三角函数的周期性 PPT
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备战高考数学复习知识点讲解课件33---三角函数的周期性、奇偶性与对称性
三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法 (1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象 的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得 x＝ （2k＋21ω）π－2φ，k∈Z，即对称轴方程；令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得 x＝kπω－φ， k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为 0)．对于 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意 y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
解析：因为
y＝2
23sin
2x＋12cos
2x＝2sin2x＋π6，所以
T＝22π＝π.
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图， 则 f(x)的最小正周期为( )
10π
7π
A. 9
B. 6
√C.43π
D.32π
解析：由题图知，函数 f(x)的最小正周期 T 满足 0－(－π)<T<π－－49π，即 π<T<139π，即 π<|2ωπ|<139π，即1138<|ω|<2.因为函数 f(x)的图象过点－49π，0， 所以 cos－49πω＋π6＝0，所以－49πω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得 ω＝－94k－34 (k∈Z)，又1138<|ω|<2，所以 k＝－1，ω＝32，所以 T＝2ωπ＝43π.
角度 2 对称性
(1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线 x＝π3
对称，它的最小正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是( )
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
三角函数的周期性+课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
即
1
1
π T
π
2sin2x＋6＋2 ＝2sin2x＋6对任意的
即
T
2sinu＋2 ＝2sin
1 π
u，其中 u＝ x＋ .
2 6
T
∵y＝2sin u 的周期为 2π，∴ ＝2π，
2
∴T＝4π，
1
π
∴f(x)＝2sin2x＋6的周期为
4π.
x 均成立.
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案
sin(x－2)＋x－2
课堂小结：
1.周期函数的概念
2.最小正周期的概念和求法：公式法和定义法
3.三角函数的最小正周期
π
3
＝f673π＋ ＝f ＝f－ ＝f ＝sin ＝
，
3
3 3 3 3
3 2
所以
2
f
020π 2 021π
3
3
＋f
＝
3 3 2 ＋ 2 ＝ 3.
规律方法
当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内
的函数值的变化情况，再给予推广求值.
5π
f 3 ＝(
【迁移1】
(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，
结果如何？
解
5π
5π
2π
2π
π
π
π
三角函数的周期性公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它旳周期，但它是否还有更 小旳周期呢？ 我们能够经过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
第5节 三角函数的图象与性质课件
3．[思想方法]换元思想在求单调区间上的应用 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把 ωx ＋φ 看作一个整体，比如：由 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出 x 的范围， 所得区间即为增区间．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0，可用诱导公 式将函数变为 y＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数 的减区间，减区间为原函数的增区间．对函数 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上．
所以 2kπ<x≤π3＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.
3．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． 答案：x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z 解析：方法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一 坐标系中画出[0，2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π] 内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所 以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
特训点2 三角函数的单调性(师生互动类)
典例 1 (1)(2020·河北省衡水中学高三临考模拟)已知函数 f(x)的图象可看作
是由函数 g(x)＝sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的，则函数 f(x)的一
个单调递减区间为( )
A.－π4，π4
B.π4，78π
C.－π8，38π
D.－58π，－π8
方法二：sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0，将 x－π4视为一个整体，由正弦函数 y ＝sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ ＋54π(k∈Z)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
2025届高中数学一轮复习课件《三角函数的图象与性质》ppt
高考一轮总复习•数学
第28页
对点练 2(1)(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的 是( )
A．f(x)＝cos2x＋sin xcos x B．f(x)＝21s－incxocso2sxx C．f(x)＝cosx＋π3＋cosx－π3 D．f(x)＝sinx＋π6cosx＋π6 (2)若 f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在 50 个最小值点，则 ω 的取值范围是 ____1_92_9_π_，__＋__∞__ ______．
32π，0 ，(2π，1)．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
x∈R
x∈R
{x∣x∈R 且 x≠π2 ＋kπ，k∈Z}
高考一轮总复习•数学
第7页
函数
y＝sin x
值域
[－1,1]
y＝cos x [－1,1]
第22页
对点练 1 函数 y＝lg sin 2x＋ 9－x2的定义域为__－__3_，__－__π2_∪___0_，__π2__．
解析：由s9i－n 2xx2≥>00，，
得kπ<x<kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3，
∴－3≤x<－2π或 0<x<π2.∴函数 y＝lg sin 2x＋
9－x2的定
义域为－3，－π2∪0，π2.
高考一轮总复习•数学
第12页
1．判断下列结论是否正确． (1)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (2)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( ) (3)y＝sin|x|是偶函数．( √ ) (4)若非零实数 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k 是非零整数)也是函数 f(x)的周期．( √ )
高三复习课件-三角函数的图像和性质
D. 3＋2
(2)求函数 y＝sinx＋cosx＋sinxcosx 的值域．
解析：(1) f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx＝cosx＋ 3sinx
＝2sinx＋π6，∵0≤x<π2，∴ f(x)max＝2.故选 B. (2)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx
sinx＋cosx2－1
＝
2
5．函数 y＝1－2sinxcosx 的最小正周期
为( )
A.12π
B．π
C．2π
D．4π
6．(2011 年山东高考)若函数 f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，π3]上单调
递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则 ω＝(
)
A．3
B．2
3 C.2
2 D.3
解析：f(x)＝sinωx 在[0，π3]递增，在[π3，π2]递减，
问题探究1：所有的周期函数都有最小正 周期吗？
函 数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图 象
定
义
R
域
R
{x|x≠π2＋kπ，k∈
值 域
{y|－1≤y≤1}
{y|－1≤y≤1}
R
函数 y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
[－π2＋2kπ，π2
[(2k－1)π， ＋2kπ]上递
单调性
增，k∈Z；[π2 ＋2kπ，32π＋
求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若 ω 为负数，应先用诱导公 式把 x 的系数化为正数，再求解．
在研究三角函数的性质时通常犯以下错误：(1)若需把解析式化简， 要注意等价变形，即不能改变 x 的取值范围；若题目中出现 tanx 时，还 要保证函数自身有意义，即 x≠π2＋kπ(k∈Z)．
三角函数的图像与性质课件PPT
正解：因为 x∈π6，π，所以借助函数 y＝sin x 的图象可知， 此时 0≤sin x≤1.于是由 sin x＝2m－1，得 0≤2m－1≤1，解得 m 的取值范围12≤m≤1.
纠错心得：三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解 有关范围问题时，一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数 的取值范围，最后求出正确答案．
思路点拨：要使函数有意义，则 sin x＞0 且 25－x2≥0，即 sin x＞0 且－5＜x＜5，结合图象求出在区间(－5,5)上满足 sin x＞0 的 x 的取值范围，即原函数的定义域．
解： 使函数有意义的条件是s2i5n－x＞x2≥0，0， 记 sin x＞0 的 x 取值为 集合 A,25－x2≥0 的 x 取值为集合 B，则 A＝(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z， B＝[－5,5]．用图象表示如下：
小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周 期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).
思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？ 答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，… 都 是 正 弦 函 数 的 周 期 ， 事 实 上 ， 任 何 一 个 常 数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期.
探究点一 周期函数的定义
思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现 其理论依据是什么？ 答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整 数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律.
思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数 f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？ 答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ 时，函数值重复出现. 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝ f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.
1.4.2正弦函数余弦函数的性质(周期性)公开课
结论： 周期T与w有关，|w|越大T越小， |w| 越小T越大。
看图像
y Asin(wx c)
思考：w与
T之间存在什 么关系呢？
函数 w值 周期T w×T
y=sinx 1 2 2
y=sin2x 2
2
y 2sin(1 x - ) 26
1 2
4
2
结论：w与T的积是常数2
即wT 2
T 2
w
一般地，函数 y Asin(x ) 及 y Acos(x )
最小正周期是： T 2
A 0, 0
求下列函数的最小正周期 （1）y sin 3 x，x R （2）y cos(4x 2)，x R
4 （3）y cos( 1 x)，x R
2
解：(1) T
2
2
3
8
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
(3)
T
2
2
|1
|
4
2
(2)T 2 2 42
基础达标
一、选择题
（2）因为sin( ) sin ，所以 y sin x 的周期是 （ ）
42
4
2
判断正误
提示：只需判断对每一个x，是 否都有f(x+T)=f(x)成立。
（1）因为sin(x 2 ) sin x，所以 y sin x 的周期是2（ ）
（2）因为sin(
)
sin
，所以
y
sin
x 的周期是 （
§1.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质 ----周期性
1.终边相同的角的三角函数值有何关系？
角与角 2k 的终边相同，同名函数值相
等，即
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
看图像
y Asin(wx c)
思考：w与
T之间存在什 么关系呢？
函数 w值 周期T w×T
y=sinx 1 2 2
y=sin2x 2
2
y 2sin(1 x - ) 26
1 2
4
2
结论：w与T的积是常数2
即wT 2
T 2
w
一般地，函数 y Asin(x ) 及 y Acos(x )
最小正周期是： T 2
A 0, 0
求下列函数的最小正周期 （1）y sin 3 x，x R （2）y cos(4x 2)，x R
4 （3）y cos( 1 x)，x R
2
解：(1) T
2
2
3
8
3ห้องสมุดไป่ตู้
4
(3)
T
2
2
|1
|
4
2
(2)T 2 2 42
基础达标
一、选择题
（2）因为sin( ) sin ，所以 y sin x 的周期是 （ ）
42
4
2
判断正误
提示：只需判断对每一个x，是 否都有f(x+T)=f(x)成立。
（1）因为sin(x 2 ) sin x，所以 y sin x 的周期是2（ ）
（2）因为sin(
)
sin
，所以
y
sin
x 的周期是 （
§1.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质 ----周期性
1.终边相同的角的三角函数值有何关系？
角与角 2k 的终边相同，同名函数值相
等，即
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
三角函数的周期性-完整版课件
三角函数的周期性
一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内 的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．
二、三角函数的周期性
y Asin(x )
y Acos(x ) y Atan(x )
T 2
T
1.函数f (x) sin( x)的最小正周期是__T____4_____
32
练习1.已知函数f (x) cos(x )的最小正周期为 ，则 ______
6
5
（2020.全国Ⅰ卷）
9
9
62
解得 3， 所以函数f (x)的最小正周期T 2 4
2
3
2.函数f (x) sin x 最小正周期为_T_______ 图像法：
思考：y sin x ?
3（. 2016. 浙江）设函数 f (x) sin2 x b sin x c，则f (x)最小正周期（） B
A.与b有关，且与c有关 C.与b无关，且与c无关
练习2.函数f (x) cos(x x)在 , 的图像大致如下图，则f (x)的最小正周期为（）C
6
A. 10 9
B. 7 6
C. 4 3
D. 3
2
【分析】： 由图可知函数图像过点 - 4 ，0，代入函数解析式可得 cos( 4 ) 0
9
9
6
又- 4 ，0是函数f (x)图像与X轴负半轴的第一个交点 ， 所以 4
一、周期函数的定义 1．周期函数的定义： 一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内 的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数， 非零常数 T 叫做这个函数的周期． 2．最小正周期： 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期．
二、三角函数的周期性
y Asin(x )
y Acos(x ) y Atan(x )
T 2
T
1.函数f (x) sin( x)的最小正周期是__T____4_____
32
练习1.已知函数f (x) cos(x )的最小正周期为 ，则 ______
6
5
（2020.全国Ⅰ卷）
9
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62
解得 3， 所以函数f (x)的最小正周期T 2 4
2
3
2.函数f (x) sin x 最小正周期为_T_______ 图像法：
思考：y sin x ?
3（. 2016. 浙江）设函数 f (x) sin2 x b sin x c，则f (x)最小正周期（） B
A.与b有关，且与c有关 C.与b无关，且与c无关
练习2.函数f (x) cos(x x)在 , 的图像大致如下图，则f (x)的最小正周期为（）C
6
A. 10 9
B. 7 6
C. 4 3
D. 3
2
【分析】： 由图可知函数图像过点 - 4 ，0，代入函数解析式可得 cos( 4 ) 0
9
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又- 4 ，0是函数f (x)图像与X轴负半轴的第一个交点 ， 所以 4
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
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ys in2x1co2sx 2
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致.
因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
(2) sin x 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可 知， 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，
还可确定，loga x，sinx， 期函数.
，1 sin(sinx)都是最小正周期2π的周
sin x
大家应该也有点累了，稍作休息
3. y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周 期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
sinxcoxs 2sinx(π) 4
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般 情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情 况将会如何？
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】
(1) 2
sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期
2 2
与sinx的最小正周期相同，都是2π.
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
三角函数的周期性
三角函数的周期性
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、 三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.
2
【解答】 (sinx)5 5(sinx)2
最小正周期为π.
q
【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x ) p
当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.
三角函数的周期性
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？
正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有 向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位 置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时， 正弦线的即时位置包括变化方向不会重 现因.此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
Байду номын сангаас
复合函数的周期性
5. 幂复合函数举例
【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.
【解答】 y|sinx| sin2x
最小正周期为π.
5
【例2】 求 y (sin x) 3 的最小正周期.
5
【解答】 (sinx)3 3 (sinx)5 最小正周期为2π.
2
【例2】 求 y (sin x) 5 的最小正周期.
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图
象如右.
从图上看到，函数的最小正周
期为2π. 由sinx，sin2x 的最小正
大家有疑问的，可以询问和交
复合函数的周期性
2. y= sin3 x 的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更 小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期 为2π.
复合函数的周期性
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致.
因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
(2) sin x 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可 知， 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，
还可确定，loga x，sinx， 期函数.
，1 sin(sinx)都是最小正周期2π的周
sin x
大家应该也有点累了，稍作休息
3. y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周 期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
sinxcoxs 2sinx(π) 4
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般 情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情 况将会如何？
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】
(1) 2
sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期
2 2
与sinx的最小正周期相同，都是2π.
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
三角函数的周期性
三角函数的周期性
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、 三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.
2
【解答】 (sinx)5 5(sinx)2
最小正周期为π.
q
【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x ) p
当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.
三角函数的周期性
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？
正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有 向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位 置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时， 正弦线的即时位置包括变化方向不会重 现因.此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
Байду номын сангаас
复合函数的周期性
5. 幂复合函数举例
【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.
【解答】 y|sinx| sin2x
最小正周期为π.
5
【例2】 求 y (sin x) 3 的最小正周期.
5
【解答】 (sinx)3 3 (sinx)5 最小正周期为2π.
2
【例2】 求 y (sin x) 5 的最小正周期.
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图
象如右.
从图上看到，函数的最小正周
期为2π. 由sinx，sin2x 的最小正
大家有疑问的，可以询问和交
复合函数的周期性
2. y= sin3 x 的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更 小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期 为2π.
复合函数的周期性