2019·学而思 创新体系寒春补录诊断·数学·八年级(解析版)

于 F ，联结 FD ，若 BFA 90 ，则下列四对三角形：① △BEA 与 △ACD ；② △FED 与
△DEB ；③ △CFD 与 △ABG ；④ △ADF 与 △CFB ；其中相似的为
．
A
E
D
F G
B
C
【分析】①②③
①找到两对角相等即可得到相似；
②由射影定理得到 EF EB AE2 ED2 ， DEF BED ，得到 △FED ∽△DEB ；
1 a
1 a
因为原方程的根是整数；所以 1 a | 2 ；
所以1 a 2 或 1 或1 或 2 ； a 3 或 2 或 0 或 1 ． 综上所述， a 1或 0 或1 或 2 或 3 ，即符合条件的整数 a 有 5 个．
10.已知方程 a2x2 3a2 8a x 2a2 13a 15 0 （ a 是非负整数）至少有一个整数根，则
③∵ AD∥BC ，∴ AF AE 1 ，∴ AF 1 AC ，
FC BC 2
3
由射影定理得到 CD2 AB2 AF AC 1 AC2 ，而 CG CF 1 AC 2 AC 1 AC2 CD2 ，
3
23 3
∵DCG FCD ，∴△FDC ∽△DGC ，∵△AGB ≌△FDC ，∴△CFD ∽△ABG
的正整数解构成的有序组 x,
y
共有 81 组.
2.已知正整数
n
小于
2006
，且
n 3


n 6


n 2
．则这样的
n
有_________个.
【分析】 334 个
3.求值：
1 2 3 __________. 【分析】 3956121
理，有1 5 56 280 个． ⑶ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ，1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 7 时，个位也从剩下的七个数 字中选择，有11 6 7 42 个． ⑷ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8 时，比 5687 小的数的个位可以选择 0 ，1 ，2 ，3 ， 4 共 5 个． 综上所述，比 5687 小的四位数有 2016 280 42 5 2343 个，故 5687 是第 2344 个四位数．
由已知， Rt△CDE
中， EG
CD ，故由射影定理，得
CE 2 DE 2

CG DG

2 ，因此 CE

2DE ；
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2
故1b 2
2

1 2
a
，即
b

2a ，由勾股定理可知， a : b : c 1:
2:
3．
7.用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数，若将这些四位数按从小到大的顺序排列， 则 5687 是第________个数. 【分析】从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排1 ， 2 ，3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从 0 ~ 9 中除千位已确 定的数字之外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9 个元素中取 3 个的排列问题，
14.不超过1000 的正整数 x ，使得 x 和 x 1两者的数字和都是奇数．则满足条件的正整数 x 有 _________个．
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4
【分析】设 x abc ，其中 a ，b ，c 0，1， ，9 ，且不全为 0 ． S x a b c 是 x 的数
a _________．
【分析】当 a 0 时，原方程无解．
当 a 0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程，因式分解得 ax 2a 3 ax a 5 0 ，
所以 x 2a 3 或 a 5 ；当 x 2a 3 2 3 时， a 1或 3 ；
1989 1990 1 2 3
1989 1990
x2 y2 xy a2
4. 已 知 正 实 数
x
，y
，z
满
足

y2
z2
yz b2
其中 a ，b ，c 为非负常数，则 xy yz xz
8.由 4 个不同的独唱节目和 3 个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相 邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有_________种.
【分析】先排独唱节目，四个节目随意排，是 4 个元素全排列的问题，有 A44 4 3 2 1 24 种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选
1.方程 1 1 1 的正整数解构成的有序组 x, y 共有________组.
x y 2002
【分析】原方程转化为 2002 x y xy ， x 2002 y 2002 20022 ；
因为 x 、 y 为正整数；所以 x 2002 、 y 2002 是大于 2002 的整数； 所以 x 2002 、 y 2002 同号，且至少有一个绝对值不大于 2002 ； 所以 x 2002 、 y 2002 必须是 20022 的正约数；
字和．
⑴若 c 9 ，则 S x a b c ， S x 1 a b c 1； ⑵若 c 9 ， b 9 ，则 S x a b 9 ， S x 1 a b 1 ；
⑶若 c 9 ， b 9 ， a 9 ，则 S x a 9 9 ， S x 1 a 1 ； ⑷若 a 9 ， c 9 ， b 9 ，则 S x 27 ， S x 1 1．
④明显 AFD 90 ，不可能相似.
6.在△ABC 中， BC a ， AC b ， AB c ， C 90 ， CD 和 BE 是△ABC 的两条中线， 且 CD BE ．则 a : b : c ________．
A
A
E
D
E
D
G
C
B
C
B
【分析】联结 DE ，设 BE 与 CD 相交于 G ，则 G 为△ABC 的重心， CG 2 ． DG
个.
【分析】当 a 1 0 ， a 1时，原方程化为 2x 2 0 ， x 1满足原方程的根是整数．
当 a 1 0 ， a 1时，原方程化为 x 1 a 1 x a 1 0 ；
所以原方程的根是 x 1或 x 1 a 1 2 ；

z
2

x2

zx

c2
__________.
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x2
y2 a2 2xy
1 2
【分析】

y2
z2 2 yz
b2
1 2


z
2

x2
c2
1
2zx
2
a

b

ca

b

ca
4
b

ca
所以百、十、个位可有 A93 9 8 7 504 种排列方式．由乘法原理，有 4 504 2016 个．
⑵ 千位上排 5 ，百位上排 0 ~ 4 时，千位有1 种选择，百位有 5 种选择，十、个位可以从剩
下的八个数字中选择．也就是从 8 个元素中取 2 个的排列问题，即 A82 8 7 56 ，由乘法原
奇偶性相同的只有⑵和⑷． 在⑵中， a ，b 的奇偶性相同，有 45 个 x 满足题意． 在⑷中，有一个 x 999 满足题意． 所以，共有 46 个．
15.三个正方形如图排列， AC 、 AD 、 AE 为三条对角线，则 1 2 3 ________．
13.若方程 x2 3x 1 0 的两根 、 ，也是方程 x6 px2 q 0 的根，其中 p 、 q 均为整 数．则 p q _______．
【分析】因为 、 是方程 x2 3x 1 0 的两个根； 32 4 11 5 0 ；
b

c

S ABC

1 sin120 xy
2

yz

xz

3 xy yz xz
4
∴ xy yz xz 3 a b ca b ca b ca b c
3
5.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 G ，E 为 AD 的中点，联结 BE 交 AC
所以方程
1 x

1 y

1 2002
的正整数解 x,
y
可写成

2002


d, 2002

20022 d

，
d 为 20022 的正约数；把 20022 分解质因数： 20022 22 72 112 132 ；
所以
20022
有 81 个正约数；所以方程
1 x

1 y

1 2002
12.已知关于 x 的 2x 4 x a 1有一个增根是 x 4 ，则 a _________．
【分析】移项，得 2x 4 x a 1 方程两边同时平方，得 2x 4 x a 1 2 x a 移项，化简得 2 x a x 5 a 方程两边同时平方，得 4(x a) (x 5 a)2 把 x 4 代入上式得， a 5, a 3 若 a 3, 原方程为 2x 4 x 3 1 此时代入 x 4 可发现“左边=右边”说明 x 4 是方程 的根而不是增根，与题意不符，故需舍去．所以 a 5 ．
a
a
a
a
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当 x a 5 1 5 时， a 1或 5 ；综上所述， a 1或 3 或 5 ．
a
a
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11.已知 2 3 4 ，则 a 2b 3c _____． a 2b 3c b 2c 3a c 3a 2b a 3b 2c
所以
6

6

p2 p2
q0 q0
；
因为 ，
所以
p
q

6 2
4
1 2
6 2
4

1 2
4

4 22
2 2 2
47 12 12
48 77
．
p q 55 .
所以由Viete 定理，得 3 ， 1； ；
2 2 2 2 32 2 1 7 ；
4 4 2 2 2 22 72 2 12 47 ；
因为 、 是方程 x6 px2 q 0 的根；
两个进行排列的问题，有 A32 3 2 6 种排法；再在独唱节目之间的 3 个位置中排一个合唱 节目，有 3 种排法．由乘法原理，一共有 24 6 3 432 种不同的编排方法．
9.已知关于 x 的方程 a 1 x2 2x a 1 0 的根是整数，那么符合条件的整数 a 有_______
绝密★启用前
《2019 年寒春创新体系补录诊断》试卷·数学
年级：八年级
考试时间：120 分钟
总分：150 分
考生 须知
1． 请考生务必核对试卷年级、科目是否正确。 2． 请将答案写在答题纸上，在试卷上答题无效。 3． 考试结束后试卷可以带回，答题纸必须上交。
一、填空题：本大题共 15 小题；每小题 7 分，共 105 分；
【分析】设 2 3 4 1 ， a 2b 3c b 2c 3a c 3a 2b k
a 2b 3c 2k
则有
b c

2c 3a

3a 2b

3k 4k

a

9 11
k
，
b

8 11
k
，
c

1 11
k
故 a 2b 3c 4 ． a 3b 2c 31