数学分析-第三讲-连续与一致连续

第三讲 连续与一致连续

一、 知识结构

1、 函数连续的概念和定义

函数连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，并且函数)(x f 的图象是连续不断的，我们称函数)(x f 在区间I 上连续.

(1) 函数)(x f 在点0x 连续的相关定义

定义1 设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，如果)()(lim 00

x f x f x x =→，则

我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00

x f x f x x =→.

^

定义1′设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，对0>∀ε，∃0>'δ，当

δδ<'<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连

续.

定义 2 设函数)(x f 定义在);(δ0x U +内，对0>∀ε，∃0>'δ，当

δδ<'<-≤00x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点

连续. 记作)()(lim 00

x f x f x x =+

→.

定义 3 设函数)(x f 定义在);(δ0x U -内，对0>∀ε，∃0>'δ，当

δδ<'<-≤x x 00时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点

左连续. 记作)()(lim 0_

x f x f x x =→.

(2) 函数)(x f 在区间I 上连续

定义1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，则我们称函数在区间),(b a 内连续.

定义1′固定),(0b a x ∈, 对0>∀ε，∃

0>δ，当δ<-0x x 时

(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间

),(b a 内连续.

定义 2 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续, 则我们称函数)(x f 在区间],(b a 连续.

定义 3 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间),[b a 连续.

^

定义 4 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连

续、点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间],[b a 上连续.

2、 函数一致连续的概念和定义

函数一致连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，函数)(x f 的图象是连续不断的，并且函数)(x f 的图象没有铅直的渐进线，我们称函数

)(x f 在区间I 上一致连续.

例如，函数x

x f 1

=

)(在区间),(10内连续，但不一致连续. 定义1对),(0b a x ∈∀, 0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时

(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间

),(b a 内一致连续.

定义1′设函数)(x f y =在区间()b a ,上有定义，x x ''',是区间()b a ,内的任意一点, 对0>∀ε，∃

0>δ，当δ<''-'x x 时，有

ε<''-')()(x f x f ,则我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续.

说明: 对给定的0>ε, 由于区间()b a ,内的点对x x ''',有无穷多个, 所以对每一对x x ''',均存在一个δ, 进而有无穷多个δ, 无穷多个δ中有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续. 无穷多个δ中没有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上不一致连续.

定理 1 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则函数)(x f 在闭区间

],[b a 上一致连续.

)

说明: 如果函数)(x f 在开区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在开区间

()b a ,内不一定一致连续.

3、 函数)(x f 的间断点（不连续点）

定义1 如果)()(lim 00

x f x f x x ≠→，我们称函数在点0x 间断.

(1) 第一类间断点

定义2 如果极限)(lim x f x x 0

→存在，但不等于)(0x f ，我们称点0x 为函

数的可去间断点.

定义2 如果极限)(lim x f x x +→0

与)(lim x f x x -

→0

都存在但不相等，我们称点

0x 为函数的跳跃间断点.

可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. (2) 第二类间断点

&

非第一类间断点称为第二类间断点，即)(lim x f x x 0

→不存在，或)

(lim x f x x +

→0

不存在，或)(lim x f x x -

→0

不存在，具体情况如下：①∞=→)(lim 0

x f x x ；②

∞=→)(lim 0

x f x x 趋向于两个以上的数；③∞=+→)(lim 0

x f x x ；④)(lim x f x x +→0

趋向

于两个以上的数；⑤∞=-→)(lim 0

x f x x ；⑥)(lim x f x x -

→0

趋向于两个以上的数.

例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=为无理数时

，当为有理数时，，当x x x D 01

)(定义

域

()

+∞∞-,上的任意一点为第二类间断点. 因为

⎩⎨

⎧=→为无理数时

当为有理数时当x x x D x x ,0,,1)(lim 0

,所以)(lim 0x D x x →不存在. 再例如,对函数x 1

sin

,00=x 是函数的第二类间断点. 因为x x x 10

sin

lim +

→不存在(x x sin lim +∞

→不存在前面已证).

连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上. 二、解证题方法 1、连续

例1 (天津大学2006年)证明: 函数⎪⎩

⎪⎨

⎧=≠-+--=4

2142424

322x x x x x x x f ,,,

)(