概率统计试题1参考答案
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* 本标准差Sn 15分.
a） 在置信度为0.95时，求出学生成绩数学期望的置信区间。 b） 在显著性水平 0.05下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为 70分。
解： a ). 由于
( X ) n ~ t ( n 1), 可得 * Sn
( X ) n P t ( n 1) 1 * 1 Sn 2
2
( X
i
二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
1. 如果事件A 、B独立且不相容，则Max{P( A), P( B)} 1.
2. 设二维离散型随机变量( X , Y )的分布列为
( X ,Y ) P
(1, 0) 0.4
(1,1) 0.2
(2, 0) a
(2,1) b
若 E[XY ] 0.8, 则a 0.1.
k 1 n
0.76n np P np(1 p )
X k np
n
0.84n np k 1 np(1 p ) np(1 p )
n
0.76 p P n p(1 p )
X k np
1 . 2
三．（本大题10分）。一个盒子中装有4个白球、个红球，现投掷一枚 6 均匀的骰子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求： a）所取的全是白球的概率。
b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？
解：设Ai {骰子投掷出i点}，i 1, 2, a ). 由全概率公式，全是白球的概率
* * Sn t ( n 1) Sn t ( n 1) 1 1 2 2 P X X 1 . n n
由于t
1
2
(n 1)=t0.975 (35) 2.0301, 于是置信区间为：
* * Sn t ( n 1) Sn t ( n 1) 1 1 2 2 X ， X n n
0.84 p k 1 n np(1 p ) p(1 p )
n X 0.8 n k 0.76 0.8 0.84 0.8 k 1 P n n 0.8n(1 0.8) 0.8(1 0.2) 0.8(1 0.8)
一.单项选择题（本大题共五小题，每小题3分，共15分）： 本大题中每个小题都列有四个选项，请选取一个最合适的选项、 并将所选选项前的字母标号填入题后的括号内。
1. 下述命题中正确的是 ( A )
A. 如果A B, 则B A; B. AB B A;
C. 如果事件A, B独立，则P( A B ) P ( A) P( B ); D. AB( AB ) A.
5.设X1 ,X 2 , ,X n是来自总体X的样本，则下述说法中正确的是 ( D )
A. X ~ N ( , );
2
B. D.
1
2
1
( X
i 1 n i 1
n
i
X ) 2 ~ 2 ( n); ) 2 ~ 2 ( n).
C.
n( X ) ~ t (n ); * Sn
b). 由贝叶斯公式，所求概率 4 P ( A3 B ) P ( A3 ) P ( B | A3 ) 1 3 P ( A3 | B ) P( B ) P( B ) 6 10 3 2 7 . 21 120
四．（本大题10分）。设某次概率统计考试考生的成绩X ~ N ( , 2 )， 从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为 x 66.5分，修正样
Var[ X i ]
i 1
n
0.16 . n
2
要使合格率在76%与84%之间，即 0.76 X 0.84 | X - E[ X ] || X - 0.8 | 0.04, 于是，取 0.04，有 0.16 100 P(| X - E[ X ] | 0.04) . 2 n0.04 n 由题意，要求P(0.76 X 0.84) 90%, 只要 P(| X - E[ X ] | 0.04) 1 P(| X - E[ X ] | 0.04) 1 n 1000. 100 0.9 n
1 七．（本大题17分）。设总体X的密度函数是 f ( x; ) e ， 2 其中 0是参数。样本X 1 , X 2 ,..., X n 来自总体X 。 ˆ ； a）求的矩估计
M
|x|
ˆ； b）求的最大似然估计 L ˆ 是的无偏估计，且 ˆ 是的相合估计（一致估计）. c）证明 L L
解： 设至少要生产n件产品. 记 1， 第i件产品合格 Xi 0， 第i件产品不合格 则X 1 X 2 X n 为n件产品中合格的件数, X 1 , X 2 , , X n 相互 独立且X i ~ B(1, 0.8), E [ X i ] 0.8,Var[ X i ] 0.8 (1 0.8) 0.16. 1 n a ). n件产品的合格率为：X X i , 且 n i 1 1 n 1 E[ X ] E[ X i ] 0.8, Var[ X ] 2 n i 1 n 由切比雪夫不等式, 对任意 0， P(| X - E[ X ] | ) Var[ X ] 0.16 . 2 n
概率统计试题1参考答案
可能用到的表值： (1.285) 0.9, (1.645) 0.95, (1.96) 0.975, (2.33) 0.99 t0.975 (35) 2.0301, t0.975 (36) 2.0281, t0.95 (35) 1.6896, t0.95 (36) 1.6883
五．（本大题14分）。设（X , Y）的联合密度函数是： A( x 2 1 2 xy ) f ( x, y ) 0 a）说明A 6 / 7； c）求P X Y . 0 x 1, 0 y 2 其它
b）求X 的密度函数及E [ X ]；
解： a ). 由
R
2
f ( x, y )dxdy 1
1 2
1
0
2
0
A( x 2
1 xy )dxdy 1 2
1
A 0 0 b). X 的边缘分布密度 f X ( x)
1 ( x 2 xy )dxdy 2
6 . 7
f ( x, y )dy.
b). 由棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理： lim P(
n
X1
X n np np(1 p )
x)
1 2
x
0
e
x2 2
dx,
其中 p 0.8.
要使一批产品合格率在76%与84%之间，即要求 1 n X X i [0.76, 0.84], 于是 n i 1 P(0.76 X 0.84) P(0.76n X k 0.84n )
, 6. B {取出全为白球}.
4 4 4 6 1 4 1 2 1 3 1 4 2 P( B ) P( Ai ) P( B | Ai ) . 6 10 6 10 6 10 6 10 21 i 1 2 3 4
x 6 1 1 15 P X Y dx ( x 2 xy )dy . 0 7 0 2 56
六．（本大题14分）.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8. 要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%， 问这批产品至少要生产多少件？试用如下两种指定的方法求解： a )使用切比雪夫不等式。 b)使用中心极限定理。
(0.1 n ) ( 0.1 n ) 2 (0.1 n ) 1 0.9 (0.1 n ) 0.95, 由 (1.645) 0.95, 可知n满足 0.1 n 1.645 n 16.452 270.6025, 于是，这批产品至少要生产271件.
3. 设X ~ N (0,1), Y ~ N (1,1)，且X 与Y 相互独立，则P( X Y 1)
2 4. 设X 1 , X 2 ,..., X 5独立同分布，X 1 ~ N (1,1)，则 1 (2 X X X ) 1 2 3 6 2 2. 1 2 ( X 4 X 5 ) 的数学期望是
源自文库
数，若x 0,则P( X x ) ( C )
A. C. 2 ; 2 1; B. 1 2 ; D. 2 .
4. 设X , Y 是一维随机变量、方差存在，且相关系数 XY =0，则下述 说法正确的是 ( D )
A. X , Y 不存在任何函数关系； C. Var[ XY ] Var[ X ]Var[Y ]; B. X , Y 独立； D. Var[ X 2Y ] Var[ X ] 4Var[Y ].
2.设X1 , X 2 ,..., X n 独立同分布，X1 ~ B(1, p)，则P( X k / n) ( C )
A. p; B. D. 1 p;
k Cn (1 p)k p n k . k k C. Cn p (1 p)nk ;
3. 设连续随机变量X的密度函数满足 f ( x) f ( x)，x 是X的分位
2
6 2 1 12 2 6 ( x xy ) dy x x. 0 7 2 7 7 当x 0或x 1时，f X ( x ) 0，于是X 的密度函数为 当0 x 1时，f X ( x ) 12 2 6 x x, f X ( x) 7 7 0, E[ X ] 0 x 1 其它
15t (35) 15t (35) = 66.5 0.975 ， 66.5 0.975 36 36 15 2.0301 15 2.0301 66.5 ， 66.5 6 6 [61.42475, 71.57525].
b). 由题意，这是一个单个正态总体均值的假设检验问题， 其中方差未知. 提出原假设与备选假设分别为： H 0 : 70; 取统计量： T H1 : 70. ( X ) n ~ t ( n 1), 利用 * Sn
( X ) n P t ( n 1) * 1 Sn 2 (66.5 70) 36 P t0.975 (35) 0.05， 15
又有t0.975 (35) 2.0301.经计算得 (66.5 70) 36 1.4. 15 由于 | T | 1.4 t0.975 (35) 2.0301, 因此接受H 0 , T 即可认为考试的平均成绩为70分.
1 5 12 2 6 xf X ( x )dx x x x dx . 0 7 7 7
6 1 c) P X Y ( x 2 xy )dxdy, 其中 7 2 D D {x y} {0 x 1, 0 y 2} {0 x 1, 0 y x}. 于是
a） 在置信度为0.95时，求出学生成绩数学期望的置信区间。 b） 在显著性水平 0.05下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为 70分。
解： a ). 由于
( X ) n ~ t ( n 1), 可得 * Sn
( X ) n P t ( n 1) 1 * 1 Sn 2
2
( X
i
二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
1. 如果事件A 、B独立且不相容，则Max{P( A), P( B)} 1.
2. 设二维离散型随机变量( X , Y )的分布列为
( X ,Y ) P
(1, 0) 0.4
(1,1) 0.2
(2, 0) a
(2,1) b
若 E[XY ] 0.8, 则a 0.1.
k 1 n
0.76n np P np(1 p )
X k np
n
0.84n np k 1 np(1 p ) np(1 p )
n
0.76 p P n p(1 p )
X k np
1 . 2
三．（本大题10分）。一个盒子中装有4个白球、个红球，现投掷一枚 6 均匀的骰子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求： a）所取的全是白球的概率。
b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？
解：设Ai {骰子投掷出i点}，i 1, 2, a ). 由全概率公式，全是白球的概率
* * Sn t ( n 1) Sn t ( n 1) 1 1 2 2 P X X 1 . n n
由于t
1
2
(n 1)=t0.975 (35) 2.0301, 于是置信区间为：
* * Sn t ( n 1) Sn t ( n 1) 1 1 2 2 X ， X n n
0.84 p k 1 n np(1 p ) p(1 p )
n X 0.8 n k 0.76 0.8 0.84 0.8 k 1 P n n 0.8n(1 0.8) 0.8(1 0.2) 0.8(1 0.8)
一.单项选择题（本大题共五小题，每小题3分，共15分）： 本大题中每个小题都列有四个选项，请选取一个最合适的选项、 并将所选选项前的字母标号填入题后的括号内。
1. 下述命题中正确的是 ( A )
A. 如果A B, 则B A; B. AB B A;
C. 如果事件A, B独立，则P( A B ) P ( A) P( B ); D. AB( AB ) A.
5.设X1 ,X 2 , ,X n是来自总体X的样本，则下述说法中正确的是 ( D )
A. X ~ N ( , );
2
B. D.
1
2
1
( X
i 1 n i 1
n
i
X ) 2 ~ 2 ( n); ) 2 ~ 2 ( n).
C.
n( X ) ~ t (n ); * Sn
b). 由贝叶斯公式，所求概率 4 P ( A3 B ) P ( A3 ) P ( B | A3 ) 1 3 P ( A3 | B ) P( B ) P( B ) 6 10 3 2 7 . 21 120
四．（本大题10分）。设某次概率统计考试考生的成绩X ~ N ( , 2 )， 从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为 x 66.5分，修正样
Var[ X i ]
i 1
n
0.16 . n
2
要使合格率在76%与84%之间，即 0.76 X 0.84 | X - E[ X ] || X - 0.8 | 0.04, 于是，取 0.04，有 0.16 100 P(| X - E[ X ] | 0.04) . 2 n0.04 n 由题意，要求P(0.76 X 0.84) 90%, 只要 P(| X - E[ X ] | 0.04) 1 P(| X - E[ X ] | 0.04) 1 n 1000. 100 0.9 n
1 七．（本大题17分）。设总体X的密度函数是 f ( x; ) e ， 2 其中 0是参数。样本X 1 , X 2 ,..., X n 来自总体X 。 ˆ ； a）求的矩估计
M
|x|
ˆ； b）求的最大似然估计 L ˆ 是的无偏估计，且 ˆ 是的相合估计（一致估计）. c）证明 L L
解： 设至少要生产n件产品. 记 1， 第i件产品合格 Xi 0， 第i件产品不合格 则X 1 X 2 X n 为n件产品中合格的件数, X 1 , X 2 , , X n 相互 独立且X i ~ B(1, 0.8), E [ X i ] 0.8,Var[ X i ] 0.8 (1 0.8) 0.16. 1 n a ). n件产品的合格率为：X X i , 且 n i 1 1 n 1 E[ X ] E[ X i ] 0.8, Var[ X ] 2 n i 1 n 由切比雪夫不等式, 对任意 0， P(| X - E[ X ] | ) Var[ X ] 0.16 . 2 n
概率统计试题1参考答案
可能用到的表值： (1.285) 0.9, (1.645) 0.95, (1.96) 0.975, (2.33) 0.99 t0.975 (35) 2.0301, t0.975 (36) 2.0281, t0.95 (35) 1.6896, t0.95 (36) 1.6883
五．（本大题14分）。设（X , Y）的联合密度函数是： A( x 2 1 2 xy ) f ( x, y ) 0 a）说明A 6 / 7； c）求P X Y . 0 x 1, 0 y 2 其它
b）求X 的密度函数及E [ X ]；
解： a ). 由
R
2
f ( x, y )dxdy 1
1 2
1
0
2
0
A( x 2
1 xy )dxdy 1 2
1
A 0 0 b). X 的边缘分布密度 f X ( x)
1 ( x 2 xy )dxdy 2
6 . 7
f ( x, y )dy.
b). 由棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理： lim P(
n
X1
X n np np(1 p )
x)
1 2
x
0
e
x2 2
dx,
其中 p 0.8.
要使一批产品合格率在76%与84%之间，即要求 1 n X X i [0.76, 0.84], 于是 n i 1 P(0.76 X 0.84) P(0.76n X k 0.84n )
, 6. B {取出全为白球}.
4 4 4 6 1 4 1 2 1 3 1 4 2 P( B ) P( Ai ) P( B | Ai ) . 6 10 6 10 6 10 6 10 21 i 1 2 3 4
x 6 1 1 15 P X Y dx ( x 2 xy )dy . 0 7 0 2 56
六．（本大题14分）.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8. 要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%， 问这批产品至少要生产多少件？试用如下两种指定的方法求解： a )使用切比雪夫不等式。 b)使用中心极限定理。
(0.1 n ) ( 0.1 n ) 2 (0.1 n ) 1 0.9 (0.1 n ) 0.95, 由 (1.645) 0.95, 可知n满足 0.1 n 1.645 n 16.452 270.6025, 于是，这批产品至少要生产271件.
3. 设X ~ N (0,1), Y ~ N (1,1)，且X 与Y 相互独立，则P( X Y 1)
2 4. 设X 1 , X 2 ,..., X 5独立同分布，X 1 ~ N (1,1)，则 1 (2 X X X ) 1 2 3 6 2 2. 1 2 ( X 4 X 5 ) 的数学期望是
源自文库
数，若x 0,则P( X x ) ( C )
A. C. 2 ; 2 1; B. 1 2 ; D. 2 .
4. 设X , Y 是一维随机变量、方差存在，且相关系数 XY =0，则下述 说法正确的是 ( D )
A. X , Y 不存在任何函数关系； C. Var[ XY ] Var[ X ]Var[Y ]; B. X , Y 独立； D. Var[ X 2Y ] Var[ X ] 4Var[Y ].
2.设X1 , X 2 ,..., X n 独立同分布，X1 ~ B(1, p)，则P( X k / n) ( C )
A. p; B. D. 1 p;
k Cn (1 p)k p n k . k k C. Cn p (1 p)nk ;
3. 设连续随机变量X的密度函数满足 f ( x) f ( x)，x 是X的分位
2
6 2 1 12 2 6 ( x xy ) dy x x. 0 7 2 7 7 当x 0或x 1时，f X ( x ) 0，于是X 的密度函数为 当0 x 1时，f X ( x ) 12 2 6 x x, f X ( x) 7 7 0, E[ X ] 0 x 1 其它
15t (35) 15t (35) = 66.5 0.975 ， 66.5 0.975 36 36 15 2.0301 15 2.0301 66.5 ， 66.5 6 6 [61.42475, 71.57525].
b). 由题意，这是一个单个正态总体均值的假设检验问题， 其中方差未知. 提出原假设与备选假设分别为： H 0 : 70; 取统计量： T H1 : 70. ( X ) n ~ t ( n 1), 利用 * Sn
( X ) n P t ( n 1) * 1 Sn 2 (66.5 70) 36 P t0.975 (35) 0.05， 15
又有t0.975 (35) 2.0301.经计算得 (66.5 70) 36 1.4. 15 由于 | T | 1.4 t0.975 (35) 2.0301, 因此接受H 0 , T 即可认为考试的平均成绩为70分.
1 5 12 2 6 xf X ( x )dx x x x dx . 0 7 7 7
6 1 c) P X Y ( x 2 xy )dxdy, 其中 7 2 D D {x y} {0 x 1, 0 y 2} {0 x 1, 0 y x}. 于是