2012丰台高三(二模)数学(理)

北京市丰台区2012年高三二模数学（理科） 2012.5
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数
1i
2i
-+的虚部是 (A) i - (B) 3i 5
- (C) –1 (D) 3
5-
2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正
视图的面积为
(A)
(B)
(C) 2 (D) 4
3．由曲线1
y x
=
与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316
(C) 1ln 42+ (D) ln 41+
4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填 (A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >
5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机
取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次 数恰为3次的概率是 (A)
18125 (B) 36125 (C) 44125 (D) 81125
6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅ =
(A) 7- (B) 72-
(C) 7
2
(D) 7 7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是
(A) (B) (C) (D)
8．已知平面上四个点1(0,0)A
，2A
，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点
构成的点的集合，点0
P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表
俯视图
示的平面区域的面积为
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．
10
．已知椭圆22
221(7
x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．
11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆
于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．
12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25y
bx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．
13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点
对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐
妹点对”）．那么函数2
4,0,()2
,0,
x x f x x x x -≥⎧=⎨
-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x
g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）
已知函数()cos sin )f x x x x =-． （Ⅰ）求()3
f π的值；
（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2
π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．
16.（本小题共13分）
某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．
P
B
A
17.（本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．
（Ⅰ）若P 是DF 的中点，
(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；
(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D -AP -C
PF 的长度． P
F
E
D
C
A
B
18.（本小题共13分）
已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *
∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列． （Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n }满足2
n n n b a n
=-，证明：49n b ≤．
19.（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；
（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．
20.（本小题共13分）
设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若
21
1n
i i x ==∑，证明：21
ln ln 2n
n
i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．
北京市丰台区2012年高三二模数 学（理科）2012.5
参考答案
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．(1,
)2
π
10 11 12．31.25 13． 96 14．1，1a >
注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.解：因为()cos sin )f x x x x =-2
sin cos x x x -
1cos 21)sin 222x x +-12sin 22x x - ＝cos(2)6x π+
（Ⅰ）()cos(2)3362f π
ππ=⨯
+- =22
--= ……………………7分
（Ⅱ）因为 [0,]2
x π
∈， 所以
2666
x ππ7π
≤+≤．
当 26x π+
=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12
--．
当512x π=
时，函数()y f x =有最小值是1-． ……………………13分 16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=， 所以 806017a b +=．
因为 0.050.71a b +++=， 所以0.25a b +=． 由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨
+=⎩ 可得0.1,
0.15.a b =⎧⎨=⎩
……………………7分
（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．
奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况． 设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，
则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分 17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．
因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，
O
B A
C
D
E
F
P
x
所以OP 为三角形BDF 中位线，
所以BF // OP ，
因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，
所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º， 所以AF ⊥AB ，
因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，
所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，
所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．
所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1
(0,1,)2
P ，(1,C 所以 1(,0,1)2BE =- ，
1(1,1,)2
CP =-- ，
所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅
， 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为
15
……………………9分 （Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =
．
设P 点坐标为(0,22,)t t -， 在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =
，
所以 平面APC 的法向量为222
(2,1,)t n t
-=- ， 所以
121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>===
⋅
解得23t =
，或2t =（舍）．
此时||3
PF =． ……………………14分 18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，
所以1
213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．
因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ， 即610124126p p ++=++， 所以 2p =．
依题意，1231n
n n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，
232231a a -=⋅+，
……
212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．
相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，
所以 113(13)
2
(1)13
n n a a n ---=+--， 所以 3n n a n =+．
当n =1时，11314a =+=成立，
所以 3n n a n =+． ……………………8分 （Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，
所以 22
(3)3n n n
n n b n n ==+-．
因为 2221+11
(1)22+1
=333
n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．
若 2
2+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<． 又因为 113b =，249
b =， 所以4
9
n b ≤． ……………………13分
19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：2
2(0)x py p =>，
因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2
p
y =-的距离为5． 因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得
12
p
=，2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分
即 214y x =
，所以 1
'2
y x =，点P (±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41
'|422
x y ==⨯=．
所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．
P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分
（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立 242x y y x m
⎧=⎨=+⎩，消y 得 2
840x x m --=，64160m ∆=+>．
所以 128x x +=，124x x m =-， 所以
1242x x +=，12
82
y y m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．
所以 AB 的垂直平分线方程为1
(8)(4)2
y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，
所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，
所以直线l 的方程为 210y x =+． ……………………14分
20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，
则()ln ln(1)ln 1x
f x x x x
'=--=-． 令()0f x '=，得12
x =． 当102x <<
时，()0f x '<，()f x 在1
(0,)2是减函数， 当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1
(,1)2
是增函数， 所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11
()ln 22
f =． ……………………4分
（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，
所以 ()ln ln()ln x
f x x a x a x
'=--=-． 所以当2
a
x =
时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则
121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22
x x x x
x x x x x x a x a x +++=+--≥⋅
[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分
（Ⅲ）（证法一）数学归纳法
ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，
即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k k x x x x x x +++≥- ． 当1n k =+时，
1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．
设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，
由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-
=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．
由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立． 所以当 1n k =+时命题成立．
由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立， 所以 若
21
1n
i i x ==∑，则
21
ln ln 2n
n
i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分 （证法二）若1221n x x x +++= ， 那么由（Ⅱ）可得
112222ln ln ln n n x x x x x x +++
1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-
12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．
……………………13分。