1.4 辗转相除法与最大公约数和1.5最小公倍数

B.62
C.378
D.126
5.两列客车，A车每45分钟发车一次，B车每60
分钟发车一次，两辆客车由上午6点发车，下一次同
时发车是什么时候？
解： 〔45，60〕＝180 180÷ 60＝3（时） 15
45 3
60 4
15× 3× 4＝180
6＋3＝9 答:上午9时
6.小明3天去一次图书馆，小刚4天去一次图书馆， 小花6天去一次图书馆，6月1日一起去图书馆，则下 次几月几日一起去图书馆？
教学重难点
重点
1.掌握最大公因数性质、求法.
2.理解互素、素数的简单性质.
难点
1.整除、最大公因数性质、互素有关 的证明. 2.最大公因数与最小公倍数的意义 及找法 .
找出 12 的因数
找出 18 的因数
12 = 1 × 12 = 2 × 6 18 = 1 × 18 = 2 × 9
12 的因数︰
如果 a=bq+r（r≠0）， 那么（a，b）=（b，r）
探究
关于最大公因数的性质 1.设整数a，b不同时为零，则存在一对
整数m，n使得（a，b）=am+bm.
2.若a︱bc，且（a，b）=1，则a︱c.
3.设p为素数，若p︱ab，则p︱a，或p︱b.
竖着看，每列（ 3 ）个，有（ 5 ）列，共 有（ 15 ）个.每份数是（ 3 ）. 横着看，每行（ 5 ）个，共有（ 15 ）个.每 份数是（ 5 ）. 15是3的倍数，也是5的倍数，是3和4的公倍数.
最小公倍数定义
任意的非零整数a，b，一定存在一个整数，
它同时为a，b的倍数，这个倍数叫做a，b的公
倍数，最小的正公倍数叫做a，b的最小公倍数，
记作[a,b]
探究
(8，24) = 8 [8，24] = 8×24 = . (2，14) = 2 . 24 . 192 . [2，14] = 14 . 2×14 = 28 .
知识回顾
12的因数
1 4 2
18的因数
2 6 3 18
1、 3 1 3、 9
6 12
12和18的公因数
6 12和18的最大公因数是：_____
125与150的最大公因数是什么?
5 5
125
25 5
150
30 6
得到最大公因数是25
导入新课
初中我们已经学习了求公因数的方 法列举法、短除法.
1.列举5个可以被3整除的数 3 6 9 12 2.列举5个可以被4整除的数 4 8 12 14
6.设p为素数，若p︱ab，则p︱a，或p︱b.
最大公因数的求法
1.列举法、短除法、辗转相除法. 2.辗转相除法原理 如果 a=bq+r（r≠0）， 那么（a，b）=（b，r）
最小公倍数的求法
(a,b)[a,b]=︱ab︱
高考链接
1.已知
3 x 3 x
n
展开式中，各项系数的和
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
=3× 4 =3× 6
18 的因数︰
1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
同时是 12 和 18 的因数︰1, 2, 3, 6
分析
1、2、3 、 6 是 12 和 18 的公有
的因数，也就是它们的公因数,其中
最大的一个数是 6，叫做12 和 18
的最大公因数.
解：
〔3，4，6〕＝12
2 3
3
3 1
4
2 2
6
3 1
12+1 ＝13
答 : 6月13日
2×3×2＝12
7.有一块长6公分，宽4公分的长布，将它剪成最
大的正方形布而不浪费，此正方形布边长是几公分？
解：
(6，4) ＝2 6÷ 2 ＝3（长可剪成3个） 4÷ 2 ＝2（宽可剪成2个）
2
6 3
4 2
答 : 2公分
最大公因数定 最小公倍数定义
给定两个整数a，b，必要公共的因数， 叫做它们的公因数.当a，b不全为零时，在
有限个公因数中最大的一个叫做a，b的最大
公因数，记作（a，b）.如果a，b的最大公
因数为1，那么称a，b是互素的.
实例分析
4的公因数 1、2、4 . . . . 12的公因数 1、2、3、4、6、12 3的公因数 6的公因数 1、3 1、2、3、6
最大公因数的必要性. 2.列举生活实例引出最大公因数与最小公倍 数在生活中的应用，引发学生学习的兴趣并让学生
自由讨论它们之间的关系及求它们的方法. 3.实例解析，总结概念使学生对最大公约数及 最小公倍数有深刻的理解和认识.
情感态度与价值观
1.了解最大公因数与最小公倍数的不同与使 用时机. 2.能运用最大公因数与最小公倍数来解题. 3.能应用最大公因数解决现实生活中的相 关问题，学以致用.
实例分析
8的因数有: 1、8、 2、4 1、9、 3 9的因数有: 8和9的公因数只有： 1 8和9的最大公因数是： 1 .
. . .
由以上可知，8和9的最大公约数为1， 且8和9为相邻的自然数.
小结
相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1.
思考
想一想求很大的数如1027、 5864的最大公因数怎么求 对于大数列举法、短除法已经不适 应了，这时就用到辗转相除法.
想一想（a，b）[a,b]和ab有什么关系 (a,b)[a,b]=︱ab︱
课堂小结
公因数性质
1.如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个 数的最大公因数. 2.两个不相等的质数,最大的公因数是1. 3.相邻两个自然数(0除外)的最大公因数是1. 4.设整数a，b不同时为零，则存在一对整数m， n使得（a，b）=am+bm. 5.若a︱bc，且（a，b）=1，则a︱c.
知 d22n1，设 2k|n 并且2k+1不整除n，由
2k +1|| C1 n 及2k 1 | Ci2 n 2n Ci2n11 ，i 3, 5,......, 2n 1 2
iBaidu Nhomakorabea
得d = 2k + 1.
3. 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c， 证明：ab. 证明: 设(a, b) = d，则a = da1，b = db1，(a1, b1) = 1， 由a2b2c得a12b12c，a12c，因为c无平方因子， 所以a1 = 1，a = d，b = ab1，即ab.
的倍数，边长要最小.
第一章整数的整除
教学目标
知识与能力
1.掌握最大公因数的概念及性质，特别是两个
整数互素的有关性质.
2.掌握最小公倍数和最大公因数的关系，并 能利用这些关系求最小公倍数. 3.能够准确熟练求最大公因数，并将其表示为 原整数的倍数和，掌握辗转相除法.
过程与方法
1.通过复习以前的知识，引导学生自己思考求
课堂练习
1.如果a=b-1（a、b为自然数），a
和b的最大公因数是（ 1 ），最小公倍
数是（ ab ）. 2.甲、乙两数的最大公因数是12，最小公 倍数是180，甲数是60，乙数是（ 36 ）.
3.有四个正因数的最小整数（ A.5 B.12 C.4
C D.6
）.
4.若(a ,126 ) ＝ 18，[a , 126]＝378，a ＝ （ A A.54 ）.
与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于（ C ）.
（07年江西理）. A. 4 B.5 C.6 D.7
认真想想吆.
2.设n是正整数，求 的最大公约数. 解析： 设
1 3 2n1 C 2n , C 2n , , C 2n
(C1 n , C3 n ,, C2n 1 ) d，由C1 n C3 n C2n 1 22n 1 2 2 2n 2 2 2n
15 . 18 .
通过观察我们发现可以同时整除3、4的 数是12，也就是说12是3和4共同的倍数即公 倍数. 想一想是否3和4是否还有其它的 公倍数，它们的最小公倍数是什么？
用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图 的样子拼成正方形.拼成正方形的边长最小是
多少厘米？
…… 思考 …… 分析：正方形的边长 …… 既是3的倍数，又是4 ……
由以上可知，4和12的最大公约数为4， 3和6的最大公因数为6.
小结
如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个数
的最大公因数.
实例分析
5的因数： 7的因数： 1、5 . . 1 .
1、7
5和7的最大公因数是：
由以上可知，5和7的最大公约数为1， 且5和7为不相等的素数.
小结
两个不相等的素数,最大的公因数是1.