第四静态电磁场的求解
合集下载
第四章准静态电磁场
第四章 准静态电磁场4．1 准静态电磁场1．电准静态场由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。
时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。
在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。
此时，时变电场满足ρ=∙∇≈⨯∇D 0E 称为电准静态场。
可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数ϕ ，即ϕ-∇=E且满足泊松方程ερϕ-=∇2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0t =∙∇∂∂+=⨯∇B DE H γ 2．磁准静态场由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。
在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。
此时，时变磁场满足0=∙∇≈⨯∇B J H c称为磁准静态场。
可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即A B ⨯∇=且满足矢量泊松方程c J A μ-=∇2与磁准静态场对应的时变电场满足ρ=∙∇∂∂-=⨯∇D B E t例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容器填充εr =5.4的云母介质。
忽略边缘效应，极板间外施电压t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。
[解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。
在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电准静态场。
在如示坐标系下，得()()()V/m t 31410113t 31410501102d u z 4z 2z e e e E -⨯=-⨯⨯=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由()z z 20r 4Sl t 31431410113d t H 2d e e S D l H ∙-π⨯⨯-=∙∂∂=π=∙⎰⎰ρεερφsin . 极板间磁场为φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下tt 0r ∂∂=∂∂=⨯∇E D H εε 展开，得t 314106694H 14sin .)(-⨯=∂∂φρρρ 解得φφφρe e H t 314103352H 4sin .-⨯== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有tt ∂∂-=∂∂-=⨯∇H B E 0μ 展开，得t E z 314cos 103.231440ρμρ-⨯⨯-=∂∂- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-⨯= V/m可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
3 电磁场与电磁波--静态电磁场及其边值问题的解
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压） 将 E 两端点乘 dl ，则有 E dl dl dl d l 上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力 做的功
Q
P
Q E dl d ( P) (Q)
2
1 P1 2 Δl
P2
1 2 1 2 S n n
若介质分界面上无自由电荷，即S=0
1 2 1 2 n n
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
或
D1n D2n S
表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移 矢量的法向分量是不连续的。
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
若分界面上不存在自由面电荷，即S=0，则
en (D1 D2 ) 0
或
D1n D2n
此时，在分界面上，电位移矢量的法向分量是连续的。由 边界条件： E E 和 E E ，可得场矢量在分界 1t 2t 1 1n 2 2n 面上的折射关系：
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性原理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 3.7 有限差分法
• 电磁场与电磁波 •
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
R
z L
( , , z)
2 ( z z ) 2 ，则
R
1 dz
L L
(r ) l 0 4 π 0
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
![[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/27deae7a26fff705cd170aa2.png)
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解3.1 基本内容概述静态电磁场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。
本章分别讨论了它们的基本方程和边界条件，位函数，能量和力，电容、电阻和电感，最后介绍静态场边值问题的几种解法（镜像法、分离变量法和有限差分法）。
3.1.1静电场1.基本方程和边界条件基本方程的微分形式(3.1)(3.2)ρ∇=∇⨯=D E基本方程的积分形式(3.3)(3.4)d d d 0S VCVρ==⎰⎰⎰D SE l边界条件()12n s ρ-=e D D 或 12n n s D D ρ-= （3.5） ()120n ⨯-=e E E 或 120t t E E -= （3.6）2.电位函数（1）电位函数及其微分方程根据电场的无旋性（0∇⨯=E ），引入电位函数ϕ，使E ϕ=-∇ （3.7） 电位函数ϕ与电场强度E 的积分关系是d ϕ=⎰E l （3.8）在均匀、线性和各向同性电介质中，已知电荷分布求解位函数点电荷()14'ii q ϕπε=-∑r r r （3.9） 体密度分布电荷 ()()'1d '4'VV ρϕπε=-⎰r r r r （3.10） 面密度分布电荷()()'1d '4'S SS ρϕπε=-⎰r r r r （3.11）线密度分布电荷 ()()'1d '4'l ll ρϕπε=-⎰r r r r （3.12）在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程()()2ρϕε∇=-r r （3.13） 或拉普拉斯方程（0ρ=时）()20ϕ∇=r （3.14）（2）电位的边界条件12ϕϕ= （3.15a ） 1212S n nϕϕεερ∂∂-=-∂∂ （3.15b ） 3. 电场能量和电场力 （1）能量及能量密度分布电荷的电场能量 1d 2e V W V ρϕ=⎰ （3.16） 多导体系统电场能量 112Ne i i i W q ϕ==∑ （3.17）能量密度为 12e w =D E （3.18）（2）电场力 用虚位移法求电场力e i iq W F g =∂=-∂常数（3.19a ）e i iW F g ϕ=∂=∂常数（3.19b ）4.电容及部分电容在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为qC U=多导体系统，每个导体的电位不仅与本身所带的带有关，还与其它导体所带电荷有关。
电磁场理论-静态场的解法共72页PPT
▪28、知之者不如好之Fra bibliotek，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
72
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
电磁场理论-静态场的解法
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
福州大学电磁场 第四章 静态场边值问题的解法(1)
4U0 Fn ' = nπsh(nπ)
代入通解
∞
n =1,3,5.....
接地金属槽内 的等位线分布
4U0 1 nπ nπ φ(x, y) = ∑, nsh(nπ) sin( a x)sh( a y) π n=1,3
上 页 下 页
返 回
上 页
下 页
例： 一导体槽，槽的宽度在x方向和z方向均为无穷 一导体槽，槽的宽度在x方向和z 槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 大，槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝， 上导体板的电压为U 试求导体槽内的电位。 上导体板的电压为U0 ，试求导体槽内的电位。
上 页 下 页
Cn = 0
nπ nπ φ(x, y) = ∑BnDn sin( x)sh y a a n=1
nπ nπ = ∑Fn ' sin( x)sh( y) a a n=1 π 由边界条件（ φ 由边界条件（4） =100 sin x代入通解得 y=a,0<x<a a
∞
∞
πx ∞ nπ 100sin = ∑Fn 'sh(nπ) sin x a n=1 a
把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的 乘积表示， 乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。 解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。
分离变量法解题的一般步骤： 分离变量法解题的一般步骤： 解题的一般步骤 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 解常微分方程，并叠加得到通解；
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与波第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
D d S
S
dV
V
E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP
Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0
1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P
O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1
静态电磁场及其边值 问题的解
时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
D d S
S
dV
V
E d l 0
M P
E d l
rQ rPΒιβλιοθήκη Q ME d l
l
2 0 rQ rP
Q M
r r
2
d r
rQ
M
l
2 0
1 r
dr
l
2 0
ln
如果选择参考点在rQ=∞，得P=∞，显然不合理。 如果选择rQ=1，得 P
O
rP
P
l
2 0
ln
1 rP
，显然这种形式最简单。
,
D2
S 0b 0
最后得
1 ( x ) 2 ( x) 0a S 0b 0a
S 0 (a b)
(0 ≤ x ≤ b ) (b ≤ x ≤ a )
所以 D1 0
C 2 a D2 0 C1b D1 C 2 b D2 C 2 C1
d 1 ( x )
2
dx
2
2
0,
(0 x b)
y
S0
d 2 ( x) dx
2
1 ( x ) 2 ( x)
0,
(b x a )
o
b
a
x
方程的解为 1 ( x ) C1 x D1
第4章静态电磁场边值问题的解法精品PPT课件
圆心坐标 (x0,y0)(K K 2 2 1 1b,0) 圆半径 RK 2b 2 1 K
当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的
半径R，圆心位置 x 0 和电轴位置b 之间满足
R 2 b 2 (K 2 b 2 1 K )2 b 2 (K K 2 2 1 1 b )2 x 0 2
将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导 线系统的方法，称为电轴法。
1. 静电场
2
0
/
E1t
D1n
E 2t D2n
0
s
1 2
1
1
n
2
2
n
0s
2. 恒流电场
2 0
E1t E 2t
J
1n
J 2n
1 1
2 1
n
2
2
n
3. 恒流磁场
➢ 标量磁位
2m 0
H 1t B1n
H 2t B2n
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
➢ 矢量磁位
2
A
0
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位 函数的解。
一. 直角坐标系中的分离变量法
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
22x2 y22 2z2 0
设其解为： (x ,y ,z ) X (x ) Y (y )Z (z )
只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产 生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理， 这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置， 故称镜像法。
一.无限大导体平面的镜像法
0 （导板及无穷远处）
P4qr4qr0
（导板及无穷远处）
空间任一点Q点电位为：
2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)04静态电磁场求解：静态场的唯一性定理(共10张PPT
电磁场理论
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
第四章 静态电磁场求解
主要内容：
静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
M
n
r r
2 唯一性定理
设在区域V内源已知，在区域的边界S上：
r
| 边界
M
或
r
n
|边界
M
已知（M为边界上
的变点）。则在区域V内存在唯一的解，
它在该区域内满足Poisson方程；在区域
的边界上满给定的边界条件。称为静态电
磁场的唯一性定理。
设
E1 r
A1
r r3
E2
r
A2
r r3
两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内
导体带电，电荷量为Q，
外导体球壳接地。
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
2r r
κ为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即
Fr r
③ 在介质的分界面上，位函数满足
1
r
| S
2
r
| S
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
第四章 静态电磁场求解
主要内容：
静态的场唯一性定理 分离变量方法 Green函数方法 镜像原理
4.1 静态场的唯一性定理
1 静态电磁场的方程 静电场由电荷激发，电荷是静电场的通量源。 恒定磁场由恒定电流激发，电流是静态磁场的 涡旋源。静态电磁场与时间无关，具有相同的 基本特性。 ① 静态电磁场与时间无关，属于时不变场， 数学上满足同一类方程（Poisson方程）
M
n
r r
2 唯一性定理
设在区域V内源已知，在区域的边界S上：
r
| 边界
M
或
r
n
|边界
M
已知（M为边界上
的变点）。则在区域V内存在唯一的解，
它在该区域内满足Poisson方程；在区域
的边界上满给定的边界条件。称为静态电
磁场的唯一性定理。
设
E1 r
A1
r r3
E2
r
A2
r r3
两个同心导体球壳之 间充满两种介质。内
导体带电，电荷量为Q，
外导体球壳接地。
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
2r r
κ为介质的电磁特性参数
② 静态电磁场（恒定电流磁场源区）具有 无旋特性，可以用标量函数（称为位函 数或势函数）的梯度来表示，即
Fr r
③ 在介质的分界面上，位函数满足
1
r
| S
2
r
| S
电磁场理论-静态场的解法
V
2
dV
S
n
dS
— 格林第一公式
第4章 静态场的解法
若1 、2 都满足 Laplace 方程（或 Poisson 方程），则 1 2 满足 Laplace 方程，即：
2 0
令格林公式中 、 都是 ，则：
2 dV dS
V
S n
第一种情况（Dirichlet 问题）：
1 、2 在
q
r2
d2
2rd c os
由于 r a 时电位为 0，有
q
q
0
a2 d 2 2ad cos a2 d2 2ad cos
第4章 静态场的解法
上式对任意的 都成立，必有
q q 0 d a ad
q q 0 d a ad
( 0) ( )
由此解得
d
a2 d
,
q a q d
因此，球外任一点的电位为
第4章 静态场的解法
4.1 静态场唯一性定理
1、边值型问题的分类
边值型问题按其边界条件不同可分为三类：
(1)已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题：
2 或0
|S 0
— 荻利克利特(Dirichlet)问题
(2)已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即：
2
n
S
0
— Neumann 问题
第4章 静态场的解法
1、接地导体平面的镜像法
(1) 点电荷对接地导体平面的镜像法
设在无限大导体平面的上半空间放置一点电荷 q，导体
接地，电位为 0。在计算上半空间某点 P 的电位时，由于
导体表面存在与点电荷符号相反的感应电荷，因此不能用
无界空间点电荷的电位公式来计 算。
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
电磁场与电磁波(西电)第4章 静态场的解
l 4
0
1n
(x (x
d )2 d )2
y2 y2
第四章 静 态 场 的 解
等位线方程为
(x d )2 (x d )2
y2 y2
m2
x
m2 m2
1d 1
2
y2
2md
2
m2
1
这个方程表示一簇圆，圆心在(x0, y0)，半径是R0。其中：
A1’处。由问题本身的对称性可知，左面的电荷总是与右侧分布对
称。以下仅分析右面的。左面的q1在右导体球上也要成像，这个
镜像电荷记为q2, 位于A2处。
AA2
a2 AA1&a 3
, q2
a AA1'
q1
1q 3
第四章 静 态 场 的 解
依此类推，有
q3
1 4
q, q4
第四章 静 态 场 的 解
第四章 静 态 场 的 解
4.1 边值问题的分类 4.2 唯一性定理 4.3 4.4 分离变量法 4.5 复变函数法 4.6 格林函数法 4.7 有限差分法
第四章 静 态 场 的 解
4.1 边值问题的分类
第一类边值问题： 第二类边值问题： 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位， 同时给 定另一部分边界上每一点的电位法向导数。 给定导体上的总电量亦属于第二类边值问题。
当α2<0 时，令α=jkx(kx为正实数)，则
X (x) a1 sin kx x a2 coskx x
或
X ( x) b1e jkxx b2e jkxx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
2
m
2
πz
A B
Cmm
mnπ 2sinh
160
n
2
m
2
πC
A B
1.分离变量方法的思想
变量分离将偏微分方程转化为含有待定参数 的常微（本征值）方程; 求解本征值方程得到本征值和本征函数; 利用本征函数的完备性展开表示待求函数； 把待求函数的问题转化为求展开系数。 通过边界条件等确定系数求出待求解。
π
1 r2
2 2
0
a, V0 , π 2π
r, 2nπ r,
lim
r0
r
,
有限值
r
Rr Φ
r
d dr
r
dR dr
R r2
d2
d 2
0
Φ
Φ
n2 Φ 2nπ Φ
0
Φ
cosn sin n
，n
0,1,2,3,
r
d r dR n2R 0 dr dr
G r,r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
像电荷的确定
① 像电荷的位置不在上半空间（满足方程） ② 原电荷感应中心和像电荷在一条连线上（对称） ③ 像电荷与原电荷的符号相反（感应原理） ④ 像电荷与原电荷在平面上的电位为零（接地）
像电荷在上半空间产生的电位与导体平面感应电荷 在上半空间产生电位等效，像电荷与上半空间原电 荷在导体平面产生电位抵消
2G r, r'
1
r r'
| G r, r'
0
s
G r, r'
单位电荷直接 边界感应电荷
产生的电位
产生的电位
上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已 知道，方程的求解最终归结为求边界感应电荷产 生的电位。为了得到感应电荷及其产生的电位， 人们试图找出一个或者多个想象的点电荷来等效 边界面上感应电荷的贡献，这个想象的一个或者 多个点电荷称为像电荷。这一方法称为镜像方法
盖电位为 0 ，其余接地，求盒内的电位分布。
2 r 0
C
0,
y
,
z
x,0,
z
0
0
A, y, z x,B, z 0
x, y,0 0
B
x, y,C 0
A
设： r X xY y Z z
1 d2X 1 X dx2 Y
A, y,z
d 2Y
dy 2
0,
1 Z
V
s
2G
r
,r'
G r,r' |
0
1
r
r'
n s
r
r
第二类边界条件下Green函数的物理意义：
表示绝热边界条件的封闭系统内单位热源产生
的温度场分布。严格意义上的第二类边界条件
下Green函数的解是不存在的？
3. Green函数的对称性
G r'
G(
, r
r ',
n'
G r)
m
n S
0
2
m
n
M r
S
1
2
r
r
| S
2
1
r
| S
| | 1
n
S 2
n
S
s
第一类：已知源和介质及n 其边界形状，求场的分布
第二类：已知场和介质分 布，求边界形状
第三类：已知场和边界分 布，求介质特性参数
3. 静态电磁场的唯一性定理
设区域 V 内源已知，在区域的边界S上：
r
n
| 边界
M
或
r
n' n' 0
r
r
V
r'
Gr, r '
dV
s
h r'
G( r,r' n'
)ds
还原 hM 表达式，得到：
r r' Gr,r' dV
V
乙
s
G(r,
r'
)
(r
n'
'
)
ds
s
(r'
)
G(r, n'
r'
)ds
第一项： r' Gr,r' dV 表示区域上
V
体电荷分布在 r 产生的电位
r
V
r' dV
4π r r'
G r,r' r' dV V
2G
r
,r
'
r
r
'
G
r，r'
lrim G r ,r' 0
1
4π r r'
上述分析说明，只要单位点电荷元在空间 的电位求得，任意电荷分布的电位利用叠 加原理求得。此即Green 函数的基本思想
2. 静态场的Green函数
2G r,r'
1
0
r r'
Q'
r r"
z0
| G r,r'
0
z0
r eˆ zh , r" eˆz f , Q' 0
| | G r,r'
z0
1
4π
0
R1
Q'
4π 0 R2
z0
0
,
f ＝h
,
Q'
1
G r,r'
1
1
1
4 0
x2 y2 z h2
x2
y2
2 r 0
r
| 边界
0，或
n
r
| ＝0 边界
将 r 代入Green公式，得到：
r2 r Ò r rds r rdV
V
S
V
Ò r rds r rdV
S
V
Ò S
r
n
r
ds
V
r
2
dV
应用边界条件上式：
r 2 dV 0 r 0 r A V
由于 r 在区域边界上恒为零，可以得到 r A 0
0
ra
r，r 0
G r,r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
一般静态电磁场问题满足Poisson方程：
2
r
r
M
M
n
h
M
r
其GREEN函数满足的方程：2G G
r,r r, r '
'
1 r
G r,r'
n
r'
0
应用Green定理： ( 2)dV Ò dS
V
S
G r' ,r G r ,r' 0
和
G(r' ,r)
G(r,r' )
X
Y
x A1sin y A2sin
nπ
A mπ
B
x y
, k nπ A
, l mπ A
,n 1,2,3, ,m 1,2,3,
Z z Ckl sinh k2 l2 z k2 l2 p2 0
x, y,z
Cnmsin
n ,m 1
nπ xsin A
mπ B
ysinh
y,z
d2Z dz 2 0
0 X
A
X
0
0
x,B,z x,0,z 0 Y B Y 0 0
x,
y
,0
0
Z
0
0
d2 X k 2 X x
dx 2
d 2Y dy 2
l 2Y x
d 2 Z p 2 Z z
dz 2
X 0 X A 0 Y 0 Y B 0 Z 0 0
k2 l2 p2 0
r
hiqi
2 r r
1 h1h2h3
3 i 1
qi
h1h2h3 hi
r
hiqi
【例3】 无穷长导体圆 筒，半径为 a，厚度可 以忽略不计。圆筒分成 相等的两个半片，相互
绝缘,其电位分别是V 0 和-V 0 ，求筒内电位。
2
a
r
,
1 r V0
r
r
,0
r
分离变量方法、积分变换方法 静电镜像方法、复变函数方法 积分公式方法、Fourier级数方法
【例3 】求无穷长矩形金属壳内单位线源的电位， 矩形导体壳接地。
b
x0, y0
a
b
2Gr,
r0
1
x
x0
,
y
y0
| G
r, r0
x0,a 0
y0,b
a
设：Gx, y | x0, y0 Anmsin
Green函数 的物理模型
2
r
r
M M
r r' G r,r' dV
V
Ò
s
r'
G(r, n'
r'
)ds
r
r
② 第二类边界条件的Green函数
2r
r
r
M
n
2G r, G r,r'
r' |
0
1
r
r'
n s
r
r
Green函数物理模型
r r' Gr, r' dV Gr, r' (r' )ds
| 边界
M
已知。则在区域V 内存在唯一的解，它在
该区域内满足Poisson方程；在区域的边