第五章 抽样与抽样分布

1 n lim P X i 1 n n i 1
定律表明：只要随机变量独立同分布，即 使不存在有限方差，其数学期望仍可由n 个随机变量的算术平均值作为其近似值。
6
end
二、中心极限定理
在统计学中，论证随机变量和的极限分 布是正态分布的一系列定理统称为中心 极限定理（central limit theorem）。
26
end
根据样本抽选的方法不同，可分为：
随机起点系统抽样
· · · · · ·
（总体单位按某一标志排序）
半距起点系统抽样
· · · · · ·
（总体单位按某一标志排序）
对称起点系统抽样
· · · · · ·
（总体单位按某一标志排序）
27
end
系统抽样的好处： 1. 可以使抽样过程大大简化，减轻抽 样的工作量； 2. 如果用有关标志排队，还可以缩小 抽样误差，提高抽样推断效果。 按有关标志排队系统抽样，实际上是 一种特殊的分层抽样。
仅适用于规模不大、内部各单位标志值差异 较小的总体
23
end
二、分层抽样
先将总体按某一标志分层，然后从各 层中按随机原则抽取样本单位组成样本。
实质上是分组法与随机原则的结合。 例如，在居民生活水平调查中，先按职业 分类，然后每种职业分别随机抽取部分居 民进行调查。
24
end
样本在各层间的分配方法：
10
end
一、分位数
设X为随机变量，对给定的概率(1>>0)， 若实数F满足不等式
P{ X F }
则称F为随机变量X分布概率为的上侧分 位数。 若实数T/2满足不等式 P{| X | T 2 } 则称T/2为随机变量X分布概率为的双侧 分位数。
11
end
标准正态分布的上侧分位数
8
end
棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理
定理表明，当n很大，np和n(1-p) (n 是试验的次数，p是试验中事件A发生 的概率)也都不太小时，二项分布可以 用正态分布去近似。
9
end
第三节 由正态分布导出的几个重要分布
由样本统计量对未知总体分布进行 推断，必须知道统计量所服从的分布。 本节介绍几个重要的常用统计量分 布：2分布，t分布， F分布。
37
end
四、样本方差的分布
1. 在重复选取容量为 n 的样本时，由样本方 差的所有可能取值形成的概率分布
2. 对于来自正态总体的简单随机样本，则比 值 ( n 1) s 2
2
的抽样分布服从自由度为 (n-1) 的 2 分布， 2 即 ( n 1) s 2

2
~ ( n 1)
南昌航空大学
1
end
第五章 抽样与抽样分布 第一节 统计量 第二节 大数定律与中心极限定理 第三节 由正态分布导出的几个重 要分布 第四节 常用的抽样方法 第五节 抽样分布
2
end
第一节 统计量
统计量（statistic）：描述样本特征的 概括性数字度量,根据样本数据计算的一 个随机变量，是对总体分布特征推断的 工具。
一、抽样分布概念 样本统计量取值的概率分布，叫抽样 分布（sampling distribution）。 是推断统计中用样本推断总体时的重 要理论依据。
31
end
二、样本均值的分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均 值的所有可能取值形成的概率分布
2. 推断总体均值的理论基础
32
end
总体服从正态分布 N(μ,σ2) ，该总体的任何容 量的样本均值 x 也服从正态分布， x 的期望 值为μ，方差为σ2/n。即x ～N(μ,σ2/n)
28
end
四、整群抽样
将总体全部单位分为若干“群”，然后以群 作为抽样单位，从总体中抽取若干群作为样 本，并对中选群的所有单位进行全面调查。 例：总体群数R=16
A E I M B F J N C G K O D H L P
样本群数r=4 样本容量
D P I H
n nd n p ni nh
对总体未作任何处理，按随机原则直接从总 体中抽出若干单位构成样本. 抽取样本的具体方法： 直接抽选法 抽签法:将总体中每个单位的编号写在外形完全 一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽选， 签上的号码所对应的单位就是样本单位。 随机数表法:将总体中每个单位编上号码，然 后使用随机数表，查出所要抽取的调查单位。
设X1, X2, …Xn为总体X的样本，如果 样本的函数g(X1, X2, …Xn)是一个随机 变量，并且不包含任何未知参数，则 称g(X1, X2, …Xn)为统计量。
3
end
几个常用的统计量：
n 1 1. 样本均值： X X i n i 1
n 1 2 2. 样本方差： S 2 (Xi X ) n 1 i 1
X m F Y n
服从自由度m和n的F分布，记为
F ~ F ( m , n)
20
end
不同自由度的F分布
(1,10)
(5,10) (10,10)
F
右偏分布
21
end
第四节 常用的抽样方法
通常有以下几种抽样方法： 简单随机抽样 分层抽样 系统抽样 整群抽样 多阶段抽样
22
end
一、简单随机抽样
end
t分布的性质：
（1）与正态分布一样，是对称的，但比正 态分布要平一些。 （2）自由度充分大时，t分布近似于正态分 布。自由度趋向无穷大时，t分布就是标准 正态分布。
（3）t分布的均值为0，其方差为n/(n-2)。
19
end
F-分布 (F(n), 且X与Y相互独立， 则称
3.样本标准差：
S
1 2 ( X X ) i n 1 i 1
4
end
n
第二节
大数定律与中心极限定理
一、大数定律
大数定律（laws of large numbers） 也称大数法则，它是阐述大量同类随机现 象的平均结果稳定性的规律。
5
end
辛钦大数定理
设随机变量X1, X2, …Xn相互独立，服 从同一分布，且具有数学期望 EXi=(i=1,2，…n) 则对任意0，有
38
end
=10
x 5
n=4
x 2.5
n =16
= 50
总体分布
X
x 50
抽样分布
x
33
end
从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取 容量为n的样本，当n(30)充分大时，样本均 值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n 的正态分布
任意 分布 的总 体
x n
2
14
end
不同自由度的2-分布
n=1 n=4 n=10
2
15
end
2-分布性质和特点
1. 变量值始终为正 2. 通常为不对称的右偏分布，随着自由度的 增大逐渐趋于对称 3.期望E(2)=n，方差D(2)=2n(n为自由度) 4. 可加性：若 U 和 V 为两个独立的 2 分布随机 变量，U~2(n1)，V~2(n2), 则U+V服从自由度为n1+n2的2分布

0
Z
Z
12
end
标准正态分布的双侧分位数
/ 2
-Z/2
0
/ 2
Z/2
Z
13
end
2-分布 (2-distribution)
设 X1 ， X2 ， ……Xn 是取自标准正态总 体的样本 ，则随机变量
X
2 i 1
n
2 i
服从具有n个自由度的2分布，记为
~ ( n)
7
end
X
i 1
独立同分布中心极限定理 设X1, X2, …Xn是独立同分布的随机变量序 列，且存在有限的数学期望EXi=和方 差DXi=2 (i=1,2，…n) ，那么当n时 n，
i
~ N ( n , n ) 或X ~ N ( ,
2
2
n)
中心极限定理为均值的抽样推断奠定了理论 基础。不论总体服从何种分布，只要期 望和方差存在，对这一总体进行重复抽 样，当样本量充分大，样本均值就趋于 正态分布。
简单、方便，能节省人力、物力、财 力和时间，但其样本代表性可能较差
29
end
五、多阶段抽样 某公司要进行全国性的产品售后服务满意度 调查时，通常是先抽几个省，然后从抽中的 省中抽取若干个城市，从抽中的城市中，再 抽取若干个县、村，最后再抽到户，这种抽 样方式就是多阶段抽样。
30
end
第五节 抽样分布
等比例分配法：按各层单位的比例分配样 本单位。
类型抽样的优点： 能提高样本的代表性； 组织起来较为方便；
25
end
三、系统抽样
先将总体各单位按某一标志排队，然后按固 定的顺序和间隔抽取样本单位。又称机械抽 样或等距抽样。
系统抽样是不重复抽样，适合于对单位数不 多且能进行排序的总体抽样。 排序和所研究标志数值大小无关。 按无关标 志排队 如调查居民生活水平时，按姓氏笔 划排队。 按有关标 排序和所研究标志数值大小有密切 志排队 关系。如居民收入调查，按银行存 款多少排序。
n0 p n
n1 或 1 p n
36
end
样本比例的分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本比 例的所有可能取值形成的概率分布 2. 当样本容量很大时(np≥5和 n(1p)≥5) ，样本比例的抽样分布可用正态分 布近似，即 3.
(1 ) p ~ N , n
样本均值 的抽样分 布趋于正 态分布