是289π平方厘米.7. 一项工程，交给甲、乙、丙三个工程队来完成.如果甲工作7天，乙工作10天，丙工作2天，能够完成任务；如果甲先单独工作5天，剩下的工作乙、丙合作8天，也能够完成；已知甲一天的工作量等于丙两天的工作量.现在这项工程由甲、乙、丙三队合作来完成，需要____________天.【注意】请填完整天数，不够一天的，按整一天算.【考点】工程问题，方程法【答案】7【分析】设工作总量为“1”，设甲、乙、丙三队的工作效率分别为,,a b c .7102158812a b c a b c a c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解方程得115120130a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 320a b c ++=.需要3202162033÷==(天).三个队合作完成需要7天.8. 有六个不同质数，他们的和是一个奇数，并且他们的乘积恰好是个六位数，而且这个六位数的六个数字都一样，那么这六个质数的和是____________.【考点】分解质因数【答案】73 【分析】设这个六位数为aaaaaa ，111111111100137111337aaaaaa a a a ==⨯=⨯⨯⨯⨯. 因为六个质数的和是奇数，那么2a =.那么这六个奇质数的和是23711133773+++++=.9. 有一个长方体容器，长是30厘米，宽是20厘米，高是8厘米，容器里面有高为6厘米的水.现在往容器里慢慢放入一些碎沙子，水面会慢慢升高，因为水面张力，水面高出容器之后不会马上溢出，水面高出容器的部分可以达到3毫米左右(这部分可以理解成一个长方体).那么加入____________立方厘米的沙子才会让水面高度高出容器3毫米.(请填入整数)【考点】长方体体积，阿基米德原理【答案】1380【分析】容器体积是302084800⨯⨯=(立方厘米)，容器中水的体积是302063600⨯⨯=(立方厘米)，因为水面张力存在，加入沙子后，沙子和水的体积之和可以达到3020(80.3)4980⨯⨯+=(立方厘米).此时加入的沙子体积是498036001380-=(立方厘米).10. 地精银行有100个保险柜，分别编号为1~100.每个保险柜都有一把钥匙，为了保险起见，钥匙的编号不能和对应的保险柜一样.地精们设计了一种钥匙编号方法：每把钥匙的编号是三个数字，这三个数字从左到右依次是这把锁对应的保险柜编号除以3,5,8所得的余数.那么：编号1，0，7的钥匙所能开的保险柜是____________号.【考点】物不知数【答案】55【分析】设对应保险柜编号是A .3......1, 5......0,8......7A A A ÷÷÷，先满足前两个，可得1015(0,1,2,3,...)A k k =+=；再枚举，可得55A =.二．填空题Ⅱ（每题6分，共30分）11. 观察下面的数列，然后回答问题：1123211234543211,,,,,,,,,,,,,,,,1333335555555557…… 分数19第一次出现在第____________位，分数111出现在第____________位. (请写出所有你觉得正确的答案，答案不全，不得分.)【考点】数列规律【答案】29位，46位和66位(第二问两个答案都写全才可以得分，否则0分)【分析】发现分母依次是1,3,5,7,9，……1个1,5个3,9个5,13个7，分数19第一次出现在第159131=29++++(位)，分数111是分母为11的分数的第1个和最后1个，有两个答案，不要忘记. 15913171=46+++++（位）和159131721=66+++++（位）.12. 下图中ABCDE 是正五边形，OCD ∆是正三角形，那么AOB ∠=____________度. O B AEDC【考点】多边形角度【答案】84°【分析】1086048OCB ∠=-=︒，又BC OC =，那么(10848)266OBC BOC ∠=∠=-÷=︒. 同理66DOE ∠=︒，(36060662)284AOB AOE ∠=∠=--⨯÷=︒.13. 甲、乙、丙三辆车都要从A 地去往B 地，他们先后从A 地出发.甲车开得慢，最先出发，甲车出发后10分钟乙车出发，乙车出发50分钟后追上甲车.乙车出发后20分钟，丙车出发，丙车出发后100分钟追上甲车.请问：丙车出发后____________分钟追上乙车.(AB 之间距离足够远，时间足够丙车追上乙车)【考点】比例行程【答案】240【分析】同地出发，追上的时候路程相等.甲乙两车速度比是12:50:605:6v v ==，甲丙两车速度比是13:100:(1002010)10:13v v =++=，那么甲、乙、丙三车的速度比是10:12:13.那么同样的路程，乙，丙两车所用时间之比为13:12，设乙用的时间是13份，丙用的时间是12份，相差1份时间，1份时间是20分钟，所以丙车追上乙车是2012240⨯=(分钟).14. 今天是2017年10月7日，可以记成日期20171007，那么用三个0，两个1，一个2，两个7能组成____________个八位数.【考点】计数【答案】1050【分析】相同的数字交换，数是不变的，并且最高位不为0.(方法一)732273225()1050A A A A ⨯÷⨯⨯=(个)；(方法二)先考虑0,0不能再最高位,7选337C ，再考虑两个1，两个7，2253C C ⨯；最后还有1个位置是数字2.一共有32275311050C C C ⨯⨯⨯=(个)15. 将2,3,4,5,6,...99,100,101这100个整数分别写在50张纸片的正反两面（每面一数，互不相同）.纸片摆放在桌面上，只能看见每张朝上一面的数. 大宽将其中若干张（张数不限）翻面，翻面后,并计算全部朝上的50个数之和.他能保证得到的最大和数S 是____________.【考点】组合【答案】2575【分析】234...1001015150+++++=，故若朝上的25个数之和小于515022575÷=，全部翻面就可使和数大于2575.另一方面，设开始时朝上的50个数为27,28,29,...,75,76（和数等于2575）.若翻面张数不多于25，可能翻出的数都属于2~26，反而使和数减小.而翻面张数多于25时和数也不大于2575.因此能保证得到的最大和数是2575.二．填空题Ⅲ（每题10分，共30分）16. 上海学而思综合素质测评已经举办了十七届，即将在明年4月份举办第十八届.请回答下面两个问题：(1)从1~18中选出两个数，这两个数的和是偶数的选法有____________种；(3分)(2)从1~18中选出16个数，并且这16个数的和是4的倍数，有____________种选法.(7分)【考点】数论组合综合【答案】【分析】(1)如果两个数的和是偶数，这两个数均为奇数或者均为偶数.1~18中有9个奇数，9个偶数.有229972C C +=(种)选法.(2)123...1718171+++++=，171442......3÷=.要保证选出的16个数的和为4的倍数，那么只要保证没有选的2个数之和除以4余3. 把1~18这18个数按照除以4的余数分类，除以4余0的有4个，除以4余1的有5个，除以4余2的有5个，除以4余3的有4个.两个数的和除以4余3，可以是(0,3),(1,2)两种.有445541⨯+⨯=(种).17. 今年是公元2017年，我们列一个数列1,2,3,……，2016,2017.在这个数列中我们一次取相邻的两个自然数，比如(1,2),(2,3),(3,4),...,(2015,2016),(2016,2017).这2016种取法中，两数相加不会发生进位的有____________组.【考点】组合【答案】322【分析】因为是连续的两个数，可以表示为(,1)n n +.1~2017中有一位数，两位数，三位数和四位数，为了考虑方便，都补成四位数，即从0001,0002,0003,...,2016,2017.因为2千多的数不全，所以单独考虑，先考虑0001~1999.第一类，(,1)n n +这两个数如果只有个位数字不同(即n 的个位不为0).那么只要保证百位，十位，个位均4≤，千位有0,1两种选择，满足不进位的有2555250⨯⨯⨯=(个)；这里要2501249-=(个)，因为没有(0000,0001)这一组.第二类，(,1)n n +这两个数个位数字和十位数字均不相同(即n 的个位为9，十位不为9). 那么n +1的十位数字比n 的十位数字多1，下面考虑n 每一位上的数字.n 的千位可以是0或1，百位0~4，十位0~4，个位为9.这样的数组有255150⨯⨯⨯=(个)第三类，(,1)n n +这两个数个位数字、十位数字和百位数字均不相同(即n 的个位为9，十位为9，百位不是9).同第二类考虑.n 的千位为0~1，百位为0~4，十位为9，个位为9，这样的数组有251110⨯⨯⨯=.第四类999,11000n n =+=，符合；1999,12000n n =+=，符合.有2个.下面再考虑2000+的组，n 的千位必定为2，百位必定为0，十位在0~1之间选，那么只要保证个位相加不进位即可.个位只要4≤即可，个位0~4，十位0~1，那么有112510⨯⨯⨯=(个).最后还有(2009,2010)，1组.所以一共有24950102101322+++++=(个).这样的分组，满足组内两个数相加不会进位.18. 如图，在正六边形ABCDEF 中，AF 边的中点是M ，DE 边的中点是N ，联结MN 与线段CE 交于点G ，联结BG ，再找到线段BG 的中点Q ，联结CQ .接着找到BF 的中点H ，联结CH ，形成了一个小三角形CPQ ∆，已知正六边形ABCDEF 的面积为1平方厘米，那么(1) BCG ∆的面积是____________平方厘米；(3分)(2)CPQ ∆的面积是____________平方厘米.(7分) Q PH G N MCB A D FE 【考点】等积变形，风筝模型【答案】14,140【分析】设正六边形ABCDEF 的面积为144份，那么长方形1446496BCEF S =÷⨯=（份），联结AD ，形成梯形ADEF .////MN EF AD ，MN 是梯形ADEF 的中位线，那么:1:3EG GC =.3962364BCG S ∆=÷⨯=(份).所以3611444BCG S ∆==. 联结HG ，36CGH BCG S S ∆∆==(份)，96424BCH S ∆=÷=(份). 根据风筝模型，::24:362:3BCH CGH BP PG S S ∆∆===.那么::4:1:5BP PQ PG =，所以136 3.610CPQ S ∆=⨯=(份)，那么 3.6114440CPQ S ∆==.。

(仅供参考)2019·学而思-创新体系寒春补录诊断·数学·八年级(解析版)

绝密★启用前《2019年寒春创新体系补录诊断》试卷·数学年级：八年级考试时间：120分钟总分：150分考生须知 1．请考生务必核对试卷年级、科目是否正确。

2．请将答案写在答题纸上，在试卷上答题无效。

3．考试结束后试卷可以带回，答题纸必须上交。

一、填空题：本大题共15小题；每小题7分，共105分； 1.方程1112002x y +=的正整数解构成的有序组(),x y 共有________组.【分析】原方程转化为()2002x y xy +=，()()2200220022002x y --=；因为x 、y 为正整数；所以2002x -、2002y -是大于2002-的整数；所以2002x -、2002y -同号，且至少有一个绝对值不大于2002；所以2002x -、2002y -必须是22002的正约数；所以方程1112002x y +=的正整数解(),x y 可写成220022002,2002d d ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，d 为22002的正约数；把22002分解质因数：222222002271113=⨯⨯⨯；所以22002有81个正约数；所以方程1112002x y +=的正整数解构成的有序组(),x y 共有81组.2.已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则这样的n 有_________个.【分析】334个3.求值：1231989199012319891990⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⋅+-+-+-++-⋅=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦__________.【分析】3956121-4.已知正实数x y z ，，满足222222222x y xy a y z yz b z x zx c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩其中a b c ，，为非负常数，则xy yz xz ++=__________.【分析】222222222122122122x y a xy y z byz z x c zx ⎧+-=-⎪⎪⎪+-⎪=-⎨⎪⎪+-⎪=-⎪⎩⇒()()()()()()13sin120424ABC a b c a b c a b c a b c S xy yz xz xy yz xz +++--+-++==︒++=++∴()()()()33xy yz xz a b c a b c a b c a b c ++=+++--+-++5.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，联结BE 交AC 于F ，联结FD ，若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与DEB △；③CFD △与ABG △；④ADF △与CFB △；其中相似的为．【分析】①②③①找到两对角相等即可得到相似；②由射影定理得到22EF EB AE ED ⋅==，DEF BED ∠=∠，得到FED DEB △∽△；③AD BC ∵∥，12AF AE FC BC ==∴，13AF AC =∴，由射影定理得到22213CD AB AF AC AC ==⋅=，而22121233CG CF AC AC AC CD ⋅=⋅==，DCG FCD ∠=∠∵，FDC DGC ∴△∽△，AGB FDC ∵△≌△，CFD ABG ∴△∽△ ④明显90AFD ∠>︒，不可能相似.6.在ABC △中，BC a =，AC b =，AB c =，90C ∠=︒，CD 和BE 是ABC △的两条中线，且CD BE ⊥．则::a b c =________．【分析】联结DE ，设BE 与CD 相交于G ，则G 为ABC △的重心，2CGDG=．由已知，Rt CDE △中，EG CD ⊥，故由射影定理，得222CE CGDE DG==，因此2CE DE =； GABCDEFEDAB C GEDABC故11222b a =⋅，即2b a =，由勾股定理可知，::1:2:3a bc =．7.用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数，若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第________个数.【分析】从高位到低位逐层分类：⑴ 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504A =⨯⨯=种排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=个． ⑵ 千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756A =⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=个．⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=个．⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=个，故5687是第2344个四位数．8.由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有_________种.【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有44432124A =⨯⨯⨯=种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有23326A =⨯=种排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法．由乘法原理，一共有2463432⨯⨯=种不同的编排方法．9.已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根是整数，那么符合条件的整数a 有_______个.【分析】当10a -=，1a =时，原方程化为220x -=，1x =满足原方程的根是整数．当10a -≠，1a ≠时，原方程化为()()()1110x a x a --++=⎡⎤⎣⎦；所以原方程的根是1x =或12111a x a a+==-+--；因为原方程的根是整数；所以()1|2a -；所以12a -=-或1-或1或2；3a =或2或0或1-．综上所述，1a =-或0或1或2或3，即符合条件的整数a 有5个．10.已知方程()222238213150a x a a x a a --+-+=（a 是非负整数）至少有一个整数根，则a =_________．【分析】当0a =时，原方程无解．当0a ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，因式分解得()()2350ax a ax a ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以23a x a -=或5a a -；当2332a x a a-==-时，1a =或3；当551a x a a-==-时，1a =或5；综上所述，1a =或3或5．11.已知234232332a b c b c a c a b ==+--+++，则2332a b ca b c -+=+-_____．【分析】设2341232332a b c b c a c a b k===+--+++，则有232923311324a b c kb c a k a k c a b k+-=⎧⎪-+=⇒=⎨⎪++=⎩，811b k =，111c k =故2343231a b c a b c -+=-+-．12.已知关于x 的241x x a --+=有一个增根是4x =，则a =_________．【分析】移项，得241x x a -=++方程两边同时平方，得2412x x a x a -=++++ 移项，化简得25x a x a +=--方程两边同时平方，得24()(5)x a x a +=--把4x =代入上式得，5,3a a ==-若3,a =-原方程为2431x x ---=此时代入4x =可发现“左边=右边”说明4x =是方程的根而不是增根，与题意不符，故需舍去．所以5a =．13.若方程2310x x -+=的两根α、β，也是方程620x px q -+=的根，其中p 、q 均为整数．则p q +=_______．【分析】因为α、β是方程2310x x -+=的两个根；()2341150∆=--⨯⨯=>；所以由Viete 定理，得3α+β=，1αβ=；α≠β； ()222223217α+β=α+β-αβ=-⨯=；()()22442222272147α+β=α+β-αβ=-⨯=；因为α、β是方程620x px q -+=的根；所以626200p q p q ⎧α-α+=⎨β-β+=⎩；因为α≠β，所以()()664422222442222224714817711p q ⎧α-β==α+β+αβ=+=⎪α-β⎪⎪⎨α-β=-=αβα+β=⨯=⎪⎪-αβ⎪⎩． 55p q +=.14.不超过1000的正整数x ，使得x 和1x +两者的数字和都是奇数．则满足条件的正整数x 有_________个．【分析】设x abc =，其中{}019a b c ∈，，，，，，且不全为0．()S x a b c =++是x 的数字和．⑴若9c ≠，则()S x a b c =++，()11S x a b c +=+++；⑵若9c =，9b ≠，则()9S x a b =++，()11S x a b +=++； ⑶若9c =，9b =，9a ≠，则()99S x a =++，()11S x a +=+； ⑷若9a =，9c =，9b =，则()27S x =，()11S x +=．奇偶性相同的只有⑵和⑷．在⑵中，a b ，的奇偶性相同，有45个x 满足题意．在⑷中，有一个999x =满足题意．所以，共有46个．15.三个正方形如图排列，AC 、AD 、AE 为三条对角线，则123∠+∠+∠=________．【分析】作如图中的三个正方形，联结AM ，EM ．易证24∠=∠，AEM △是等腰直角三角形 ∴45AEM ∠=︒，即3445∠+∠=︒ ∴2345∠+∠=︒ 又∵145∠=︒∴12390∠+∠+∠=︒二、解答题：本大题共3小题；每小题15分，共45分；16.如图，PA PB 、切O ⊙于A B 、两点，过P 作割线交O ⊙于C D 、，过B 作BE CD ∥，连接AE 交PD 于M ，求证：M 为DC 的中点．【分析】联结OA OM OP 、、，∵BE CD ∥，∴AMC E ∠=∠，∵PA PB 、都是切线，∴AOP BOP ∠=∠， ∴AOP AEB ∠=∠，∴AMP AOP ∠=∠， ∴A M O P 、、、四点共圆， ∴90OMP OAP ∠=∠=︒， ∴M 是DC 的中点．17.证明：2232112x xy y +-=无整数解. 【分析】原方程乘以4，可得：321ED CBAM4321ED CBAM EOPDCB AAB CDPOEM2222(23)17448(23)174486(mod17)x y y x y y +-=⇔+-=≡而2(23)0,1,2,4,8,9,13,15,16(mod17)x y +≡ 故无解18.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)320rx r x r +++-=有根，且只有整数根. 【分析】0r =时满足条件 0r ≠时，1221x x r +=--，1223x x r=- ∴12124x x x x --=()()12115x x --=故1226x x ==，或1204x x ==-，此时29r =-或23r =∴22093r =-，，。

2019-2020学年八年级数学下学期期中达标检测卷(北师大版)含答案

2019-2020学年八年级数学下学期期中达标检测卷（一）【北师大版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•鲤城区校级期中）若x＜y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＜y﹣3B．2x+3＜2y+3C．＜D．﹣3x＜﹣3y2．（3分）（2020•宝安区校级期中）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2019春•夏津县期中）设“●■▲”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图，那么“●■▲”这三种物体质量从大到小顺序排列应为（）A．●■▲B．▲■●C．■●▲D．■▲●4．（3分）（2019春•平和县期中）三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形5．（3分）（2020•武汉校级期中）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A．2B．3C．4D．56．（3分）（2018秋•醴陵市期中）如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6B．7C．8D．97．（3分）（2019春•平和县期中）如图，AB∥CD，AC的垂直平分线分别交AC，BD于E，F，若∠C＝56°，则∠BAF的度数是（）A．28°B．34°C．56°D．68°8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°9．（3分）（2020•深圳校级期中）不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a≤3C．a＜1或a＞3D．1＜a≤310．（3分）（2019秋•广陵区校级期中）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD ⊥OA，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．3B．3C．6D．6第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019春•包河区期中）不等式组的解集为．12．（3分）（2019秋•福清市期中）等腰三角形的两边长分别为3cm和4cm，则它的周长是cm．13．（3分）（2019秋•阳江期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝．14．（3分）（2018秋•沁阳市期中）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，则△ABC的面积是．15．（3分）（2019秋•市中区校级期中）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+2x＞0的解集为．16．（3分）（2019春•平和县期中）甲从一个鱼摊买三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（填a＞b或a＜b或a＝b）评卷人得分三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019春•五华区校级期中）解不等式（组）（1）解不等式；（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．18．（8分）（2018•瑶海区校级期中）如图，已知A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2．（3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，在图中作出它们的对称轴．19．（8分）（2019春•福田区校级期中）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM ⊥CD，AN⊥BC．（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．20．（8分）（2019春•平和县期中）已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．（1）用含m的代数式分别表示x和y；（2）求m的取值范围；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1？21．（10分）（2019春•成都期中）为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化生活，高新区某校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元：若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？（3）在第（2）问的条件下，设计出购买奖品总费用最少的方案，并求出最小总费用．22．（10分）（2019春•平和县期中）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．2019-2020学年八年级数学下学期期中达标检测卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•鲤城区校级期中）若x＜y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＜y﹣3B．2x+3＜2y+3C．＜D．﹣3x＜﹣3y【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【答案】解：A、在原不等式两边都减3可得x﹣3＜y﹣3，此选项正确；B、在原不等式的两边都乘以2，再加3可得2x+3＜2y+3，此选项正确；C、在原不等式两边都除以2得＜，此选项正确；D、在原不等式两边都乘以﹣3得﹣3x＞﹣3y，此选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．2．（3分）（2020•宝安区校级期中）下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．3．（3分）（2019春•夏津县期中）设“●■▲”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图，那么“●■▲”这三种物体质量从大到小顺序排列应为（）A．●■▲B．▲■●C．■●▲D．■▲●【分析】根据第一个不等式，可得■与▲的关系，根据第二个不等式，可得●与■的关系，根据不等式的传递性，可得答案．【答案】解：第一个不等式，■质量＜▲质量，根据第二个不等式，●质量＜■质量，故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式当传递性是解题关键．4．（3分）（2019春•平和县期中）三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【分析】由三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，可得此点是三角形的角平分线的交点，也是三边的垂直平分线的交点，继而可判定这个三角形一定是等边三角形．【答案】解：∵三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，∴此点是三角形的角平分线的交点，也是三边的垂直平分线的交点，∵这个三角形一定是等边三角形．故选：D．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握定理的应用．5．（3分）（2020•武汉校级期中）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】先利用点A平移都A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．【答案】解：∵点A（2，0）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点A1（3，1），∴线段AB先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到线段A1B1，∴点B（0，1）先向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到点B1，∴a＝0+1＝1，1+1＝b，∴a+b＝1+2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）6．（3分）（2018秋•醴陵市期中）如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】分为两种情况：①以AB为腰时，符合条件的有点CDEFGH；②以AB为底时，符合条件的有点IJ；相加即可得出答案．【答案】解：①以AB为腰时，符合条件的有点CDEFGH；②以AB为底时，符合条件的有点IJ；共6+2＝8，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．7．（3分）（2019春•平和县期中）如图，AB∥CD，AC的垂直平分线分别交AC，BD于E，F，若∠C＝56°，则∠BAF的度数是（）A．28°B．34°C．56°D．68°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC，求出∠FAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠AFC，根据平行线的性质解答即可．【答案】解：∵EF是AC的垂直平分线，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠C＝56°，∴∠AFC＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFC＝68°，故选：D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．【答案】解：∵AC＝AE，BC＝BD∴设∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）＝180，得x+y＝140，∴∠DCE＝180﹣（∠AEC+∠BDC）＝180﹣（x+y）＝40°．故选D．【点睛】根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．9．（3分）（2020•深圳校级期中）不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a≤3C．a＜1或a＞3D．1＜a≤3【分析】根据题中所给条件，结合口诀，可得a﹣1与3之间、5和a+2之间都存在一定的不等关系，解这两个不等式即可．【答案】解：根据题意可知a﹣1≤3且a+2≤5所以a≤3又因为3＜x＜a+2即a+2＞3所以a＞1所以1＜a≤3故选：D．【点睛】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．10．（3分）（2019秋•广陵区校级期中）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD ⊥OA，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．3B．3C．6D．6【分析】作PC′⊥OB于C′，根据直角三角形的性质求出PD，根据角平分线的性质解答．【答案】解：作PC′⊥OB于C′，则PC′为PC的最小值，∵PD⊥OA，M是OP的中点，∴OP＝2DM＝12cm，∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，∴∠DOP＝30°，∴PD＝OP＝6cm，∵P是∠AOB角平分线上的一点，PD⊥OA，PC′⊥OB，∴PC′＝PD＝6cm，故选：C．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019春•包河区期中）不等式组的解集为﹣9＜x＜﹣3．【分析】根据每个不等式的解集，求出不等式组的解集即可．【答案】解：不等式组的解集为﹣9＜x＜﹣3．故答案为：﹣9＜x＜﹣3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．12．（3分）（2019秋•福清市期中）等腰三角形的两边长分别为3cm和4cm，则它的周长是10或11cm．【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm是腰长，②4cm是腰长两种情况求解．【答案】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10cm，②4cm是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+3＝11cm，所以，它的周长是10或11cm．故答案为：10或11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．13．（3分）（2019秋•阳江期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝40°．【分析】首先证明∠ACC′＝∠AC′C；然后运用三角形的内角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．【答案】解：由题意得：AC＝AC′，∴∠ACC′＝∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC＝70°，∴∠ACC′＝∠AC′C＝∠BAC＝70°，∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°；由题意知：∠BAB′＝∠CAC′＝40°，故答案为40°．【点睛】该命题以三角形为载体，以旋转变换为方法，综合考查了全等三角形的性质及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．14．（3分）（2018秋•沁阳市期中）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，则△ABC的面积是18．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质分别求出OE，OF，根据三角形的面积公式计算．【答案】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝2，同理，OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△OBC的面积+△OAB的面积+△OAC的面积＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×2＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．15．（3分）（2019秋•市中区校级期中）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，4），则关于x的不等式kx+b+2x＞0的解集为x＞﹣2．【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出不等式的解集即可．【答案】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，4），∴﹣2m＝4，解得：m＝﹣2，则关于x的不等式kx+b+2x＞0可以变形为kx+b＞﹣2x，由图象得：kx+b＞﹣2x的解集为x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．16．（3分）（2019春•平和县期中）甲从一个鱼摊买三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是a＞b（填a＞b或a＜b或a＝b）【分析】首先表示出5条鱼的平均价格为元，分析当a＝b，a＞b，a＜b时三种情况，与进行比较，得出正确的结果．【答案】解：∵5条鱼的平均价格为元，分析当a＝b，＝＝a，当a＞b，＝0.6a+0.4b，＝0.5a+0.5b，∴0.6a+0.4b﹣（0.5a+0.5b）＝0.1a﹣0.1b∵a＞b，∴0.1a﹣0.1b＞0∴＞，把鱼全部卖给了乙，一定赔钱．当a＜b时，＜，故答案为：a＞b．【点睛】此题主要考查了如何比较代数式的大小关系，得出买价与卖价的大小关系是解决问题的关键．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019春•五华区校级期中）解不等式（组）（1）解不等式；（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【分析】（1）不等式去分母、去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集；（2）先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．【答案】解：（1），3（2+x）≥3（2x+1）﹣12，6+3x≥6x+3﹣12，3x﹣6x≥3﹣12﹣6，﹣3x≥﹣15，x≤5；（2），由①得x≥1，由②得x＜4，故原不等式组的解集为1≤x＜4，所以它的整数解有：1，2，3．【点睛】主要考查了一元一次不等式（组）解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（8分）（2018•瑶海区校级期中）如图，已知A（﹣1，﹣1），B（﹣3，3），C（﹣4，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2．（3）判断△A1B1C1和△A2B2C2是不是成轴对称？如果是，在图中作出它们的对称轴．【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据旋转的性质画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A2B2C2；（3）依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1和△A2B2C2成轴对称．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）△A1B1C1和△A2B2C2成轴对称，对称轴为直线A1B．【点睛】本题考查的是作图﹣轴对称变换及旋转变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．作旋转图形时，先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，旋转前后的两个图形是全等的．19．（8分）（2019春•福田区校级期中）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM ⊥CD，AN⊥BC．（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，根据等腰三角形的三线合一得到∠3＝∠4，同理得到∠1＝∠2，证明结论；（2）根据四边形的内角和等于360°求出∠BCD，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案．【答案】（1）证明：连接AC，∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又AM⊥CD，∴∠3＝∠4，同理，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠BAD，即BAD＝2∠MAN；（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，∠BAD＝2∠MAN＝140°，∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝20°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．20．（8分）（2019春•平和县期中）已知关于x、y的方程组的解满足x≤0，y＜0．（1）用含m的代数式分别表示x和y；（2）求m的取值范围；（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1？【分析】（1）首先对方程组进行化简即可求得含m的表示x和y得代数式；（2）根据方程的解满足的解满足x≤0，y＜0得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，然后求得m的值；（3）根据不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1，求出m的取值范围，即可解答．【答案】解：（1），①+②得2x＝2m﹣6，所以，x＝m﹣3；①﹣②得2y＝﹣4m﹣8，所以，y＝﹣2m﹣4，故含m的代数式分别表示x和y为；（2）∵x≤0，y＜0∴，解，得﹣2＜m≤3；（3）（2m+1）x＜2m+1，∵原不等式的解集是x＞1，∴2m+1＜0，∴，又∵﹣2＜m≤3∴﹣2＜m＜﹣，∵m为整数，∴m＝﹣1．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集．21．（10分）（2019春•成都期中）为了全面推进素质教育，增强学生体质，丰富校园文化生活，高新区某校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元：若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元；（2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？（3）在第（2）问的条件下，设计出购买奖品总费用最少的方案，并求出最小总费用．【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元：若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进（100﹣m）件B种奖品，根据购买费用不超过1160元且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出购买方案的个数；（3）由A，B两种奖品单价间的关系，可找出购买奖品总费用最少的方案，再利用总价＝单价×数量可求出最小总费用．【答案】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元．（2）设运动会组委会购进m件A种奖品，则购进（100﹣m）件B种奖品，依题意，得：，解得：68≤m≤75，75﹣68+1＝8（种）．答：运动会组委会共有8种购买方案．（3）∵10＜15，∴A种奖品的单价较低，∴当m＝75时，购买奖品总费用最少，最少费用为10×75+15×（100﹣75）＝1125（元）．答：购买75件A种奖品，25件B种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据两种奖品单价间的关系，找出购买奖品总费用最少的方案．22．（10分）（2019春•平和县期中）阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A ′C．【答案】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由题意知旋转角∠PA P′＝60°，∴△AP P′为等边三角形，P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．2019-2020学年八年级数学下学期期中达标检测卷（二）【北师大版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）（2019春•南阳期中）给出变形：①若a＜b，则2﹣a＞2﹣b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若x＝y，则＝；④若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）．其中一定正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）（2020•深圳校级期中）下列图形中，中心对称图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（3分）（2019•定远县校级期中）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是（）A．﹣6B．﹣12C．6D．124．（3分）（2019春•龙岗区期中）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为（）A．8cm B．6cm C．cm D．5cm5．（3分）（2019秋•朝阳区期中）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N ′，则旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．（3分）（2019•从化市校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE ＝3，AB＝6，则AC长是（）A．7B．6C．5D．47．（3分）（2019春•高邑县期中）如图，线段AB两端点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB 平移到CD位置，若线段CD两端点的坐标分别为C（1，a），D（b，4），则a+b的值为（）A．7B．6C．5D．48．（3分）（2019•东营校级期中）一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答．至少答对几道题，总分才不会低于60分．则小明至少答对的题数是（）A．11道B．12道C．13道D．14道9．（3分）（2019•阜新校级期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（）A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜110．（3分）（2018春•沭阳县期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足x＜y，则a的取值范围是（）A．a＞B．a＜C．a＜D．a＞11．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）12．（3分）（2019•永嘉县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，4）和（1，3）△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与O′间的距离为（）A．3B．4C．5D．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）（2019春•龙岗区期中）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数是．14．（3分）（2019春•顺德区期中）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝15°，则∠A的度数是度．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为．16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB ′C′的位置，连接C′B，则C′B＝．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2019春•龙岗区期中）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）4x+5≤2（x+1）（2）18．（6分）（2019春•电白区期中）如图，Rt△ABC，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DF⊥AC 于F．线段AB上一点E，且DE＝DC．证明：BE＝CF．19．（6分）（2019春•龙岗区期中）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过8m3，则每m3按1元收费；若每户每月用水超过8m3，则超过部分每m3按2元收费．某用户7月份用水比8m3要多xm3，交纳水费y元．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（2）此用户要想每月水费控制在20元以内，那么每月的用水量最多不超过多少m3？20．（8分）（2019秋•路北区期中）如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．21．（8分）（2019秋•平房区期中）某公司保安部去商店购买同一品牌的应急灯和手电筒，查看定价后发现，购买一个应急灯和5个手电筒共需50元，购买3个应急灯和2个手电筒共需85元．（1）求出该品牌应急灯、手电筒的定价分别是多少元？。

2019年北师大版初二数学上年中检测试题及解析解析.doc.doc

2019年北师大版初二数学上年中检测试题及解析解析〔本检测题总分值：120分，时间：120分钟〕【一】选择题〔每题3分，共30分〕1、以下四个实数中，绝对值最小的数是〔〕A 、－5B 、1D 、42、以下各式中计算正确的选项是〔〕A 、9)9(2-=-B 、525±=C 、1=-D 、2)2(2-=-3、〔2018·杭州中考〕假设1k k <<+〔k 是整数〕，那么k =〔〕A 、6B 、7C 、8D 、94、〔2018·广州中考〕以下计算正确的选项是〔〕A 、ab ·ab =2abC 、3-=3〔a ≥0〕D 、·=〔a ≥0,b ≥0〕 5、满足以下条件的三角形中，不是直角三角形的是〔〕A 、三内角之比为1∶2∶3B 、三边长的平方之比为1∶2∶3C 、三边长之比为3∶4∶5D 、三内角之比为3∶4∶56、直角三角形两边的长分别为3和4，那么此三角形的周长为〔〕A 、12B 、7＋7C 、12或7＋7D 、以上都不对7、将一根24cm 的筷子置于底面直径为15cm ，高为8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，那么h 的取值范围是〔〕A 、h ≤17B 、h ≥8C 、15≤h ≤16D 、7≤h ≤168、〔2018·湖北随州中考〕在直角坐标系中,将点〔－2,3〕关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是〔〕A 、〔4,－3〕B 、〔－4,3〕C 、〔0,－3〕D 、〔0,3〕9、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A 〔4，5〕，B 〔1，2〕，C 〔4，2〕，将△ABC 向左平移5个单位长度后，A 的对应点A 1的坐标是〔〕A 、〔0，5〕B 、〔－1，5〕C 、〔9，5〕D 、〔－1，0〕10、〔2018·浙江丽水中考〕平面直角坐标系中，过点〔-2，3〕的直线l 经过第【一】【二】三象限，假设点〔0，a 〕，〔-1，b 〕，〔c ，-1〕都在直线l 上，那么以下判断正确的选项是〔〕A 、b a <B 、3<aC 、3<bD 、2-<c【二】填空题〔每题3分，共24分〕11、〔2018·四川乐山中考〕函数y ＝的自变量x 的取值范围是________、12、〔宁夏中考〕点P 〔a ，a －3〕在第四象限，那么a 的取值范围是、13、点P 〔3，－1〕关于y 轴的对称点Q 的坐标是〔a +b ，1－b 〕，那么a b 的值为__________、14、〔2018·广州中考〕某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0、3米的速度匀速上升，那么水库的水位高度y 米与时间x 小时〔0≤x ≤5〕的函数关系式为__________、15、在△ABC 中，a ，b ，c 为其三边长，，，，那么△ABC 是_________、16、〔2018•甘肃白银中考〕在等腰△ABC 中，AB =AC =10cm ，BC =12cm ，那么BC 边上的高是_________cm 、17、假设),(b a A 在第【二】四象限的角平分线上,a 与b 的关系是_________、18、〔2018•福建泉州中考〕：m 、n 为两个连续的整数，且m ＜＜n ，那么m +n =_________、【三】解答题〔共66分〕 19、〔8分〕如图，等腰△的周长是，底边上的高的长是，求这个三角形各边的长、20、〔8分〕计算：〔1〕44.1-21.1；〔2〕2328-+；〔3+ 〔4〕0)31(33122-++；〔5〕2)75)(75(++-；〔6〕2224145-、 21、〔8分〕在平面直角坐标系中,顺次连接A 〔-2,1〕,B 〔-2,-1〕,C 〔2,-2〕,D 〔2,3〕各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积、22、〔8分〕a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2-ab －27的值、 23、〔8分〕〔2018•湖南怀化中考〕设一次函数y =kx +b 〔k ≠0〕的图象经过A 〔1，3〕， B 〔0，－2〕两点，试求k ，b 的值、24、〔8分〕一架云梯长25m ，如下图斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7m 、〔1〕这个梯子的顶端A 距地面有多高？〔2〕如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4m 吗？第24题图第25题图25、〔8分〕〔2018·浙江丽水中考〕甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走、设甲、乙两人相距s 〔米〕，甲行走的时间为t 〔分〕，s 关于t 的函数图象的一部分如下图、〔1〕求甲行走的速度；〔2〕在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余部分；〔3〕问甲、乙两人何时相距360米？26、〔10分〕〔2018·湖北孝感中考〕某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000C第19题图元，每天工作8小时，一个月工作25天，月工资底薪800元，另加计件工资、加工1件A 型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元、在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时、〔工人月工资＝底薪+计件工资〕〔1〕一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时？〔2〕一段时间后,公司规定：“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装，且加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”、设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件，工资总额为 W 元，请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？期中检测题参考答案【一】选择题1、C 解析：|－5|=5；|－2|=2，|1|=1，|4|=4，所以绝对值最小的数是1，应选C 、2、C 解析：选项A 9=，选项B 5=，选项D 中22(=,所以只有选项C 中1=-正确、3、D 解析：∵81＜90＜100，∴，即910，∴k =9、 4、D 解析：因为22ab ab a b ⋅=，所以A 项错误；因为33(2)8a a =，所以B 项错误；因为0)a =≥，所以C 0,0)a b =≥≥，所以D 项正确、5、D 解析：判断一个三角形是不是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半、由A 得有一个角是直角、B 、C 满足勾股定理的逆定理，应选D 、6、C 解析：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋47C 、7、D 解析：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17〔cm 〕，最短长度为8cm ，那么筷子露在杯子外面的长度h 的取值范围是24－17≤h ≤24－8，即7≤h ≤16，应选D 、8、C 解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵坐标均互为相反数，所以点〔－2，3〕关于原点的对称点为〔2，－3〕、根据平移的性质，结合直角坐标系，〔2，－3〕点向左平移2个单位长度，即横坐标减2，纵坐标不变、应选C 、9、B 解析:∵△ABC 向左平移5个单位长度，A 〔4，5〕，4－5=－1，∴点A 1的坐标为〔－1，5〕,应选B 、10、D 解析：设直线l 的表达式为()0y kx b k =+≠，直线l 经过第【一】【二】三象限， ∴0k >，函数值y 随x 的增大而增大、01>-，∴a b >，故A 项错误；02>-，∴3a >，故B 项错误；12->-，∴3b >，故C 项错误；13-<，∴2c <-，故D 项正确、【二】填空题11、x ≥2解析：因为使二次根式有意义的条件是被开方数≥0，所以x －2≥0，所以x ≥2、 12、0＜a ＜3解析：此题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法、 ∵点P 〔a ，a －3〕在第四象限，∴a >0，a －3<0，解得0＜a ＜3、13、25解析：此题考查了关于y 轴对称的点的坐标特点，关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，解得b ＝2，a ＝－5，∴a b ＝25、14、y =0、3x +6解析：因为水库的初始水位高度是6米，每小时上升0、3米，所以y 与x 的函数关系式为y =0、3x +6〔0≤x ≤5〕、15、直角三角形解析：因为所以△是直角三角形、16、8解析：如图，AD 是BC 边上的高线、 ∵AB =AC =10cm ，BC =12cm ，∴BD =CD =6cm ，∴在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD〔cm 〕、 17、互为相反数解析:第【二】四象限的角平分线上的点的横、纵坐标的绝对值相等,•符号相反、18、7解析：∵9＜11＜16，∴3＜＜4、又∵m 、n 为两个连续的整数，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7、【三】解答题19、解：设，由等腰三角形的性质，知、由勾股定理，得，即，解得，所以，、20、解：〔1〕、〔2〕、〔33+=+== 〔4〕.61513334)31(331220=+=++=-++ 〔5〕〔6〕、21、解:梯形、因为AB ∥CD ，AB 的长为2,CD 的长为5,AB 与CD 之间的距离为4,所以S 梯形ABCD ＝(25)42+⨯＝14、 22、解:因为a 31-≥0，︱8b －3︱≥0，且a 31-和︱8b －3︱互为相反数，所以a 31-，0=︱8b －3︱，0= 所以,83,31==b a 所以()2-ab －27＝64－27＝37、B C 第16题答图23、分析：直接把A 点和B 点的坐标分别代入y =kx +b ，得到关于k 和b 的方程组，然后解方程组即可、解：把〔1，3〕、〔0，－2〕分别代入y =kx +b ，得+32k b b =⎧⎨=-⎩，，解得52k b =⎧⎨=-⎩，，即k ，b 的值分别为5，－2、 24、分析：〔1〕可设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度是直角三角形的三边长，所以x 2+72=252，解出x 即可、〔2〕如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4m ，应计算才能确定、解：〔1〕设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高，根据题意，得AB 2+BC 2=AC 2，即x 2+72=252，解得x =24，即这个梯子的顶端A 距地面有24m 高、〔2〕不是、理由如下：如果梯子的顶端下滑了4m ，即AD =4m,BD =20m 、设梯子底端E 离墙距离为y m ，根据题意，得BD 2+BE 2=DE 2，即202+y 2=252，解得y =15、此时CE =15－7=8〔m 〕、所以梯子的底部在水平方向滑动了8m 、25、解：〔1〕甲行走的速度：150530÷=〔米/分〕、〔2〕补画的图象如下图〔横轴上对应的时间为50〕、〔3〕由函数图象可知，当t =12、5时，s =0；当12、5≤t ≤35时，s =20t -250；当35<t ≤50时，s =-30t +1500、当甲、乙两人相距360米时，即s =360，360=20t -250，解得30.5=t ,360=-30t +1500、解得38=t ∴当甲行走30、5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米、26、解：〔1〕设一名熟练工加工１件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，由题意,得解得答：一名熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时、〔2〕当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，那么还可以加工B 型服装〔25×8-2a 〕件、 ∴W ＝16a +12〔25×8-2a 〕+800,∴W ＝-8a +3200、又a ≥〔200-2a 〕,解得a ≥50、∵-8<0,∴W 随着a 的增大而减小、∴当a =50时，W 有最大值2800、∵2800<3000,∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺、。

2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级(上)期中数学试卷解析版

2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下面计算正确的是（）A．﹣a2÷a＝﹣a3B．a3•a2＝a6C．（a2）2＝a4D．（a2b）3＝a2b32．（3分）下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13B．4＜BC＜12C．3＜BC＜8D．2＜BC＜84．（3分）下列多边形中，内角和为720°的图形是（）A．B．C．D．5．（3分）已知点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣56．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．80°或50°7．（3分）如图，△ABC≌△DCB，若∠A＝80°，∠ACB＝40°，则∠ACD等于（）A．80°B．60°C．40°D．20°8．（3分）如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b9．（3分）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝（）A．110°B．115°C．120°D．130°10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）若x a＝3，x b＝4，x c＝5，则x2a+b﹣c＝．12．（3分）多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，则m＝．13．（3分）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是．14．（3分）如图所示，在△ABC中，AC＝9cm，DE垂直平分AB，如果△DBC的周长是16cm，那么BC的长度为．15．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝6，∠B＝60°，若DC＝3BD，则DC＝．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE＝度．17．（3分）若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．18．（3分）样例：将多项式4x2+1加上一个整式Q，使它成为某一个多项式的平方，写出一个满足条件的整式Q解：当Q＝4x时，4x2+1+Q＝4x2+1+4x＝（2x+1）2仿照样例，解答下面的问题：将多项式1+16x2加上一个整式P，使它成为某一个多项式的平方，写出三个满足条件的整式P＝．三.解答题（本题共54分）19．（6分）计算：（1）x2y3（﹣2xy3）2（2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）20．（6分）因式分解：（1）2x2﹣8（2）x3y﹣10x2y+25xy21．（5分）先化简，再求值：（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1），其中x＝﹣．22．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标：A1（），B1（），C1（）；（3）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标．23．（6分）已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．24．（5分）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB ∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．25．（4分）已知：如图，点E是△ABC外角∠CAF平分线上的一点．（1）比大小：BE+EC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）证明（1）中的结论．26．（8分）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：．（3）请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解（4）当x＝时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最值（填“大”或“小”）．请你求出这个最值27．（7分）已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB 的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．（1）如图1，点C在线段AB上．①根据题意补全图1②求证：∠EAC＝∠EDC；（2）如图2，点C在直线AB的上方，0°＜∠CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京大学附属实验校中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在下面四个选项中只有一个是正确的.（本题共30分，每小题3分）1．【解答】解：A．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；B．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；C．（a2）2＝a4，正确，故本选项符合题意；D．（a2b）3＝a6b3，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：A．3．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．4．【解答】解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．则这个正多边形的边数是六，故选：D．5．【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得a＝﹣（﹣2）＝2，b＝3．∴a+b＝5故选：C．6．【解答】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°；②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°；∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°；∴它的顶角的度数为：80°或20°．故选：C．7．【解答】解：∵∠A＝80°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC≌△DCB，∴∠DCB＝∠ABC＝60°，∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝20°，故选：D．8．【解答】解：由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．9．【解答】解：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝50°，∴∠3＝∠2＝＝65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°．故选：B．10．【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．二.填空题（本题共16分，每小题3分）11．【解答】解：∵x a＝3，x b＝4，x c＝5，∴x2a+b﹣c＝（x a）2•x b÷x c＝32×4÷5＝9×4÷5＝．故答案为：12．【解答】解：（mx+8）（2﹣3x）＝2mx﹣3mx2+16﹣24x＝﹣3mx2+（2m﹣24）x+16，∵多项式（mx+8）（2﹣3x）展开后不含x项，∴2m﹣24＝0，解得：m＝12，故答案为：12．13．【解答】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，∴x2+mx+16＝（x±4）2，＝x2±8x+16．∴m＝±8，故答案为：±8．14．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA，∵△DBC的周长是16cm，∴BC+CD+BD＝16cm，即BC+AC＝16cm，又AC＝9cm，∴BC＝7cm，故答案为：7cm．15．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝30°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵DC＝3BD，∴DC＝9，故答案为：9．16．【解答】解：∵AB＝AC，∴设∠B＝∠C＝x度，∠EDC＝a，∵∠DEA是△DCE的外角，故∠DEA＝x+a，在等腰三角形ADE中，AE＝AD，∴∠ADE＝x+a．在△ABD中，x+20＝x+a+a，解得a＝10，则∠CDE＝10度．故填10．17．【解答】解：∵m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），∴m2﹣n2＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∴原式＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2）＝mn+2m﹣2mn+mn+2n＝2（m+n）＝﹣2．故答案为﹣2．18．【解答】解：根据完全平方公式定义得，当P＝64x4时，组成的完全平方式可变为（1+8x2）2；当P＝8x时，组成的完全平方式可变为（1+4x）2；当P＝﹣8x时，组成的完全平方式可变为（1﹣4x）2；故答案为：64x4或8x或﹣8x．三.解答题（本题共54分）19．【解答】解：（1）x2y3（﹣2xy3）2＝x2y3•（4x2y6）＝4x4y9；（2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）＝﹣1﹣5mn+m2．20．【解答】解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（2）x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．21．【解答】解：原式＝（2x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣4x（x﹣1）＝4x2﹣4x+1+x2﹣4﹣4x2+4x＝x2﹣3，当x＝﹣时，原式＝﹣．22．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；（2）由（1）可知，答案为：﹣2，3；﹣1，0；﹣1，2；（3）如图2所示，点D的坐标为（0，﹣1）或（2，﹣1）或（0，3）．23．【解答】解：（1）如图所示：（2）BD＝DE，证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．24．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．25．【解答】解：（1）结论：BE+EC＞AB+AC．故答案为＞．（2）理由：在AF上截取AH，使得AH＝AC．∵AC＝AE，∠CAF＝∠HAE，AE＝AE，∴△EAC≌△EAH（SAS），∴EC＝EH，∵EB+EH＞BH，∴EB+EC＞AB+AC．26．【解答】解：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4；（4）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）﹣1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1﹣2＝（x2﹣2x+1）2﹣2＝（x﹣1）4﹣2，故当x＝1时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最小值，最小值为﹣2．故答案为：C；（x﹣2）4；1，小．27．【解答】解：（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，∴AC＝BC，EA＝EB，∴∠EAC＝∠EBC．∵△ACD为等边三角形，∴CD＝AC＝BC，∴∠EDC＝∠EBC，∴∠EAC＝∠EDC．（2）如图2中，结论：EB＝EC+ED．理由：设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH＝ED．∵△ADC是等边三角形，∴DA＝DC＝AC，∠ADC＝DCA＝60°，∵直线m垂直平分线段AB，∴CA＝CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBE，∵EA＝EB，CA＝CB，∴∠EAB＝∠EBA，∠CAB＝∠CBA，∴∠EAC＝∠EBC，∴∠JDE＝∠JAC，∵∠DJE＝∠AJC，∴△DJE∽△AJC，∴∠DEJ＝∠JCA＝60°，∵ED＝EH，∴△DEH是等边三角形，∴∠ADJ＝∠HDE，DH＝DE，∵DA＝DC，∴△ADH≌△CDE（SAS），∴AH＝EC，∴EA＝EH+AH＝DE+EC，∵直线m垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∴EB＝EC+ED．。

精品解析：北京大学附属中学2019-2020学年八年级下学期期末数学试题(解析版)

点睛: 本题直接通过平行四边形性质、平行线的性质、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是
解决问题的关键．
14. 把直线 y＝﹣5x+2 向上平移 a 个单位后，与直线 y＝2x+4 的交点在第一象限，则 a 的取值范围是__．
【答案】a＞2
【解析】
【分析】
由题意可得平移后的直线为 y＝﹣5x+2+a，然后与直线 y＝2x+4 联立解方程组，根据两直线的交点在第一象
1 x乙＝ 10 （8×3+9×4+10×3）＝9；
s
甲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2＝
1 10
[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；
s
乙
2＝
1 10
[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；
∴ x甲= x乙，s 甲 2＞s 乙 2，
故选：A．【点睛】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数
北京大学附属中学 2019-2020 学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题 1. 函数 y x 3 中自变量 x 的取值范围是（）
A. x＞3
B. x≠3
C. x≥3
D. x≥0
【答案】C 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0，可以求出 x 的范围．【详解】由题意得：x-3≥0，解得：x≥3，故选 C. 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

2019-2020学年北京四中八年级(下)期中数学试卷 (学生版+解析版)

2019-2020学年北京四中八年级（下）期中数学试卷一、单项选择题（共10个小题）． 1．函数3y x =-中，自变量x 的取值范围是( )A ．3x ≠B ．3x …C ．3x >D ．3x …2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A ．1，3，2B ．1，1，2C ．2，3，4D ．4，5，63．下列各式中与2是同类二次根式的是( ) A ．6B ．9C ．12D ．184．如图，将ABCD Y 的一边BC 延长至点E ，若155∠=︒，则(A ∠= )A ．35︒B ．55︒C ．125︒D ．145︒5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是( ) A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行且另一组对边相等C ．两组邻边相等D ．对角线互相垂直6．在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是( ) A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分7．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( ) A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量一组对角是否都为直角 D ．测量其中四边形的三个角都为直角83x +2x 是同类二次根式，则x 的值为( )A．0x=B．1x=C．2x=D．3x=9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点(0,2)A，(4,0)B，点N为线段AB的中点，则点N 的坐标为()A．(1,2)B．(4,2)C．(2,4)D．(2,1)10．如图，Rt ABC∆中，18AB=，12BC=，90B∠=︒，将ABC∆折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A．8B．6C．4D．10二、填空题（共8小题，每题3分，共24分．）11．如图，在ABCDY中，9BC=，5AB=，BE平分ABC∠交AD于点E，则DE的长为．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若120BOC∠=︒，3AB=，则BC的长为．1351-与0.5512-0.5．（填“>”、“=”、“<”)14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE CF=，45EFB∠=︒，若5AB=，13BC=，则AE的长为．15．如果一个无理数a 与12的积是一个有理数，写出a 的一个值是．16．如图，点E 为矩形ABCD 的边BC 长上的一点，作DF AE ⊥于点F ，且满足DF AB =．下面结论：①DEF DEC ∆≅∆；②ABE ADF S S ∆∆=；③AF AB =；④BE AF =．其中正确的结论是．17．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若6AE =，正方形ODCE 的边长为2，则BD 等于．18．已知：线段AB ，BC ．求作：平行四边形ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C 为圆心，AB 长为半径作弧； ②以点A 为圆心，BC 长为半径作弧； ③两弧在BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1)乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD MB=，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2)老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢的作法，他的作图依据是：．三、解答题（共46分，第19题3分，第20题至第22题各6分，第23题至第24题各5分，第25题7分，第26题8分）19．计算：18147+÷20．在平面直角坐标系xOy中，已知(3,2)C，若以A、B、C、D为B--，(1,1)A-，(1,2)顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．)21．如图，E、F是ABCD=．Y的对角线AC上的两点，AE CF求证：EB DF=（写出主要的证明依据）．22．已知，如图，等腰ABCBD cm=，CD cm=，6∆的底边10BC cm=，D是腰AB上一点，且8求AB的长．23．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得//PQ l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线AP，以点P为圆心，PA长为半径画弧，交AP的延长线于点B；②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PB PA =Q ，BC = ，BQ PB =， PB PA BQ ∴=== ．//(PQ l ∴ )（填推理的依据）． 24．下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，O 为AC 的中点，求作：四边形ABCD ，使得四边形ABCD 为矩形．作法：①作射线BO ，在线段BO 的延长线上取点D ，使得DO BO = ②连接AD ，CD ，则四边形ABCD 为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：Q 点O 为AC 的中点， AO CO ∴=又DO BO =Q ，∴四边形ABCD 为平行四边形( )90ABC ∠=︒Q ， ABCD ∴Y 为矩形( )25．常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a ，b 与斜边长c 之间满足等式：222a b c +=”的一个最简单特例．我们把满足222a b c +=的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数组，记为(a ，b ，)c ．（1）请在下面的勾股数组表中写出m 、n 、p 合适的数值：abc abc3 4 5 4 3 5 5 12 m6 8 10 72425p15179n41102426116061123537⋯⋯⋯⋯⋯⋯平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知ABC∆并计算其面积．∆三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点ABC26．如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM DE=，连接FM．（1）依题意补全图形；（2）求证DMF ABF∠=∠．三、B卷27．（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是（用含a的代数式表示）；（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形:EFG M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠=∠=∠=︒．MGP PGN NGQ60请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形ABCD的边长为2，设BP x=，则2x=．28．如图，双边直尺有两条平行的边，但是没有刻度，可以用来画等距平行线：我们也可用工具自制（如图）:下面是小My同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程．（1）根据小My同学的作图过程，请证明O为PH中点．（2）根据小My同学的作图过程，请证明//PQ l．参考答案一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题意．共10小题，每小题3分，共30分．）1．函数y =中，自变量x 的取值范围是( )A ．3x ≠B ．3x …C ．3x >D ．3x …解：Q有意义的条件是：30x -…． 3x ∴…．故选：B ．2．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )A ．12B ．1，1，2C ．2，3，4D ．4，5，6解：A 、22212+=Q ，∴以12为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B 、112+=，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C 、222234+≠Q ，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222456+≠Q ，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．3是同类二次根式的是( )ABC D解：AB 3=不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C =不是同类二次根式，故本选项不符合题意；D =与故选：D ．4．如图，将ABCD Y 的一边BC 延长至点E ，若155∠=︒，则(A ∠= )A ．35︒B ．55︒C ．125︒D ．145︒解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，A BCD ∠=∠，155∠=︒Q ，1801125BCD ∴∠=︒-∠=︒，125A BCD ∴∠=∠=︒．故选：C ．5．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是( )A ．两组对边分别平行B ．一组对边平行且另一组对边相等C ．两组邻边相等D ．对角线互相垂直解：A 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；B 、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；C 、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；D 、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A ．6．在下列图形性质中，平行四边形不一定具备的是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分解：Q 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，∴选项A 、B 、D 正确．C 错误．故选：C ．7．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中四边形的三个角都为直角解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D．8．若最简二次根式3x+与最简二次根式2x是同类二次根式，则x的值为() A．0x=x=D．3 x=B．1x=C．2解：Q最简二次根式3x+与最简二次根式2x是同类二次根式，x x∴+=，32解得：3x=，故选：D．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点(0,2)B，点N为线段AB的中点，则点NA，(4,0)的坐标为()A．(1,2)B．(4,2)C．(2,4)D．(2,1)解：过N作NE y⊥轴，NF x⊥轴，Q点(0,2)B，点N为线段AB的中点，A，(4,0)NF=，∴=，12NE∴点N的坐标为(2,1)，故选：D．10．如图，Rt ABC ∆中，18AB =，12BC =，90B ∠=︒，将ABC ∆折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A ．8B ．6C ．4D ．10解：设BN x =，由折叠的性质可得18DN AN x ==-，D Q 是BC 的中点，6BD ∴=，在Rt NBD ∆中，2226(18)x x +=-，解得8x =．即8BN =．故选：A ．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分．）11．如图，在ABCD Y 中，9BC =，5AB =，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，则DE 的长为 4 ．解：Q 四边形ABCD 为平行四边形，//AE BC ∴，AEB EBC ∴∠=∠，BE Q 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，AB AE ∴=，9BC =Q ，5CD =，954DE AD AE ∴=-=-=．故答案为：4．12．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若120BOC ∠=︒，3AB =，则BC 的长为 33 ．解：120BOC ∠=︒Q ，60AOB ∴∠=︒，Q 四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC BD =，AO OC =，BO DO =，AO BO ∴=，AOB ∴∆是等边三角形，AB AO BO ∴==，3AB =Q ，3AO ∴=，26AC AO ∴==，由勾股定理得：22226333BC AC AB =-=-=，故答案为：33．1351-与0.5512- 0.5．（填“>”、“ =”、“ <”) 解：Q 51511520.52----=-=，Q 520->，∴520->，∴510.5->．故答案为：>．14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE CF∠=︒，EFB=，45若5BC=，则AE的长为4．AB=，13解：如图，过E作EM BC⊥于M，则90∠=∠=︒，EMF EMBQ四边形ABCD是矩形，90∴∠=∠=︒，A B∴四边形ABME是矩形，AB=Q，5=，∴==，AE BMEM AB5EMF∠=︒，Q，90EFB∠=︒45∴∠=︒=∠，45MEF EFB∴==，EM FM5==，Q，AE CF BMBC=13∴+=，2513AE解得：4AE=，故答案为：4．15．如果一个无理数a12的积是一个有理数，写出a的一个值是3（答案不唯一）．解：Q123=，∴无理数a12a3（答案不唯一）．3．16．如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一点，作DF AE=．下⊥于点F，且满足DF AB面结论：①DEF DEC ∆≅∆；②ABE ADF S S ∆∆=；③AF AB =；④BE AF =．其中正确的结论是 ①②④ ．解：Q 四边形ABCD 是矩形，90C ABE ∴∠=∠=︒，//AD BC ，AB CD =，DF AB =Q ，DF CD ∴=，DF AE ⊥Q ，90DFA DFE ∴∠=∠=︒，在Rt DEF ∆和Rt DEC ∆中，DE DE DF DC =⎧⎨=⎩， Rt DEF Rt DEC(HL)∴∆≅∆，①正确；//AD BC Q ，AEB DAF ∴∠=∠，在ABE ∆和DFA ∆中，ABE DFA AEB DAF AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DFA AAS ∴∆≅∆，ABE ADF S S ∆∆∴=；②正确；BE AF ∴=，④正确，③不正确；故答案为：①②④．17．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若6AE =，正方形ODCE 的边长为2，则BD 等于 4 ．解：设正方形ODCE的边长为2，则2==，CD CE设BD x=，∆≅∆，Q，BDO BFOAFO AEO∆≅∆=，∴=，BF BDAF AEAC=+=，2=+，BC x∴=+，6286AB x222Q，AC BC AB+=222x x∴++=+，(2)8(6)∴=，x4故答案为：4．18．已知：线段AB，BC．求作：平行四边形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业．甲：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图1)乙：①连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD MB=，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形．（如图2)老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢甲或乙的作法，他的作图依据是：．解：①甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：甲或乙，两组对边分别相等的四边形是平行四边形或对角线互相平分的四边形是平行四边形．三、解答题（共46分，第19题3分，第20题至第22题各6分，第23题至第24题各5分，第25题7分，第26题8分）1918147解：原式32242==20．在平面直角坐标系xOy中，已知(3,2)A-，(1,2)C，若以A、B、C、D为B--，(1,1)顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．)解：如图，(3,2)A -Q ，(1,2)B --，(1,1)C ，以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，∴点D 的坐标为：(5,1)--或(1,5)-或(3,3)-．21．如图，E 、F 是ABCD Y 的对角线AC 上的两点，AE CF =．求证：EB DF =（写出主要的证明依据）．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =（平行四边形的对边平行且相等）， FCD EAB ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）， AE CF =Q ，()FCD EAB SAS ∴∆≅∆，EB DF ∴=．22．已知，如图，等腰ABC ∆的底边10BC cm =，D 是腰AB 上一点，且8CD cm =，6BD cm =，求AB 的长．解：设AB AC acm ==，10BC cm =Q ，8CD cm =，6BD cm =，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒，即90ADC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：222AC AD CD =+，即222(6)8a a =-+，解得：253a =，即253AB cm =． 23．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程已知：直线l 及直线l 外一点P ．求作：直线PQ ，使得//PQ l ．作法：如图，①在直线l 上取一点A ，作射线AP ，以点P 为圆心，PA 长为半径画弧，交AP 的延长线于点B；②以点B为圆心，BA长为半径画弧，交l于点C（不与点A重合），连接BC；③以点B为圆心，BP长为半径画孤，交BC于点Q；④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PB PAQ，BC=BA，BQ PB==，∴===．PB PA BQ∴)（填推理的依据）．PQ l//(解：（1）直线PQ即为所求．（2）证明：PB PAQ，BC BA==，=，BQ PB∴===．PB PA BQ QC∴（三角形的中位线定理）．//PQ l故答案为：BA，QC，三角形的中位线定理24．下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形的尺规作图过程：已知：如图，在Rt ABC∠=︒，O为AC的中点，ABC∆中，90求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO BO=②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形根据小丁设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：Q点O为AC的中点，∴=AO CO又DO BO=Q，∴四边形ABCD为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)∠=︒Q，ABC90∴Y为矩形()ABCD解：（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）理由：Q点O为AC的中点，∴=AO CO又DO BOQ，=∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∠=︒Q，ABC90∴Y为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．ABCD故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形25．常常听说“勾3股4弦5”，是什么意思呢？它就是勾股定理，即“直角三角形两直角边长a，b与斜边长c之间满足等式：222+=a b c+=”的一个最简单特例．我们把满足222a b c的三个正整数a，b，c，称为勾股数组，记为(a，b，)c．（1）请在下面的勾股数组表中写出m、n、p合适的数值：a b c a b c345435512m681072425p15179n41102426116061123537⋯⋯⋯⋯⋯⋯平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点（格点）．过x轴上的整点作y轴的平行线，过y轴上的整点作x轴的平行线，组成的图形叫做正方形网格（有时简称网格），这些平行线叫做格边，当一条线段AB的两端点是格边上的点时，称为AB在格边上．顶点均在格点上的多边形叫做格点多边形．在正方形网格中，我们可以利用勾股定理研究关于图形面积、周长的问题，其中利用割补法、作图法求面积非常有趣．（2）已知ABC∆并计算其面积．∆三边长度为4、13、15，请在下面的网格中画出格点ABC解：（1）222Q，+=51213∴=；13m222Q，94041+=n∴=，40222+=Q，81517∴=．p8（2）如图所示：在ABC ∆中，15AB =，4BC =，13AC =， 111291252422ABC ABD ACD S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=． 26．如图，矩形ABCD 中，点E 为矩形的边CD 上的任意一点，点P 为线段AE 的中点，连接BP 并延长与边AD 交于点F ，点M 为边CD 上的一点，且CM DE =，连接FM ．（1）依题意补全图形；（2）求证DMF ABF ∠=∠．【解答】（1）解：如图所示，（2）证明：延长BF 交CD 的延长线于点N ，Q点P为线段AE中点，AP PE∴=，//AB CDQ，PEN PAB∴∠=∠，2N∠=∠，Q在APB∆和EPN∆中，Q2NPAB PENPA PE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() APB EPN AAS∴∆≅∆，AB EN∴=，AB CD EN∴==，EN DN DE=+Q，CD DM CM=+，DE CM=Q，DN DM∴=，FD MN⊥Q，FN FM∴=，1N∴∠=∠，12∴∠=∠，即DMF ABF∠=∠．三、B卷27．（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a2（用含a的代数式表示）；（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形:EFG M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且60MGP PGN NGQ∠=∠=∠=︒．请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形ABCD的边长为2，设BP x=，则2x=．解：（1）如图，过A 作AD BC ⊥于D ， ABC ∆Q 是等边三角形，1122BD CD BC a ∴===， 222213()2AD AB BD a a ∴=-=-=，2132ABC S BC AD ∆∴==g ；（2）①Q 边长为2的正方形的面积4=， ∴剪拼成的等边三角形的面积4=， ∴234=， 2163a ∴=， 163②补全图形如图2所示；③由题意知，PG PE =，GN NF =， PN ∴是GEF ∆的中位线，12PN EF ∴=， N Q 为AB 边上的中点，112BN AB ∴==， Q 边长为2的正方形的面积4=， ∴剪拼成的等边三角形的面积4=， ∴234=，21633a ∴=，即GEF ∆边长的平方是1633， 43EF ∴=，23PN ∴=，222PN BN BP =+Q ， ∴2413x =+， 24313x ∴=-；故答案为：（1）234a ；（2）①1633；③4313-；28．如图，双边直尺有两条平行的边，但是没有刻度，可以用来画等距平行线：我们也可用工具自制（如图）:下面是小My 同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的双边直尺作图过程．（1）根据小My同学的作图过程，请证明O为PH中点．（2）根据小My同学的作图过程，请证明//PQ l．解：（1）根据小My同学的作图过程可知：四边形PMHN是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，所以O为PH中点．（2）如图，作//OK TH交QI于点K，由作图过程可知：//PH QI，∴==，OK HI TH∠=∠，QOK OTHOKQ QIH OHT∠=∠=∠，∴∆≅∆，OQK TOH ASA()∴=，OQ OTQ，=OP OH∴四边形PQHT是平行四边形，∴．//PQ l。

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1989 1990 1 2 3
1989 1990
x2 y2 xy a2
4. 已知正实数
x
，y
，z
满
足

y2
z2
yz b2
其中 a ，b ，c 为非负常数，则 xy yz xz

z
2

x2

zx

c2
__________.
《2019 年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学
x2
y2 a2 2xy
1 2
【分析】

y2
z2 2 yz
b2
1 2

z
2

x2
c2
1
2zx
2
a

b

ca

b

ca
4
b

ca
14.不超过1000 的正整数 x ，使得 x 和 x 1两者的数字和都是奇数．则满足条件的正整数 x 有 _________个．
《2019 年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学
4
【分析】设 x abc ，其中 a ，b ，c 0，1，，9 ，且不全为 0 ． S x a b c 是 x 的数
【分析】设 2 3 4 1 ， a 2b 3c b 2c 3a c 3a 2b k
a 2b 3c 2k
则有
b c

2c 3a

3a 2b

3k 4k

a

9 11
k
，
b

8 11
k
，
c

1 11
k
故 a 2b 3c 4 ． a 3b 2c 31
个.
【分析】当 a 1 0 ， a 1时，原方程化为 2x 2 0 ， x 1满足原方程的根是整数．
当 a 1 0 ， a 1时，原方程化为 x 1 a 1 x a 1 0 ；
所以原方程的根是 x 1或 x 1 a 1 2 ；
1 a
1 a
因为原方程的根是整数；所以 1 a | 2 ；
所以1 a 2 或 1 或1 或 2 ； a 3 或 2 或 0 或 1 ．综上所述， a 1或 0 或1 或 2 或 3 ，即符合条件的整数 a 有 5 个．
10.已知方程 a2x2 3a2 8a x 2a2 13a 15 0 （ a 是非负整数）至少有一个整数根，则
所以由Viete 定理，得 3 ， 1；；
2 2 2 2 32 2 1 7 ；
4 4 2 2 2 22 72 2 12 47 ；
因为、是方程 x6 px2 q 0 的根；
两个进行排列的问题，有 A32 3 2 6 种排法；再在独唱节目之间的 3 个位置中排一个合唱节目，有 3 种排法．由乘法原理，一共有 24 6 3 432 种不同的编排方法．
9.已知关于 x 的方程 a 1 x2 2x a 1 0 的根是整数，那么符合条件的整数 a 有_______
所以百、十、个位可有 A93 9 8 7 504 种排列方式．由乘法原理，有 4 504 2016 个．
⑵ 千位上排 5 ，百位上排 0 ~ 4 时，千位有1 种选择，百位有 5 种选择，十、个位可以从剩
下的八个数字中选择．也就是从 8 个元素中取 2 个的排列问题，即 A82 8 7 56 ，由乘法原
a _________．
【分析】当 a 0 时，原方程无解．
当 a 0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程，因式分解得 ax 2a 3 ax a 5 0 ，
所以 x 2a 3 或 a 5 ；当 x 2a 3 2 3 时， a 1或 3 ；
绝密★启用前
《2019 年寒春创新体系补录诊断》试卷·数学
年级：八年级
考试时间：120 分钟
总分：150 分
考生须知
1．请考生务必核对试卷年级、科目是否正确。 2．请将答案写在答题纸上，在试卷上答题无效。 3．考试结束后试卷可以带回，答题纸必须上交。
一、填空题：本大题共 15 小题；每小题 7 分，共 105 分；
所以方程
1 x

1 y

1 2002
的正整数解 x,
y
可写成

2002

d, 2002

20022 d

，
d 为 20022 的正约数；把 20022 分解质因数： 20022 22 72 112 132 ；
所以
20022
有 81 个正约数；所以方程
1 x

1 y

1 2002
的正整数解构成的有序组 x,
y
共有 81 组.
2.已知正整数
n
小于
2006
，且
n 3

n 6

n 2
．则这样的
n
有_________个.
【分析】 334 个
3.求值：
1 2 3 __________. 【分析】 3956121
由已知， Rt△CDE
中， EG
CD ，故由射影定理，得
CE 2 DE 2

CG DG

2 ，因此 CE

2DE ；
《2019 年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学
2
故1b 2
2

1 2
a
，即
b

2a ，由勾股定理可知， a : b : c 1:
2:
3．
7.用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数，若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第________个数. 【分析】从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排1 ， 2 ，3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从 0 ~ 9 中除千位已确定的数字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9 个元素中取 3 个的排列问题，
12.已知关于 x 的 2x 4 x a 1有一个增根是 x 4 ，则 a _________．
【分析】移项，得 2x 4 x a 1 方程两边同时平方，得 2x 4 x a 1 2 x a 移项，化简得 2 x a x 5 a 方程两边同时平方，得 4(x a) (x 5 a)2 把 x 4 代入上式得， a 5, a 3 若 a 3, 原方程为 2x 4 x 3 1 此时代入 x 4 可发现“左边=右边”说明 x 4 是方程的根而不是增根，与题意不符，故需舍去．所以 a 5 ．
③∵ AD∥BC ，∴ AF AE 1 ，∴ AF 1 AC ，
FC BC 2
3
由射影定理得到 CD2 AB2 AF AC 1 AC2 ，而 CG CF 1 AC 2 AC 1 AC2 CD2 ，
3
23 3
∵DCG FCD ，∴△FDC ∽△DGC ，∵△AGB ≌△FDC ，∴△CFD ∽△ABG
a
a
a
a
《2019 年寒春创新体系补录诊断》八年级·数学
当 x a 5 1 5 时， a 1或 5 ；综上所述， a 1或 3 或 5 ．
a
a
11.已知 2 3 4 ，则 a 2b 3c _____． a 2b 3c b 2c 3a c 3a 2b a 3b 2c
13.若方程 x2 3x 1 0 的两根、，也是方程 x6 px2 q 0 的根，其中 p 、 q 均为整数．则 p q _______．
【分析】因为、是方程 x2 3x 1 0 的两个根； 32 4 11 5 0 ；
奇偶性相同的只有⑵和⑷．在⑵中， a ，b 的奇偶性相同，有 45 个 x 满足题意．在⑷中，有一个 x 999 满足题意．所以，共有 46 个．
15.三个正方形如图排列， AC 、 AD 、 AE 为三条对角线，则 1 2 3 ________．
1.方程 1 1 1 的正整数解构成的有序组 x, y 共有________组.
x y 2002
【分析】原方程转化为 2002 x y xy ， x 2002 y 2002 20022 ；
因为 x 、 y 为正整数；所以 x 2002 、 y 2002 是大于 2002 的整数；所以 x 2002 、 y 2002 同号，且至少有一个绝对值不大于 2002 ；所以 x 2002 、 y 2002 必须是 20022 的正约数；
所以
6

6

p2 p2
q0 q0
；
因为，
所以
p
q

6 2
4
1 2
6 2
4

1 2
4

4 22
2 2 2
47 12 12
48 77
．
p q 55 .
b

c

S ABC

1 sin120 xy
2

yz

xz

3 xy yz xz
4
∴ xy yz xz 3 a b ca b ca b ca b c