第三章：量子力学导论

1926 年夏天，戴维逊出席了在牛津大学召开的不列颠协会的科学进展 会议。在那里，他同玻恩、弗兰克以及其他人讨论了他的电子散射的研究。 他详细地听取了关于电子具有波动性的德布罗意假设，通过牛津大学会议 的讨论使戴维逊相信他的实验结果是由于晶格的电子衍射造成的，这就证 实了德德布罗意的假设，所以戴维逊对电子束衍射所作的真正有价值的探 讨是从牛津会议开始的。翌年初，戴维逊与革谋 (Germer) 一起，进行镍单 晶的电子衍射实验，从实验中所得到的数据表明，德布罗意公式入=h/mv在 测量准确度范围内是正确的。同年3月，他们便提出了一个研究结果的初步 摘要，不久又提出全文报告，第一次确定了运动电子的波动性，跟德布罗 意的理论相一致。获得了1937年的诺贝尔物理奖。
物质波的实验验证：戴维逊－革末实验
戴维逊（左）手持电子衍射管，右为他的助手革末
1923年Clnton Davisson 发表了电子从镍片反射的角分 布实验情况，他发现弹性反射电子束强度在某些角度 出现了极大值。玻恩（ Born ）认为是一种干涉现象， 可能与德布罗意波有关，这引起了戴维逊和革末 （ Lester Germer）继续对电子在镍单晶表面散射进行 研究。
物质波的实验验证——原子尺度上的物质波
Realization of quantum Wheeler's delayed-choice experiment
A Quantum Delayed-Choice Experiment
Entanglement-enabled delayed choice experiment
人：
4
m= 50Kg， v =15 m/s
o h h 8.81027 A p m
Why Study Ultra-Cold Gases?
Answer: Coherent Quantum Phenomena
High Temperature: Random thermal motion dominates
“2012年中国科学技术大学中科院量子信息重点实验室的李传锋、郭光灿等领导的实验小组在 实验上率先实现了量子惠勒延迟选择实验[1，9，10]。随后，英国布里斯托J.L.O'Brien领导的 小组[11]和法国S.Tanzilli领导的小组[12]也分别完成了这一实验。在这一实验中，不仅观测到了 光的波动性，而且同时观测到了光的粒子性。实际上，观测到的是光的波动性和粒子性的量子 叠加状态――一种特殊的“非波非粒，亦波亦粒”状态” /thesis/0da3c36314e2453db55233776a34d1f1.html
德波罗易波和量子态
电子的物质波沿轨道传播，当电子轨道周长恰为物质波波长的 整数倍时，可以形成稳定的驻波（因只有驻波是一稳定的振动状态， 不辐射能量） ，这就对应于原子的定态。
玻 尔
3、角动量量子化条件
玻尔理论成功的解释并预言了氢原子辐 射的电磁波的问题，但是也有它的局限 性．
在解决核外电子的运动时 成功引入了量子化的观念
同时又应用了“轨 道”等经典概念和 有关牛顿力学规律
除了氢原子光谱外，在解决 其他问题上遇到了很大的困难．
困难
• 卢瑟福的质疑：“电子的先知”
• 薛定谔的非难：“糟糕的跃迁”
实验装置：
B
K
发射电 子阴级
加 速 电 极
I

Ni单晶 M
电 流 计
G
U
电子枪
U
D
K
探测器
B
电子束
G
n 2d cos 2a sin cos a sin 2 a sin
n 1 2 3.
镍单晶
实验解释：显然将电子看成微粒无法解释。 将电子看成波，其波长为德布罗意波长：
注意：这一假设建立了对实物粒子的一种新的图 象，这种图象既允许它 . 表现微粒性，又允许它 表现出波动性。这种波称为“物质波”或“德布 罗易波”。
从经典物理看来，简直是荒谬和不可思议，看来提出这 种想法没有一定的气魄是不行的。德布罗意回忆说： “我当时只不过是一种想法，不过尚没有诞生，而且觉 得这种想法不敢讲出去”。 事实上德布罗意提出以上想法后，也 没有被大家接受，直到他的导师朗之 万将其论文交给爱因斯坦，爱因斯坦 称赞他“揭开了大幕的一角”才引起 学术界的重视，并研究如何从实验上 去验证。
事实上，原子 是稳定的，辐射电 磁波的频率也只是 某些确定的值．
1913年玻尔提出了自己的原子结构假说
1、定态条件 —不同的轨道对应着 不同的状态，在这些状态中，尽 管电子在做变速运动，却不辐射 能量；
2、频率条件 —原子在不同的状态 之中具有不同的能量，当电子从 一个轨道跃迁到另一个轨道时， 会以电磁波形式放出或者吸收一 定的能量；
。
（光电效应）
E h h p

或
E p k
（质能方程）
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。
物质的波粒二象性－德布罗意假设
路易 · 德布罗意 (1892 － 1989) 法国物理 学家。 1892 年 8 月 15 日生于下塞纳的迪 耶普。出身贵族，父母早逝，从就酷爱读书。 中学时代显示出文学才华，在大学里受的是文 科教育， 1910 年获巴黎大学文学学士学位。 1911 年，他听到作为第一届索尔维物理讨论 会秘书的莫里斯谈到关于光、辐射、量子性质 等问题的讨论后，激起了强烈兴趣，特别是他 读了庞加莱的《科学的价值》等书，他转向研 究理论物理学。 1913 年，他获理学硕士学位。第一次世界大战期间，在埃菲 尔铁塔上的军用无线电报站服役。他的哥哥是 X 射线方面的专家， 战后他一方面参与他哥哥的物理实验工作，一方面拜朗之万为师， 研究与量子有关的理论物理问题，攻读博士学位。他在 1923 年 9 －10 月间，连续在《法国科学院通报》上发表三篇短文：《辐射 －波和量子》、《光学─光量子、衍射和干涉》、《物理学 ─量 子、气体动理论及费马原理》，在 1924 年通过的博士论文《量子 论研究》中他作了系统阐述，提出了德布罗意波理论。他荣获了 1929 年诺贝尔物理学奖。
物质的波粒二象性－德布罗意假设
德布罗意觉得自然界在很多方面是对称的，但整个 世纪以来，人们对光的研究是否过多地注意到了它们的 波动性；而对实物粒子（静止 质量不为零的微观粒子及 由它们组成的实物）的研究，又是否把粒子的图象想得 过多而忽略了它们的波的图象呢！ 1922年他的这种思想 进一步升华，经再三思考，1924 年，De Broglie 在他的 博士论文“量子论研究”中，大胆地提出了如下假设：
第三章：量子力学导论
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ
玻尔理论的困难
波粒二象性 不确定关系 波函数及其统计解释 薛定谔方程
平均值和算符
氢原子的薛定谔方程解
按照经典物理学的观点去推 断，在轨道上运动的电子带有电 荷，运动中要辐射电磁波，电子 损失了能量，其轨道半径不断缩 小，最终落在原子核上．由于电 子轨道的变化是连续的，辐射电 磁波的频率也会连续变化．
粒子的特性：
定域性，占据一定的空间，有确 定的质量和动量， 粒子和粒子之间是分离的。 粒子的运动有确定的轨道。
波的特性：
广延性，周期性,迭加性，能产 生干涉、衍射、偏振等现象。
波动性--它能在空间表现出干涉、衍射等波动现 象，具有一定的波长、频率。 粒子性--是指它具有集中的不可分割的性质。一 个光子就是集中的不可分割的一个，它具有能量 动量与质量。 E u X 波动
2
2
2
V
B 在V
c时
m0 c h
2
h h P m0V
例子： 电子的德布罗意波长，加速电势差为 U
1 2 m0V eU 2
h h h 1 1.226 nm m0V 2eUm0 2em0 U U
可获得电子在不同电压下的波长
U 10V , 0.39nm U 100V , 0.123nm 与x射线的波长相当 U 1000V , 0.039nm
1
电子的波长: m=9.1×10-31 kg, EK=100eV
o h 1.226 nm 0.1226 A m0V U
微尘：
2
m=10-13 kg，v=0.01m/s
o h h 6.610 7 A p m
子弹：
3
m=0.01kg，v =300m/s
o h h 2.211024 A p m
h 1.226 2em0U U
即：
既然是波，电流出现最大值时正好满足布喇格公式：
h a sin n 2em0U
实验表 明电流 最大值 正好满 足
当加速电压U=54伏，加速电子的能量eU=mv2/2， h h 0.167nm 电子的德布罗意波长： p 2meU
再由X射线实验测得镍单晶的晶格常数a 0.215nm 求得满足相干条件的角度：
Low Temperature: Underlying quantum behavior revealed
物质波的实验验证：戴维逊－革末实验
戴维逊(Clinton Joseph Davisson)是美国物理 学家，电子衍射的实验者之一。1881年10月22日出生 于伊利诺斯州的布卢明顿，1958年2月1日于弗吉尼亚 州的夏洛茨维尔逝世，卒年77岁。戴维逊的研究内容 主要涉及两个不同领域：热电子学和金属在电子轰击 下的电子发射。在热电子学中，他的最重要的实验之 一是，关于金属功函数的测量。测量的结果认为，金 属中的传导电子几乎没有正常的热能。
0.167 sin( ) n 0.215
n 1, 2,
o
arcsin 0.777 51
理论值比实验值稍大的原因是电子进入晶格后，传播速 度增加。经修正后，理论值与实验结果完全符合。
实验验证：
I
U
电流出现了周期性变化
h a sin n 2em0U
物质波的实验验证：汤姆逊（G· P· Thomson） 实验 电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验 证明了电子在穿过金属片后也象 X 射线一样产生 衍射现象。
单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小 N=7 N=100 N=3000 N=20000 电子数 N=70000
出现概率大
A在
V ~ c时，考虑相对论
m0c E mc 2 h h h 1 V / c
h h p mV h m0 1 V / c
不仅辐射具有二象性， 而且一切实物粒子也具有 二象性。
物质的波粒二象性－德布罗意假设
实物粒子的波粒二象性 质量为 m 的粒子，以速度 v 运动时，不但具有粒 子的性质，也具有波动的性质； 粒子性 二者通过h来联系
2
波动性 h
E P


P mV h
E mc h

德布罗意波并非真实存在的波！
Z Y
光的波动性和粒子性
光子 H 如此截然不同的图象却集中于一体， ---世界真奇妙 很难想象！
光的波粒二象性 光的波动性:
光是一种电磁波已被我们充 分认识，并被干涉、衍射、 偏振等实验和麦克斯韦理论 完全证明。光在传播时显示普顿效应等证 明光的粒子性。
光在与物质作用，转移能量 时显示粒子性。
阴极 栅极
K
G
多晶 薄膜
Cs
U
高压
屏P
电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性。
物质波的实验验证
1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图
随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分子都 具有波动性。
量子围栏(Quantum Corral)中的驻波 1993年克罗米(M· F· Corrie)等人用扫描电子显微 镜技术 , 将 48 个原子在铜的表面排列成直径为 14.3nm 的圆圈构成一个“量子围栏”，照片中 反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度 波的驻波。直接证实了物质波的存在.
第三章：量子力学初步
Ⅰ
玻尔理论的困难 波粒二象性
Ⅱ
Ⅲ
不确定关系 波函数及其统计解释 薛定谔方程
平均值和算符
Ⅳ Ⅴ
Ⅵ Ⅶ
氢原子的薛定谔方程解
经典物理中的波和粒子
• 在经典物理学中波 和粒子是完全不同 • 的两个概念。 • 是自然界中仅有的 • 两种能量传递的方 • 式。 • 是波就不能是粒子， 是粒子就不能是波。 是就是是，否就是 否，无法用波和粒 • 子描述同一现象。