赣县中学高中数学竞赛平面几何第4四讲面积和面积方法

第四讲 面积与面积方法

一、知识要点：

1、 三角形的面积公式：

设在ABC ∆中,c b a 、、分别为A 、B 、C 的对边，a h 为a 边上的高，

r R 、分别为ABC ∆外接圆、内切圆之半径，)(2

1

c b a p ++=

，则A

B C ∆的面积有如下公式： ①、 ②、 ③、 ④、 ⑤、 ⑥、 ⑦、 ⑧、

2、 面积定理：

①、一个图形的面积等于它的各个部分面积之和； ②、两个全等形的面积相等；

③、相似多边形的面积比等于相似比的平方；

④、等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应

的高（或底）之比；

⑤、等底等高的三角形、平行四边形、梯形的面积（梯形等底应理解为两

底和相等）相等；

⑥、等角或补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边乘积的比；

等角的平行四边形面积的比等于夹等角的两边乘积得比；

⑦、若PAB ∆与DAB ∆的公共边所在直线与直线PD 交于M ，则

DM

PM

S S DAB PAB =

∆∆ 二、要点分析：

用面积方法解题就是利用面积关系，建立线段之间的关系，或根据面积有关性质将线段关系转化为面积关系，通过解方程或适当变形，从而解决线段有过问题。

三、例题讲解：

题型一、与面积直接有关的问题

例1、设ABC ∆的面积为1，D 是BC 上的一点，且

2

1

=DC BD ,若在AC 上 取一点E ，使四边形ABDE 的面积为5

4，求EC AE

的值。

A

B C D

E

例2、D 、E 分别是ABC ∆的AC 、AB 边上的点，BD 、CE 相交于点O,若

4,3,2===∆∆∆O BC O BE O D C S S S ,求的值四边形A D O E S

A

B

C

O

D E

题型二、用面积方法解题

例3、设ABC ∆的三边位c b a 、、，三边上的高为c b a h h h 、、，三边满

足c a b +=2，求证：

c

a b h h h 112+=

例4、在矩形ABCD 中，已知AD=12,AB=5,P 是AD 上任意一点，P E ⊥BD,

PF ⊥AC,E 、F 分别是垂足，求PE+PF 的值。

A

B

C

D

P E F

例5、已知：O 为ABC ∆内一点，AO 、BO 、CO 的延长线分别交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F,求证：

1=++CF

OF

BE OE AD OD A

B

C D

E

F

O

7.已知D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，AB=AC,E 为线段AD 上一点，且DEC BAC BED ∠=∠=∠2.求证：BD=2CD

A

B

D

E

C

第四讲 面积与面积方法练习

1、 在直角梯形ABCD 中，底AB=13,CD=8,AD ⊥AB,并且AD=12,则 A 到BC

的距离（即点A 到BC 的垂线段）为_________

A B

C

D

2、 已知菱形ABCD 的两条对角线BD 、AC 的乘积等于菱形的一条边长的平

方，则菱形的钝角大小为____________

A

B C

D

3、 如图：已知等边ABC ∆外有一点P ，P 落在ABC ∠内，P 到BC 、CA 、

AB 的距离分别为321,,h h h ，满足6321=+-h h h ，则等边ABC ∆的面积为____________

B

A

P

4、 平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、AB 上的点，且BM=DN,其交点为

P,设,,βα=∠=∠CPD CPB 则βα、的大小关系为_______

A B C

D

M

N

P

5、 已知：如图，直线PQR 交ABC ∆的边AB 于P,交AC 于Q,交BC 的延

长线于R,求证：

1=⋅⋅QA

CQ RC BR PB AP . (先用面积法证明，再尝试用更多的方法证明)

A

B C P

Q

R

A

B C P

Q

R

6、在ABC ∆中，E 、F 、P 分别在BC 、CA 、AB 上，已知AE 、BF 、CP

相交于一点D ，且

1994=++DP CD DF BD DE AD ,求DP

CD

DF BD DE AD ⋅⋅的值.