第四静态电磁场的求解

| 边界
M
已知。则在区域V 内存在唯一的解，它在
该区域内满足Poisson方程；在区域的边
界上满给定的边界条件。
证：设1 r 和2 r 满足方程和边界条件：
|
2 1，2
1,2 r
r r
M
边界
或
| 1,2 r
n
＝
边界
M
r r
记： r ＝1 r 2 r 根据线性叠加原理， r 满足方程：
2.分离变量方法的程序
① 提炼出定解问题的数学表达式 ② 选取适合变量分离的正交坐标系 ③ 把方程和边界条件进行变量分离 ④ 求解本征值方程，确定本征值和本征函数 ⑤ 由本征函数构造定解问题的解 ⑥ 利用边界条件确定展开系数， 验证解
正交曲线坐标系中2 r 的分离变量
r
3 i 1
eˆ qi
y,z
d2Z dz 2 0
0 X
A
X
0
0
x,B,z x,0,z 0 Y B Y 0 0
x,
y
,0
0
Z
0
0
d2 X k 2 X x
dx 2
d 2Y dy 2
l 2Y x
d 2 Z p 2 Z z
dz 2
X 0 X A 0 Y 0 Y B 0 Z 0 0
k2 l2 p2 0
n' n' 0
r
r
V
r'
Gr, r '
dV
s
h r'
G( r,r' n'
)ds
还原 hM 表达式，得到：
r r' Gr,r' dV
V
乙
s
G(r,
r'
)
(r
n'
'
)
ds
s
(r'
)
G(r, n'
r'
)ds
第一项： r' Gr,r' dV 表示区域上
V
体电荷分布在 r 产生的电位
m
n S
0
2
m
n
M r
S
1
2
r
r
| S
2
1
r
| S
| | 1
n
S 2
n
S
s
第一类：已知源和介质及n 其边界形状，求场的分布
第二类：已知场和介质分 布，求边界形状
第三类：已知场和边界分 布，求介质特性参数
3. 静态电磁场的唯一性定理
设区域 V 内源已知，在区域的边界S上：
r
n
| 边界
M
或
r
Fr r
③ 在介质分界面
1 r
| S
2
r
| S
上位函数满足:
1
n
S
2
n S
s
2.静态电磁场的定解问题
静态电场定解问题：
2
r
1
0
p
1
r
| S
2
r
| S
| | 1
n
p
S 2
P
n
r
S
s
无电流区磁场定解问题：
2m
r
1
0
m
| | 1m r S 2m r S
| |
1 m
V
s
2G
r
,r'
G r,r' |
0
1
r
r'
n s
r
r
第二类边界条件下Green函数的物理意义：
表示绝热边界条件的封闭系统内单位热源产生
的温度场分布。严格意义上的第二类边界条件
下Green函数的解是不存在的？
3. Green函数的对称性
G r'
G(
, r
r ',
n'
G r)
Green函数 的物理模型
2
r
r
M M
r r' G r,r' dV
V
Ò
s
r'
G(r, n'
r'
)ds
r
r
② 第二类边界条件的Green函数
2r
r
r
M
n
2G r, G r,r'
r' |
0
1
r
r'
n s
r
r
Green函数物理模型
r r' Gr, r' dV Gr, r' (r' )ds
r,r' 0 G( r,r'
n'
)
0
物理意义：
r 点的源在 r 点产生的场等
于 r 点的源在 r 点 产生的
场，具有互易性 。
Gr , r "
r
r
Gr ,r
Green函数的求解：
Green函数本身也是一个数学物理方程， 所有关于数学物理方程的求解方法也是 Green函数的求解方法，包括：
r
hiqi
2 r r
1 h1h2h3
3 i 1
qi
h1h2h3 hi
r
hiqi
【例3】 无穷长导体圆 筒，半径为 a，厚度可 以忽略不计。圆筒分成 相等的两个半片，相互
绝缘,其电位分别是V 0 和-V 0 ，求筒内电位。
2
a
r
,
1 r V0
r
r
,0
r
G r,r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
像电荷的确定
① 像电荷的位置不在上半空间（满足方程） ② 原电荷感应中心和像电荷在一条连线上（对称） ③ 像电荷与原电荷的符号相反（感应原理） ④ 像电荷与原电荷在平面上的电位为零（接地）
像电荷在上半空间产生的电位与导体平面感应电荷 在上半空间产生电位等效，像电荷与上半空间原电 荷在导体平面产生电位抵消
一般静态电磁场问题满足Poisson方程：
2
r
r
M
M
n
h
M
r
其GREEN函数满足的方程：2G G
r,r r, r '
'
1 r
G r,r'
n
r'
0
应用Green定理： ( 2)dV Ò dS
V
S
G r' ,r G r ,r' 0
和
G(r' ,r)
G(r,r' )
§4.3 Green 函数方法
1. Green 函数方法的思想
区域 V上体电荷在无 场点 界空间产生的电位： r r
2
r
r
lim r 0
r
r' dV
r
V
4π
r
r'
r r r' dV
源点
r'
G r,r'
1
表示r'点单位电荷在r处产生的场
4π r r'
G r ,r' r' dV 表示r'点电荷 r' dV 在r处产生的场
r
V
r' dV
4π r r'
G r,r' r' dV V
2G
r
,r
'
r
r
'
G
r，r'
lrim G r ,r' 0
1
4π r r'
上述分析说明，只要单位点电荷元在空间 的电位求得，任意电荷分布的电位利用叠 加原理求得。此即Green 函数的基本思想
2. 静态场的Green函数
n
2
m
2
πz
A B
Cmm
mnπ 2sinh
160
n
2
m
2
πC
A B
1.分离变量方法的思想
变量分离将偏微分方程转化为含有待定参数 的常微（本征值）方程; 求解本征值方程得到本征值和本征函数; 利用本征函数的完备性展开表示待求函数； 把待求函数的问题转化为求展开系数。 通过边界条件等确定系数求出待求解。
π
1 r2
2 2
0
a, V0 , π 2π
r, 2nπ r,
lim
r0
r
,
有限值
r
Rr Φ
r
d dr
r
dR dr
R r2
d2
d 2
0
Φ
Φ
n2 Φ 2nπ Φ
0
Φ
cosn sin n
，n
0,1,2,3,
r
d r dR n2R 0 dr dr
lim Rr 有限值
r 0
Rr
a0 anr
b0 ln n bnr
r
n
，当 当nn
0 0
r, r n An cos n Bn sin n n0
a,
n0
an
Ancosn
Bn sin n
VV00
, 0 π , π 2π
r, 4V0
1
r
2k 1
sin
2k
1
π n0 2k 1 a
n,m1
n
a
xsin
m
a
y
2Gx,
y|
x0 ,
y0
n,m1
Anm
n
a
2
m
b
2
sin
nx
a
sin
my
b
n,m1
Anm
n
a
2
m
b
2
sin
nx
a
sin
my
b
1
x
x0
y
y0
Anm
4sin
ab
n
a
n
a
x0sin
2
n
b
m
b
y0 2
§4.4 镜像方法
1. 镜像方法的基本思想
0
ra
r，r 0
G r,r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
z
h2
确定像电荷的原则
➢ 找一个或几个假想电荷等效感应电荷的贡献 ➢ 像电荷在区域的外部，与原电荷符号相反 ➢ 像电荷位置与原电荷的位置互为共轭点对 ➢ 利用边界条件确定像电荷大小和位置
【例4-5】接地导体球壳外
部空间的Green函数
2G r,r'
1 0
r r'
,
|
G
r,
r
'
2G r,r'
1
0
r r'
Q'
r r"
z0
| G r,r'
0
z0
r eˆ zh , r" eˆz f , Q' 0
| | G r,r'
z0
1
4π
0
R1
Q'
4π 0 R2
z0
0
,
f ＝h
,
Q'
1
G r,r'
1
1
1
4 0
x2 y2 z h2
x2
y2
盖电位为 0 ，其余接地，求盒内的电位分布。
2 r 0
C
0,
y
,
z
x,0,
z
0
0
A, y, z x,B, z 0
x, y,0 0
B
x, y,C 0
A
设： r X xY y Z z
1 d2X 1 X dx2 Y
A, y,z
d 2Y
dy 2
0,
1 Z
【例】同心导体球壳间充满两种介质。内导体带电 荷量Q ,外导体球壳接地。求导体球壳内电场分布 分析：内外导体为等势体，外导体 内表面和内导体外表面法向电场为 零。因此介质中电磁场应没有周向 分量。在两介质的交界面上：
E1t E2t D1n D2n
因此设解为：
E1r E2 r
A1 A2
Ps G r,r'
两个典型特例
① 第一类边界条件的Green函数
2r
r
2G r ,r'
1
r r'
| M M
G r ,r'
பைடு நூலகம்
0
s
Green函数其物理意义是：
接地导体壳内单位点电荷产生的电位
r r
r
V
r' G r, r' dV r'
s
G(r,r' )ds n'
分离变量方法、积分变换方法 静电镜像方法、复变函数方法 积分公式方法、Fourier级数方法
【例3 】求无穷长矩形金属壳内单位线源的电位， 矩形导体壳接地。
b
x0, y0
a
b
2Gr,
r0
1
x
x0
,
y
y0
| G
r, r0
x0,a 0
y0,b
a
设：Gx, y | x0, y0 Anmsin
Ò 第二项：
s
G(r,
r'
)
(r
n'
'
)
ds
s En
Ò G(r,r' )s (r,r' )ds
s
边界面上面电荷在 r 产生的电位
s En
□
Ò 第三项：
s
(r'
)
G(r, n'
r'
)ds
r
=Ò P(r' ) G(r,r' )ds
s
Ps 界面上偶极矩产生电位
r nˆ G r,r'
2 r 0
r
| 边界
0，或
n
r
| ＝0 边界
将 r 代入Green公式，得到：
r2 r Ò r rds r rdV
V
S
V
Ò r rds r rdV
S
V
Ò S
r
n
r
ds
V
r
2
dV
应用边界条件上式：
r 2 dV 0 r 0 r A V
由于 r 在区域边界上恒为零，可以得到 r A 0
X
Y
x A1sin y A2sin
nπ
A mπ
B
x y
, k nπ A
, l mπ A
,n 1,2,3, ,m 1,2,3,
Z z Ckl sinh k2 l2 z k2 l2 p2 0
x, y,z
Cnmsin
n ,m 1
nπ xsin A
mπ B
ysinh
【例4-4】 无穷大接地 导体板上单位点电荷在 上半空间的电位。
2G r, r '
1 r r' , z 0 0
| G r, r '
0
z0
导体平板上方的电位为单位点电荷的贡献和导 体平板面上感应电荷的贡献的叠加。如果能找 到一个与导体平板感应电荷在上半空间产生电 位等效的像电荷Q`来代替导体平板上的感应电 荷，那么导体平板上方的电位可以表示为
第四讲（二）
第四章 静态电磁场的求解
主要内容：
唯一性定理及应用 分离变量方法及应用 Green函数方法及应用 镜像原理及其应用
§4.1 唯一性定理
1. 静态电磁场的基本特性 ① 静态电磁场数学上满足Poisson方程
2 r r
其中可以是或
r r
② 静态电磁场（恒定电流源区外部）具有 无旋特性，可用标量函数梯度来表示:
r r3 r r3
左半球 右半球
应用介质边界条件求得：A1 A2 A
Ò S
D
dS
A
左半球面
1E1
dS
右半球面
2
E2
dS
Q
A
2π
Q 1 2
因此解为：E1r
E2 r
Q
2π1
2
r r3
验证：
1) 所求的解是不是满足方程！
2) 所求的解是不是满足边界条件！
§4.2 分离变量方法
【例2】长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上
2G r, r'
1
r r'
| G r, r'
0
s
G r, r'
单位电荷直接 边界感应电荷
产生的电位
产生的电位
上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已 知道，方程的求解最终归结为求边界感应电荷产 生的电位。为了得到感应电荷及其产生的电位， 人们试图找出一个或者多个想象的点电荷来等效 边界面上感应电荷的贡献，这个想象的一个或者 多个点电荷称为像电荷。这一方法称为镜像方法