数学建模暑期培训PPT幻灯片

尸体的温度变化规律为
T(t)2.111.15e0.00183 t 672
模型应用
用T(t)=37代入上模型 t=-176.386＝-2小时56分
受害者死亡时间约为8时20分-2小时56分＝5时26分
结论：不能排除张某为嫌疑犯！
有人提出疑问，在下午5：00到9：00之间室温一 般不会是不变的，因而此结论有些武断！
数学建模
建立数学模型的全过程: （包括表述、求解、解释、检验等） 可用下面的图表直观地表示数学建模过程的各阶段及 其联系.
实际问题
抽象,简化,假设,确定变量与参数
建立数学模型并求解,确定参数
用实际背景或数据等来检验数学模型
若不符合实际
若符合实际
交付使用从而产生经济,社会效益
一个简单的问题
问题提出：他是嫌疑犯吗？
(1 )
dt
模型求解
(1)式变形为
dT(t) kdt (T(t)21.1)
ln T (t()2.1 1 )k tC
T (t) 2.1 1 C 1 e kt C 1 e C
由T(0)= 32.6
C1=11.5
再由T(60)=31.4
3.4 1 2.1 1 1.5 1 e6k0
k=-ln[(31.4-21.1)/11.5]/60=-0.00183672
数学模型的概念
数学建模就是建立数学模型来解决各种实际问题。
现实世界中有大量的实际问题，这些问题往往不 会直接地以现成的数学形式呈现，这就要求我们把实 际问题抽象出来，在可能将其尽量简化，通过假设变 量和参数，运用一些数学方法建立和参数的数学关系 式或者算法，这样抽象成的数学关系式或算法就是所 谓的数学模型。
dT (t)k(T(t)w(t)) dt
e k(d t (t) T k(tT ) ) k(tw )e kt dt
d ke T t(t) k(w t)e kt dt
T(t)cke t kkettw ()e kd 0
w(t)= t2+ t +；
其中；=0.0106， =-0.3034，= 21.404。
通过数学方法对模型的分析与求解，最后在解释 和验证所得的解，进而指导实际问题。这个过程称为 数学建模。这个过程一般不会一次完成的。
数学模型和数学建模没有一个确切定义，若硬要 给一个定义，大概定义如下：
数学模型 对于一个给定的现实对象，为了一个特定目的，根据 其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学 工具，导出的一个数学结构。
试设计一种测试死亡时间的方法： 死者的体温！
他是嫌疑犯吗？
法医在8:20时，测得死者体温为32.6ºC ，一小时后， 死者被移走时，又测量了一下体温为31.4ºC，当时室 内温度为21.1ºC。能否由此来推算死者死亡时间？ 我们建立一个数学模型来解决此问题
模型假设
• 死者生存时正常体温为37ºC，无生病发烧现象。
由T(1)=31.4 我们有方程：
( 1 .1 1 9 0 .3 6 0 0 .0 3) 2 e 4 k 1 0 .22 8 0 .0 22 2 1 .2 1 08 2 08
k k 2
k k 2
解得k=-0.11177代入原方程得：
T ( t) 6 .7e 8 0 .14 1 t 1 0 8 .7 07t1 2 6 0 .0 4t6 9 2 .3 8 51 15
T(t)cke t kkettw ()ekd 0
(c2)ek t t2(2)t2
k2 k
k
k2 k
由c=T(0)= 32.6，再将=0.0106， =-0.3034，=21.404
代入得：
T(t)(1.11960.30304.02)1ek2t0.01t02 6
k
k2
(0.0k2102.30)t40.3k0304.0k22122.1404
• 室内温度在几个小时内为恒定的。
• 由Fourier热传导定律：死者体温下降的速率与尸体 温度与外界温差成正比，设比例系数为k。
模型建立
尸体的温度是随时间变化的，设t时刻尸体温度为 T(t)，8:20为t=0时刻
则有T(0)= 32.6ºC，T(60)=31.4ºC
由假设３知： d(T t)k(T(t)2.1 1 )
注：上表是时间段5：00~9：20每隔十分钟一次的温 度记录。
温度变化的散点图
22.4
22.2
22.0
21.8
21.6
21.4
一次拟合曲线与温度
变化的散点图比较
22.4
22.2
一次拟合曲线
22.0
w(t)=22.5-0.328t
21.8
21.6
21.4
1
2
3
4
1
2
3
4
二次拟合曲线与温度 22.4 22.2
死亡时间t0应满足T(t0)=37，即下列方程的解
6 .7e 8 0 .14 1 t 1 0 8 .7 07 t1 2 6 0 .4 0t9 6 2 .3 8 51 35 72 解得t=-3.0754, 这样死者死亡的真正时间为： t=8.3333- 3.0754=5:15 这样疑犯还是脱不了干系。
必须弄清室温在这段时间内是如何变化的才能正 确地判定死者的死亡时间。
于是人们想到当地气象部门，其对一天室内温度 有一个较详细的记录。在向当地气象部门求助，得 到以下室内温度在这段时间内的记录：
22.53 22.47 22.41 22.35 22.29 22.23 22.17 22.11 22.05 21.99 21.94 21.88 21.83 21.77 21.72 21.66 21.61 21.56 21.51 21.46 21.40 21.35 21.30 21.25 21.21 21.16 21.11
变化的散点图比较 22.0
21.8 21.6 21.4
1
2
3
4
二次拟合曲线为：w(t)=0.0106t2-0.3741t+22.533
其是以5：00作为时间起点的拟合方程，将其化为以 8：20为时间起点的拟合方程，其为：
二次拟合曲线为：w(t)=0.0106t2-0.3034t+21.404
这样假设2改变为： • 室内温度在5：00到9：20时段内变化规律为w(t)。 则尸体温度变化的方程化为：
某公寓发生一起谋杀案，死者是下午7:30被发现 的，法医8:20赶到现场，经过调查，种种迹象表明， 此案最大的嫌疑犯是其单位的张某，但有人证明，张 某下午5:00之前张某一直在办公室， 5:00时张某才匆 匆离开，从其办公室到公寓步行需要10分钟，此能否 证明张某绝对不在现场。
若死者是在5:10之前被谋杀的，就可以排除张某了。 如何测定死者被杀的时间呢？ 让死者说话，告诉法医被杀的时间！