几何证明中常见的辅助线的方法

F
E
D
A
B
C
2．如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中线AD的取值范 围。
3.如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D
1 2
A
E
C截
长
4 3
补
F
B短
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
截长 补短
少?
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例6:如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, B
A
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC，垂足为F.
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
2.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D
=90o,BE、CE均是角平分线,
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B
E
BE+ACwk.baidu.com
BE+AE
AB
感谢下 载
1.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点.
A
连结AC、AD
构造全等三角形
B
E
CMD
1.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
2.角平分线上点向两边作垂线段
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
课外练习 ；【拓展题】
1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
C P G EB
3.中线延长一倍
目的:构造全等三角形,将相关线段聚成三角形 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和中线 【或中点】 语言描述:延长AD到E,使DE=AD,连接CE.
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
例7.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 AD ： 1(AB A)C 2
4.已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
F
或延长AC至点F,使得CF=CD，连接DF
Ⅴ.“周长问题”的转化
借助“角平分线性
质”
5.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,
DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
E
过点D作DE⊥AB,垂足为E
B
C
D
构造了 全等的直角三角形且距离相等
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例5:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, A AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
过点D作DE⊥AB,垂足为E
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多
倍
A
延长AD到点E，使DE=AD，
长
连结CE.
中
B D
C线
思考：若AB=3,AC=5
求AD的取值范围？
E
• 例8、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分 线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用 点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
专题学习
----几何证明中常见 “添辅助线”方法
1.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
1.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
1.连结AC ,构造全等三角形.
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6,A AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
B
A
求证:BC=AB+CD.
解法2. 延长BE和CD交于点F
E
构造了:全等的直角三角形
C
DF
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠OEP +∠ODP =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA于F,PG ⊥OB于G. F
D
构造了: 全等的直角三角形且距离相等 O